Контрольна робота з дисципліни: Теорія ймовірностей
2009р.
Варіант 1.
Завдання № 1.
Умова: З 10 виробів, серед яких 4 браковані, витягають 3. Знайти ймовірність
того, що серед них одне браковане.
Рішення: Число
N всіх рівноймовірно результатів
випробування дорівнює числу способів, якими можна з 10 деталей вийняти три, тобто числу сполучень із 10 елементів по 3:
За умовами задачі з трьох витягнутих виробів одне браковане, а два придатні. Таким чином
m A: Знайдемо ймовірність події, при якому з 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою:
Відповідь: ймовірність події, при якому з 3 витягнутих навмання деталей одна виявиться бракованою дорівнює 0,5
Завдання № 2
Умова: Відомі ймовірності незалежних подій
А, В і
С: Р (А) = 0,5; Р (В) = 0,4; Р (С) = 0,6. Визначити ймовірність того, що а) відбудеться принаймні одне з цих подій, б) відбудеться не більше 2 подій.
Рішення: а) Для того щоб знайти ймовірність того, що станеться хоча б 1
подія, знайдемо ймовірність того, що жодна
подія не відбудеться (позначимо цю ймовірність
P 0). Оскільки події незалежні за умовою, ймовірність
P 0 дорівнює добутку ймовірностей того, що не відбудеться кожне окреме подія.
Таким чином, вірогідність того, що не відбудеться:
подія А: А 0 = 1 - 0,5 = 0,5
подія В: У 0 = 1 - 0,4 = 0,6
подія
З: З 0 = 1 - 0,6 - 0,4
Скористаємося правилом множення ймовірностей і отримаємо ймовірність того, що жодна подія не відбудеться:
P 0 =
А 0 * В 0 * З 0 =
0,5 * 0,6 * 0,4 = 0,12
Ситуація, при якій не відбудеться жодна подія, і
ситуація, при якій відбудеться хоча б одна подія, утворюють повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність
P задовольняє рівнянню:
P + P 0 = 1, звідки випливає, що
P = 1
- P 0 = 1 - 0,12 = 0,88.
б) Для того, щоб знайти ймовірність того, що відбудеться не більше 2 подій, знайдемо ймовірність того, що відбудуться всі три події, і позначимо як
Р 1: Р 1 = А * В * С = 0,5 * 0,4, * 0,6 = 0,12
Ситуація, при якій відбудуться всі 3 події, і ситуація, при якій відбудеться не більше 2 подій (від 0 до 2), складають повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність
P задовольняє рівнянню:
P + Р 1 = 1, звідки випливає, що
P = 1
- Р 1 = 1 - 0,12 = 0,88.
Відповідь: а) ймовірність того, що відбудеться принаймні одна подія, дорівнює 0,88
б) імовірність того, що відбудеться не більше двох подій, дорівнює 0,88
Завдання № 3
Умова: Вірогідність попадання в ціль: першого стрілка - 0,6; другого - 0,7; третього - 0,8. Знайти ймовірність хоча б одного влучення в ціль при одночасному
пострілі всіх трьох.
Рішення: Для того щоб знайти ймовірність попадання в ціль хоча б 1 стрілка, знайдемо ймовірність того, що жоден з стрільців не влучить у ціль (позначимо цю ймовірність через
P 0). Так як потрапляння різних стрільців в ціль слід вважати незалежними подіями, ймовірність
P 0 дорівнює добутку ймовірностей того, що промаже кожен зі стрільців.
Подія, що полягає в тому, що деякий стрілок влучить у ціль, і подія, що полягає в тому, що він промаже, складають повну систему подій. Сума ймовірностей двох цих подію дорівнює одиниці.
Таким чином, вірогідність того, що
А) промаже 1 стрілок дорівнює: 1 - 0,6 = 0,4
Б) промаже 2 стрілок дорівнює: 1 - 0,7 = 0,3
В) промаже 3 стрілок дорівнює: 1 - 0,8 = 0,2
Скористаємося правилом множення ймовірностей і отримаємо ймовірність того, що промажут всі троє стрільців:
P 0 = 0,4 * 0,3 * 0,2 = 0,024
Подія, що полягає в тому, що не потрапить у ціль жоден із стрільців, і подія, що полягає в тому, що потрапить хоча б один, утворюють повну систему подій. Сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці. Тому шукана ймовірність
P задовольняє рівнянню:
P + P 0 = 1, звідки випливає, що
P = 1
- P 0 = 1 - 0,024 = 0,976
Відповідь: вірогідність попадання в ціль хоча б одного стрільця при одночасному пострілі всіх трьох дорівнює 0,976 (або 97,6%)
Завдання № 4
Умова: Відомо, що 80% продукції
стандартно. Спрощений
контроль визнає придатної
стандартну продукцію з імовірністю 0,9 і нестандартну з імовірністю 0,3. Знайти ймовірність того, що визнане придатним виріб - стандартно.
Рішення: 1) Знайдемо ймовірність того, що
стандартна продукція буде визнана придатною:
Р1 = 0,8 * 0,9 = 0,72 (72% продукції)
2) Знайдемо ймовірність того, що нестандартна продукція буде визнана придатною:
Р2 = 0,2 * 0,3 = 0,06 (6% продукції)
3) Таким чином, спрощений контроль визнає придатної Р1 + Р2 = 0,82 (82% продукції)
4) Знайдемо ймовірність того, що визнане придатним виріб - стандартно:
0,8 * 0,82 = 0,656
Відповідь: вірогідність того, що визнане придатним виріб - стандартно, дорівнює 0,656.
Завдання № 5
Умова: Є 4 радіолокатора. Імовірність виявити мету для першого - 0,86; для другого - 0,9; для третього - 0,92; для четвертого - 0,95. Включений один з них. Яка ймовірність знайти мета?
Рішення: Позначимо через А подію - мета виявлена, а можливі події (гіпотези) виявлення цілі 1-м, 2-м, 3-м або 4-м локаторами - через,
відповідно, В
1, В
2, В
3 і В
4. За умовами задачі включений один з чотирьох локаторів, отже, ймовірність виявлення цілі:
Р (В
1) = Р (В
2) = Р (В
3) = Р (В
4) = 1 \ 4.
Відповідні умовні ймовірності (за умовою завдання) виявлення мети рівні:
Р (A | У
1) = 0,86; Р (A | У
2) = 0,9; Р (A | У
3) = 0,92; Р (A | У
4) = 0,95.
Таким чином, згідно з формулою повної ймовірності, шукана ймовірність виявлення цілі дорівнює:
Відповідь: ймовірність виявлення цілі дорівнює 0,9075
Варіант 1.
Завдання № 1.
Умова: Відома ймовірність події А:
р (А) = 0,3. Дискретна випадкова величина x - число появ
А в трьох дослідах. Побудувати ряд розподілу випадкової величини x; знайти її
математичне сподівання
m x і дисперсію
D x. Рішення: 1) Обчислимо ймовірності
р (х i) за формулою Бернуллі:
, Де,
р = 0,3;
q = 1 -
р = 0,7;
n = 3;
х = x.
Таким чином, одержимо ряд розподілу випадкової величини x:
Значення x
| 0
| 1
| 2
| 3
|
Ймовірності р (х i)
| 0,343
| 0,441
| 0,189
| 0,027
|
Графічно ряд розподілу випадкової величини x виглядає наступним чином:
2) Знайдемо
математичне сподівання
m x: Математичним очікуванням
m x дискретної випадкової величини
називається сума парних творів усіх можливих значень випадкової величини на
відповідні їм ймовірності, тобто
3) Знайдемо дисперсію
D x: Дисперсією
D x дискретної випадкової величини
називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, тобто:
Відповідь: Ряд розподілу випадкової величини x:
Значення x
| 0
| 1
| 2
| 3
|
Ймовірності р (х i)
| 0,343
| 0,441
| 0,189
| 0,027
|
математичне сподівання m x = 0,9;
дисперсія D x = 0,63
Завдання № 2
Умова: Розподіл дискретної випадкової величини x містить невідомі значення х
1 і х
2 (х
1 <х
2): Відомі числові характеристики випадкової величини: М
x = 3,6; D
x = 0,24. Потрібно визначити значення х
1 і х
2. Рішення: Оскільки
, 0,4 х
1 + 0,6 х
2 = 3,6
Для того, щоб знайти х
1 і х
2, необхідно вирішити систему рівнянь:
Висловимо з першого рівняння х
1 і
підставимо в друге:
Вирішуємо друге рівняння:
Помножимо весь рядок на 5:
Помножимо весь рядок на 2:
Розділимо на 3:
Враховуючи умова х
1 <х
2, отримуємо, що підходить тільки 1 варіант.
Відповідь: х
1 = 3, х
2 = 4
Завдання № 3
Умова Щільність ймовірності неперервної випадкової величини x задана наступним виразом:
якщо 0
<x <1, при інших
х Знайти постійну С, функцію розподілу F (x),
математичне сподівання М
x і дисперсію D
x випадкової величини x.
Рішення: Властивість щільності розподілу:
,
Отримуємо, що С = 3.
,
Математичне сподівання:
Дисперсія:
Відповідь: З = 3, М = ѕ, D = 3 / 80
Завдання № 4.
Умова: Випадкова величина x має нормальний розподіл з
математичним очікуванням
a = 56 і середньоквадратичним відхиленням s = 8. Знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання, вірогідність попадання в який дорівнює
Р = 0,95
Рішення: Оскільки, за умовою задачі, випадкова величина x має нормальний розподіл, а також відома ймовірність Р = 0,95, то є можливим використання правила трьох сигм, а
саме даної його частини:
Підставивши наявні за умовою завдання дані, отримаємо наступний інтервал, симетричний відносно математичного сподівання:
.
Відповідь: .
Завдання № 5.
Умова: Відомо розподіл системи двох дискретних величин (x, h).
x h
| 1
| 2
| 3
| 4
|
0
| 0,16
| 0,12
| 0,14
| 0,08
|
1
| 0,08
| 0,10
| 0,09
| 0,08
|
2
| 0,06
| 0,04
| 0,03
| 0,02
|
Визначити приватні, умовні (при x = 1, h = 0) розподілу та числові характеристики системи випадкових величин m
x, D
x, m
h, D
h, K
x, h, r
x, h; а також знайти ймовірність попадання двовимірної випадкової величини (x, h) в область
.
Рішення: Приватне розподіл для x виходить підсумовуванням ймовірностей у стовпцях:
Р (x = 1) = Р (x = 1, h = 0) + Р (x = 1, h = 1) + Р (x = 1, h = 2) = 0,16 + 0,08 + 0, 06 = 0,3
Р (x = 2) = Р (x = 2, h = 0) + Р (x = 2, h = 1) + Р (x = 2, h = 2) = 0,12 + 0,10 + 0, 04 = 0,26
Р (x = 3) = Р (x = 3, h = 0) + Р (x = 3, h = 1) + Р (x = 3, h = 2) = 0,14 + 0,09 + 0, 03 = 0,26
Р (x = 4) = Р (x = 4, h = 0) + Р (x = 4, h = 1) + Р (x = 4, h = 2) = 0,08 + 0,08 + 0, 02 = 0,18
Приватне розподіл для h виходить підсумовуванням ймовірностей у рядках:
Р (h = 0) = Р (h = 0, x = 1) + Р (h = 0, x = 2) + Р (h = 0, x = 3) + Р (h = 0, x = 4) = 0,16 + 0,12 + 0,14 + 0,08 = 0,5
Р (h = 1) = Р (h = 1, x = 1) + Р (h = 1, x = 2) + Р (h = 1, x = 3) + Р (h = 1, x = 4) = 0,08 + 0,10 + 0,09 + 0,08 = 0,35
Р (h = 2) = Р (h = 2, x = 1) + Р (h = 2, x = 2) + Р (h = 2, x = 3) + Р (h = 2, x = 4) = 0,06 + 0,04 + 0,03 + 0,02 = 0,15
Отримані дані можна представити у вигляді таблиці:
x h
| 1
| 2
| 3
| 4
| |
0
| 0,16
| 0,12
| 0,14
| 0,08
| 0,5
|
1
| 0,08
| 0,10
| 0,09
| 0,08
| 0,35
|
3
| 0,06
| 0,04
| 0,03
| 0,02
| 0,15
|
| 0,3
| 0,26
| 0,26
| 0,18
| |
Обчислимо математичне сподівання m
x: Обчислимо математичне сподівання m
h: Обчислимо дисперсію D
x: Обчислимо дисперсію D
h: Умовне розподіл x / h = 0:
Умовний розподіл h / x = 1:
Обчислимо ковариацию K
x, h: Обчислимо коефіцієнт кореляції r
x, h: Вірогідність потрапляння двовимірної випадкової величини (x, h) в область:
- Еліпс.
x h
| 1
| 2
| 3
| 4
|
0
| 0,16
| 0,12
| 0,14
| 0,08
|
1
| 0,08
| 0,10
| 0,09
| 0,08
|
2
| 0,06
| 0,04
| 0,03
| 0,02
|
До необхідного умові підходять тільки точки (1; 0) і (2;)
Відповідь: m
x = 2,32, D
x = 1,1776, m
h = 0,80, D
h = 1,06, K
x, h = - 0,056, r
x, h = - 0,0501.
Вірогідність потрапляння двовимірної випадкової величини (x, h) в область:
= 0,028 (2,8%).