ЛЕКЦІЯ № 9
Поліном Чебишева
1. Визначення та властивості
2. Інтерполяція за Чебишевськими вузлам
3. Поліноми рівномірних наближень
4. Економізація статечних рядів
Многочленом Чебишева n-го ступеня називається функція
T n (x) = cos (narccos) n = 0,1,2 ..., xÎ [-1; 1]; (9.1)
Доведемо, що при будь-якому n = 0,1,2
n = 0: T 0 (x) = cos0 = 1;
n = 1: T 1 (x) = cos (arccos x) = x;
n = 2: T 2 (x) = cos (2arccos x);
Позначимо α = arccosx
T n (x) = cos2α;
T n +1 (x) = cos ((n +1) α);
T n-1 (x) = cos ((n-1) α);
cos ((n +1) α) + cos ((n-1) α)-2cos (2nα / α) cos (2α / α) = 2 cosnα cosα;
T n +1 (x) + T n-1 (x) = 2 T 1 (x) T n (x);
T n +1 (x) = 2xT n (x) - T n-1 (x); (9.2)
Властивості многочлена Чебишева:
1. Всі функції T n (x) є многочленами при n = 0,1,2, ...
2. Ступені цих многочленів зростають зі збільшенням n, причому старший член T n (x) = 2 n -1 x n
3. Поліноми T n (x) при парних n виражаються через парні функції, при непарних n-через непарні функції.
Перевіримо:
T 2 (x) = 2х 2 -1
T 3 (x) = 2х (2х 2 -1) = 4х 3-2х
T 4 (x) = 2х (4х 3-3х)-2х 2 +1 = 2 3 х 4-3х 2 +1
4. На відрізку [-1; 1] многочлен T n (x) має рівно n різних дійсних коренів, які розраховуються за формулою:
Доведемо:
Так як arccosxÎ [0; Π]; k = 0,1, ... n-1, щоб туди потрапляв arcos
5. Коріння многочлена Чебишева перемножуються, чергуються з точками їх екстремуму, причому максимум
T n (x) на [-1; 1] дорівнює 1, тобто
Для точок екстремуму існує зв'язок:
Введемо нормований многочлена Чебишева (старший коефіцієнт = 1, перед х у максимальному ступені)
max | Р n * (x) | <max | T ^ n (x) |
[-1; 1] [-1; 1] Доказ не потрібно.
Залишковий член полінома Лагранжа
Необхідно мінімізувати цей максимум, тобто необхідно знайти такі вузли x k,
Зведемо [a; b] до відрізку [-1; 1]
Повинна існувати зв'язок хÎ [a; b] з t Î [-1; 1]
Зв'язок: x = Ct + D
C-коефіцієнт стиснення (розтягування, D-паралельний перенос)
Якщо t = 1
Якщо t =- 1
Тоді:
Для того щоб мінімізувати (9.4), необхідно знайти такі коріння
t k Î [-1; 1],
По теоремі Чебишева поліном Т n +1 нормований многочленом Чебишева, найменш відхилений від нуля на [-1; 1], тому в якості шуканих коренів необхідно взяти коріння многочлена Чебишева на [-1; 1]
Вузли інтерполяції, визначимо за формулою (9.5) забезпечують min, max помилку апроксимації за допомогою інтерполяційних поліномів.
Тобто має місце рівномірна збіжність послідовності інтерполяційного полінома Лагранжа функції f (x).
Теорема Вейєрштрасса: для будь-якої неперервної функції f (x) на [a; b] знайдеться поліном Q n (x), що | f (x) - Р n (x) | <ξ для будь-якої ξ> 0, будь хÎ [a ; b].
Тобто для будь-f (x) неперервної на [a; b], може бути побудована апроксимуючої найкращий поліном, який мінімізує максимальне відхилення між f (x) і Q n (x). Такі поліноми називають многочленами найкращих рівномірних наближень.
На жаль, загальний вигляд таких поліномів і способи побудови не відомі.
Такий процес називається економізацію степеневого ряду.
Розкладання по многочленів Чебишева має меншу максимальну похибку.
ЛЕКЦІЯ № 10,11
Інтерполяційний СПЛАЙН
Коли інтерполяційний відрізок [a; b] великий, немає, підстави вважати, функцію f (x) досить гладкою, на [a; b], то не можна підвищувати точність апроксимації за рахунок збільшення ступеня інтерполяційного многочлена.
Пов'язано це з тим, що у многочлена n-го ступеня може бути n-1 точка екстремуму. При n → ∞ графік многочлена починає сильно коливатися
Таке явище називають феноменом Рунге.
Тому більш перспективним є застосування кусково-поліноміальної апроксимації, при якій апроксимуюча функція складається з окремих многочленів (сплайнів). Кожен з яких (однакові і найбільшою мірою) визначено на своїй ділянці відрізка [a; b].
Розглянемо апроксимацію кусково-лінійної функції (лінійний сплайн).
Нехай f (x) задана таблично на [a; b], тобто визначені деякі вузли інтерполяції a ≤ x 0 <x 1 <... <x n ≤ b
Необхідно: φ (x i) = y i = f (x i),
Визначимо a i і b i.
x = x 0: φ (x 0) = f (x 0) = y 0 a 1 x 0 + b 1 = y 0
x = x 1: φ (x 1) = f (x 1) = y 1 a 1 x 1 + b 1 = y 1
a 2 x 1 + b 2 = y 1
x 0 x 1 x 2
Отримаємо систему:
а 0 x 0 + b 1 = y 0 (вирішуємо окремо кожну систему)
a 2 x 1 + b 2 = y 1
a 2 x 1 + b 2 = y 1
a 2 x 2 + b 2 = y 2 (10.2)
a n x n-1 + b n = y n
a n x n + b n = y n
Таким чином, отримано систему з 2n рівнянь для пошуку 2n невідомих. Причому, система (10.2) утворена з n систем лінійних рівнянь для 2-х невідомих, кожна з яких може вирішуватися незалежно від інших.
Кусково-лінійна функція φ (x) виду (10.1) всередині інтервалу (х i -1; x i),
Щоб функція наближала f (x) накладемо обмеження φ (x i) = y i = f (x i),
Загальна кількість вузлів 2n +1, якщо n-парне.
Для знаходження невідомих коефіцієнтів a k, b k, c k необхідно побудувати 3m умов.
k = 1
[X 0; x 2]
Узагальнимо, отримаємо систему:
Для знаходження невідомих маємо 3m умов. При кожному значенні
Вирішувати її можемо незалежно від інших умов.
Кусково-квадратична φ (x) виду (10.3) всередині інтервалу (x 2 n -2-x 2 n),
є безперервною, але не диференційовною.
Визначення сплайна
Нехай на відрізку [a; b] задана деяка система вузлів a 0 ≤ x 0 <x 1 <... <x n ≤ b
Сплайном S n (x) називається функція, яка визначена на [a; b], l раз неперервна і диференційовна на ньому, при цьому на кожному з відрізків
[Х к-1; х к], к =
Різниця (m-1) називається дефектом сплайна (показує різницю між ступенем складових його многочленів і ступенем гладкості загальної функції).
Якщо сплайн побудований за деякою таблично заданої функції f (x) таким чином, що S (х i) = f (x i); x i, i =
Очевидно, що функція (10.1) є інтерполяційним сплайном ступеня 1, дефекту 1, а кусково-квадратична функція (10.3) є інтерполяційним сплайном, ступеня 2, дефекту 2.
Інтерполяційний сплайн ступеня 3, дефекту 1.
Двічі безперервно - диференційовних - сплайн.
Нехай задана таблична функція на [a; b], причому a = χ 0 ≤ χ 1 <... <χ n = b (вузли сплайна збігаються з вузлами інтерполяції). Загальний вигляд:
Умови:
1.) G (x i) = f (x i) = y i, i =
2.) G (x) = c 2 (двічі диференційовна) [a; b]
3.) - Крайові умови
Для знаходження невідомих коефіцієнтів введемо функцію
g n (x) = a k (xx k) 3 + b k (xx k) 2 + c 1 (xx k) + d k, xÎ [x k -1; x k]
1.) G 1 (x 0) = y 0, g 1 (x 1) = y 1, g 2 (x 2) = y 2, ... g n (x n) = y n
2.) Перша умова (сплайн інтерполяційний)
3.)
Крайові умови:
Таким чином, для знаходження 4n невідомих ми побудуємо 4n умов.
Теорема (10.1). Інтерполяційний сплайн виду (10.5) для функції f (x) єдиний.
Теорема (10.2). Нехай g (x) - інтерполяційний сплайн ступеня 3 дефекту 1, побудований для функції f (x) З 4 на відрізку [a; b], тоді для
| F (x) - g (x) | <C
Лінійний фільтр
Поняття лінійного сплайна дозволяє сформулювати підходи до побудови лінійних фільтрів, призначених для усунення випадкових помилок у даних.
Зазвичай під час вимірювань на процес фіксації даних впливають випадкові перешкоди. Для того, щоб зменшити вплив цих перешкод на якість інтерполяції здійснюють перерахунок значень функції у вузлах інтерполяції за такою формулою:
Квадратичний сплайн дефекту один
Вузли цього сплайна не збігаються з вузлами інтерполяції функції.
Нехай вузли інтерполяції задані на [a; b]
Для сплайна n +2 вузлів
Квадратичний сплайн дефекту 1 має вигляд:
Умови:
1.)
2.) P (x) Î C '[a; b],
3.) Крайові умови:
P''(a) = A; P''(b) = B;
A і B-константи і бажано різні;
Щоб побудувати сплайн необхідно знайти 3n +3 невідомих коефіцієнта. З цією метою сформую функцію:
P n (x) = a k
Умови:
1.) P i +1 = y i, i =
2.) P k
P 'k
3.) P 1
Теорема 11.1. Квадр. Сплайн дефекту один, виду (11.1) для функції існує і єдиний.
Теорема 11.2. Нехай функція f (x) двічі неперервна і диференційовна на [a; b], а P (x) - сплайн виду (11.1), тоді для
| F (x)-P (x) | ≤ C 0 Δ 2
| F '(x)-P' (x) |
| F''(x)-P''(x) |
де Δ-максимальна відстань між вузлами інтерполяції, тобто Δ = max (x k-x k -1) 1 ≤ k ≤ n
Метод найменших квадратів
1. Формула методу найменших квадратів, для лінійної функції декількох змінних.
2. Типові способи перетворення нелінійної функції до лінійної.
3. Метод найменших квадратів для системи лінійно - незалежних функцій.
4. Ряди і поліноми Фур'є з використанням методу найменших квадратів.
Нехай аппроксіміруемая функція являє собою функції n змінних y = f (x 1 ... x n), яка задана таблицею своїх значень:
інформаційна матриця
Такі таблиці формуються в ході експерименту для реальних об'єктів, у яких є одна вихідна змінна (відгук), яка залежить від декількох вихідних змінних (факторів).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
необхідно апроксимувати нашу функцію за допомогою побудови лінійної функції (наближає).
Необхідно побудувати наближення даної функції f (x 1 ... x n), заданої інфо - матрицею допомогою функції φ (x 1 ... x n) = y, яка повинна бути лінійною, тобто її загальний вигляд:
y = φ (x 1 ... x n) = b 0 + b 1 x 1 + ... + b n x n (11.2)
b i - невідомі коефіцієнти (параметри)
Завдання апроксимації полягає у визначенні b i.
Який критерій для вибору цих параметрів?
Нехай f (x)-функція однієї змінної і точки, в якій вона визначена, зображені на координатній площині.
Проводимо пряму, мінімізуємо суму квадратів відстаней.
Оскільки в ході експерименту на об'єкт можуть впливати випадкові перешкоди, то в інфо - матриці можуть бути присутніми значення, які не характерні для самої функції, в силу цього вимагати від апроксимуючої функції збігу значень зі значеннями вихідної функції у всіх точках невірно.
Необхідно мінімізувати суму квадратів відхилень апроксимуючої функції від вихідних в заданих точках:
Для даної задачі критерій (11.3) буде мати вигляд:
Функція квадратична, параболоїд. Точка, в якій похідні приватні всі будуть рівні 0
Так як функція (11.4) є квадратичної відносно змінних b i , То для знаходження її мінімуму за цим змінним досить вирішити систему (11.5)
У системі (11.6) кожне рівняння ділимо на 2 і розкриваємо суму; переносячи суму до частини y j знак рівності:
Система (11.7) являє собою СЛАР щодо b i і може бути вирішена одним з відомих методів.
Для спрощення запису та вирішення представимо систему (11.7) в матричному вигляді. Введемо матриці:
Стовпець з 1 додали в U з метою універсалізації рішень, так як лінійну функцію можна представити у вигляді:
y = b 0 x 0 + b 1 x 1 + ... + b n x n, де x 0 = 1
Тоді система (11.7) може бути записана в наступному вигляді:
[U T U] B = U T Y (11.8)
Системи (11.7) і (11.8) називаються нормальними. Використовуючи, метод оберненої матриці система (11.8) має вигляд:
B = [U T U] -1 U T Y (11.9)
(11.9) - метод найменших квадратів для лінійної функції.
Поліном Чебишева
1. Визначення та властивості
2. Інтерполяція за Чебишевськими вузлам
3. Поліноми рівномірних наближень
4. Економізація статечних рядів
Многочленом Чебишева n-го ступеня називається функція
T n (x) = cos (narccos) n = 0,1,2 ..., xÎ [-1; 1]; (9.1)
Доведемо, що при будь-якому n = 0,1,2
n = 0: T 0 (x) = cos0 = 1;
n = 1: T 1 (x) = cos (arccos x) = x;
n = 2: T 2 (x) = cos (2arccos x);
Позначимо α = arccosx
T n (x) = cos2α;
T n +1 (x) = cos ((n +1) α);
T n-1 (x) = cos ((n-1) α);
cos ((n +1) α) + cos ((n-1) α)-2cos (2nα / α) cos (2α / α) = 2 cosnα cosα;
T n +1 (x) + T n-1 (x) = 2 T 1 (x) T n (x);
T n +1 (x) = 2xT n (x) - T n-1 (x); (9.2)
Властивості многочлена Чебишева:
1. Всі функції T n (x) є многочленами при n = 0,1,2, ...
2. Ступені цих многочленів зростають зі збільшенням n, причому старший член T n (x) = 2 n -1 x n
3. Поліноми T n (x) при парних n виражаються через парні функції, при непарних n-через непарні функції.
Перевіримо:
T 2 (x) = 2х 2 -1
T 3 (x) = 2х (2х 2 -1) = 4х 3-2х
T 4 (x) = 2х (4х 3-3х)-2х 2 +1 = 2 3 х 4-3х 2 +1
4. На відрізку [-1; 1] многочлен T n (x) має рівно n різних дійсних коренів, які розраховуються за формулою:
Доведемо:
Так як arccosxÎ [0; Π]; k = 0,1, ... n-1, щоб туди потрапляв arcos
5. Коріння многочлена Чебишева перемножуються, чергуються з точками їх екстремуму, причому максимум
T n (x) на [-1; 1] дорівнює 1, тобто
Для точок екстремуму існує зв'язок:
Введемо нормований многочлена Чебишева (старший коефіцієнт = 1, перед х у максимальному ступені)
Теорема Чебишева
З усіх многочленів ступеня n зі старшим коефіцієнтом = 1, нормований поліном Чебишева відхиляється від нуля на відрізку [-1; 1], тобто не існує многочлена Р n * (x), що:max | Р n * (x) | <max | T ^ n (x) |
[-1; 1] [-1; 1] Доказ не потрібно.
Інтерполяція за Чебишевськими вузлам
Завдання: Нехай є деяка функція f (x), визначена на відрізку [a; b]. Як розташувати на відрізку [a; b] n +1 вузол інтерполяції таким чином, щоб мінімізувати максимальне відхилення інтерполяційного полінома Лагранжа від f (x), тобто помилку апроксимації.Залишковий член полінома Лагранжа
Необхідно мінімізувати цей максимум, тобто необхідно знайти такі вузли x k,
Зведемо [a; b] до відрізку [-1; 1]
Повинна існувати зв'язок хÎ [a; b] з t Î [-1; 1]
a b |
t |
x |
-1 1 |
Зв'язок: x = Ct + D
C-коефіцієнт стиснення (розтягування, D-паралельний перенос)
Якщо t = 1
Якщо t =- 1
Тоді:
t k Î [-1; 1],
По теоремі Чебишева поліном Т n +1 нормований многочленом Чебишева, найменш відхилений від нуля на [-1; 1], тому в якості шуканих коренів необхідно взяти коріння многочлена Чебишева на [-1; 1]
Вузли інтерполяції, визначимо за формулою (9.5) забезпечують min, max помилку апроксимації за допомогою інтерполяційних поліномів.
Поліноми рівномірних наближень
Якщо функція f (x) ∞-но диференційовна на [a; b] і в якості вузлів інтерполяції беруться корені многочленів Чебишева, приведені до [a; b], то справедливо:Тобто має місце рівномірна збіжність послідовності інтерполяційного полінома Лагранжа функції f (x).
Теорема Вейєрштрасса: для будь-якої неперервної функції f (x) на [a; b] знайдеться поліном Q n (x), що | f (x) - Р n (x) | <ξ для будь-якої ξ> 0, будь хÎ [a ; b].
Тобто для будь-f (x) неперервної на [a; b], може бути побудована апроксимуючої найкращий поліном, який мінімізує максимальне відхилення між f (x) і Q n (x). Такі поліноми називають многочленами найкращих рівномірних наближень.
На жаль, загальний вигляд таких поліномів і способи побудови не відомі.
Економізація статечних рядів
Ряд Тейлора є локальною апроксимацію для f (x) статечної функції виду x n можна замінити поліном Чебишева і отримати розкладання за цим многочленів замість статечного ряду:Такий процес називається економізацію степеневого ряду.
Розкладання по многочленів Чебишева має меншу максимальну похибку.
ЛЕКЦІЯ № 10,11
Інтерполяційний СПЛАЙН
Коли інтерполяційний відрізок [a; b] великий, немає, підстави вважати, функцію f (x) досить гладкою, на [a; b], то не можна підвищувати точність апроксимації за рахунок збільшення ступеня інтерполяційного многочлена.
Пов'язано це з тим, що у многочлена n-го ступеня може бути n-1 точка екстремуму. При n → ∞ графік многочлена починає сильно коливатися
Таке явище називають феноменом Рунге.
Тому більш перспективним є застосування кусково-поліноміальної апроксимації, при якій апроксимуюча функція складається з окремих многочленів (сплайнів). Кожен з яких (однакові і найбільшою мірою) визначено на своїй ділянці відрізка [a; b].
Розглянемо апроксимацію кусково-лінійної функції (лінійний сплайн).
Нехай f (x) задана таблично на [a; b], тобто визначені деякі вузли інтерполяції a ≤ x 0 <x 1 <... <x n ≤ b
Необхідно: φ (x i) = y i = f (x i),
x = x 0: φ (x 0) = f (x 0) = y 0 a 1 x 0 + b 1 = y 0
a 2 x 1 + b 2 = y 1
x 0 x 1 x 2
Отримаємо систему:
а 0 x 0 + b 1 = y 0 (вирішуємо окремо кожну систему)
a 2 x 1 + b 2 = y 1
a 2 x 1 + b 2 = y 1
a 2 x 2 + b 2 = y 2 (10.2)
a n x n-1 + b n = y n
a n x n + b n = y n
Таким чином, отримано систему з 2n рівнянь для пошуку 2n невідомих. Причому, система (10.2) утворена з n систем лінійних рівнянь для 2-х невідомих, кожна з яких може вирішуватися незалежно від інших.
Кусково-лінійна функція φ (x) виду (10.1) всередині інтервалу (х i -1; x i),
Кусково-квадратична апроксимація
Нехай f (x) задана таблично на [a; b], але n = 2m (парне) a ≤ x 0 <x 1 <... <x n ≤ bЩоб функція наближала f (x) накладемо обмеження φ (x i) = y i = f (x i),
Загальна кількість вузлів 2n +1, якщо n-парне.
Для знаходження невідомих коефіцієнтів a k, b k, c k необхідно побудувати 3m умов.
k = 1
[X 0; x 2]
Узагальнимо, отримаємо систему:
Для знаходження невідомих маємо 3m умов. При кожному значенні
Вирішувати її можемо незалежно від інших умов.
Кусково-квадратична φ (x) виду (10.3) всередині інтервалу (x 2 n -2-x 2 n),
є безперервною, але не диференційовною.
Визначення сплайна
Нехай на відрізку [a; b] задана деяка система вузлів a 0 ≤ x 0 <x 1 <... <x n ≤ b
Сплайном S n (x) називається функція, яка визначена на [a; b], l раз неперервна і диференційовна на ньому, при цьому на кожному з відрізків
[Х к-1; х к], к =
Різниця (m-1) називається дефектом сплайна (показує різницю між ступенем складових його многочленів і ступенем гладкості загальної функції).
Якщо сплайн побудований за деякою таблично заданої функції f (x) таким чином, що S (х i) = f (x i); x i, i =
Очевидно, що функція (10.1) є інтерполяційним сплайном ступеня 1, дефекту 1, а кусково-квадратична функція (10.3) є інтерполяційним сплайном, ступеня 2, дефекту 2.
Інтерполяційний сплайн ступеня 3, дефекту 1.
Двічі безперервно - диференційовних - сплайн.
Нехай задана таблична функція на [a; b], причому a = χ 0 ≤ χ 1 <... <χ n = b (вузли сплайна збігаються з вузлами інтерполяції). Загальний вигляд:
Умови:
1.) G (x i) = f (x i) = y i, i =
2.) G (x) = c 2 (двічі диференційовна) [a; b]
3.) - Крайові умови
Для знаходження невідомих коефіцієнтів введемо функцію
g n (x) = a k (xx k) 3 + b k (xx k) 2 + c 1 (xx k) + d k, xÎ [x k -1; x k]
1.) G 1 (x 0) = y 0, g 1 (x 1) = y 1, g 2 (x 2) = y 2, ... g n (x n) = y n
2.) Перша умова (сплайн інтерполяційний)
3.)
Крайові умови:
Таким чином, для знаходження 4n невідомих ми побудуємо 4n умов.
Теорема (10.1). Інтерполяційний сплайн виду (10.5) для функції f (x) єдиний.
Теорема (10.2). Нехай g (x) - інтерполяційний сплайн ступеня 3 дефекту 1, побудований для функції f (x) З 4 на відрізку [a; b], тоді для
| F (x) - g (x) | <C
Лінійний фільтр
Поняття лінійного сплайна дозволяє сформулювати підходи до побудови лінійних фільтрів, призначених для усунення випадкових помилок у даних.
Зазвичай під час вимірювань на процес фіксації даних впливають випадкові перешкоди. Для того, щоб зменшити вплив цих перешкод на якість інтерполяції здійснюють перерахунок значень функції у вузлах інтерполяції за такою формулою:
Квадратичний сплайн дефекту один
Вузли цього сплайна не збігаються з вузлами інтерполяції функції.
Нехай вузли інтерполяції задані на [a; b]
χ 0 χ 1 χ 2 χ n-1 χ n |
a |
b |
Для сплайна n +2 вузлів
Квадратичний сплайн дефекту 1 має вигляд:
Умови:
1.)
2.) P (x) Î C '[a; b],
3.) Крайові умови:
P''(a) = A; P''(b) = B;
A і B-константи і бажано різні;
Щоб побудувати сплайн необхідно знайти 3n +3 невідомих коефіцієнта. З цією метою сформую функцію:
P n (x) = a k
Умови:
1.) P i +1 = y i, i =
2.) P k
P 'k
3.) P 1
Теорема 11.1. Квадр. Сплайн дефекту один, виду (11.1) для функції існує і єдиний.
Теорема 11.2. Нехай функція f (x) двічі неперервна і диференційовна на [a; b], а P (x) - сплайн виду (11.1), тоді для
| F (x)-P (x) | ≤ C 0 Δ 2
| F '(x)-P' (x) |
| F''(x)-P''(x) |
де Δ-максимальна відстань між вузлами інтерполяції, тобто Δ = max (x k-x k -1) 1 ≤ k ≤ n
Метод найменших квадратів
1. Формула методу найменших квадратів, для лінійної функції декількох змінних.
2. Типові способи перетворення нелінійної функції до лінійної.
3. Метод найменших квадратів для системи лінійно - незалежних функцій.
4. Ряди і поліноми Фур'є з використанням методу найменших квадратів.
Нехай аппроксіміруемая функція являє собою функції n змінних y = f (x 1 ... x n), яка задана таблицею своїх значень:
інформаційна матриця
Такі таблиці формуються в ході експерименту для реальних об'єктів, у яких є одна вихідна змінна (відгук), яка залежить від декількох вихідних змінних (факторів).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
x n |
x 1 |
... ... ... ... ... ... |
y |
необхідно апроксимувати нашу функцію за допомогою побудови лінійної функції (наближає).
Необхідно побудувати наближення даної функції f (x 1 ... x n), заданої інфо - матрицею допомогою функції φ (x 1 ... x n) = y, яка повинна бути лінійною, тобто її загальний вигляд:
y = φ (x 1 ... x n) = b 0 + b 1 x 1 + ... + b n x n (11.2)
b i - невідомі коефіцієнти (параметри)
Завдання апроксимації полягає у визначенні b i.
Який критерій для вибору цих параметрів?
Нехай f (x)-функція однієї змінної і точки, в якій вона визначена, зображені на координатній площині.
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x |
y y 5 y 2 y 4 y 3 y 1 |
(X 5; y 5) |
(X 1; y 1) |
(X 3; y 3) |
(X 2; y 2) |
(X 4; y 4) |
Проводимо пряму, мінімізуємо суму квадратів відстаней.
Оскільки в ході експерименту на об'єкт можуть впливати випадкові перешкоди, то в інфо - матриці можуть бути присутніми значення, які не характерні для самої функції, в силу цього вимагати від апроксимуючої функції збігу значень зі значеннями вихідної функції у всіх точках невірно.
Необхідно мінімізувати суму квадратів відхилень апроксимуючої функції від вихідних в заданих точках:
Для даної задачі критерій (11.3) буде мати вигляд:
Функція квадратична, параболоїд. Точка, в якій похідні приватні всі будуть рівні 0
Так як функція (11.4) є квадратичної відносно змінних b i , То для знаходження її мінімуму за цим змінним досить вирішити систему (11.5)
У системі (11.6) кожне рівняння ділимо на 2 і розкриваємо суму; переносячи суму до частини y j знак рівності:
Система (11.7) являє собою СЛАР щодо b i і може бути вирішена одним з відомих методів.
Для спрощення запису та вирішення представимо систему (11.7) в матричному вигляді. Введемо матриці:
Стовпець з 1 додали в U з метою універсалізації рішень, так як лінійну функцію можна представити у вигляді:
y = b 0 x 0 + b 1 x 1 + ... + b n x n, де x 0 = 1
Тоді система (11.7) може бути записана в наступному вигляді:
[U T U] B = U T Y (11.8)
Системи (11.7) і (11.8) називаються нормальними. Використовуючи, метод оберненої матриці система (11.8) має вигляд:
B = [U T U] -1 U T Y (11.9)
(11.9) - метод найменших квадратів для лінійної функції.