[
Доказ сильної гіпотези Гольдбаха Ейлера
]
©
Н.М. Козій, 2008, [UA]
Свідоцтво
України
№ 25256
про реєстрацію авторського права
ДОКАЗ СИЛЬНОЇ гіпотезою Гольдбаха-Ейлера
Сильна гіпотеза Гольдбаха-Ейлера формулюється наступним чином: будь-яке парне число, більше двох, дорівнює сумі двох простих чисел:
N = A + B,
де:
А
і
В
- прості числа.
ДОКАЗ
Напишемо арифметичну прогресію: Р = [1, 2, 3, 4, 5 ... N]
Очевидно, що:
- Кількість членів прогресії дорівнює N;
- Кількість парних і непарних членів прогресії однаково одно:
n = 0, 5 N.
Напишемо зростаючу
V
і убуває
U
арифметичні прогресії з непарних чисел прогресії
Р
для випадку, коли
n
- Парне число:
V = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1, 0,5 N +1 ... N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 ... 0,5 N +1, 0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1]
Очевидно, що частина прогресії
U:
U
1
= [N-1, N-3 ... 0,5 N +1]
являє собою
дзеркальне
розташування членів прогресії
V:
V
1
= [0,5 N +1 ... N-3, N-1],
а частина прогресії
U:
U
2
= [0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії
V:
V
2
= [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1].
Виходячи з цього для числа
N
при
n
- Парному запишемо:
V
0
= [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1]
U
0
= [0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1].
При цьому:
V
0i
+ U
0i
= N,
де
V
0
i
і
U
0 i
-
I
-
ті члени прогресій
V
0
і
U
0.
При
n
- Парному кількість членів прогресії
V
0
дорівнює кількості членів
прогресії
U
0
і дорівнює:
K
= 0,5 ∙
n = 0,25 · N.
/ 1 /
Напишемо зростаючу
V
і убуває
U
арифметичні прогресії з непарних чисел прогресії
Р
для випадку, коли
n
- Непарне число:
V = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N ... N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 ... 0,5 N ... 7, 5, 3, 1]
Очевидно, що частина прогресії
U:
U
3
= [N-1, N-3 ... 0,5 N]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії
V
:
V
3
= [0,5 ... N-3, N-1],
а частина прогресії
U:
U
4
= [0,5 N ... 7, 5, 3, 1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії
V:
V
4
= [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N].
Виходячи з цього для числа
N
при
n
- Непарній запишемо:
V
0
= [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N]
U
0
= [0,5 N ... 7, 5, 3, 1].
При цьому:
V
0i
+ U
0i
= N,
де
V
0
i
і
U
0 i
-
I
-
ті члени прогресій
V
0
і
U
0.
При
n
-Непарній кількість членів прогресії
V
0
дорівнює кількості членів
прогресії
U
0
і дорівнює:
К
= 0,5 ·
(n
+1) = 0,25 ·
(N
+ 2).
/ 2 /
Кількість пар чисел
V
0
i
+ U
0 i
прогресій
V
0
і
U
0
одно:
П = К.
У загальному випадку позначимо:
Z
pv
-
кількість простих чисел в прогресії
V
0;
Z
sv
-
кількість складених чисел в прогресії
V
0;
Z
pu
-
кількість простих чисел в прогресії
U
0;
Z
su
-
Кількість складених чисел в прогресії
U
0;
П
s / v
- кількість пар чисел
V
0
i
+ U
0 i,
що складаються із складених чисел прогресії
U
0
і простих
чисел прогресії
V
0;
П
s / u
- кількість пар чисел
V
0
i
+ U
0 i,
що складаються із складених чисел прогресії
V
0
і простих
чисел прогресії
U
0;
П
р
-
кількість пар чисел
V
0
i
+ U
0 i,
що складаються з простих
чисел прогресій
V
0
і
U
0.
Очевидно, що:
П = К = Z
pv
+ Z
sv
= Z
pu
+ Z
su;
/ 3 /
Z
sv
= K - Z
pv;
Z
su
= K - Z
pu.
З аналізу значень числа
N
з використанням
таблиці
простих чисел слід:
-Для чисел
N
≤ 116: Z
pv>
Z
su;
Z
pu>
Z
sv;
-
Для чисел
N = 118 ... 136: Z
pv
= Z
su;
Z
pu
=
Z
sv;
-
Для чисел
N ≥ 138: Z
pv
<Z
su;
Z
pu
<Z
sv.
Складемо прогресії
V
0
і
U
0
для довільно взятих чисел
N,
розділимо їх на подпрогрессіі,
встановимо
значення величин
Z
pv,
Z
sv,
Z
pu,
Z
su,
П
s / v,
П
s / u,
П
р
і співвідношення між ними як для прогресій
V
0
і
U
0
в цілому, так і для вхідних в них подпрогрессій.
ПРИКЛАД 1. N = 120; n = 0,5 N = 0,5 · 120 = 60 -
парне число.
Відповідно
до залежностями / 1 / і / 3 / кількість пар чисел
V
0 i
+ U
0 i
одно:
П = К = 0,25 · N = 0,25 ∙ 120 = 30.
V
0
=
{V
01
=
[1 3 5 7
9
11 13]
V
02
= [15
17 19
21
23]
V
03
= [25
27]
U
0
=
{U
01
= [119 117 115
113
111
109
107]
U
02
= [105
103
101
99
97]
U
03
= [95 93]
П
р
* * * * * *
V
04
=
[29 31]
V
05
= [33
35]
V
06
=
[37
39
41 43
45
47]
V
07
= [49
51
53]
U
04
= [91
89]
U
05
= [87
85]
U
06
=
[83
81
79
77 75
73]
U
07
=
[71
69
67]
П
р
* * * * *
V
08
= [55
57
59]}.
U
08
= [65
63
61]}.
П
р
*
Прості числа набрані жирним шрифтом курсивом.
*- Пари простих чисел.
Для прогресій
V
0
і
U
0
в цілому маємо:
Z
pv
= 17, Z
sv
= 13, Z
pv
= Z
su,
П
s / v
= 5, П
s / v
≠
П
s / u
,
Z
pu
= 13, Z
su
= 17, Z
pu
= Z
sv,
П
s / u
= 1, П
р
= 12.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 17 - 5 = 12;
R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 13 - 1 = 12.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід:
R
v
= R
u
=
П
р
= 12.
Для подпрогрессій
V
01
і
U
01
маємо:
Z
pv
= 6, Z
sv
= 1, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 3, П
s / v
≠
П
s / u,
Z
pu
= 3, Z
su
= 4, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 0, П
р
= 3.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 6 - 3 = 3; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 3.
Для подпрогрессій
V
02
і
U
02
маємо:
Z
pv
= 3, Z
sv
= 2, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 0, П
s / v
=
П
s / u
= 0,
Z
pu
= 3, Z
su
= 2, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 0, П
р
= 3.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 3 - 0 = 3; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 3.
Для подпрогрессій
V
04
і
U
04
маємо:
Z
pv
= 2, Z
sv
= 0, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 1, П
s / v
≠
П
s / u,
Z
pu
= 1, Z
su
= 1, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 0, П
р
= 1.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 2 - 1 = 1; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 1.
Для подпрогрессій
V
06
і
U
06
маємо:
Z
pv
= 4, Z
sv
= 2, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 1, П
s / v
≠
П
s / u,
Z
pu
= 3, Z
su
= 3, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 0, П
р
= 3.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 4 - 1 = 3; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 3.
Для подпрогрессій
V
07
і
U
07
маємо:
Z
pv
= 1, Z
sv
= 2, Z
pv
= Z
su,
П
s / v
= 0, П
s / v
≠
П
s / u
,
Z
pu
= 2, Z
su
= 1, Z
pu
= Z
sv,
П
s / u
= 1, П
р
= 1.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 1 - 0 = 1; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 2 - 1 = 1.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 1.
Для подпрогрессій
V
08
і
U
08
маємо:
Z
pv
= 1, Z
sv
= 2, Z
pv
<Z
su,
П
s / v
= 0, П
s / v
=
П
s / u
= 0,
Z
pu
= 1, Z
su
= 2, Z
pu
<Z
sv,
П
s / u
= 0, П
р
= 1.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 1 - 0 = 1; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 1.
ПРИКЛАД 2. N = 154; n = 0,5 N = 0,5 · 154 = 77 -
непарне число.
Відповідно
до залежностями / 2 / і / 3 / кількість пар чисел
V
0 i
+ U
0 i
одно:
П = К
= 0,5
(n
+1) = 0,25
(N
+ 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V
0
= {V
01
=
[1 3 5 7
9]
V
02
=
[11 13
15
17 19
21
23]
»
U
0
=
{U
01
=
[153
151
149
147 145]
U
02
=
[143 141
139 137
135 133
131]
»
П
р
* * * *
V
03
= [25 27
29 31
33 35
37
39]
V
04
=
[41 43
45
47
49 51
53]
U
03
=
[129
127
125 123 121 119 117 115]
U
04
=
[113
111
109 107
105
103
101]
П
р
* * *
»V
05
=
[55 57
59 61
63 65
67
69]
V
06
=
[71 73]
V
07
=
[75 77]}.
»U
05
=
[99
97
95 93 91
89
87 85]
U
06
=
[83
81]
U
07
=
[79
77]}.
П
р
*
Прості числа набрані жирним шрифтом курсивом.
*- Пари простих чисел.
Для прогресій
V
0
і
U
0
в цілому маємо:
Z
pv
= 21, Z
sv
= 18, Z
pv
<Z
su,
П
s / v
= 13, П
s / v
≠
П
s / u,
Z
pu
= 15, Z
su
= 24, Z
pu
<Z
sv,
П
s / u
= 7, П
р
= 8.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 21 - 13 = 8; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 15 - 7 = 8.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 8.
Для подпрогрессій
V
01
і
U
01
маємо:
Z
pv
= 4, Z
sv
= 1, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 2, П
s / v
≠
П
s / u
,
Z
pu
= 2, Z
su
= 3, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 0, П
р
= 2.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 4 - 2 = 2; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 2 - 0 = 2.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 2.
Для подпрогрессій
V
02
і
U
02
маємо:
Z
pv
= 5, Z
sv
= 2, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 3, П
s / v
≠
П
s / u
,
Z
pu
= 3, Z
su
= 1, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 1, П
р
= 2.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 5 - 3 = 2; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 3 - 1 = 2.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 2.
Для подпрогрессій
V
04
і
U
04
маємо:
Z
pv
= 4, Z
sv
= 3, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 1, П
s / v
≠
П
s / u
,
Z
pu
= 5, Z
su
= 2, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 2, П
р
= 3.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 4 - 1 = 3;
R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 5 - 2 = 3.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 3.
Для подпрогрессій
V
06
і
U
06
маємо:
Z
pv
= 2, Z
sv
= 0, Z
pv>
Z
su,
П
s / v
= 1, П
s / v
≠
П
s / u
,
Z
pu
= 1, Z
su
= 1, Z
pu>
Z
sv,
П
s / u
= 0, П
р
= 1.
Визначимо різниці:
R
v
= Z
pv
- П
s / v
= 2 - 1 = 1; R
u
= Z
pu
- П
s / u
= 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R
v
, R
u
і
П
р
слід: R
v
= R
u
=
П
р
= 1.
З аналізу наведених прогресій і входять до їх складу подпрогрессій випливають певні варіанти поєднань величин
Z
pv,
Z
sv,
Z
pu,
Z
su,
П
s / v,
П
s / u,
при яких прогресії і входять до них подпрогрессіі містять пари простих чисел
V
0
i
+ U
0 i,
що задовольняють умові:
V
0 i
+ U
0 i
= N:
Варіант 1:
Z
pv
= Z
pu,
Z
sv
= Z
su,
Z
pv>
Z
su,
Z
pu>
Z
sv,
П
s / v
= П
s / u
= 0 (подпрогрессія V
02
-
U
02
для числа N = 120);
Варіант 2:
Z
pv
= Z
pu,
Z
sv
= Z
su,
Z
pv
<Z
su,
Z
pu
<Z
sv,
П
s / v
= П
s / u
= 0
(подпрогрессіяV
08
-
U
08
для числа N = 120);
Варіант 3:
Z
pv>
Z
pu,
Z
sv
<Z
su,
Z
pv>
Z
su,
Z
pu>
Z
sv,
П
s / v>
П
s / u
(подпрогрессіі
V
01
-
U
01,
V
04
-
U
04,
V
06
-
U
06
для числа N = 120 і подпрогрессіі V
01
-
U
01,
V
06
-
U
06
для числа 154);
Варіант 4:
Z
pv>
Z
pu,
Z
sv
<Z
su,
Z
pv
=Z
su,
Z
pu
=Z
sv,
П
s / v>
П
s / u
(прогресія V
0
-
U
0
для числа N = 120);
Варіант 5:
Z
pv>
Z
pu,
Z
sv>
Z
su,
Z
pv>
Z
su,
Z
pu>
Z
sv,
П
s / v>
П
s / u
(подпрогрессія V
02
-
U
02
для числа N = 154);
Варіант 6:
Z
pv
<Z
pu,
Z
sv>
Z
su,
Z
pv
= Z
su,
Z
pu
= Z
sv,
П
s / v
<П
s / u
(подпрогрессія V
07
-
U
07
для числа N = 120);
Варіант 7:
Z
pv
<Z
pu,
Z
sv>
Z
su,
Z
pv>
Z
su,
Z
pu>
Z
sv,
П
s / v
<П
s / u
(подпрогрессія V
04
-
U
04
для числа N = 154);
Варіант 8:
Z
pv>
Z
pu,
Z
sv
<Z
su,
Z
pv
<Z
su,
Z
pu
<Z
sv,
П
s / v>
П
s / u
(прогресія V
0
-
U
0
для числа N = 154).
У розглянутих варіантах переважає варіант 3 (у 5 з 12 подпрогрессій). Ймовірно, що можливі й інші варіанти поєднань величин
Z
pv,
Z
sv,
Z
pu,
Z
su,
П
s
/ v,
П
s / u.
Значення кількості пар
П
p
простих чисел для деяких парних чисел
N
(кількості
П
p
наведені в дужках поряд з числами
N):
80 (5), 82 (5), 84 (8), 86 (5), 88 (4), 90 (10), 120 (12), 138 (5), 150 (13), 154 (8), 180 (15), 184 (8), 222 (11), 226 (7), 228 (13), 336 (19), 644 (17), 1000 (28), 1312 (22).
З аналізу наведених даних випливає, що суворої залежності між значеннями парних чисел
N
і кількістю пар
П
p
простих чисел для них не існує, але простежується закономірність,
відповідно
до якої з істотним збільшенням значень числа
N
збільшується кількість пар
П
p
для них.
З викладеного випливає, що будь-яке парне число
N> 4
дорівнює сумі двох і більше пар
П
p
простих чисел за умови, що ці числа можуть бути рівні. Приклади:
6 = 1 +5 = 3 +3; 8 = 1 +7 = 3 +5; 10 = 3 +7 = 5 +5; 12 = 1 +11 = 5 +7, 14 = 1 +13 = 3 +11 = 7 +7.
ДОКАЗ СЛАБКО
ГІПОТЕЗИ Гольдбаха
Слабка гіпотеза Гольдбаха формулюється наступним чином: будь-яке непарне число
М,
більше семи, представимо у вигляді суми трьох непарних простих чисел:
М =
A
+
B
+
C,
де: A, B і C - прості числа.
При цьому:
A
≠ B
≠ З
ДОКАЗ
Позначимо:
A + B = N.
Очевидно, що N - парне число.
Тоді:
M = N + C.
Звідси:
N = M - C.
Вирахувавши з будь-якого непарного числа просте число, отримаємо парне число. Вище при доказі сильної гіпотези Гольдбаха-Ейлера доведено, що будь-яке парне число, більше двох, дорівнює сумі однієї пари або декількох пар простих чисел. Отже, будь-яке непарне число М, більше семи, так само:
M = N + C = A + B + С,
де:
A,
B
і
C
- Прості числа.
При цьому:
A
≠ B
≠ З
Автор: Козій
Микола
Михайлович, інженер-механік
E-mail: nik_krm@mail.ru
umbolic@gmail.com
Будь ласка, не зберігайте тестовий текст.
Ваш ip: 18.217.144.32 буде збережений.
категорії
за типом
за алфавітом
завантажені
© Усі права захищені
написати до нас