Академія
Кафедра Фізики
Реферат
Фільтри нижніх частот
Орел 2009
Зміст
Вступ
1. Поліноміальні ФНЧ з максимально плоскими характеристиками загасання (фільтри Баттерворта)
2. Поліноміальні ФНЧ з одно хвильовими характеристиками загасання (фільтри Чебишева)
3. ФНЧ зі сплесками загасання (фільтри Золотарьова)
Висновок
Література
Вступ
У найпростішому і найбільш часто використовуваному варіанті фільтр включається між резистивним навантаженнями (малюнок 1.).
Малюнок 1.
Як вже зазначалося, для формування вимоги до фільтру використовується робоче затухання
де
є нормована (робоча) АЧХ фільтра. Крім нормованої АЧХ для зручності розрахунків може використовуватися нормування та інших величин:
- Нормована частота;
- Нормоване операторний опір;
- Нормована індуктивність;
- Нормована ємність;
- Нормоване резистивное опір;
- Нормований оператор Лапласа.
Тут ω 0, f 0, R 0 є нормуючим величинами.
Якщо в результаті рішення задачі знайдені нормовані величини, то денормірованіе виконується за формулами:
;
;
;
;
Графіки АЧХ і загасання ідеальних ФНЧ показані на малюнку 2.
Малюнок 2.
Саме ці залежності є вихідними при апроксимації.
1. Поліноміальні ФНЧ з максимально плоскими характеристиками загасання (Баттерворта)
Поліноміальними називаються ФНЧ, у яких ВПФ має вигляд:
(1)
Не важко показати, що нормована АЧХ поліноміального фільтра визначається наступним виразом:
(2)
Здійснимо апроксимацію по Тейлору АЧХ фільтра нижніх частот.
При цьому зажадаємо, щоб в точці = 0, функція
дорівнювала одиниці, а всі її │ n -1 │ перших похідних зверталися б у нуль. У цьому випадку АЧХ синтезованого фільтра буде максимально плоскою.
Рішення апроксимації дає наступний результат:
A n = 1; A 1 = A 2 =...= A n -1 = 0; A 0> 0,
тобто будь-речовий позитивне число (у противному випадку порушується УФР).
Отже, а ( ) = 10 lg
(ДБ).
Надзвичайно зручно покласти А 0 = (10 0,1 Δ а -1), де Δ а - допустима нерівномірність загасання в смузі пропускання.
Так, при Δ а = 3дБ получается10 0,1 * 3 = 10 0,3 = 2, отже А 0 = 1 і формула набуває вигляду:
a ( ) = 10 lg (1 +
2 n)
нормуються частота ω 0 у такому випадку вибирається з умови:
а = Δ а = 3дБ.
Цю частоту прийнято називати граничною частотою ПП фільтра. На малюнку 3 наведено сімейство АЧХ для різних значень n.
Малюнок 3.
З нього випливає, що чим вище n, тим точніше апроксимується характеристика ідеального фільтра.
Згасання розглянутих фільтрів:
а = 10 lg (1 + 2 n)
в смузі затримування, де >> 1 приблизно дорівнює а
20 nlg
і зростає зі швидкістю 6 n дБ / октаву. (Октава - подвоєння частоти).
Якщо задані вимоги до ФНЧ, то вибір порядку фільтра при Δ а = 3дБ здійснюється з умови, яке випливає з графіка на малюнку 4.
Малюнок 4.
У випадку, коли Δ а 3дБ і а 0
10дБ, порядок фільтра може бути підрахований по формулі:
(3)
Нормована операторна передатна функція знаходиться для вираження:
Поліноми , Що утворюють певний підклас поліномів Гурвіца, отримали назву поліномів Баттерворта на ім'я автора, який запропонував максимально плоску апроксимацію АЧХ фільтрів. Вони приводяться в довідковій літературі, наприклад в [Л2], стор 290.
Реалізація функції Т (р) може бути здійснена кожного з раніше розглянутих методів. Однак для поліноміальних передавальних функцій найбільшого поширення набула сходова реалізація, показана на малюнку 5.
Малюнок 5.
Зауважимо, що число реактивних елементів цих схем завжди буде одно порядку передавальних функцій Т (р), тобто числа n. Бажаний застосування ці фільтри отримали у випадках, коли треба зменшити викривлення форми переданих сигналів і не виникає необхідності в фазовому коригування.
В даний час є велика кількість довідкової літератури з табульований рішеннями для фільтрів Баттерворта, наприклад [Л.2], стор 291.
2. Поліноміальні ФНЧ з равноволновимі характеристиками загасання (ф-ри Чебишева)
Нехай задана нерівномірність загасання Δ а, яка може бути на будь-якій частоті смуги пропускання. Зажадаємо, щоб при заданому n (числі елементів) загасання фільтра в смузі затримання, а 0 було б максимально можливим.
Рішення задачі апроксимації, що відповідає сформульованим вимогам, засноване на екстремальних властивості рівномірного (чебишовської) наближення. Аналітична запис такого рішення має вигляд:
а = 10 lg (1 + A 0 P n 2 ( )),
де Р п ( ) = Cos (n · arccos (
)) - Поліном Чебишева ступеня n.
Оскільки cos a = chj , То існує і інша форма запису поліномів Чебишева:
Р п ( ) = Ch (n · arch (
)).
У літературі наводяться докази, що Р п ( ) Дійсно є поліномом ступеня n. Ці поліноми наводяться у довідковій літературі, наприклад в [Л.2], стор 290.
n = 2; P 2 ( ) = Cos (2 · arccos
) = 2
2 -1;
n = 5; P s ( ) = Cos (5 · arcos
) = 16
5 -20
3 +5
.
У смузі пропускання, тобто на інтервалі від 0 до квадрат полінома Чебишева буде змінюватися в межах [0; 1], приймаючи по черзі крайні значення (n +1) разів. При цьому функція а на розглянутому інтервалі частот буде приймати таке ж число раз значення [0; Δ а].
Малюнок 6.
На малюнку 6 наведено графіки загасання чебишовських поліноміальних ФНЧ для значень n = 2 і n = 5 при однакових Δ а.
Дослідження функції а ( ) Дозволяє зробити ряд важливих і цікавих для практики висновків:
При одному і тому ж значенні Δ а збільшення порядку передавальної функції призводить до збільшення крутості характеристики загасання за межами смуги пропускання.
При незмінному значенні n згасання поза смуги пропускання тим більше, чим більше Δ а.
Найменші (рівні 0) і найбільші (рівні Δ а) значення загасання чергуються в смузі пропускання. Саме тому апроксимацію за Чебишевим часто називають «равноволновой».
Згасання фільтра в смузі затримання зі збільшенням частоти зростає монотонно.
За заданим вимогам до характеристики загасання в смузі затримання порядок ФНЧ Чебишева розраховується так само, як і порядок ФНЧ Баттерворта, виходячи з умови а ( )
а 0.
Вирішивши таку нерівність щодо n отримаємо:
(4).
Конструювання функції Т (р) за відомою | T (j ) | 2 проводиться звичайним шляхом. Схеми сходової реалізації будуть мати той же вигляд, як і у будь-якого іншого поліноміального ФНЧ при однаковому n.
Різниця буде лише у значеннях величин параметрів елементів. Табульований рішення з розрахунком чебишовських ФНЧ наводяться у довідковій літературі.
Перевага фільтра Чебишева полягає в тому, що при однаковій кількості елементів і при однаковому, Δ а в смузі пропускання, цей фільтр має більше загасання в смузі затримання в порівнянні з фільтром Баттерворта.
3. ФНЧ зі сплесками загасання (ф-ри Золотарьова)
Відмінною особливістю характеристик загасання поліноміального ФНЧ є їх монотонне зростання в міру віддалення від смуги пропускання. Однак, якщо необхідно синтезувати ФНЧ зі значним рівнем гарантованого загасання а 0 і при вузькій смузі переходу, то застосування поліноміальних конструкцій приводить до невиправдано великій кількості елементів в таких випадках має сенс звернутися до інших передавальним функцій, зокрема мають нулі полінома, а в смузі затримання сплеск загасання, тобто до функцій виду:
(5)
де - Поліном Гурвіца ступеня n;
1,
2, .....,
- Частоти в смузі затримання, де АЧХ фільтра звертається в нуль (загасання приймає нескінченно велике значення, тобто має місце його «сплеску»).
Частотна залежність затухання має вигляд:
(6)
Серед ФНЧ, передатна функція яких має вигляд дробу (5), найбільшого поширення набули ФНЧ з ізоекстремальнимі характеристиками загасання або ФНЧ Золотарьова.
Вимоги до характеристики загасання ФНЧ такого типу формулюється наступним чином: загасання фільтра в смузі пропускання не повинно перевищувати заданої величини Δ а, а в смузі затримання бути не менш заданої величини а 0.
У подібних випадках, при апроксимації характеристик загасання фільтра використовується одне із завдань найкращого наближення функцій, сформульована і вирішена Є.І. Золотарьовим (1847-1878), професором Петербурзького університету, учнем П.Л. Чебишева, а саме завдання про раціональну функції порядку n, значення якої за абсолютною величиною в інтервалі -1 1 не перевищували б одиниці, а в інтервалі |
|> 1 найменше за абсолютною величиною її значення було б максимально можливим.
Відповідна раціональна функція може бути названа дробом Золотарьова.
Якщо у вираз а = 10 lg (1 + A 0 P n 2 ( )) Під P n (
) Розуміти дріб Золотарьова, то відповідно до властивостей останньої найменше значення загасання такого фільтра в смузі затримання буде максимально можливим в порівнянні з усіма іншими фільтрами з тими ж значеннями.
Графік загасання ФНЧ з характеристиками Золотарьова, а також можливі схеми реалізації наведені для випадку n = 5 на малюнку 7.
Малюнок 7.
Видно, що сплески загасання розташовані так, що значення мінімумів у смузі затримання виявляються однаковими та рівними.
Фільтри з характеристиками Золотарьова (або просто ФНЧ Золотарьова) називають іноді еліптичними, оскільки значення нулів і полюсів дробу Золотарьова виражаються через еліптичні функції.
Рішення, пов'язані з розрахунком ФНЧ Золотарьова, в даний час табульований і доведені до схем і значень параметрів елементів (див. Л.2, стор 292-295).
Ефективність ФНЧ Золотарьова може бути підтверджена прикладом, де до ФНЧ пред'являються досить жорсткі вимоги.
Δ а = 0,01 H п, a 0 = 5.0 H п, к = 1,08.
(7)
Розрахунок порядку n різних фільтрів, що задовольняє зазначеним вимогам, дасть наступні результати:
Число елементів дорівнює відповідно 7, 18, 80.
У даному прикладі ФНЧ Золотарьова явно виявляється поза конкуренцією.
Висновок
Докладне вивчення властивостей різних фільтрів дозволяє зробити висновок, що в окремих приватних випадках при порівняно широких смугах переходу мінімальним числом елементів може мати поліноміальний ФНЧ. Можуть мати місце такі ситуації, коли за кількістю елементів ФНЧ Золотарьова та поліноміальний ФНЧ Чебишева виявляються однаковими. Тоді перевагу віддають того типу, який більш повно задовольняє іншим вимогам (габарити, технологія виготовлення і т.д.).
Література, яка використовується для складання лекції
Білецький А.Ф. «Теорія лінійних електричних ланцюгів» Москва 1986 c 368-395
Білецький А.Ф. «Лінійні пристрою апаратури зв'язку. Конспект лекцій »
Бакалов В.П. «Теорія електричних ланцюгів» Москва «Радіо і зв'язок» 1998 c 372-382.