Розрахунково-графічне Завдання
з тими:
«Статистичнй обробка результатів прямих багаторазове вімірювань з незалежних рівноточнімі спостереження»
Виконала:
Студентка групіАП-48б
Арсентьєва К.Г.
Харків 2010
Вихідні дані
Експериментально отримані результати серії спостережень напруги U постійного розміру. Результати спостережень вважаються незалежними і равноточнимі (за умовами експерименту). У загальному випадку вони можуть містити систематичну і випадкову складові похибки вимірювань. Вказано довірча ймовірність P = 0,95 результату вимірювання.
Завдання
За результатами багаторазових спостережень визначити найбільш достовірне значення вимірюваної фізичної величини та її довірчі границі.
Таблиця 1
U (1) = 170.02 | U (17) = 170.20 |
U (2) = 170.41 | U (18) = 170.30 |
U (3) = 169.95 | U (19) = 169.59 |
U (4) = 170.17 | U (20) = 169.95 |
U (5) = 169.95 | U (21) = 169.77 |
U (6) = 170.01 | U (22) = 169.84 |
U (7) = 170.26 | U (23) = 169.95 |
U (8) = 190.23 | U (24) = 159.84 |
U (9) = 169.84 | U (25) = 170.33 |
U (10) = 169.73 | U (26) = 169.73 |
U (11) = 169.74 | U (27) = 169.91 |
U (12) = 170.21 | U (28) = 170.35 |
U (13) = 169.76 | U (29) = 170.20 |
U (14) = 169.67 | U (30) = 169.88 |
U (15) = 169.83 | U (31) = 169.60 |
U (16) = 170.35 | U (32) = 170.50 |
Довірча ймовірність: P = 0, 99
Довірчі межі:
Розрядність: 5 розрядів *
Кількість спостережень: n = 32
Обробка результатів вимірювань
Аналізуємо серію спостережень на наявність промахів. Якщо вони є, то їх необхідно виключити з подальшої обробки.
При аналізі виявлений один промах U (8) = 190.23 і U (24) = 159.84 (В). Виключимо його з результатів вимірювань.
Таблиця 2
U (1) = 170.02 | U (16) = 170.20 |
U (2) = 170.41 | U (17) = 170.30 |
U (3) = 169.95 | U (18) = 169.59 |
U (4) = 170.17 | U (19) = 169.95 |
U (5) = 169.95 | U (20) = 169.77 |
U (6) = 170.01 | U (21) = 169.84 |
U (7) = 170.26 | U (22) = 169.95 |
U (8) = 169.84 | U (23) = 170.33 |
U (9) = 169.73 | U (24) = 169.73 |
U (10) = 169.74 | U (25) = 169.91 |
U (11) = 170.21 | U (26) = 170.35 |
U (12) = 169.76 | U (27) = 170.20 |
U (13) = 169.67 | U (28) = 169.88 |
U (14) = 169.83 | U (29) = 169.60 |
U (15) = 170.35 | U (30) = 170.50 |
Перевіримо відповідність експериментального закону розподілу нормальному закону.
Для цього використовуємо складовою критерій згоди. Він включає в себе два незалежні критерії, їх позначають I і II. Перший з цих критеріїв (критерій I) забезпечує перевірку відповідності розподілу експериментальних даних нормального закону розподілу поблизу центру розподілу, а другий критерій (критерій II) - на краях розподілу. Якщо при перевірці не задовольняється хоч би один з цих критеріїв, то гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень відкидається.
Для перевірки гіпотези про нормальність розподілу початкової серії результатів спостережень за критерієм I обчислюють параметр d, визначається співвідношенням:
(1),
де (В) - середнє арифметичне результатів спостережень U i, ;
(В) - зміщена оцінка СКВ результатів спостережень U i, .
Для полегшення подальших розрахунків зведемо значення і в таблицю:
Таблиця 3
i | | | |
1. | 0.02 | 0.0004 | 0.02 |
2. | 0.41 | 0.1681 | 0.41 |
3. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
4. | 0.17 | 0.0289 | 0.17 |
5. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
6. | 0.01 | 0.0001 | 0.01 |
7. | 0.26 | 0.0676 | 0.26 |
8. | -0.16 | 0.0256 | 0.16 |
9. | -0.27 | 0.0729 | 0.27 |
10. | -0.26 | 0.0676 | 0.26 |
11. | 0.21 | 0.0441 | 0.21 |
12. | -0.24 | 0.0576 | 0.24 |
13. | -0.33 | 0.1089 | 0.33 |
14. | -0.17 | 0.0289 | 0.17 |
15. | 0.35 | 0.1225 | 0.35 |
16. | 0.20 | 0.04 | 0.20 |
17. |
| 0.30 | 0.09 | 0.30 |
18. | -0.41 | 0.1681 | 0.41 |
19. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
20. | -0.23 | 0.0529 | 0.23 |
21. | -0.16 | 0.0256 | 0.16 |
22. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
23. | 0.33 | 0.1089 | 0.33 |
24. | -0.27 | 0.0729 | 0.27 |
25. | -0.09 | 0.0081 | 0.09 |
26. | 0.35 | 0.1225 | 0.35 |
27. | 0.20 | 0.04 | 0.20 |
28. | -0.12 | 0.0144 | 0.12 |
29. | -0.4 | 0.16 | 0.4 |
30. | 0.5 | 0.25 | 0.5 |
| | | |
Розрахуємо параметр d відповідно до формули (1):
Результати спостережень U i вважаються розподіленими по нормальному закону, якщо виконується така умова
,
де , - Квантилі розподілу параметра d. Їх знаходять за таблицею П.1 α-процентних точок розподілу параметра d за заданим обсягом вибірки n і прийнятому для критерію I рівнем значущості α 1. Виберемо α 1 і α 2 з умови α ≤ α 1 + α 2, де α = 1 - Р = 1-0,99 = 0,01.
α 1 = 0,02 і α 2 = 0,01.
Для n = 15, р = 0,95, α = 0,02
a) Для n = 30, P = 0.99 .
26 | 0.8901 |
30 | У |
31 | 0.8827 |
Проведемо інтерполяцію:
Y (d) = 0.8901 +0.8 (0.8827-0.8901) = 0.8901-0.0059 = 0.8842
Для n = 30, P = 0.99
26 | 0.7040 |
30 | У |
31 | 0.7110 |
Проведемо інтерполяцію:
Y () = 0,7040 +0,8 (0,7110-0,7040) = 0,7040 +0,0056 = 0,7096
0,7096 <0,8643 <0,8842
Розподіл результатів спостережень відповідає критерію I.
За критерієм II, розподіл результатів спостережень відповідає нормальному закону розподілу, якщо не більше m різниць перевершили значення
,
де (В) - незміщеної оцінка СКО результатів спостережень U i;
- Верхня квантиль розподілу інтегральної функції нормованого нормального розподілу, відповідна довірчої ймовірності Р 2. Значення m і Р 2 знаходимо по числу спостережень n і рівню значущості α 2 для критерію II по таблиці П.2 програми. m = 2, Р 2 = 0,99. Потім обчислюємо:
По таблиці П.3 програми інтегральної функції нормованого нормального розподілу знаходять , Відповідне обчисленого значення функції Ф ( ): При Ф ( ) = 0,995; = 2,82;
= 2,82 * 0,2597 = 0,7323 (В).
Жодне значення не перевершує величину , Отже розподіл результатів спостережень задовольняє і критерію II, тому експериментальний закон розподілу відповідає нормальному закону.
Проведемо перевірку грубих похибок результатів спостережень (оцінки анормальну окремих результатів спостережень). Для цього:
а) Складемо впорядкований ряд результатів спостережень, розташувавши вихідні елементи в порядку зростання, і виконаємо їх перенумерацію:
Таблиця 4
U (1) = 169.59 | U (16) = 169.95 |
U (2) = 169.60 | U (17) = 169.95 |
U (3) = 169.67 | U (18) = 170.01 |
U (4) = 169.73 | U (19) = 170.02 |
U (5) = 169.73 | U (20) = 170.17 |
U (6) = 169.74 | U (21) = 170.20 |
U (7) = 169.76 | U (22) = 170.20 |
U (8) = 169.77 | U (23) = 170.21 |
U (9) = 169.83 | U (24) = 170.26 |
U (10) = 169.84 | U (25) = 170.30 |
U (11) = 169.84 | U (26) = 170.33 |
U (12) = 169.88 | U (27) = 170.35 |
U (13) = 169.91 | U (28) = 170.35 |
U (14) = 169.95 | U (29) = 170.41 |
U (15) = 169.95 | U (30) = 170.50 |
б) Для крайніх членів упорядкованого ряду U 1 і U 15, які найбільш віддалені від центру розподілу (визначуваного як середнє арифметичне Ū цього виряджаючи) і тому з найбільшою ймовірністю можуть містити грубі похибки, знаходимо модулі різниць = (В) і = (В), і для більшого з них обчислюємо параметр:
в) Для n = 30, з таблиці 4 визначимо = 3,071.
Так як t i <t T, тому грубих результатів немає.
Обчислимо несмещенную оцінку СКО результату вимірювання відповідно до виразу:
(В).
Визначимо довірчі межі випадкової складової похибки вимірювань з багаторазовими спостереженнями залежно від числа спостережень n 30 в вибірці, що не містить анормальних результатів, за формулою: , Де Z-коефіцієнт за заданою довірчої ймовірності Р = 0,99; Z = 2,58
(В).
Визначимо довірчі межі сумарно не виключеною систематичної складової похибки результатів вимірювань з багаторазовими спостереженнями:
(В).
Визначимо довірчі межі сумарної (повної) похибки вимірювань з багаторазовими спостереженнями.
Так як , Тоді
В.
Запишемо результат вимірювань з багаторазовими спостереженнями:
U = (170,000 ± 0,151) В; Р = 0,99