Віктор Кулігін, Галина Кулігіна, Марія Корнєва, Дослідницька група «Аналіз»
Теорема про порушення єдиності рішення
Теорему про існування та єдиності розв'язку задачі Коші можна знайти в [1] (стор.44 ... 46). Логіка докази призводить до однорідного хвильовому рівнянню (77) (див. стор.45 в [1]), рішення якого повинне задовольняти нульовим початковим і граничним умовам (стор.45 в [1]). Далі йде доказ, що рішення цього рівняння тривіальне і на підставі цього робиться висновок про єдиності рішення задачі Коші для хвильового рівняння.
Виявляється, існує безліч рішень задачі Коші для хвильового рівняння. Ми наведемо доказ для вільного простору (одновимірний випадок). Це продиктовано наступними міркуваннями. По-перше, докази не перевантажено додатковими деталями. По друге, доказ цього випадку не порушує спільності міркувань і його неважко узагальнити на випадок наявності граничних умов. По-третє, нас цікавлять процеси у вільному просторі (випромінювання і розповсюдження хвиль в електродинаміки), до яких це доказ має пряме відношення.
Доказ
Розглянемо однорідне хвильове рівняння в безмежному одновимірному просторі з нульовими початковими умовами.
| (1) |
Початкові умови: v = 0 і ∂ v / ∂ t = 0 при t = 0.
Уявімо тепер функцію v як суму деяких двох функцій:
| v = u + f | (2) |
Підставимо цей вираз в (1) і перенесемо члени, що залежать від f в праву частину рівняння (1).
| (3) |
Ми можемо вибрати і привласнити функції f певний вираз. Нехай, наприклад,
f = (cosπx · sinat) 4, коли -1 <x <1 і 0 <t <π / a;
f = 0 якщо x <-1 або x> 1 і t> π / a або t <0.
Функція обмежена f в просторі і в часі. У цьому випадку рівняння (3) перетворюється в неоднорідне хвильове рівняння, права частина якого нам відома. Тепер ми можемо сформулювати початкові умови для функції u.
Початкові умови:
| u = - f (x; 0) і ∂ u / ∂ t = - ∂ f / ∂ t при t = 0 | (4) |
Рішення рівняння (3) з початковими умовами (4) існує (див., наприклад, [1], стор.75, вираз (24)). Отже, ми маємо остаточний результат - нове, нетривіальне рішення однорідного хвильового рівняння з нульовими початковими умовами. Запишемо загальне ненульове рішення однорідного хвильового рівняння, що задовольняє задачі Коші з нульовими початковими умовами:
, | (5) |
де.
Функція f не повинна бути рішенням хвильового рівняння.
Ми бачимо, що друге рішення існує і відмінно від нуля при t> 0. Таким чином, теорема про порушення єдиності розв'язку задачі Коші для хвильового рівняння доведена.
Застосування результатів
Отримане доказ служить обгрунтуванню методу отримання нових рішень, описаного в [2], [3] та інших статтях авторів. Воно має прямий зв'язок з калібруванням рішень в електродинаміки [2], [3].
Нехай ми маємо неоднорідне хвильове рівняння
з відповідними початковими умовами: v = φ (x) і ∂ v / ∂ t = ψ (x) при t = 0.
Уявімо рішення цього рівняння у формі (2): v = u + f.
Залишимо в лівій частині хвильового рівняння тільки члени, що залежать від u. Як і в попередньому випадку ми могли б задати явний вигляд функції f (як кажуть: «взявши її зі стелі») і отримати рішення неоднорідного рівняння. Але можна поступити інакше. Ми можемо накласти на f деяка умова. Наприклад, ми можемо вимагати, щоб функція f задовольняла рівняння Пуассона:
∂ 2f / ∂ x2 = F (x; t).
Якщо рішення цього рівняння існує (функція F (x: t) інтегровна), то рівняння для функції u визначено та визначено початкові умови задачі Коші: u = φ (x)-f (x; 0) і ∂ u / ∂ t = ψ (x) - ∂ f / ∂ t при t = 0.
Такий метод побудови другого рішення по суті є калібруванням рішення. Іншими словами, ми шукаємо рішення як суму виразів, що мають різну функціональну залежність від координат і часу (запізнілі потенціали, мгновеннодействующіе потенціали, потенціали, що задовольняють рівняння теплопровідності і т.д.) Цей метод описаний і використовується в роботах [2], [3] .
Наслідки, що випливають з відсутності єдиності рішення для електродинаміки вельми істотні. Калібрувальна (градієнтна) інваріантність не має місця. У загальному випадку калібрування Лоренца рівнянь Максвелла дає рішення, що відрізняються від рішень у кулоновской калібрування [2], [3]. Однак існує важливий окремий випадок, коли ці калібрування еквівалентні. Він розглянутий в [4].
Залишається додати, що для рівнянь параболічного типу (рівняння теплопровідності, рівняння Шредінгера та ін) можна довести аналогічну теорему. Більше того, можливо, що порушення єдиності рішення має місце також для рівнянь еліптичного типу (наприклад, для задач Діріхле, Неймана та ін.)
Список літератури
Тихонов О.О. і Самарський М.М. Рівняння математичної фізики. - М.: ГІФМЛ, 1954.
Кулігін В.А., Кулігіна Г.А., Корнєва М.В. Калібрування і поля в електродинаміці. / Воронеж. Ун-т. - Воронеж, 1998. Деп. у ВІНІТІ 17.02.98, № 467 - В98.
Kuligin VA, Kuligina GA, Korneva MV Analysis of the Lorentz's gauge. Canada, Montreal, 2000. - Apeiron, vol. 7, no 1 ... 2.
Кулігін В.А., Кулігіна Г.А. Корнєва М.В. Однопровідні лінії. / Воронеж. Ун-т. - Воронеж, 2002. Деп. у ВІНІТІ 10.06.2002, № 1062 - В2002.