Тема: "Сигнали та їх характеристики"
Сигнал - фізичний процес, що відображає повідомлення. У технічних системах найчастіше використовуються електричні сигнали. Сигнали, як правило, є функціями часу.1. Класифікація сигналів
Сигнали можна класифікувати за різними ознаками:1. Безперервні (аналогові) - сигнали, які описуються неперервними функціями часу, тобто приймають безперервне безліч значень на інтервалі визначення. Дискретні - описуються дискретними функціями часу тобто приймають кінцеве безліч значень на інтервалі визначення.
Детерміновані - сигнали, які описуються детермінованими функціями часу, тобто значення яких визначені в будь-який момент часу. Випадкові - описуються випадковими функціями часу, тобто значення яких у будь-який момент часу є випадковою величиною. Випадкові процеси (СП) можна класифікувати на стаціонарні, нестаціонарні, Ергодіческіе і неергодіческіе, а так само, гаусові, марковські і т.д.
3. Періодичні - сигнали, значення яких повторюються через інтервал, що дорівнює періоду
х (t) = х (t + nT), де n = 1,2 ,...,¥; T - період.
4. Kаузальние - сигнали, що мають початок у часі.
5. Фінітних - сигнали кінцевої тривалості і рівні нулю поза інтервалу визначення.
6. Когерентні - сигнали, що збігаються в усіх точках визначення.
7. Ортогональні - сигнали протилежні когерентним.
2. Характеристики сигналів
1. Тривалість сигналу (час передачі) Т с - інтервал часу, протягом якого існує сигнал.2. Ширина спектра F c - діапазон частот, в межах яких зосереджена основна потужність сигналу.
3. База сигналу - твір ширини спектру сигналу на його тривалість.
4. Динамічний діапазон D c - логарифм відношення максимальної потужності сигналу - P max до мінімальної - P min (мінімально-розрізни-травня на рівні перешкод):
D c = log (P max / P min).
У виразах, де може бути використані логарифми з будь-якою підставою, підстава логарифма не вказується.
Як правило, основу логарифма визначає одиницю виміру (наприклад: десятковий - [Бел], натуральний - [Непер]).
5. Обсяг сигналу визначається співвідношенням V c = T c F c D c.
6. Енергетичні характеристики: миттєва потужність - P (t); середня потужність - P СР і енергія - E. Ці характеристики визначаються співвідношеннями:
P (t) = x 2 (t);
де T = t max - t min.
3. Математичні моделі випадкових сігнлов
Детерміноване, тобто заздалегідь відоме повідомлення, не містить інформації, т.к одержувачу заздалегідь відомо, яким буде переду-ваемий сигнал. Тому сигнали носять статистичний характер [11].Випадковий (стохастичний, імовірнісний) процес - процес, який описується випадковими функціями часу.
Випадковий процес Х (t) може бути представлений ансамблем невипадкових функцій часу x i (t), званих реалізаціями або вибірками (див. рис.1).
X (t) x 1 (t) x 2 (t) x n (t) 0 t 1 t 2 t |
Рис.1. Реалізації випадкового процесу X (t)
Повної статистичної характеристикою випадкового процесу є n - мірна функція розподілу: F n (x 1, x 2 ,..., x n; t 1, t 2 ,..., t n), або щільність ймовірності f n (x 1 , x 2 ,..., x n; t 1, t 2 ,..., t n).
Використання багатовимірних законів пов'язано з певними труднощами,
Закони розподілу є вичерпними характеристиками випадкового процесу, але випадкові процеси можуть бути досить повно охарактеризовано і з допомогою, так званих, числових характеристик (початкових, центральних і змішаних моментів). При цьому найбільш часто використовуються такі характеристики: математичне сподівання (початковий момент першого порядку)
середній квадрат (початковий момент другого порядку)
дисперсія (центральний момент другого порядку)
кореляційна функція, яка дорівнює кореляційному моменту відповідних перерізів випадкового процесу
При цьому справедливо наступне співвідношення:
Стаціонарні процеси - процеси, в яких числові характеристики не залежать від часу.
Ергодіческіе процеси - процес, в яких результати усереднення і з великого збігаються.
Гаусові процеси - процеси з нормальним законом розподілу:
Цей закон відіграє виключно важливу роль в теорії передачі сигналів, т.к більшість перешкод є нормальними.
Відповідно до центральною граничною теоремою більшість випадкових процесів є гауссовими.
М арковскій процес - випадковий процес, у яких ймовірність кожного наступного значення визначається тільки одним попереднім значенням.
4. Форми аналітичного опису сигналів
Сигнали можуть бути представлені в тимчасовій, операторної або частотній області, зв'язок між якими визначається за допомогою перетворень Фур'є і Лапласа (див. рис.2).Перетворення Лапласа:
L:
Перетворення Фур'є:
F:
L:
t |
p |
w |
L-1:
F-1: p = jw
F: jw = p
Рис.2 Області подання сигналів
При цьому можуть бути використані різні форми подання сигналів з вигляді функцій, векторів, матриць, геометричне і т.д.
При описі випадкових процесів в тимчасовій області використовується, так звана, кореляційна теорія випадкових процесів, а при описі в частотній області - спектральна теорія випадкових процесів.
З урахуванням парності функцій
можна записати вирази для кореляційної функції R x (t) і енергетичного спектру (спектральної щільності) випадкового процесу S x (w), які пов'язані перетворенням Фур'є або формулами Вінера - Хинчина
5. Геометричне уявлення сигналів та їх характеристик
Будь-які n - чисел можна уявити у вигляді точки (вектора) в n-мірному просторі, віддаленої від початку координат на відстані D,де
Сигнал тривалістю T с і шириною спектру F з, відповідно до теореми Котельникова визначається N відліками, де N = 2F c T c.
Цей сигнал може бути представлений точкою в n - мірному просторі або вектором, що з'єднує цю точку з початком координат [5].
Довжина цього вектора (норма) дорівнює:
де x i = x (n Dt) - значення сигналу в момент часу t = n. Dt.
Припустимо: X - передане повідомлення, а Y - прийняте. При цьому вони можуть бути представлені векторами (рис.3).
X2, Y2
x2 X
d
y2 Y
g
X1, Y1
0 a 1 a 2 x1 y1
Рис.3. Геометричне уявлення сигналів
Визначимо зв'язку між геометричним і фізичним представленням сигналів. Для кута між векторами X і Y можна записати
cos g = cos (a 1 - a 2) = cos a 1 cos a 2 + sin a 1 sin a 2 =
=
Для N - відліків:
cos g
Знайдемо модуль формального вектора. Для цього розглянемо квантів-ний сигнал (рис. 4).
X 0 D t t T |
Рис. 4. Графік сигналу
Рис.4. Графік сигналу
Середня потужність сигналу
Енергія сигналу
Енергія кванта
Енергію квантованного сигналу можна визначити за формулою
При цьому модуль сигналу дорівнює
Взаємна кореляційна функція дорівнює
При цьому
Це нормована кореляційна функція
Якщо g = 90 о, то r xy (t) = 0 - сигнали ортогональні, тобто незалежні;
Якщо g = 0, то r xy (t) = 1 - переданий сигнал дорівнює прийнятому;
Вектор d - характеризує (перешкоду) помилку. Визначимо дисперсію помилки:
За вектору помилки визначають, чи припустима її величина.
Список літератури
1. Hayes, MH Statistical Digital Signal Processing and Modeling. New York: John Wiley & Sons, 1996.2. Баскаков С.І. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Учеб. для вузів за спец. "Радіотехніка". - М.: Вищ. шк., 2000.
3. Голд Б., Рейдер Ч. Цифрова обробка сигналів / Пер. з англ., під ред.А.М. Трахтман. - М., "Рад. Радіо", 1973, 368 с.
4. Грінченка А.Г. Теорія інформації та кодування: Навч. посібник. - Харків: ХПУ, 2000.
5. Карташов В.Г. Основи теорії дискретних сигналів і цифрових фільтрів. - М.: Вищ. шк., 1982.
6. Колесник В.Д., Полтирев Г.Ш. Курс теорії інформації. -М.: Наука, 1982.
7. Купріянов М.С., Матюшкін Б.Д. - Цифрова обробка сигналів: процесори, алгоритми, засоби проектування. - СПб.: Політехніка, 1999.
8. Марпл С.Л. Цифровий спектральний аналіз. М.: Світ, 1990.
9. Рудаков П. І, Сафонов В.І. Обробка сигналів та зображень Matlab 5. x. Діалог-МІФІ. 2000.
10. Сергієнко А.Б. Цифрова обробка сигналів. - СПб.: Пітер, 2002.