Зміст:
Введення. 3
Теорія. 4
Практика. 10
Висновки .. 12
Список використаної
літератури .. 13
Введення
Випадкові процеси в реальній фінансово-економічній практиці рідко бувають марковскими, оскільки на протікання
процесу в майбутньому впливає не тільки його стан в даний момент часу, але й те, як він відбувався в минулому.
Але, тим не менше, використання наближених моделей на практиці дозволяє досить точно (з певною точністю) оцінювати різні системи. У даній теоретико-практичній роботі буде розглянута теорія про розгалужених циклічних
процесах, за допомогою якої можна передбачати стан досліджуваної системи в майбутньому через досить тривалий проміжок часу.
У
процесі даної
роботи я розгляну основні положення теорії про розгалужених циклічних процесах; наведу приклад задачі, з якою можна зіткнутися в реальному житті, і її рішення за допомогою даної теорії.
Теорія
Введемо основні
поняття, з якими нам належить працювати. Під системою S будемо розуміти всяку цілісне безліч взаємопов'язаних елементів, яке не можна розчленувати на незалежні підмножини. Якщо ця система з плином часу t змінює свої стани S (t) (усього можливих станів системи n штук) випадковим чином, при чому так, що для кожного моменту часу
ймовірність
стану S (t) системи S у майбутньому (
) Залежить тільки від її стану S (
) В сьогоденні і не залежить від
того, як і скільки часу розвивався цей
процес у минулому (
), То говорять, що в системі S протікає марковський випадковий
процес.
Процес є
процесом з неперервним часом, якщо в ньому система може міняти свої статки в будь-який випадковий момент часу.
Щільністю ймовірності переходу системи S зі стану
в стан
в момент часу t називається величина
Якщо ж щільності ймовірностей переходів не залежить від часу t, то
такий процес називається однорідним.
Марківський процес, що протікає в системі S з n станами, називається ветвящимся циклічним процесом, якщо його граф станів має вигляд:
Теорема: Нехай в системі S протікає ветвящийся циклічний однорідний марковський процес з безперервним часом, причому можливий безпосередній перехід зі стану
розгалужується на переходи в стани
відповідно з ймовірностями
, Сума яких дорівнює 1:
(1)
Переходи із станів
сходяться в стан
.
Тоді фінальні ймовірності [1]
відповідних станів системи S визначаються наступними формулами:
де
.
Доказ: Оскільки ветвящийся циклічний процес можна представити у вигляді звичайного циклічного процесу і власне розгалуження, то, враховуючи властивість циклічного процесу, що
щільність ймовірності переходу з неразветвленной стану в сусіднє праворуч дорівнює зворотного величиною середнього часу перебування (
підряд) системи
S в стані
, Маємо
(2)
Інтенсивність потоку відходів з стану
дорівнює
, Де
- середній час перебування (підряд) системи
S у стані
. Тоді
буде представляти собою частку величини
, Певну ймовірністю
q m, m + k: (3)
Складемо по графу (на мал. 1) систему лінійних алгебраїчних рівнянь, невідомими в якій є фінальні ймовірності
:
(4)
Підставляючи 2 і 3 в 4, отримаємо:
(5)
Складемо матрицю коефіцієнтів системи (5) з урахуванням того, що коефіцієнт при
р т в
т-м рівнянні чинності (1) дорівнює
,
Стовпці Р
| 1
| 2
| 3
| ...
| m-1
| m
| m +1
| m +2
| ...
| m + i
| m + i +1
| m + i +2
| ...
| n-1
| n
|
Рядки
|
Проведемо такі елементарні
перетворення над рядками цієї
матриці:
2-й рядок додамо до 3-му рядку;
отримання 3-й рядок додамо до 4-му рядку;
отриману 4-й рядок додамо до 5-му рядку;
і так далі;
отриману
(m -1)-й рядок додамо до
m-му рядку;
отриману
m-й рядок помножимо послідовно на
і додамо
відповідно до
(m +1)-й,
(m +2)-ї ,...,
(m + i) - й
рядку;
суму отриманих
(m +1)-й,
(m +2)-ї ,...,
(m + i) - й
рядків додамо до
(m + i +1)-му рядку, враховуючи рівність (1);
отриману
(m + i +1)-й рядок додамо до
(m + i +2)-му рядку;
отриману
(m + i +2) рядок додамо до
(m + i +3)-му рядку;
і так далі;
отриману
(п -1)-й рядок додамо до
п-й рядку.
У результаті цих перетворень отримаємо матрицю такого вигляду:
Перша і остання рядки цієї матриці пропорційні, а тому одну з них, наприклад першу, можна відкинути.
Отримана після відкидання 1-го рядка матриця породжує наступну систему лінійних рівнянь:
Звідси фінальні ймовірності
можна виразити через фінальну ймовірність
:
(6)
Підставимо вирази (6) в нормировочной умова
і знайдемо
:
.
Звідки
або
, Де
. Підставляючи знайдене вираз в (6) отримуємо доказуваних формули.
Практика
У наш час будь-який
банк має банкомати в різних точках міста для зручності своїх клієнтів. Для
планування майбутніх витрат на утримання банкомату застосуємо теорію про розгалужених циклічних процесах.
В якості системи S візьмемо банкомат. Банкомат може бути у таких станах:
S
1 - справний,
працює;
S
2 - несправний, ведеться пошук несправності;
S
3 - несправність виявлена і виявилася незначною, ремонтується місцевими засобами;
S
4 - несправність виявлена і виявилася серйозною, ремонт ведеться запрошеним з боку фахівцем;
S
5 - ремонт законний, ведеться підготовка до включення банкомату.
Процес, що протікає в системі - однорідний, марковський, тому що всі потоки подій, під впливом яких відбуваються переходи банкомату зі стану в стан, - найпростіші.
Середній час справної роботи банкомату [2] дорівнює
місяць; середній час пошуку несправності банкомата одно
години; середній час ремонту місцевими засобами одно
години; середній час ремонту банкомату фахівцем одно
дня; середній час підготовки банкомату до роботи
год.
Імовірність того, що несправність виявилася незначною і може бути усунена місцевими засобами р = 0,8. Імовірність же того, що несправність серйозна і без фахівця не обійтися 1-р = 0,2.
Якщо банкомат працює справно, то вартість його обслуговування становить 100 рублів на день [3]; одну годину роботи фахівця з усунення несправностей становить 200 рублів на годину. В інших станах вартість утримання банкомату дорівнює величині амортизації і становить 7 рублів на день.
Спрогнозуємо середня витрата на наступний рік, що йде на утримання банкомату.
Рішення: граф станів системи буде
мати вигляд:
Наведемо дані в умові завдання до однієї одиниці, наприклад, доба:
Як вже було сказано вище процес, що протікає в системі, - однорідний, марковський і до того ж він є ветвящимся циклічним з безперервним часом, тоді ми можемо скористатися отриманими вище формулами:
Тоді
,
,
,
,
Тепер визначимо загальний витрата на утримання банкомату:
рублів за добу, тоді за рік ця сума складе приблизно 70 100 рублів.
Висновки
Таким чином, ми на практиці переконалися, що теорія про розгалужених циклічних процесах, можливо і не має можливості для широкого застосування, але, тим не менш, є простим і дієвим інструментом при плануванні різних економічних
процесів.
Але треба враховувати, що це всього лише маленький відгалуження теорії про марковських процесах, на якій, у свою чергу, базуються багато інші теорії, зокрема теорія про масове обслуговуванні в економічній сфері.
Список використаної літератури
1)
Лабскер Л. Г. Ймовірнісний
моделювання у фінансово - економічній галузі - К.: Паблішер, 2002. - 224 с.
2) http://www.gazeta.ru/2006/04/13/oa_195828.shtml
3)
Журнал обчислювальної математики і математичної фізики т.46. № 03 - 2006
4)
Свєшніков О. А. Прикладні методи теорії марковських процесів: Навчальний посібник. М.: Видавництво «Лань», 2007. - 192 с.