Розрахунково-графічне Завдання
з тими:
«Статистичнй обробка результатів прямих багаторазове вімірювань з незалежних рівноточнімі спостереження»
Виконала:
Студентка групіАП-48б
Арсентьєва К.Г.
Харків 2010
Вихідні дані
Експериментально отримані результати серії спостережень напруги U постійного розміру. Результати спостережень вважаються незалежними і равноточнимі (за умовами експерименту). У загальному випадку вони можуть містити систематичну і випадкову складові похибки вимірювань. Вказано довірча ймовірність P = 0,95 результату вимірювання.
Завдання
За результатами багаторазових спостережень визначити найбільш достовірне значення вимірюваної фізичної величини та її довірчі границі.
Таблиця 1
U (1) = 170.02
U (17) = 170.20
U (2) = 170.41
U (18) = 170.30
U (3) = 169.95
U (19) = 169.59
U (4) = 170.17
U (20) = 169.95
U (5) = 169.95
U (21) = 169.77
U (6) = 170.01
U (22) = 169.84
U (7) = 170.26
U (23) = 169.95
U (8) = 190.23
U (24) = 159.84
U (9) = 169.84
U (25) = 170.33
U (10) = 169.73
U (26) = 169.73
U (11) = 169.74
U (27) = 169.91
U (12) = 170.21
U (28) = 170.35
U (13) = 169.76
U (29) = 170.20
U (14) = 169.67
U (30) = 169.88
U (15) = 169.83
U (31) = 169.60
U (16) = 170.35
U (32) = 170.50
Довірча ймовірність: P = 0, 99
Довірчі межі:
Розрядність: 5 розрядів *
Кількість спостережень: n = 32
Обробка результатів вимірювань
Аналізуємо серію спостережень на наявність промахів. Якщо вони є, то їх необхідно виключити з подальшої обробки.
При аналізі виявлений один промах U (8) = 190.23 і U (24) = 159.84 (В). Виключимо його з результатів вимірювань.
Таблиця 2
U (1) = 170.02
U (16) = 170.20
U (2) = 170.41
U (17) = 170.30
U (3) = 169.95
U (18) = 169.59
U (4) = 170.17
U (19) = 169.95
U (5) = 169.95
U (20) = 169.77
U (6) = 170.01
U (21) = 169.84
U (7) = 170.26
U (22) = 169.95
U (8) = 169.84
U (23) = 170.33
U (9) = 169.73
U (24) = 169.73
U (10) = 169.74
U (25) = 169.91
U (11) = 170.21
U (26) = 170.35
U (12) = 169.76
U (27) = 170.20
U (13) = 169.67
U (28) = 169.88
U (14) = 169.83
U (29) = 169.60
U (15) = 170.35
U (30) = 170.50
Перевіримо відповідність експериментального закону розподілу нормальному закону.
Для цього використовуємо складовою критерій згоди. Він включає в себе два незалежні критерії, їх позначають I і II. Перший з цих критеріїв (критерій I) забезпечує перевірку відповідності розподілу експериментальних даних нормального закону розподілу поблизу центру розподілу, а другий критерій (критерій II) - на краях розподілу. Якщо при перевірці не задовольняється хоч би один з цих критеріїв, то гіпотеза про нормальність розподілу результатів спостережень відкидається.
Для перевірки гіпотези про нормальність розподілу початкової серії результатів спостережень за критерієм I обчислюють параметр d, визначається співвідношенням:
(1),
де (В) - середнє арифметичне результатів спостережень U i,
;
(В) - зміщена оцінка СКВ результатів спостережень U i,
.
Для полегшення подальших розрахунків зведемо значення і
в таблицю:
Таблиця 3
i | | | |
1. | 0.02 | 0.0004 | 0.02 |
2. | 0.41 | 0.1681 | 0.41 |
3. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
4. | 0.17 | 0.0289 | 0.17 |
5. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
6. | 0.01 | 0.0001 | 0.01 |
7. | 0.26 | 0.0676 | 0.26 |
8. | -0.16 | 0.0256 | 0.16 |
9. | -0.27 | 0.0729 | 0.27 |
10. | -0.26 | 0.0676 | 0.26 |
11. | 0.21 | 0.0441 | 0.21 |
12. | -0.24 | 0.0576 | 0.24 |
13. | -0.33 | 0.1089 | 0.33 |
14. | -0.17 | 0.0289 | 0.17 |
15. | 0.35 | 0.1225 | 0.35 |
16. | 0.20 | 0.04 | 0.20 |
17. |
0.30 | 0.09 | 0.30 | |
18. | -0.41 | 0.1681 | 0.41 |
19. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
20. | -0.23 | 0.0529 | 0.23 |
21. | -0.16 | 0.0256 | 0.16 |
22. | -0.05 | 0.0025 | 0.05 |
23. | 0.33 | 0.1089 | 0.33 |
24. | -0.27 | 0.0729 | 0.27 |
25. | -0.09 | 0.0081 | 0.09 |
26. | 0.35 | 0.1225 | 0.35 |
27. | 0.20 | 0.04 | 0.20 |
28. | -0.12 | 0.0144 | 0.12 |
29. | -0.4 | 0.16 | 0.4 |
30. | 0.5 | 0.25 | 0.5 |
| | |
Розрахуємо параметр d відповідно до формули (1):
Результати спостережень U i вважаються розподіленими по нормальному закону, якщо виконується така умова
,
де ,
- Квантилі розподілу параметра d. Їх знаходять за таблицею П.1 α-процентних точок розподілу параметра d за заданим обсягом вибірки n і прийнятому для критерію I рівнем значущості α 1. Виберемо α 1 і α 2 з умови α ≤ α 1 + α 2, де α = 1 - Р = 1-0,99 = 0,01.
α 1 = 0,02 і α 2 = 0,01.
Для n = 15, р = 0,95, α = 0,02
a) Для n = 30, P = 0.99 .
26
0.8901
30
У
31
0.8827
Проведемо інтерполяцію:
Y (d) = 0.8901 +0.8 (0.8827-0.8901) = 0.8901-0.0059 = 0.8842
Для n = 30, P = 0.99
0.7040
30
У
31
0.7110
Проведемо інтерполяцію:
Y () = 0,7040 +0,8 (0,7110-0,7040) = 0,7040 +0,0056 = 0,7096
0,7096 <0,8643 <0,8842
Розподіл результатів спостережень відповідає критерію I.
За критерієм II, розподіл результатів спостережень відповідає нормальному закону розподілу, якщо не більше m різниць перевершили значення
,
де (В) - незміщеної оцінка СКО результатів спостережень U i;
- Верхня квантиль розподілу інтегральної функції нормованого нормального розподілу, відповідна довірчої ймовірності Р 2. Значення m і Р 2 знаходимо по числу спостережень n і рівню значущості α 2 для критерію II по таблиці П.2 програми. m = 2, Р 2 = 0,99. Потім обчислюємо:
По таблиці П.3 програми інтегральної функції нормованого нормального розподілу знаходять , Відповідне обчисленого значення функції Ф (
): При Ф (
) = 0,995;
= 2,82;
= 2,82 * 0,2597 = 0,7323 (В).
Жодне значення не перевершує величину
, Отже розподіл результатів спостережень задовольняє і критерію II, тому експериментальний закон розподілу відповідає нормальному закону.
Проведемо перевірку грубих похибок результатів спостережень (оцінки анормальну окремих результатів спостережень). Для цього:
а) Складемо впорядкований ряд результатів спостережень, розташувавши вихідні елементи в порядку зростання, і виконаємо їх перенумерацію:
Таблиця 4
U (1) = 169.59
U (16) = 169.95
U (2) = 169.60
U (17) = 169.95
U (3) = 169.67
U (18) = 170.01
U (4) = 169.73
U (19) = 170.02
U (5) = 169.73
U (20) = 170.17
U (6) = 169.74
U (21) = 170.20
U (7) = 169.76
U (22) = 170.20
U (8) = 169.77
U (23) = 170.21
U (9) = 169.83
U (24) = 170.26
U (10) = 169.84
U (25) = 170.30
U (11) = 169.84
U (26) = 170.33
U (12) = 169.88
U (27) = 170.35
U (13) = 169.91
U (28) = 170.35
U (14) = 169.95
U (29) = 170.41
U (15) = 169.95
U (30) = 170.50
б) Для крайніх членів упорядкованого ряду U 1 і U 15, які найбільш віддалені від центру розподілу (визначуваного як середнє арифметичне Ū цього виряджаючи) і тому з найбільшою ймовірністю можуть містити грубі похибки, знаходимо модулі різниць =
(В) і
=
(В), і для більшого з них обчислюємо параметр:
в) Для n = 30, з таблиці 4 визначимо
= 3,071.
Так як t i <t T, тому грубих результатів немає.
Обчислимо несмещенную оцінку СКО результату вимірювання відповідно до виразу:
(В).
Визначимо довірчі межі випадкової складової похибки вимірювань з багаторазовими спостереженнями залежно від числа спостережень n 30 в вибірці, що не містить анормальних результатів, за формулою:
, Де Z-коефіцієнт за заданою довірчої ймовірності Р = 0,99; Z = 2,58
(В).
Визначимо довірчі межі сумарно не виключеною систематичної складової похибки результатів вимірювань з багаторазовими спостереженнями:
(В).
Визначимо довірчі межі сумарної (повної) похибки вимірювань з багаторазовими спостереженнями.
Так як , Тоді
В.
Запишемо результат вимірювань з багаторазовими спостереженнями:
U = (170,000 ± 0,151) В; Р = 0,99