ЛЕКЦІЯ № 12
ТІПОВИЕСПОСОБИ НАБЛИЖЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ МНК НЕЛІНІЙНИХ ФУНКЦІЙ В ЛІНІЙНІ
Переважна більшість процесів реального світу носить лінійний характер, тому область, використання лінійних моделей досить обмежена, в той же час для побудови нелінійних моделей добре розроблений математичний апарат. Розглянемо деякий перетворення, що дозволяє при побудові нелінійними функціями скористатися методом МНК для лінійної функції.
Аппроксіміруемая Лінійна Заміна
функція функція

Взагалі поліноми вище 6-го ступеня за допомогою МНК ніколи не будують, тому що з'являються серйозні помилки заокруглень розгойдування. На практиці обмежуються квадратической залежністю.
МНК для системи лінійно-незалежних функцій.
Нехай задана система лінійно-незалежних функцій однієї змінної . Під лінійно-незалежної функцією розуміємо таку систему, в якій жодна з функцій не може бути представлена ​​у вигляді лінійної комбінації інших функцій.
Задано f (x) таблично на [a; b] за системою вузлів x _j , Y _j = f (x _j)
Розглянемо наближення f (x) за допомогою узагальненого многочлена:
(12.1)
Необхідно знайти невідомі коефіцієнти з (12.1)
(12.2)
Критерій (12.2) являє собою квадратичну функцію щодо параметрів b _i.
Запишемо
(12.3)
Отримаємо
(12.4)
Система (12.4) являє собою СЛАР відносно параметрів b _i і може бути вирішена одним з відомих методів.
Розглянемо один з окремих випадків цієї системи, коли функції є ортогональними.
Введемо поняття скалярного добутку функції.
(12.5)
Лінійно-незалежна система функцій є ортогональною якщо

Для системи ортогональних функцій рішення системи (12.4) виходить елементарно.
(12.6)
Коефіцієнти (12.6) називаються коефіцієнтами Фур'є, а многочлен (12.1) називається узагальненим многочленом Фур'є.
Тригонометричні ряди і поліноми Фур'є у використанні МНК
Для наближення тригонометричних функцій в аналізі використовують тригонометричні ряди Фур'є.
Періодичної називається функція, для якої виконується рівність:
f (x + KP) = f (x)
P-найменша позитивний період.
Нехай g (x) має P, тоді f (x) = g (Px/2π) буде мати період 2π.
Нехай f (x)-функція, що має період 2π, тоді вона може бути представлена ​​поруч:
(12.7)
(12.8)
(12.8) тригонометричний ряд Фур'є.
(12.9)
Коефіцієнти Фур'є можуть бути отримані також методом МНК для системи ортогональних лінійно-незалежних функцій.
Нехай значення таблично-заданої функції відомі в точках

Тригонометричні поліноми використовуються для тригонометричних процесів.

ЛЕКЦІЯ № 13

КІЛЬКІСНІ ДІФФІРІНЦІРОВАНІЕ І ІНТЕГРУВАННЯ
 
Чисельне диференціювання
1.1 Розрахунок похідних аналітично заданої функції
1.2 Знаходження похідних таблично заданої функції
Чисельне інтегрування
2.1 Формули прямокутників
2.2 Формули Ньютона - Котеса
Формули Сімпсона і Ньютона
2.3 Формули Чебишева і Гауса
Чисельне диференціювання застосовується у випадках, коли аналітичне знаходження похідних призводить до громіздким обчисленням, (особливо при необхідності мати однаковий алгоритм для обчислення похідних заданих функцій, а також тоді, коли функція задана таблично).
§ 1.1 Для аналітично заданих функцій розглянемо такі способи чисельного диференціювання:
1.) Межа відносини збільшень;
2.) За допомогою центрованих різницях;
Границя відношення збільшень

Будуємо послідовності {h _k} так, щоб h _k → 0 обчислюємо межа послідовності {D _k}, де
D _k = k = 1,2 .. n
Обчислення проводять до деякого n, при якому виконується умова:
| D _{n +1-D n} | ≥ | D _{n-D n -1} |
Крок вибираємо самі (обгрунтувати).
Центровані різниці
Нехай наша функція тричі неперервно диференційовна на [a; b]:
f c ³ [a; b] xh, h, x [A; b]
тоді
Ця наближена формула має другий порядок точності.
Помилка: 0 (h ^2). Розкладемо функцію в ряд Тейлора:


Віднімемо з першої рівності другу:
f (x + h)-f (xh)

ЛЕКЦІЯ № 14
У разі, коли не можна висловити, або функція задана таблично, знаходження інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе.
Використовують наближені формули, які називають квадратура, або формулами чисельного інтегрування.
1) Формули прямокутника
Нехай y = f (x) неперервна на [a, b]. Потрібно обчислити .
Розіб'ємо відрізок інтегрування на n рівних частин, точками x _i, i = 0, n

x 0 x 1 x 2 x 3 x n

x _i = ai * h
крок розбиття
На відрізку [x _{i -1;} x _i] візьмемо довільну точку x _i. З визначення наш інтеграл дорівнює (14.1)
загальна форма прямокутника.
Геометрична інтерпретація формули прямокутника.

Площа обмежена графіком функції y = f (x) на відрізку віссю абцис і замінюється площею прямокутника з висотою рівною f (x _i). Відзначимо окремий випадок формули прямокутника.

1) Нехай x _i це x _i. З формули 14.1 видно .
Точність 0 (h) порядку один. Формула лівих прямокутників
2) x _i = x _i. формула правих прямокутників 0 (h).

3) x _i = 1 / 2 (x _{i -1} + x _i). Вийшла формула середніх прямокутників. . Точність приблизно два 0 (h ^2).

2) Формула Ньютона-Котеса
-Загальна формула

Н-коефіцієнт Котеса.
x _k = a + b * h k = 0, n
Нехай n = 1 означає
Нехай n = 2, то
Застосування формули Ньютона-Котеса високих порядків може бути виправдана при досить високої гладкості підінтегральної функції, тому проміжок інтегрування будемо дробити на дрібні частини, на кожній з яких можна застосувати формулу Н-К невисокого порядку. Виведемо формулу трапеції Сімсона-Ньютона.

x i-1

x i

y i-1

y i

y _i = f (x _i), i = 0, n. Точність приблизно два 0 (h ^2). Ця формула точна для многочленів першого ступеня.

Геометрична інтерпретація

На елементарному відрізку [x _{i -1;} x _i] площа під кривою вважають рівною площі трапеції з основами y _{i -1} і y _i і висотою h. h = x _{i-x i -1}

Формула Сімсона

x 2i-2 x 2i-1 x 2i

Нехай n = 2m. Число розбиття відрізків парне. Тоді точна для многочлена в третього ступеня.

Геометрична інтерпретація

На відрізку [x _{2 i -2;} x _{2 i]} довжиною 2h
Будував парабола, що проходить через три точки. Площа під параболою, заключення між віссю абцісс і прямими x _{2 i -2} і x _{2 i} і приймає рівний інтеграл.
Формула Ньютона - це формула Сімсона 3 / 8.
Нехай n = 3m. Кількість відрізків розбиття непарне.
точна для поліномів третього ступеня.
2) Формула Чебишева-Гауса
Квадратури Гауса використовують, якщо інтегрована функція задана аналітично. Підінтегральної функції апроксимується поліномами різних ступенів. Загальний вигляд лінійно-квадратівной формули , Де A _i - вагові функції.
Формула Гауса: точна для многочленів N = 2n-1 ступеня. A _i і t _i обчислені і табулював

Формула Чебишева: точна для многочлена степеня n.
Точки t _i обчислені і табулював для n = 2,3 ... 7,9. Для n = 8 і більше 10 t _i не сушествует.
n = 2-t _i = t ₂ = 0.577350
n = 3-t _i = t ₃ = 0.707107 t ₂ = 0
n = 4-t _i = t ₄ = 0.794654-t ₂ = t ₃ = 0.187592
Для обчислення інтеграла за формулами 4 і 5 слід зробити заміну змінних
Тоді наш інтеграл дорівнює
Зауваження: правило Рунге використовується для оцінки похибки.
Обчислюють інтеграл по вибраній квадратівной формуледважди, спочатку з кроком h, потім h / 2. Потім, якщо отримане значення> e, то вважають, що наш інтеграл дорівнює I = I _{2 n,} інакше крок h / 4.
| I _{n-I 2 n} | <e

ЛЕКЦІЯ № 16
Метод Рунге-Кутта (четвертого порядку)
Нехай поставлена ​​задача Коші, де функція f (x, y) 4 рази неперервно диференційовна. Необхідно знайти рішення цього завдання на [x _0, b], x _k = x ₀ + k * h, k = 0, n; h = (bx ₀₎ / n.
(16.1)
Багатокрокові методи. Метод прогнозу та корекції Адамса.
Ідея багатокрокових методів полягає в тому, що при розрахунку значення шуканої функції до деякої подальшої точці x _{k +1} використовують значення функції в кількох попередніх точках x _{k -1,} x _{k -2} .... загальна точність методу дорівнює кількості випробувань точок. Всі m-крокові методи можна описати формулами:
16.2
При b ₀ = ₀ ми отримуємо явні методи, при b ¹ 0 - неявні методи.
Об'єднання ідей явних і неявних методів, дозволило отримати методи прогнозу і корекції. Їх суть в тому, що на "кроці може бути отримано значення відношення наближеного значення. У (х) від точного, і при необхідності, наближене значення може бути виправлено, поновлено на цю помилку.
у (х _{0)-визначається} з умови задачі Коші
у (х _1), у (х _2), у (х ₃₎ ... у (х _{m -1)} знаходиться за допомогою явних методів Рунге-Кутта. Багатокрокові методи зручно застосовувати на довгих відрізках [x _0, b].
Розглянемо методи погнозу та корекції Адамса 4 порядку.
Нехай поставлена ​​задача Коші 15.3 необхідно знайти значення у (х) на [x _0, b] у т.x _k
[X _0, b] x _k = x ₀ + k * h k = 0, n; h = (bx ₀₎ / n
16.3
Локальна точність
Відомо, що на "кроці точне значення функції в т.х _до у (х _к) відрізняється від наближеного значення х _до на величину.
16.4
16.5
де ε задана точність
Рішення задачі Коші для систем диференціальних рівнянь
Найбільш і найкраще іследована система диференціальних рівнянь
1-го порядку. Система з n рівнянь має вигляд:
16.6
У векторному вигляді система 16.6 записується так:

Початкові умови системи 16.6 мають вигляд:
16.7
У загальному вигляді система 16.6 має безліч рішень, а з початковою умовою може мати єдине рішення.
Завданням Коші для системи з n диференціальних рівнянь 1-го порядку називаються 16.6 з початковою умовою 16.7.
Приклад:
Нехай є певний продукт. Відома швидкість випуску цього продукту (продуктивність). Необхідно скласти модель, що дозволяє прогнозувати Колві продукції та загальні витрати підприємства на її виготовлення та зберігання. Нехай V-об'єм.

Метод Ейлера. Рішення задач Коші для систем диференціальних рівнянь.
Нехай поставлено завдання 16.6,16.7.
Необхідно знайти значення функцій у ₁ ... у _n на відрізку [x _0, b], x _k = x ₀ + k * h, k = 0, m
16.8
У векторному вигляді:
Локальна точність порядку h ²
Загальна точність порядку h.
Метод Рунге-Кутта розв'язання задач Коші для систем диференціальних рівнянь.
Нехай поставлена ​​задача Коші 16.6,16.7. Необхідно знайти значення функції на відрізку [x _0, b] у т.х _до ... ..
З цією метою ісползуется Рекурентні формула
16.9
Рішення диференціальних рівнянь вищих порядків.
y ⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y ', ... y ^{(n -1)} 16.10
Для рівняння 16.10 можна задати наступне початкова умова:
16.11
Рішення 16.10 і 16.11 здійснюється шляхом переходу до еквівалентної задачі Коші для систем диференціальних рівнянь 1-го порядку.
Заміна має вигляд:
z ₁ (x) = y '(x)
z ₂ (x) = y''(x)
z _n-1 (x) = y ^(n-1) (x)