© Н.М. Козій, 2008, [UA]
Свідоцтво України № 25256
про реєстрацію авторського права
ДОКАЗ СИЛЬНОЇ гіпотезою Гольдбаха-Ейлера
Сильна гіпотеза Гольдбаха-Ейлера формулюється наступним чином: будь-яке парне число, більше двох, дорівнює сумі двох простих чисел:
N = A + B,
де: А і В - прості числа.
ДОКАЗ
Напишемо арифметичну прогресію: Р = [1, 2, 3, 4, 5 ... N]
Очевидно, що:
- Кількість членів прогресії дорівнює N;
- Кількість парних і непарних членів прогресії однаково одно:
n = 0, 5 N.
Напишемо зростаючу V і убуває U арифметичні прогресії з непарних чисел прогресії Р для випадку, коли n - Парне число:
V = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1, 0,5 N +1 ... N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 ... 0,5 N +1, 0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1]
Очевидно, що частина прогресії U:
U 1 = [N-1, N-3 ... 0,5 N +1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V:
V 1 = [0,5 N +1 ... N-3, N-1],
а частина прогресії U:
U 2 = [0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V:
V 2 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1].
Виходячи з цього для числа N при n - Парному запишемо:
V 0 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1]
U 0 = [0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1].
При цьому:
V 0i + U 0i = N,
де V 0 i і U 0 i - I - ті члени прогресій V 0 і U 0.
При n - Парному кількість членів прогресії V 0 дорівнює кількості членів прогресії U 0 і дорівнює:
K = 0,5 ∙ n = 0,25 · N. / 1 /
Напишемо зростаючу V і убуває U арифметичні прогресії з непарних чисел прогресії Р для випадку, коли n - Непарне число:
V = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N ... N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 ... 0,5 N ... 7, 5, 3, 1]
Очевидно, що частина прогресії U:
U 3 = [N-1, N-3 ... 0,5 N]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V :
V 3 = [0,5 ... N-3, N-1],
а частина прогресії U:
U 4 = [0,5 N ... 7, 5, 3, 1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V:
V 4 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N].
Виходячи з цього для числа N при n - Непарній запишемо:
V 0 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N]
U 0 = [0,5 N ... 7, 5, 3, 1].
При цьому:
V 0i + U 0i = N,
де V 0 i і U 0 i - I - ті члени прогресій V 0 і U 0.
При n -Непарній кількість членів прогресії V 0 дорівнює кількості членів прогресії U 0 і дорівнює:
К = 0,5 · (n +1) = 0,25 · (N + 2). / 2 /
Кількість пар чисел V 0 i + U 0 i прогресій V 0 і U 0 одно: П = К.
У загальному випадку позначимо:
Z pv - кількість простих чисел в прогресії V 0;
Z sv - кількість складених чисел в прогресії V 0;
Z pu - кількість простих чисел в прогресії U 0;
Z su - Кількість складених чисел в прогресії U 0;
П s / v - кількість пар чисел V 0 i + U 0 i, що складаються із складених чисел прогресії U 0 і простих чисел прогресії V 0;
П s / u - кількість пар чисел V 0 i + U 0 i, що складаються із складених чисел прогресії V 0 і простих чисел прогресії U 0;
П р - кількість пар чисел V 0 i + U 0 i, що складаються з простих чисел прогресій V 0 і U 0.
Очевидно, що:
П = К = Z pv + Z sv = Z pu + Z su; / 3 /
Z sv = K - Z pv; Z su = K - Z pu.
З аналізу значень числа N з використанням таблиці простих чисел слід:
-Для чисел N ≤ 116: Z pv> Z su; Z pu> Z sv;
- Для чисел N = 118 ... 136: Z pv = Z su; Z pu = Z sv;
- Для чисел N ≥ 138: Z pv <Z su; Z pu <Z sv.
Складемо прогресії V 0 і U 0 для довільно взятих чисел N, розділимо їх на подпрогрессіі, встановимо значення величин Z pv, Z sv, Z pu, Z su, П s / v, П s / u, П р і співвідношення між ними як для прогресій V 0 і U 0 в цілому, так і для вхідних в них подпрогрессій.
ПРИКЛАД 1. N = 120; n = 0,5 N = 0,5 · 120 = 60 - парне число.
Відповідно до залежностями / 1 / і / 3 / кількість пар чисел V 0 i + U 0 i одно:
П = К = 0,25 · N = 0,25 ∙ 120 = 30.
V 0 = {V 01 = [1 3 5 7 9 11 13] V 02 = [15 17 19 21 23] V 03 = [25 27]
U 0 = {U 01 = [119 117 115 113 111 109 107] U 02 = [105 103 101 99 97] U 03 = [95 93]
П р * * * * * *
V 04 = [29 31] V 05 = [33 35] V 06 = [37 39 41 43 45 47] V 07 = [49 51 53]
U 04 = [91 89] U 05 = [87 85] U 06 = [83 81 79 77 75 73] U 07 = [71 69 67]
П р * * * * *
V 08 = [55 57 59]}.
U 08 = [65 63 61]}.
П р *
Прості числа набрані жирним шрифтом курсивом.
*- Пари простих чисел.
Для прогресій V 0 і U 0 в цілому маємо:
Z pv = 17, Z sv = 13, Z pv = Z su, П s / v = 5, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 13, Z su = 17, Z pu = Z sv, П s / u = 1, П р = 12.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 17 - 5 = 12;
R u = Z pu - П s / u = 13 - 1 = 12.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід:
R v = R u = П р = 12.
Для подпрогрессій V 01 і U 01 маємо:
Z pv = 6, Z sv = 1, Z pv> Z su, П s / v = 3, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 3, Z su = 4, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 6 - 3 = 3; R u = Z pu - П s / u = 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 02 і U 02 маємо:
Z pv = 3, Z sv = 2, Z pv> Z su, П s / v = 0, П s / v = П s / u = 0,
Z pu = 3, Z su = 2, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 3 - 0 = 3; R u = Z pu - П s / u = 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 04 і U 04 маємо:
Z pv = 2, Z sv = 0, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 1, Z su = 1, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 2 - 1 = 1; R u = Z pu - П s / u = 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
Для подпрогрессій V 06 і U 06 маємо:
Z pv = 4, Z sv = 2, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 3, Z su = 3, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 4 - 1 = 3; R u = Z pu - П s / u = 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 07 і U 07 маємо:
Z pv = 1, Z sv = 2, Z pv = Z su, П s / v = 0, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 2, Z su = 1, Z pu = Z sv, П s / u = 1, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 1 - 0 = 1; R u = Z pu - П s / u = 2 - 1 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
Для подпрогрессій V 08 і U 08 маємо:
Z pv = 1, Z sv = 2, Z pv <Z su, П s / v = 0, П s / v = П s / u = 0,
Z pu = 1, Z su = 2, Z pu <Z sv, П s / u = 0, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 1 - 0 = 1; R u = Z pu - П s / u = 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
ПРИКЛАД 2. N = 154; n = 0,5 N = 0,5 · 154 = 77 - непарне число.
Відповідно до залежностями / 2 / і / 3 / кількість пар чисел V 0 i + U 0 i одно:
П = К = 0,5 (n +1) = 0,25 (N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V 0 = {V 01 = [1 3 5 7 9] V 02 = [11 13 15 17 19 21 23] »
U 0 = {U 01 = [153 151 149 147 145] U 02 = [143 141 139 137 135 133 131] »
П р * * * *
V 03 = [25 27 29 31 33 35 37 39] V 04 = [41 43 45 47 49 51 53]
U 03 = [129 127 125 123 121 119 117 115] U 04 = [113 111 109 107 105 103 101]
П р * * *
»V 05 = [55 57 59 61 63 65 67 69] V 06 = [71 73] V 07 = [75 77]}.
»U 05 = [99 97 95 93 91 89 87 85] U 06 = [83 81] U 07 = [79 77]}.
П р *
Прості числа набрані жирним шрифтом курсивом.
*- Пари простих чисел.
Для прогресій V 0 і U 0 в цілому маємо:
Z pv = 21, Z sv = 18, Z pv <Z su, П s / v = 13, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 15, Z su = 24, Z pu <Z sv, П s / u = 7, П р = 8.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 21 - 13 = 8; R u = Z pu - П s / u = 15 - 7 = 8.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 8.
Для подпрогрессій V 01 і U 01 маємо:
Z pv = 4, Z sv = 1, Z pv> Z su, П s / v = 2, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 2, Z su = 3, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 2.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 4 - 2 = 2; R u = Z pu - П s / u = 2 - 0 = 2.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 2.
Для подпрогрессій V 02 і U 02 маємо:
Z pv = 5, Z sv = 2, Z pv> Z su, П s / v = 3, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 3, Z su = 1, Z pu> Z sv, П s / u = 1, П р = 2.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 5 - 3 = 2; R u = Z pu - П s / u = 3 - 1 = 2.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 2.
Для подпрогрессій V 04 і U 04 маємо:
Z pv = 4, Z sv = 3, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 5, Z su = 2, Z pu> Z sv, П s / u = 2, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 4 - 1 = 3;
R u = Z pu - П s / u = 5 - 2 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 06 і U 06 маємо:
Z pv = 2, Z sv = 0, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 1, Z su = 1, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 2 - 1 = 1; R u = Z pu - П s / u = 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
З аналізу наведених прогресій і входять до їх складу подпрогрессій випливають певні варіанти поєднань величин Z pv, Z sv, Z pu, Z su, П s / v, П s / u, при яких прогресії і входять до них подпрогрессіі містять пари простих чисел V 0 i + U 0 i, що задовольняють умові:
V 0 i + U 0 i = N:
Варіант 1: Z pv = Z pu, Z sv = Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v = П s / u = 0 (подпрогрессія V 02 - U 02 для числа N = 120);
Варіант 2: Z pv = Z pu, Z sv = Z su, Z pv <Z su, Z pu <Z sv, П s / v = П s / u = 0 (подпрогрессіяV 08 - U 08 для числа N = 120);
Варіант 3: Z pv> Z pu, Z sv <Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v> П s / u (подпрогрессіі V 01 - U 01, V 04 - U 04, V 06 - U 06 для числа N = 120 і подпрогрессіі V 01 - U 01, V 06 - U 06 для числа 154);
Варіант 4: Z pv> Z pu, Z sv <Z su, Z pv =Z su, Z pu =Z sv, П s / v> П s / u (прогресія V 0 - U 0 для числа N = 120);
Варіант 5: Z pv> Z pu, Z sv> Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v> П s / u (подпрогрессія V 02 - U 02 для числа N = 154);
Варіант 6: Z pv <Z pu, Z sv> Z su, Z pv = Z su, Z pu = Z sv, П s / v <П s / u (подпрогрессія V 07 - U 07 для числа N = 120);
Варіант 7: Z pv <Z pu, Z sv> Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v <П s / u (подпрогрессія V 04 - U 04 для числа N = 154);
Варіант 8: Z pv> Z pu, Z sv <Z su, Z pv <Z su, Z pu <Z sv, П s / v> П s / u (прогресія V 0 - U 0 для числа N = 154).
У розглянутих варіантах переважає варіант 3 (у 5 з 12 подпрогрессій). Ймовірно, що можливі й інші варіанти поєднань величин Z pv, Z sv, Z pu, Z su, П s / v, П s / u.
Значення кількості пар П p простих чисел для деяких парних чисел N (кількості П p наведені в дужках поряд з числами N):
80 (5), 82 (5), 84 (8), 86 (5), 88 (4), 90 (10), 120 (12), 138 (5), 150 (13), 154 (8), 180 (15), 184 (8), 222 (11), 226 (7), 228 (13), 336 (19), 644 (17), 1000 (28), 1312 (22).
З аналізу наведених даних випливає, що суворої залежності між значеннями парних чисел N і кількістю пар П p простих чисел для них не існує, але простежується закономірність, відповідно до якої з істотним збільшенням значень числа N збільшується кількість пар П p для них.
З викладеного випливає, що будь-яке парне число N> 4 дорівнює сумі двох і більше пар П p простих чисел за умови, що ці числа можуть бути рівні. Приклади:
6 = 1 +5 = 3 +3; 8 = 1 +7 = 3 +5; 10 = 3 +7 = 5 +5; 12 = 1 +11 = 5 +7, 14 = 1 +13 = 3 +11 = 7 +7.
ДОКАЗ СЛАБКО ГІПОТЕЗИ Гольдбаха
Слабка гіпотеза Гольдбаха формулюється наступним чином: будь-яке непарне число М, більше семи, представимо у вигляді суми трьох непарних простих чисел:
М = A + B + C,
де: A, B і C - прості числа.
При цьому:
A ≠ B ≠ З
ДОКАЗ
Позначимо:
A + B = N.
Очевидно, що N - парне число.
Тоді:
M = N + C.
Звідси:
N = M - C.
Вирахувавши з будь-якого непарного числа просте число, отримаємо парне число. Вище при доказі сильної гіпотези Гольдбаха-Ейлера доведено, що будь-яке парне число, більше двох, дорівнює сумі однієї пари або декількох пар простих чисел. Отже, будь-яке непарне число М, більше семи, так само:
M = N + C = A + B + С,
де: A, B і C - Прості числа.
При цьому:
A ≠ B ≠ З
Автор: Козій Микола Михайлович, інженер-механік
E-mail: nik_krm@mail.ru
umbolic@gmail.com
Свідоцтво України № 25256
про реєстрацію авторського права
ДОКАЗ СИЛЬНОЇ гіпотезою Гольдбаха-Ейлера
Сильна гіпотеза Гольдбаха-Ейлера формулюється наступним чином: будь-яке парне число, більше двох, дорівнює сумі двох простих чисел:
N = A + B,
де: А і В - прості числа.
ДОКАЗ
Напишемо арифметичну прогресію: Р = [1, 2, 3, 4, 5 ... N]
Очевидно, що:
- Кількість членів прогресії дорівнює N;
- Кількість парних і непарних членів прогресії однаково одно:
n = 0, 5 N.
Напишемо зростаючу V і убуває U арифметичні прогресії з непарних чисел прогресії Р для випадку, коли n - Парне число:
V = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1, 0,5 N +1 ... N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 ... 0,5 N +1, 0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1]
Очевидно, що частина прогресії U:
U 1 = [N-1, N-3 ... 0,5 N +1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V:
V 1 = [0,5 N +1 ... N-3, N-1],
а частина прогресії U:
U 2 = [0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V:
V 2 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1].
Виходячи з цього для числа N при n - Парному запишемо:
V 0 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N-1]
U 0 = [0,5 N-1 ... 7, 5, 3, 1].
При цьому:
V 0i + U 0i = N,
де V 0 i і U 0 i - I - ті члени прогресій V 0 і U 0.
При n - Парному кількість членів прогресії V 0 дорівнює кількості членів прогресії U 0 і дорівнює:
K = 0,5 ∙ n = 0,25 · N. / 1 /
Напишемо зростаючу V і убуває U арифметичні прогресії з непарних чисел прогресії Р для випадку, коли n - Непарне число:
V = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N ... N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 ... 0,5 N ... 7, 5, 3, 1]
Очевидно, що частина прогресії U:
U 3 = [N-1, N-3 ... 0,5 N]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V :
V 3 = [0,5 ... N-3, N-1],
а частина прогресії U:
U 4 = [0,5 N ... 7, 5, 3, 1]
являє собою дзеркальне розташування членів прогресії V:
V 4 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N].
Виходячи з цього для числа N при n - Непарній запишемо:
V 0 = [1, 3, 5, 7 ... 0,5 N]
U 0 = [0,5 N ... 7, 5, 3, 1].
При цьому:
V 0i + U 0i = N,
де V 0 i і U 0 i - I - ті члени прогресій V 0 і U 0.
При n -Непарній кількість членів прогресії V 0 дорівнює кількості членів прогресії U 0 і дорівнює:
К = 0,5 · (n +1) = 0,25 · (N + 2). / 2 /
Кількість пар чисел V 0 i + U 0 i прогресій V 0 і U 0 одно: П = К.
У загальному випадку позначимо:
Z pv - кількість простих чисел в прогресії V 0;
Z sv - кількість складених чисел в прогресії V 0;
Z pu - кількість простих чисел в прогресії U 0;
Z su - Кількість складених чисел в прогресії U 0;
П s / v - кількість пар чисел V 0 i + U 0 i, що складаються із складених чисел прогресії U 0 і простих чисел прогресії V 0;
П s / u - кількість пар чисел V 0 i + U 0 i, що складаються із складених чисел прогресії V 0 і простих чисел прогресії U 0;
П р - кількість пар чисел V 0 i + U 0 i, що складаються з простих чисел прогресій V 0 і U 0.
Очевидно, що:
П = К = Z pv + Z sv = Z pu + Z su; / 3 /
Z sv = K - Z pv; Z su = K - Z pu.
З аналізу значень числа N з використанням таблиці простих чисел слід:
-Для чисел N ≤ 116: Z pv> Z su; Z pu> Z sv;
- Для чисел N = 118 ... 136: Z pv = Z su; Z pu = Z sv;
- Для чисел N ≥ 138: Z pv <Z su; Z pu <Z sv.
Складемо прогресії V 0 і U 0 для довільно взятих чисел N, розділимо їх на подпрогрессіі, встановимо значення величин Z pv, Z sv, Z pu, Z su, П s / v, П s / u, П р і співвідношення між ними як для прогресій V 0 і U 0 в цілому, так і для вхідних в них подпрогрессій.
ПРИКЛАД 1. N = 120; n = 0,5 N = 0,5 · 120 = 60 - парне число.
Відповідно до залежностями / 1 / і / 3 / кількість пар чисел V 0 i + U 0 i одно:
П = К = 0,25 · N = 0,25 ∙ 120 = 30.
V 0 = {V 01 = [1 3 5 7 9 11 13] V 02 = [15 17 19 21 23] V 03 = [25 27]
U 0 = {U 01 = [119 117 115 113 111 109 107] U 02 = [105 103 101 99 97] U 03 = [95 93]
П р * * * * * *
V 04 = [29 31] V 05 = [33 35] V 06 = [37 39 41 43 45 47] V 07 = [49 51 53]
U 04 = [91 89] U 05 = [87 85] U 06 = [83 81 79 77 75 73] U 07 = [71 69 67]
П р * * * * *
V 08 = [55 57 59]}.
U 08 = [65 63 61]}.
П р *
Прості числа набрані жирним шрифтом курсивом.
*- Пари простих чисел.
Для прогресій V 0 і U 0 в цілому маємо:
Z pv = 17, Z sv = 13, Z pv = Z su, П s / v = 5, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 13, Z su = 17, Z pu = Z sv, П s / u = 1, П р = 12.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 17 - 5 = 12;
R u = Z pu - П s / u = 13 - 1 = 12.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід:
R v = R u = П р = 12.
Для подпрогрессій V 01 і U 01 маємо:
Z pv = 6, Z sv = 1, Z pv> Z su, П s / v = 3, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 3, Z su = 4, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 6 - 3 = 3; R u = Z pu - П s / u = 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 02 і U 02 маємо:
Z pv = 3, Z sv = 2, Z pv> Z su, П s / v = 0, П s / v = П s / u = 0,
Z pu = 3, Z su = 2, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 3 - 0 = 3; R u = Z pu - П s / u = 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 04 і U 04 маємо:
Z pv = 2, Z sv = 0, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 1, Z su = 1, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 2 - 1 = 1; R u = Z pu - П s / u = 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
Для подпрогрессій V 06 і U 06 маємо:
Z pv = 4, Z sv = 2, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 3, Z su = 3, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 4 - 1 = 3; R u = Z pu - П s / u = 3 - 0 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 07 і U 07 маємо:
Z pv = 1, Z sv = 2, Z pv = Z su, П s / v = 0, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 2, Z su = 1, Z pu = Z sv, П s / u = 1, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 1 - 0 = 1; R u = Z pu - П s / u = 2 - 1 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
Для подпрогрессій V 08 і U 08 маємо:
Z pv = 1, Z sv = 2, Z pv <Z su, П s / v = 0, П s / v = П s / u = 0,
Z pu = 1, Z su = 2, Z pu <Z sv, П s / u = 0, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 1 - 0 = 1; R u = Z pu - П s / u = 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
ПРИКЛАД 2. N = 154; n = 0,5 N = 0,5 · 154 = 77 - непарне число.
Відповідно до залежностями / 2 / і / 3 / кількість пар чисел V 0 i + U 0 i одно:
П = К = 0,5 (n +1) = 0,25 (N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V 0 = {V 01 = [1 3 5 7 9] V 02 = [11 13 15 17 19 21 23] »
U 0 = {U 01 = [153 151 149 147 145] U 02 = [143 141 139 137 135 133 131] »
П р * * * *
V 03 = [25 27 29 31 33 35 37 39] V 04 = [41 43 45 47 49 51 53]
U 03 = [129 127 125 123 121 119 117 115] U 04 = [113 111 109 107 105 103 101]
П р * * *
»V 05 = [55 57 59 61 63 65 67 69] V 06 = [71 73] V 07 = [75 77]}.
»U 05 = [99 97 95 93 91 89 87 85] U 06 = [83 81] U 07 = [79 77]}.
П р *
Прості числа набрані жирним шрифтом курсивом.
*- Пари простих чисел.
Для прогресій V 0 і U 0 в цілому маємо:
Z pv = 21, Z sv = 18, Z pv <Z su, П s / v = 13, П s / v ≠ П s / u,
Z pu = 15, Z su = 24, Z pu <Z sv, П s / u = 7, П р = 8.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 21 - 13 = 8; R u = Z pu - П s / u = 15 - 7 = 8.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 8.
Для подпрогрессій V 01 і U 01 маємо:
Z pv = 4, Z sv = 1, Z pv> Z su, П s / v = 2, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 2, Z su = 3, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 2.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 4 - 2 = 2; R u = Z pu - П s / u = 2 - 0 = 2.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 2.
Для подпрогрессій V 02 і U 02 маємо:
Z pv = 5, Z sv = 2, Z pv> Z su, П s / v = 3, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 3, Z su = 1, Z pu> Z sv, П s / u = 1, П р = 2.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 5 - 3 = 2; R u = Z pu - П s / u = 3 - 1 = 2.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 2.
Для подпрогрессій V 04 і U 04 маємо:
Z pv = 4, Z sv = 3, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 5, Z su = 2, Z pu> Z sv, П s / u = 2, П р = 3.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 4 - 1 = 3;
R u = Z pu - П s / u = 5 - 2 = 3.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 3.
Для подпрогрессій V 06 і U 06 маємо:
Z pv = 2, Z sv = 0, Z pv> Z su, П s / v = 1, П s / v ≠ П s / u ,
Z pu = 1, Z su = 1, Z pu> Z sv, П s / u = 0, П р = 1.
Визначимо різниці:
R v = Z pv - П s / v = 2 - 1 = 1; R u = Z pu - П s / u = 1 - 0 = 1.
З порівняльного аналізу величин R v , R u і П р слід: R v = R u = П р = 1.
З аналізу наведених прогресій і входять до їх складу подпрогрессій випливають певні варіанти поєднань величин Z pv, Z sv, Z pu, Z su, П s / v, П s / u, при яких прогресії і входять до них подпрогрессіі містять пари простих чисел V 0 i + U 0 i, що задовольняють умові:
V 0 i + U 0 i = N:
Варіант 1: Z pv = Z pu, Z sv = Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v = П s / u = 0 (подпрогрессія V 02 - U 02 для числа N = 120);
Варіант 2: Z pv = Z pu, Z sv = Z su, Z pv <Z su, Z pu <Z sv, П s / v = П s / u = 0 (подпрогрессіяV 08 - U 08 для числа N = 120);
Варіант 3: Z pv> Z pu, Z sv <Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v> П s / u (подпрогрессіі V 01 - U 01, V 04 - U 04, V 06 - U 06 для числа N = 120 і подпрогрессіі V 01 - U 01, V 06 - U 06 для числа 154);
Варіант 4: Z pv> Z pu, Z sv <Z su, Z pv =Z su, Z pu =Z sv, П s / v> П s / u (прогресія V 0 - U 0 для числа N = 120);
Варіант 5: Z pv> Z pu, Z sv> Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v> П s / u (подпрогрессія V 02 - U 02 для числа N = 154);
Варіант 6: Z pv <Z pu, Z sv> Z su, Z pv = Z su, Z pu = Z sv, П s / v <П s / u (подпрогрессія V 07 - U 07 для числа N = 120);
Варіант 7: Z pv <Z pu, Z sv> Z su, Z pv> Z su, Z pu> Z sv, П s / v <П s / u (подпрогрессія V 04 - U 04 для числа N = 154);
Варіант 8: Z pv> Z pu, Z sv <Z su, Z pv <Z su, Z pu <Z sv, П s / v> П s / u (прогресія V 0 - U 0 для числа N = 154).
У розглянутих варіантах переважає варіант 3 (у 5 з 12 подпрогрессій). Ймовірно, що можливі й інші варіанти поєднань величин Z pv, Z sv, Z pu, Z su, П s / v, П s / u.
Значення кількості пар П p простих чисел для деяких парних чисел N (кількості П p наведені в дужках поряд з числами N):
80 (5), 82 (5), 84 (8), 86 (5), 88 (4), 90 (10), 120 (12), 138 (5), 150 (13), 154 (8), 180 (15), 184 (8), 222 (11), 226 (7), 228 (13), 336 (19), 644 (17), 1000 (28), 1312 (22).
З аналізу наведених даних випливає, що суворої залежності між значеннями парних чисел N і кількістю пар П p простих чисел для них не існує, але простежується закономірність, відповідно до якої з істотним збільшенням значень числа N збільшується кількість пар П p для них.
З викладеного випливає, що будь-яке парне число N> 4 дорівнює сумі двох і більше пар П p простих чисел за умови, що ці числа можуть бути рівні. Приклади:
6 = 1 +5 = 3 +3; 8 = 1 +7 = 3 +5; 10 = 3 +7 = 5 +5; 12 = 1 +11 = 5 +7, 14 = 1 +13 = 3 +11 = 7 +7.
ДОКАЗ СЛАБКО ГІПОТЕЗИ Гольдбаха
Слабка гіпотеза Гольдбаха формулюється наступним чином: будь-яке непарне число М, більше семи, представимо у вигляді суми трьох непарних простих чисел:
М = A + B + C,
де: A, B і C - прості числа.
При цьому:
A ≠ B ≠ З
ДОКАЗ
Позначимо:
A + B = N.
Очевидно, що N - парне число.
Тоді:
M = N + C.
Звідси:
N = M - C.
Вирахувавши з будь-якого непарного числа просте число, отримаємо парне число. Вище при доказі сильної гіпотези Гольдбаха-Ейлера доведено, що будь-яке парне число, більше двох, дорівнює сумі однієї пари або декількох пар простих чисел. Отже, будь-яке непарне число М, більше семи, так само:
M = N + C = A + B + С,
де: A, B і C - Прості числа.
При цьому:
A ≠ B ≠ З
Автор: Козій Микола Михайлович, інженер-механік
E-mail: nik_krm@mail.ru
umbolic@gmail.com