Зміст
Введення
1. Постановка завдання
2. Математичні та алгоритмічні основи рішення задачі
2.1 Поняття подвійного інтеграла
2.2 Геометричний сенс подвійного інтеграла
2.3 Метод осередків
3. Функціональні моделі розв'язання завдання
4. Програмна реалізація рішення задачі
5. Приклад виконання програми
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Введення
Під чисельним інтегруванням розуміється інтегрування аналітичних виразів за допомогою методів наближених чисельних методів, тобто методів, що зводяться до виконання кінцевого числа елементарних операцій над числами.
Виникнення завдань інтегрального числення пов'язано із знаходженням площ і обсягів. Ряд завдань такого роду було вирішено математиками стародавньої Греції. Антична математика передбачила ідеї інтегрального числення в значно більшою мірою, ніж диференціального числення. Велику роль при вирішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Кнідським (ок.408 - ок.355 до н. Е.) і широко застосовувався Архімедом (ок.287 - 212 до н. Е.).
Однак Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтегралі, а тим більше не створив алгоритму інтегрального числення. Вчені Середнього та Близького Сходу в IX - XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда на загальнодоступний в їх середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному численні вони не отримали.
Діяльність європейських вчених у цей час була ще більш скромною. Лише у XVI і XVII століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання на обчислення площ фігур), кубатури (завдання на обчислення об'ємів тіл) та визначення центрів ваги.
Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (латинською та грецькою мовами), стали залучати широку увагу, і їх вивчення стало одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального числення. Архімед передбачив багато ідей інтегрального числення. Але знадобилося понад півтори тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження і були доведені до рівня обчислення.
Математики XVII століття, отримали багато нових результати, навчалися на працях Архімеда. Активно працював і інший метод - метод неподільних, який також зародився в Стародавній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли собі складеної з вертикальних відрізків довжиною f (x), яким проте приписували площу, рівну нескінченно малою величиною f (x) dx. Згідно з таким розумінням шукана площа вважалася рівною сумі
S =
нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі складові у цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.
На такій уявній тепер щонайменше сумнівною основі І. Кеплер (1571 - 1630 рр..) У своїх творах "Нова астрономія" (1609 г) і "Стереометрія винних бочок" (1615 г) правильно вирахував низку площ (наприклад площу фігури, обмеженої еліпсом) і обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі пластинки).
Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальєрі (1598 - 1647 роки) та Е. Торрічеллі (1608 - 1647 роки).
У XVII столітті були зроблені багато відкриттів, пов'язані з інтегрального числення. Так, П. Ферма вже в 1629 році вирішив задачу квадратури будь-якій кривій y = , Де n - ціле (тобто вивів формулу
), І на цій основі вирішив низку завдань на знаходження центрів тяжіння. І. Кеплер при виведенні своїх знаменитих законів руху планет, фактично спирався на ідею наближеного інтегрірованія.І. Барроу (1603-1677 роки), учитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв'язку інтегрування і диференціювання. Велике значення мали роботи з поданням функції у вигляді степеневих рядів.
Однак при всій значущості результатів, отриманих математиками XVII століття, обчислення ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання та інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, що відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона - Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Треба було ще навчитися знаходити Первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового обчислення і т.п. Але головне вже було зроблено: диференціальне та інтегральне числення створено.
Методи математичного аналізу активно розвивалися в наступному сторіччі (в першу чергу слід назвати імена Л. Ейлера, що завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, та І. Бернуллі). У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики М.В. Остроградський (1801 - 1862 рр..), В.Я. Буняковський (1804 -1889 рр..), П.Л. Чебишов (1821 - 1894 рр..). Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, довів, що існують інтеграли, не виразність через елементарні функції.
Суворе виклад теорії інтеграла з'явилося тільки в минулому столітті. Вирішення цього завдання пов'язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 - 1866 рр..), Французького математика Г. Дарбу (1842 -1917).
Відповіді на багато питань, пов'язаних з існуванням площ і обсягів фігур, були отримані з створенням До Жорданом (1826 - 1922 рр..) Теорії міри.
Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку нашого століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 рр..) Та А. Данжуа (1884 - 1974) радянським математиком А.Я. Хічіним (1894 - 1959 рр..).
1. Постановка завдання
Мета даної курсової роботи - реалізація чисельного інтегрування функції двох змінних.
Для деяких подинтегральних функцій інтеграл можна обчислити аналітично або знайти в довідниках. Проте в загальному випадку первообразная може бути не визначена: або Первісні не виражаються через елементарні функції, або самі підінтегральна функція не є елементарними. Це призводить до необхідності розробки наближених методів обчислення визначених інтегралів. Найбільш загальновживаними наближеними методами обчислення одновимірних певних інтегралів є, так звані, "класичні" методи чисельного інтегрування: метод прямокутників, метод осередків, метод трапецій, метод парабол.
Одним з найпростіших способів обчислення подвійного інтеграла є метод осередків, заснований на підсумовуванні елементарних площ, на які розбивається вся площа під функцією.
Для вирішення прикладів скористаємося пакетом Mathcad.
Приклад 1.
Обчислити інтеграл
.
Рішення:
Результат обчислення
Приклад 2.
Обчислити інтеграл
.
Рішення:
Результат обчислення
Приклад 3.
Обчислити інтеграл
.
Рішення:
Результат обчислення
2. Математичні та алгоритмічні основи рішення задачі
2.1 Поняття подвійного інтеграла
Подвійний інтеграл - це узагальнення певного інтеграла на двовимірний випадок. Тобто для визначення поняття подвійного інтеграла використовується функція, що залежить вже від двох змінних: f (x, y). Ця функція повинна бути визначена на деякій, яка має кінцевої площею, області D площини X0Y. При цьому межа області D повинна складатися з кінцевого числа графіків безперервних функцій.
Позначення подвійного інтеграла
2.2 Геометричний сенс подвійного інтеграла
Для того, щоб зрозуміти, що ж представляє з себе подвійний інтеграл з геометричної точки зору, давайте подивимося на малюнок нижче.
Рисунок 1 - Геометричний сенс подвійного інтеграла
Отже, нехай у просторі ми маємо деяке тіло (криволінійний циліндр [на відміну від криволінійної трапеції у певному інтегралі]), обмежене зверху поверхнею f (x, y), з боків - деякої циліндричною поверхнею (утворюють якої паралельні осі OZ), а знизу площиною X0Y.
Не заглиблюючись особливо в теорію, візьмемо з неї головне: Геометричний сенс подвійного інтеграла: при неотрицательной функції f (x, y), подвійний інтеграл по області D представляє з себе обсяг криволінійного циліндра, який побудований на області D і обмежений зверху поверхнею z = f (x, y).
2.3 Метод осередків
Одним з найпростіших способів чисельного інтегрування функції двох змінних є метод осередків.
Розглянемо спочатку випадок, коли областю інтегрування G інтеграла I = є прямокутник:
,
.
По теоремі про середню знайдемо середнє значення функції f (x, y):
S = (b - a) (d - c). (1)
Малюнок 2 - Метод осередків
Будемо вважати, що середнє значення приблизно дорівнює значенню функції в центрі прямокутника, тобто
.
Тоді з (1) отримаємо вираз для наближеного обчислення подвійного інтеграла:
(2)
Точність цієї формули можна підвищити, якщо розбити область G на прямокутні осередки D ij (рис.1):
x i-1 i (i = 1,2, ..., M),
y i-1 i (j = 1,2, ..., N).
Застосовуючи до кожному осередку формулу (3), отримаємо
òò D Gij f (x, y) dxdy »| ( ) D x i D y i.
Підсумовуючи ці висловлювання по всіх осередків, знаходимо значення подвійного інтеграла:
I,
j) (3)
У правій частині стоїть інтегральна сума; тому при необмеженій зменшенні периметрів осередків (або стягання їх в точки) ця сума прагне до значення інтеграла для будь-якої неперервної функції f (x, y). Можна показати, що похибка такого наближення інтеграла для одного осередку оцінюється співвідношенням
R ij » D x i D y j
.
Підсумовуючи ці висловлювання по всіх клітинок і вважаючи всі їхні площі однаковими, отримуємо оцінку похибки методу осередків у вигляді
O (D x 2 + D y 2).
Таким чином, формула (3) має другий порядок точності. Для підвищення точності можна використовувати звичайні методи згущення вузлів сітки. При цьому по кожній змінної кроки зменшують в однакове число разів, тобто ставлення M / N залишається постійним.
Якщо область G непрямокутної, то в ряді випадків її доцільно навести до прямокутному увазі шляхом відповідної заміни змінних. Наприклад, нехай область задана у вигляді криволінійного чотирикутника: ,
. Дану область можна привести до прямокутному увазі з допомогою заміни
,
.
Крім того, формула (3) може бути узагальнена і на випадок більш складних областей.
3. Функціональні моделі розв'язання завдання
Функціональні моделі розв'язання завдання представлені на малюнках 3 - 5.
Використані позначення:
f - інтегрована функція;
ax - початкова межа інтегрування по x;
bx - кінцевий межа інтегрування по x;
ay - початкова межа інтегрування по y;
by - кінцевий межі інтегрування по y;
g - кількість осередків;
h1 - ширина вічка;
h2 - висота комірки;
S - площа осередку;
I - інтеграл від функції f;
x, y - координати центра осередку.
Рисунок 3 - Функціональна модель вирішення задачі для функції sum _ delt
Рисунок 4 - Функціональна модель вирішення задачі для функції sum _ delt
Рисунок 5 - Функціональна модель вирішення задачі для функції double _ integral
4. Програмна реалізація рішення задачі
;; Функція обчислення інтеграла
(Defun double_integral (ax bx ay by gf)
;; Ширина комірки
(Setq h1 (/ (- bx ax) g))
;; Висота комірки
(Setq h2 (/ (- by ay) g))
;; Площа комірки
(Setq S (* h1 h2))
;; Змінна для обчислення інтеграла
(Setq I 0)
;; Інтегральна сума
(Setq I (sum_delt (- bx (/ h1 2)) (+ ay (/ h2 2)) ax bx ay by h1 h2 I f))
)
;; Обчислення суми площ осередків
(Defun sum_delt (xy ax bx ay by h1 h2 I f)
(Cond
((> = Y by) I)
(T (sum_delt (- bx (/ h1 2)) (+ y h2) ax bx ay by h1 h2 (delta_x xy ax h1 h2 I f) f))
)
)
;; Обчислення площі осередку в точці x y
(Defun delta_x (xy ax h1 h2 I f)
(Cond
((<= X ax) I)
(T (delta_x (- x h1) y ax h1 h2 (+ I (* h1 h2 (funcall fxy))) f))
)
)
;; Довантажує функцію і межі інтегрування
(Load "D: \ \ function. Txt")
;; Обчислюємо інтеграл
(Setq I (double_integral a_x b_x a_y b_y count_dot (function f)))
; Відкриваємо файл для запису
(Setq output-stream (open "d: \ \ integral. Txt": direction: output))
;; Записуємо результат інтегрування в файл
(Format output-stream "Integral = ~ a" I)
; Закриваємо файл
(Close output-stream)
;; End
Файл function. txt
;; Інтегрована функція
(Defun f (x y)
(+ (- 1 x) (* y y))
)
;; Початкова межа по x
(Setq a _ x 0.5)
;; Кінцевий межа за x
(Setq b _ x 1)
;; Початкова межа по y
(Setq a _ y - 3)
;; Кінцевий межа за y
(Setq b _ y 2)
;; Кількість осередків
(Setq count _ dot 100)
5. Приклад виконання програми
Малюнок 6 - Вхідні дані
Малюнок 7 - Вихідні дані
Малюнок 8 - Вхідні дані
Рисунок 9 - Вихідні дані
Рисунок 10 - Вхідні дані
Малюнок 11 - Вихідні дані
Висновок
Проблема підвищення якості обчислень, як невідповідність між бажаним і дійсним, існує і буде існувати надалі. Її вирішення сприятиме розвиток інформаційних технологій, яке полягає як в удосконаленні методів організації інформаційних процесів, так і їх реалізації за допомогою конкретних інструментів - середовищ і мов програмування.
Підсумком роботи можна вважати створену функціональну модель реалізації чисельного інтегрування функції двох змінних. Створена функціональна модель і її програмна реалізація можуть служити органічною частиною вирішення більш складних завдань.
Список використаних джерел та літератури
Бронштейн І.М. Довідник з математики для інженерів і учнів втузів [Текст] / І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 2007. - 708с.
Васильєв Ф.П. Чисельні методи розв'язання екстремальних задач. [Текст] / Ф.П. Васильєв - М.: Наука, 2002. - 415с.
Інтегрування [Електронний ресурс] - Режим доступу: http://integraly. Ru /.
Каліткін М.М. Чисельні методи. [Електронний ресурс] / М.М. Каліткін. - М.: Питер, 2001. - 504с.
Чисельне інтегрування [Електронний ресурс] - Режим доступу: http://www.wikipedia. Org / wiki / Чісленное_інтегрірованіе.
Сіманков В.С. Основи функціонального програмування [Текст] / В.С. Сіманков, Т.Т. Зангієв, І.В. Зайцев. - Краснодар: КубГТУ, 2002. - 160с.
Степанов П.А. Функціональне програмування мовою Lisp. [Електронний ресурс] / П.А. Степанов, А.В. Бржезовскій. - М.: ГУАП, 2003. - 79 c.
Хювенен Е. Світ Ліспу [Текст] / Е. Хювенен, Й. Сеппянен. - М.: Світ, 1990. - 460с.