Фізичні моделі при вивченні інтеграла в курсі алгебри і початків аналізу в 10-11 класах

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст.

Введення

Глава1. Теоретичні основи вивчення теми «Інтеграл» з допомогою моделей

        1. Моделі та моделювання в навчанні

        2. Психолого-педагогічні та методичні засади вивчення інтеграла в шкільному курсі математики

1.3. Аналіз шкільних підручників алгебри і початків аналізу

1.4. Фізичні моделі при введенні поняття інтеграла

1.5. Різні методи вивчення додатків інтеграла у фізиці

Глава 2. Фізичні моделі при вивченні теми «Інтеграл»

2.1. Введення поняття інтеграла за допомогою фізичних моделей

2.2. Вивчення властивостей певного інтеграла за допомогою фізичних моделей

2.3. Фізичні моделі при відпрацюванні техніки інтегрування

2.4. Програми інтеграла у фізиці

Висновок

Бібліографія

Додаток

Введення.

Як відомо, ефективному навчанню багато в чому сприяє рішення задач з практичним змістом. Потреба у використанні практичних матеріалів під час навчання школярів математики диктується тим, що виникнення, формування і розвиток математичних понять мають своїм джерелом відчуття і сприйняття, а також і тим, що в пізнавальній діяльності учня має місце тісний зв'язок логічних процесів мислення та чуттєвих сприйнять. Тому звернення до прикладів з життя, навколишнього оточення полегшує вчителеві можливість організувати навчальну діяльність учнів і підтримувати їх інтерес до навчання. У той же час, бурхливий розвиток математики і фізики не могло не накласти певного відбитку на рівень розвитку та напрямок інтересів учнів. Інтерес молоді до техніки, фізики та математики зростає з кожним днем.

Математика використовує фізичні задачі для ілюстрації деяких процесів, явищ та їх дослідження. Фізики ж не можуть обійтися без апарату математики. Інтеграл - не виняток. Певний клас завдань вирішується за його використанням. Тому досить актуальним стає навчання учнів математики (зокрема вивчення теми «Інтеграл») через прикладні задачі фізики.

Поняття інтеграла є одним з основних у математиці. Вивчення цієї теми завершує шкільний курс математичного аналізу, знайомить учнів з новим інструментом пізнання світу, а розгляд у школі застосування інтегрального числення до найважливіших розділам фізики показує учням значення і силу вищої математики.

Поняття інтеграла не на багато складніше таких понять, як «невідома величина» або «подобу трикутників», які є непорушним входять в шкільну програму. Давно пора зробити поняття інтеграла надбанням будь-якого культурного людини, чим би він не займався.

Аналіз підручників та навчальних посібників, що містять матеріал з даної теми, показує наявність різних думок з приводу викладу цього досить складного матеріалу в шкільному курсі й у визначенні змісту, необхідного для успішного засвоєння і розуміння основ інтегрального числення.

Таким чином, актуальність теми роботи обумовлена:

  • необхідністю повноцінного вивчення найважливіших елементів інтегрального числення в основній школі у зв'язку з величезною значимістю і важливістю цього матеріалу для учнів;

  • недостатньою розробленістю методики викладання цього матеріалу за допомогою використання фізичних моделей у шкільному курсі математики.

Виходячи з вищесказаного, для дослідження була обрана тема «Фізичні моделі при вивченні інтеграла в курсі алгебри і початків аналізу в 10-11 класах».

Проблемою дослідження є пошук шляхів методично грамотного застосування фізичних моделей при введенні поняття інтеграла, розгляді його властивостей, відпрацюванні техніки обчислення інтегралів та вивченні програм з урахуванням психолого-педагогічних основ вивчення даної теми.

Об'єкт дослідження - процес вивчення основ інтегрального числення з використанням фізичних моделей у курсі математики основної школи.

Предмет дослідження - фізичні моделі при вивченні теми «Інтеграл».

Основні цілі цієї роботи - вивчити різні підходи до введення поняття інтеграла, вивчення його властивостей і додатків, визначити переваги та недоліки цих підходів, розробити методику вивчення інтеграла з використанням фізичних моделей, проаналізувати і зробити висновки про правильність і доцільність розробленої методики.

Гіпотеза: вивчення основ інтегрального числення з допомогою розробленої методики сприяє усвідомленому якісному засвоєнню школярами цього матеріалу, розвитку правильного уявлення про досліджуваному понятті, його величезної значущості у фізиці.

Завдання дослідження:

  1. вивчити і проаналізувати наукову, навчально-методичну та психолого-педагогічну літературу з теми дослідження;

  2. на основі аналізу літератури розробити методику вивчення деяких питань інтегрального числення в курсі математики основної школи;

Для досягнення цілей роботи, перевірки гіпотези та вирішення поставлених завдань були використані наступні методи:

  1. вивчення навчальних посібників та методичної літератури, що містить цей матеріал;

  2. аналіз психологічної, педагогічної та методичної літератури з даної теми.

Глава 1

Теоретичні основи вивчення теми «Інтеграл» з допомогою моделей

1.1. Моделі та моделювання в процесі навчання

Модель - дуже широке поняття, яке включає в себе безліч способів представлення досліджуваної реальності.

Практично у всіх науках про природу, живої та неживої, про суспільство, побудова та використання моделей є потужним знаряддям пізнання. Реальні об'єкти і процеси бувають настільки багатогранні і складні, що кращим способом їх вивчення часто є побудова моделі, що відображає лише якусь межу реальності і тому багато разів більш простий, ніж ця реальність, і дослідження спочатку цієї моделі. Багатовіковий досвід розвитку науки довів на практиці плідність такого підходу.

Під моделлю розуміється об'єкт, що втілює цю ідею або інтерпретує деяку теорію. Побудова об'єкта називається конкретизацією, або моделюванням.

Моделювання є обов'язковий етап процесу наукового пізнання. Між моделлю і модельований об'єктом є певне відношення - модельне відношення. Це ставлення показує, в якому сенсі оригінал і його модель подібні, аналогічні. [9]

Застосування методу моделювання при вивченні математики в школі дає можливість отримати найбільш достовірні (оскільки доказ деяких математичних фактів у шкільному курсі не передбачена) та наочні результати, розсунути межі знань учнів про навколишній світ, розвивати їх мислення.

Модель повинна бути найкращим чином пристосована до сприйняття учнів і враховувати їх психологічні особливості. У процесі навчання вчитель зобов'язаний допомагати учням формувати науковий погляд на світ. У процесі моделювання учні можуть навчитися такими операціями, як аналіз досліджуваного об'єкта, виконання доказів, пояснень тощо [9]

Операції над моделями вчать школярів умінню абстрагувати, конструювати, узагальнювати, тобто сприяють розвитку мислення. Таким чином, моделюючи, учні розвивають своє логічне мислення.

У моделюванні є два помітно різних шляхи. Модель може бути схожою копією об'єкта, виконаної з іншого матеріалу, в іншому масштабі, з відсутністю ряду деталей. Модель може, однак, відображати реальність більш абстрактно - словесним описом у вільній формі, описом, формалізованим по якимось правилам, математичними співвідношеннями і т.д.

Сучасна фізика - частина загальнолюдської культури, що характеризує інтелектуальний рівень суспільства, ступінь розуміння основ світобудови. Серед інших наук фізика, як і раніше зберігає роль лідера природознавства, визначаючи стиль і рівень наукового мислення. [9]

Тому серед можливих моделей при вивченні математики в школі (зокрема теми «Інтеграл») найбільш актуальними є фізичні моделі. У роботі були використані:

  • відомі закони фізики (наприклад, другий закон Ньютона в імпульсному представленні, всесвітній закон тяжіння);

  • моделі фізичних явищ, виражені формулами, відомими зі шкільних підручників фізики (наприклад, формула потужності постійного струму, сили взаємодії між зарядами);

  • завдання з фізичним змістом (наприклад, задача про витіканні води з посудини, тиску рідини на стінку).

1.2. Психолого - педагогічні та методичні засади вивчення інтеграла в шкільному курсі математики

Необхідність вивчення інтеграла в школі характеризується тим, що:

  1. якщо вивчати тільки похідну, але не вивчати інтеграл, то цикл аналізу однієї змінної не буде завершений;

  2. в додатках (зокрема у фізиці) набагато частіше, ніж завдання на обчислення похідної, її застосування, використовуються завдання з використанням інтеграла, інтеграла та похідної;

  3. поняття інтеграла дуже істотно для загальної освіти учнів (людина раніше став вирішувати інтегральні завдання).

Метою вивчення математичного аналізу (у тому числі інтегрального числення) в загальноосвітній школі є:

  1. оволодіння основними поняттями (зокрема, поняттям інтеграла);

  2. навчання вирішувати найпростіших завдань на застосування початків аналізу в інших шкільних дисциплін, в практиці;

    При розгляді поняття інтеграла в школах з поглибленим вивченням математики можливо також і навчання простим методам інтегрування (техніці обчислення інтеграла).

    Вчителю у своїй роботі необхідно враховувати фактори, що впливають на успішність навчання.

    По-перше, слід ретельно відбирати теоретичний матеріал, поєднуючи науковість і доступність викладу. І хоча повністю реалізувати принцип науковості при вивченні інтеграла не вдається, в учнів все-таки формуються правильні уявлення про процес пізнання і його закономірності.

    Зміст, форми і методи навчання повинні враховувати реальні можливості учнів, але, тим не менш, мати достатньо високий рівень труднощі.

    По-друге, необхідно враховувати загальний рівень математичної підготовки учнів, особливості їхнього мислення і сприйняття й, у відповідність з цим, вибирати той чи інший шлях викладу матеріалу.

    По-третє, для кращого запам'ятовування матеріалу, розвитку спостережливості, для ілюстрації думок необхідно застосовувати на уроці різні види наочності (креслення, графіки ...)

    І, нарешті, по-четверте, важливу роль грає систематичність і послідовність у навчанні.

    Струнка, логічне викладення теоретичного матеріалу, а також добре підібрана система вправ сприяє розвитку мислення, пам'яті, уваги і мови учнів, формує такі спеціальні якості, як уміння будувати математичні моделі реальних процесів і явищ, дослідити і вивчати їх. Тобто, є одним із засобів досягнення мети загальної освіти.

    Систему вправ потрібно будувати так, щоб сприяти засвоєнню основних понять, активізувати розумову діяльність учнів і постійно підтримувати їх інтерес до уроку. Цьому допоможуть завдання на дослідження, доказ.

    При формуванні основного поняття (інтеграла) необхідно враховувати, що воно дається в досить загальної, абстрактної формі. Тому головна трудність полягає в конкретизації, тобто в умінні бачити за математичними термінами та їх визначеннями конкретні образи. Тут велику допомогу учневі повинні надати добре підібрані приклади.

    Так як досліджуване поняття досить складно, то існує декілька стадій його засвоєння. Добре опанувати поняттям інтеграла учням допоможуть спеціально підібрані вправи.

    Крім знання визначення поняття учень повинен, по можливості, мати про них зорове уявлення (наприклад, певний інтеграл - переміщення точки за проміжок часу). Раз засвоєні фізичні образи, які малюють картину даного явища, надовго залишаються у пам'яті і живуть в уяві вивчає.

    Кожен теоретичний факт, навіть і доведений учнями самостійно, слід по можливості негайно закріплювати при виконанні конкретних вправ.

    Важливо показувати учням прикладну значимість матеріалу при вивченні інших шкільних дисциплін, зокрема, різних розділів фізики.

    1.3. Аналіз шкільних підручників алгебри і початків аналізу

    Проведемо аналіз деяких шкільних підручників алгебри і початків аналізу з точки зору використання різних підходів введення поняття інтеграла, що розглядаються в них додатків інтеграла у фізиці.

    У підручниках, як правило, використовуються такі підходи до введення поняття визначеного інтеграла:

    1. Інтеграл як межа інтегральних сум.

    Цей підхід передбачає введення операції інтегрування як незалежної операції; при цьому інтеграл визначається як межа послідовності, складеної з інтегральних сум. Починається вивчення в цьому випадку з розгляду конкретних завдань, наприклад, задачі про площі під кривою; завдання про роботу сили та ін Потім, узагальнивши отримані результати, переходять до визначення інтеграла як границі інтегральних сум.

    Хоча це визначення громіздко, але ідея методу наочна (геометрична інтерпретація - площа криволінійної трапеції). Разом з визначенням інтеграла отримують і спосіб його обчислення. Але на практиці для обчислення інтеграла використовують формулу Ньютона - Лейбніца, яку при даному підході необхідно довести.

    1) У підручнику А. Н. Колмогорова «Алгебра і початки аналізу» при введенні інтеграла розглядається задача про обчислення площі криволінійної трапеції. Автор наводить у підручнику два способи обчислення площі криволінійної трапеції: за допомогою теореми про площу криволінійної трапеції і за допомогою інтегральних сум. Другий спосіб зводиться до визначення інтеграла. За допомогою інтегральних сум виводяться також формули для обчислення об'ємів тіл, роботи змінної сили, а також знаходження маси стрижня та центру мас.

    Серед застосувань інтеграла в даному підручнику виводиться формула для знаходження роботи змінної сили, формула обчислення маси стрижня та центру мас. Всі формули виводяться одним способом: за допомогою інтегральних сум. Для самостійного вирішення учням пропонується задача про знаходження кінетичної енергії стрижня і кілька завдань на вже розглянуті формули. Причому завдання діляться на кілька рівнів складності, в тому числі завдання підвищеної труднощі.

    2) У підручнику Мордкович А. Г. «Алгебра і початки аналізу» при введенні поняття «Визначений інтеграл» розглядаються задачі, що приводять до даного поняття, а саме завдання про обчислення площі криволінійної трапеції, завдання про обчислення маси стрижня і завдання про переміщення точки. Усі три завдання при їх вирішенні приводяться до однієї і тієї ж математичної моделі. При чому йдеться про те, що багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення до такої ж моделі. ; b ] функции y = f ( x ): Далі дається математичний опис цієї моделі, яка була побудована в трьох розглянутих задачах для неперервної на відрізку [a; b] функції y = f (x):

    1. ; b ] на n равных частей; розбивають відрізок [a; b] на n рівних частин;

    2. складають суму

    = f ( x 0 ) Δx 0 + f ( x 1 ) Δx 1 +…+ f ( x k ) Δx k +…+ f ( x n -1 ) Δx n -1 ; S n = f (x 0) Δx 0 + f (x 1) Δx 1 + ... + f (x k) Δx k + ... + f (x n -1) Δx n -1;

    3) обчислюють .

    Автор підручника пояснює, що в курсі математичного аналізу доведено, що ця межа існує. = f ( x ) по отрезку [ a ; b ]. Його називають визначеним інтегралом від функції y = f (x) на відрізку [a; b].

    Після чого автор підручника повертається до трьох розглянутим раніше завданням і результат, отриманий при їх вирішенні, переписує наступним чином:

    • – площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f ( x ); , Де S - площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y = f (x);

    • , Де m - Маса неоднорідного стрижня з щільністю p (х);

    • – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v = v ( t ). , Де s - переміщення точки, що рухається по прямій з швидкістю v = v (t).

    У підручнику в фізичних додатках інтеграла наводяться ті ж завдання, що і при введенні поняття інтеграла, а саме завдання про масу стержня і переміщенні точки. Цим автор підручника та обмежує вивчення додатків інтеграла у фізиці.

    3) У підручнику М. І. Башмакова «Алгебра і початки аналізу» тема «Інтеграл та його застосування» виділена в окремий розділ. , определенная на конечном отрезке [ a ; b ]. Автор дає наступне визначення інтеграла: «Нехай дана позитивна функція f, визначена на кінцевому відрізку [a; b]. на отрезке [ a ; b ] называется площадь её подграфика». Інтегралом від функції f на відрізку [a; b] називається площа її подграфіка ». Далі показується, як обчислити цю площу за допомогою інтегральних сум і робиться висновок, що інтеграл дорівнює границі інтегральних сум. Ілюструється цей метод на завданні про знаходження об'єму лимона і знаходженні роботи з переміщення точки.

    У цьому підручнику розглянуті найбільш різноманітні приклади додатків інтеграла у фізиці. Завдання про роботу сили, переміщенні точки, про обчислення маси стрижня, електричного заряду і знаходження тиску води на греблю наводяться в підручнику разом з їх теоретичним обгрунтуванням (висновком). Без висновку представлені формули знаходження роботи по відомій потужності і кількості теплоти за відомою теплоємності. Однак, для самостійного вирішення учням пропонується мало завдань.

    4) У підручнику Нікольського С. М. «Алгебра і початки аналізу» розгляд завдання про обчислення площі криволінійної трапеції приводить до поняття інтегральних сум та межі від них, після чого вводиться визначення певного інтеграла. Теоретичне обгрунтування застосування певного інтеграла розглядається в таких фізичних завданнях, як завдання на роботу сили, роботу електричного заряду, на обчислення маси стрижня змінної щільності, тиску рідини на стінку і центру тяжіння. Серед додатків інтеграла у фізиці розглядаються наступні завдання (разом з теоретичним їх обгрунтуванням): завдання про роботу сили, роботі електричного заряду, завдання про масу стрижня змінної щільності, завдання про тиск рідини на стінку, задача про знаходження центру ваги системи матеріальних точок. Проте, автор підручника наводить дуже скупу систему вправ, при чому не використовує в практичних завданнях і половини тих формул, які були раніше виведені.

    1. Інтеграл як приріст первісної.

    Цей підхід передбачає введення операції інтегрування як операції, зворотної диференціюванню. При цьому формула Ньютона - Лейбніца практично служить визначенням інтеграла.

    При цьому підході не потрібно спеціально виводити формулу Ньютона - Лейбніца, за допомогою якої доводяться багато властивостей інтеграла. Проте в цьому випадку ідея методу підсумовування відходить на другий план. Недолік цього підходу полягає в тому, що з'являються труднощі при вивченні додатків інтеграла. У результаті все - таки доводиться розглядати інтеграл як границя інтегральних сум, щоб отримати єдиний, досить загальний метод розв'язання задач геометрії, механіки, електродинаміки та інших розділів фізики. Це розгляд можна провести або відразу після введення поняття інтеграла, пояснивши учням, що не завжди можливо знайти первісну даної функції, або безпосередньо при вивченні додатків інтеграла, розглянувши цей метод на одній із завдань.

    (х) функции f ( x ). Разность F ( b )- F (a) называют интегралом от функции f ( x ) на отрезке [ a ; b ]. 5) У підручнику Ш. О. Алімова «Алгебра і початки аналізу» перед введенням поняття інтеграла розглядається задача про знаходження площі криволінійної трапеції, де обчислення площі зводиться до відшукання первісної F (х) функції f (x). Різниця F (b) - F (a) називають інтегралом від функції f (x) на відрізку [a; b]. Далі автор розглядає обчислення площі криволінійної трапеції за допомогою інтегральних сум, говорить про те, що такий спосіб наближеного обчислення інтеграла вимагає громіздких обчислень і ним користуються в тих випадках, коли не вдається знайти первісну функції. В якості прикладів застосування інтеграла наведено задачі про витіканні води з бака й знаходженні роботи сили. Завдання для самостійного рішення однотипні і їх дуже мало.

    Завдання додатків, наведені у вище розглянутих підручниках, це найбільш поширені приклади застосування інтеграла, однак, вони не описують і половини всіх можливих додатків інтеграла у фізиці.

    1.4. Фізичні моделі при введенні поняття інтеграла

    Розглянемо вище описані підходи на найбільш поширених серед авторів підручників прикладах фізичних моделей з різних розділів фізики (механіка, електродинаміка, кінематика та ін.)

    Інтеграл як межа інтегральних сум.

    1. Робота змінної сили.

    Досить поширений приклад практичної задачі, рішення якої зводиться до обчислення визначеного інтеграла, це завдання про роботу змінної сили. [2], [8]

    , направленная по той же оси. Завдання. Припустимо, що на точку, що рухається по осі х, діє деяка сила F, спрямована з тієї ж осі. Ми знаємо, що якщо сила F , где постійна, то робота дорівнює Fs, де – путь, пройденный точкой. s - шлях, пройдений точкою. Припустимо тепер, що F (х) в каждой точке х некоторого промежутка [ a ; b ]. змінюється від точки до точки і нам відомо її значення F (х) в кожній точці х деякого проміжку [a; b]. ? Як знайти роботу А з переміщення точки з а в b?

    ; b ] на n отрезков. Розіб'ємо відрізок [a; b] на n відрізків. Будемо приблизно вважати, що на кожному відрізку сила постійна. -1 ; x k ] можно взять значение функции F в одной из точек этого отрезка, например в точке x k . У якості постійної сили на відрізку [x k -1; x k] можна взяти значення функції F в одній з точок цього відрізка, наприклад в точці x k. – отрезке пути приближенно можно представить как произведение F ( x k ) Δ x k , а на всем отрезке – суммой: Роботу на k - відрізку шляху приблизно можна представити як добуток F (x k) Δ x k, а на всьому відрізку - сумою:

    Δ x 1 +…+F(x n ) Δ x n . A n = F (x 1) Δ x 1 + ... + F (x n) Δ x n. (1)

    Таким чином, роботу А з переміщення точки з а в b можна наближено обчислювати за формулою (1).

    ( x ) на отрезке [ a ; b ]. Суму (1) називають інтегральною сумою функції F (x) на відрізку [a; b]. ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и может принимать любые значения. При цьому передбачається, що функція F (x) неперервна на відрізку [a; b] і може приймати будь-які значення. Якщо стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функции F ( x ) на отрезке [ a ; b ] и обозначают і довжини відрізків розбиття прагнуть до нуля, то інтегральна сума A n прагне до деякого числа, яке і називають інтегралом від функції F (x) на відрізку [a; b] і позначають .

    2. Завдання про обчислення маси стрижня.

    Досить популярна серед авторів підручників завдання про обчислення маси стрижня. [8], [10]

    вычисляется по формуле p = p ( x ). Найти массу стержня. Завдання. Дан прямолінійний неоднорідний стрижень, щільність якого в точці x обчислюється за формулою p = p (x). Знайти масу стержня.

    ; b ]. Розглянемо масу стержня на відрізку [a; b]. равных частей. Розіб'ємо відрізок на n рівних частин. Будемо приблизно вважати, що на кожному відрізку щільність постійна. -1 ; x k ] можно взять значение функции р в одной из точек этого отрезка, например в точке x k . У якості постійної щільності на відрізку [x k -1; x k] можна взяти значення функції р в одній з точок цього відрізка, наприклад в точці x k. – отрезке приближенно можно представить как произведение р ( x k ) Δ x k , а на всем отрезке – суммой: Масу на k - відрізку приблизно можна представити як добуток р (x k) Δ x k, а на всьому відрізку - сумою:

    = p ( x 1 ) Δ x 1 +…+ p ( x n ) Δ x n . (2) m n = p (x 1) Δ x 1 + ... + p (x n) Δ x n. (2)

    Таким чином, масу стержня m можна приблизно обчислювати за формулою (2).

    Точне значення маси стрижня обчислюється за формулою

    .

    Далі вводиться поняття інтеграла, як межі суми.

    3. Задача про переміщення точки.

    При введенні певного інтеграла, як завдання, що приводить до даного поняття, найбільш раціональним і простим для розуміння учнями є розгляд завдання про переміщення точки, тому що з зворотної завданням школярі вже зустрічалися при вивченні застосування похідної в фізиці.

    Між становищем (координатної) точки і її швидкістю є відома зв'язок, що лежить в основі математичного аналізу: швидкість є похідною від координати за часом. Сама операція знаходження похідної називається диференціюванням. Зворотній завдання - знаходження положення точки за її швидкості - вирішується за допомогою іншої математичної операції, званої інтегруванням.

    Завдання. Нехай по прямій рухається матеріальна точка. = v ( t ). Найти перемещение точки за промежуток времени [ a ; b ]. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v (t). Знайти переміщення точки за проміжок часу [a; b].

    = vt , т. е. s = v ( b - a ). Для неравномерного движения разобьём промежуток времени [ a ; b ] на n равных частей. Якщо б рух було рівномірним, то завдання вирішувалася б дуже просто: s = vt, тобто s = v (b - a). Для нерівномірного руху розіб'ємо проміжок часу [a; b] на n рівних частин. -1 ; t k ] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой как в момент времени t k : v = v ( t k ). Перемещение точки за промежуток времени [ t k -1 ; t k ] приближенно можно представить как произведение v ( t k ) Δ t k . Найдем приближенное значение перемещения s : Розглянемо проміжок часу [t k -1; t k] і будемо вважати, що в цей проміжок часу швидкість була постійною, такий як у момент часу t k: v = v (t k). Переміщення точки за проміжок часу [t k - 1; t k] наближено можна представити як добуток v (t k) Δ t k. Знайдемо наближене значення переміщення s:

    s ≈ S n,

    де . S k = v (t 1) Δ t 1 + ... + v (t k) Δ t k.

    Точне значення переміщення обчислюється за формулою

    .

    Далі вводиться поняття інтеграла, як межі суми. [10]

    Введення поняття інтеграла як збільшення первісної ні в одному з розглянутих підручників не використовується, приклади даного методу введення будуть приведені в наступному розділі.

    1.5. Різні методи вивчення додатків інтеграла в

    фізиці.

    Автори різних підручників по-різному виводять формули при вивченні додатків інтеграла. . Розглянемо кілька різних методів отримання (висновку) формул. I. Складання інтегральних сум. Маса стрижня змінної щільності. Будемо вважати, що відрізок [a; b] осі Ох має масу зі змінною лінійною густиною ρ (х) ; b ] функция. 0, де ρ (х) - неперервна на відрізку [a; b] функція. Загальна маса цього відрізка где a=x 0 <x 1 <…<x n =b , Δ x i =x i+1 -x i . Аналогично можно вывести формулы для нахождения работы силы, работы электрического заряда, давления жидкости на стенку, центра тяжести системы материальных точек. , Де a = x 0 <x 1 <... <x n = b, Δ x i = x i +1-x i. Аналогічно можна вивести формули для знаходження роботи сили, роботи електричного заряду, тиску рідини на стінку, центру ваги системи матеріальних точок. [11] Центр мас. При знаходженні центру мас користуються такими правилами: Координата с массами m 1 , m 2 ,…, m n , расположенных на прямой в точках с координатами x 1 , x 2 ,…, x n , находится по формуле центру мас системи матеріальних точок А 1, А 2, ..., А n з масами m 1, m 2, ..., m n, розташованих на прямій в точках з координатами x 1, x 2, ..., x n, знаходиться за формулою ; b ] оси Ох – распределена масса плотностью ρ( х) , где ρ( х) – непрерывная функция. .2) При обчисленні координати центру мас можна будь-яку частину фігури замінити на матеріальну точку, помістивши її в центр мас цієї частини, і приписати їй масу, рівну масі розглянутої частини фігури.Пусть вздовж стрижня - відрізка [a; b] осі Ох - розподілена маса щільністю ρ (х), де ρ (х) - неперервна функція. Покажемо, що координата центру мас дорівнює ; b ] на n равных частей точками a = x 0 < x 1 <…< x n = b . . Розіб'ємо відрізок [a; b] на n рівних частин точками a = x 0 <x 1 <... <x n = b. этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной и примерно равной ρ( x k -1 ) на k -м отрезке (в силу непрерывности ρ( х) ). На кожному з n цих відрізків щільність можна вважати при великих n постійної і приблизно рівної ρ (x k -1) на k-му відрізку (в силу безперервності ρ (х)). -отрезка примерно равна Тоді маса k-відрізка приблизно дорівнює , А маса всього стержня дорівнює. маленьких отрезков материальной точкой массы m k , помещенной в точке x k -1 , получим, что координата центра масс приближенно находится так: Вважаючи кожен з n маленьких відрізків матеріальної точкою маси m k, вміщеній в точці x k -1, отримаємо, що координата центру мас наближено знаходиться так:

    .

    Тепер залишилося помітити, що при чисельник прагне до інтегралу , А знаменник (виражає масу всього стержня) - до інтегралу [8].

    Аналогічно можна вивести формулу для знаходження роботи сили.

    . II. Метод диференціалів.

    Електричний заряд.

    Уявімо собі змінний струм, поточний по провіднику. , переносимый за интервал времени [ a ; b ] через сечение проводника? Як обчислити заряд q, переносимо за інтервал часу [a; b] через перетин провідника? не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(ba). Пусть задан закон изменения I = I ( t ) в зависимости от времени. Якщо б сила струму I не змінювалася з часом, то зміна заряду q дорівнювало б твору I (ba). Нехай заданий закон зміни I = I (t) в залежності від часу. ; t + dt ] можно считать силу тока постоянной и равной I ( t ) . Тоді на малому інтервалі часу [t; t + dt] можна вважати силу струму постійною і рівною I (t). = I ( t ) dt . Тоді диференціал заряду запишемо так: dq = I (t) dt. ; b ] можно записать в виде интеграла: Звідси отримуємо, що весь заряд, стерпний за інтервал часу [a; b] можна записати у вигляді інтеграла:

    .

    Аналогічно виводяться і формули для знаходження роботи сили, переміщення точки, обчислення маси стрижня, електричного заряду і тиску води на греблю. [2]

    . III. Розгляд практичної задачі.

    Робота сили.

    при сжатии пружины на 0,08 м, если для её сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н. [1] Обчислити роботу сили F при стиску пружини на 0,08 м, якщо для її стиснення на 0,01 м потрібна сила 10 Н. [1]

    пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F = kx , где x – величина растяжения или сжатия (в м), k – постоянная. За законом Гука сила F пропорційна розтягування або стиснення пружини, тобто F = kx, де x - величина розтягування або стиснення (в м), k - постійна. . З умови задачі знаходимо k. =10 Н, то Тому що при х = 0,01 м і сила F = 10 Н, то . ( x )= kx =1000 x . Отже, F (x) = kx = 1000 x.

    ( x ) при перемещении тела из точки а в точку b равна Робота сили F (x) при переміщенні тіла з точки а в точку b дорівнює

    .

    Використовуючи дані задачі, отримуємо:

    (Дж).

    Розглянемо переваги і недоліки кожного з вище перерахованих методів.

    Якщо учні знайомилися з поняттям інтеграла як границі інтегральних сум, то перший метод вивчення додатків буде найбільш логічним і зрозумілим. Якщо ж поняття інтеграла вводилося за допомогою збільшення первісної, то використання даного методу отримання формул варто обгрунтувати для учнів і розглянути досить докладно з введенням поняття інтегральних сум, що досить громіздке, але необхідно.

    Перевагою другого методу при введенні поняття інтеграла за допомогою збільшення первісної полягає в тому, що він не такий громіздкий, як перший і з його допомогою можна вивести багато формул навіть в рамках уроку. Однак, у такому випадку обчислення інтеграла за допомогою інтегральних сум залишається за рамками вивчення, що є не зовсім коректним. При введенні поняття інтеграла за допомогою інтегральних сум розгляд даного методу при вивченні додатків необхідно пояснити.

    Третій метод можна застосовувати тільки в класах курсу А. Тут немає необхідності виводити формули, достатньо дати загальне уявлення.

    Підводячи підсумки першого розділу можна зробити наступні висновки.

    Як з'ясувалося, існують різні методи введення поняття інтеграла і вивчення його застосувань і вибір одного з них - завдання вчителя. Але для повноцінного вивчення інтеграла, для можливості надати учням повноцінну, найбільш обгрунтовану і зрозумілу картину даного явища вчителю необхідно використовувати різні методи в сукупності, різну літературу, тому що в рамках шкільного підручника і методів, які кожен з них пропонує вчителю, це неможливо. У кожному з вище розглянутих підручників є свої недоліки при введенні поняття та вивченні його додатків, які описані вище. У деяких з них не розглядаються ні властивості, ні техніка інтегрування.

    Проаналізувавши шкільні підручники щодо використання фізичних моделей при вивченні поняття інтеграла, можна зробити висновок, що при вивченні властивостей і техніки інтегрування жоден автор не використовує фізичних завдань, а при введенні поняття інтеграла автори обмежуються використанням наступних фізичних моделей: обчислення роботи змінної сили, переміщення точки , маси стрижня змінної щільності. Насправді існує величезний запас завдань з інших розділів фізики, які можна використовувати при введенні поняття інтеграла, а при вивченні його властивостей обгрунтовувати їх за допомогою фізичних завдань, при розгляді техніки інтегрування демонструвати методи на прикладах все тих же фізичних завдань. Таким чином, всі поняття, властивості, методи не тільки будуть надані учням як факти, але будуть і обгрунтовані, і продемонстровані, і покажуть межпредметную зв'язок фізики і математики.

    Глава 2

    Фізичні моделі при вивченні теми «Інтеграл»

    2.1. Введення поняття інтеграла за допомогою фізичних моделей

    Після аналізу переваг та недоліків шкільних підручників математики щодо теми «Інтеграл», після ознайомлення з деякими підручниками фізики і, враховуючи психолого-педагогічні та методичні засади вивчення інтеграла, мною була розроблена методика вивчення поняття інтеграла з використанням фізичних моделей у шкільному курсі математики, представлена ​​в цьому розділі.

    Нижченаведена методика введення поняття інтеграла за допомогою задач фізики розроблялася мною на основі наступного факту.

    Фізичні величини, обчислюються за допомогою інтеграла, можна розділити на два типи, в залежності від того, як вони природно визначаються. До першого типу відносяться «первинні» величини (довжина шляху, маса, кількість електрики, кількість теплоти і т. п.), тобто такі величини, для яких інші, пов'язані з ними («вторинні») величини (відповідно швидкість, лінійна щільність, величина струму, питома теплоємність і т. п.) визначаються як похідні цих величин. До другого типу відносяться такі, які визначаються природним чином як інтеграли від «первинних» по відношенню до них величин (наприклад, площа, робота). Для першого типу величин інтегральна формула для їх обчислення може і повинна бути доведена, спираючись на відоме з попереднього матеріалу визначення «вторинної» величини як похідної від даної «первинною». Для другого типу інтегральна формула з'являється за визначенням. [5]

    Відповідно до цього розглянемо описані в першому розділі підходи на конкретних фізичних моделях з різних розділів фізики (механіка, електродинаміка, кінематика та ін), приділивши особливу увагу другого підходу, оскільки в шкільних підручниках він практично не використовується.

    При введенні поняття інтеграла як границі інтегральних сум досить наочним і зрозумілим для учнів є приклад задачі про тиск рідини на стінку.

    наполнен водой. Завдання. Басейн висоти H наповнений водою. Обчислити тиск води на прямокутну стінку басейну з основою прямокутника, рівним а.

    равных частей ( Δ h ). Розділимо висоту Н на n рівних частин h). Стінка розділиться на «елементи». м, имеющего сечение 1 м 2 , равно h i тоннам. Так як кубометр води важить тонну, то тиск стовпа рідини висоти h i м, що має перетин 1 м 2, так само h i тоннам.

    , равно произведению h i на площадь элемента: h i a Тиск ж води на елемент, що знаходиться на глибині h i, дорівнює добутку h i на площу елементи: h i a . Δ h. Позначимо твір h i a ( h i ) . через F (h i). Тоді величина тиску на всю стінку наближено дорівнює

    ≈ F 1 ( h 1 ) Δ h 1 +…+ F n ( h n ) Δ h n . P n ≈ F 1 (h 1) Δ h 1 + ... + F n (h n) Δ h n.

    ( h ) на отрезке [ 0; H ]. Дану суму називають інтегральною сумою функції F (h) на відрізку [0; H]. ( h ) непрерывна на отрезке [ 0; H ] и может принимать любые значения. При цьому передбачається, що функція F (h) неперервна на відрізку [0; H] і може приймати будь-які значення. Якщо і висоти «елементів» прагнуть до нуля, то точне вираження суми одно . ( h ) на отрезке [ 0; H ] и обозначают Його називають визначеним інтегралом від функції F (h) на відрізку [0; H] і позначають .

    ( x ) и произвольный отрезок [ a ; b ]. Далі поняття визначеного інтеграла узагальнюється на довільну безперервну функцію F (x) і довільний відрізок [a; b].

    Розглянемо кілька завдань з фізичними моделями, де інтеграл визначається як приріст первісної.

    1. Задача про переміщення точки.

    = v ( t ) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [ t 1 ; t 2 ]. Нехай v = v (t) швидкість прямолінійного руху точки, задана на деякому проміжку часу [t 1; t 2]. ( t )>0 . При цьому нехай v (t)> 0. Як виразиться довжина шляху, пройденого точкою за даний проміжок часу? [5]

    через S ( t ). Тогда, так как движение при v >0 происходит только в положительном направлении (или иначе, т. к. S ( t ) – функция возрастающая, ввиду того, что Позначимо координату рухається точки в момент t через S (t). Тоді, так як рух при v> 0 відбувається тільки в позитивному напрямі (або інакше, тому що S (t) - функція зростаюча, з огляду на те, що ( t 2 )- S ( t 1 ). С другой стороны S ( t ) есть первообразная функции v ( t ) ( ), То шукане відстань буде виражатися числом S (t 2) - S (t 1). З іншого боку S (t) є первообразная функції v (t) ( ). ( t ) функции v ( t ) , т. е. к интегрированию функции v ( t ). Таким чином обчислення довжини шляху, пройденого точкою за даний проміжок часу, зводиться до відшукання первісної S (t) функції v (t), тобто до інтегрування функції v (t).

    ( t 2 )- S ( t 1 ) называют интегралом от функции v ( t ) на отрезке [ t 1 ; t 2 ] и обозначают так: Різниця S (t 2) - S (t 1) називають інтегралом від функції v (t) на відрізку [t 1; t 2] і позначають так:

    .

    1. Імпульс сили.

    в течение времени t действует какая-то сила F ( t ) . Нехай на тіло масою m протягом часу t діє якась сила F (t). 1 ; t 2 ]. Знайти кількість руху тіла при заданій залежності сили від часу за проміжок часу [t 1; t 2].

    Як відомо з фізики другий закон Ньютона в імпульсному представленні висловлює рівняння

    Δ t . Δ Р = F Δ t.

    = mv ( t ) массы на скорость называется «количеством движения». Твір P = mv (t) маси на швидкість називається «кількістю руху». 1 ; t 2 ] искомое количество движения может быть найдено так: Р( t 2 )-Р( t 1 ). С другой стороны Р( t ) есть первообразная функции F ( t ) . Так як швидкість тіла залежить від часу, то за проміжок часу [t 1; t 2] шукану кількість руху може бути знайдено так: Р (t 2)-Р (t 1). З іншого боку Р (t) є первообразная функції F (t). ) функции F ( t ) . Таким чином обчислення кількості руху тіла за даний проміжок часу, зводиться до відшукання первісної Р (t) функції F (t).

    ( t 2 )- P ( t 1 ) называют интегралом от функции F ( t ) на отрезке [ t 1 ; t 2 ] и обозначают так: Різниця P (t 2) - P (t 1) називають інтегралом від функції F (t) на відрізку [t 1; t 2] і позначають так:

    .

    Величина 1 ; t 2 ]. називається також «імпульсом сили» за час [t 1; t 2]. Словесна формулювання результату: зміна кількості руху одно імпульсу сили.

    1. Кількість електрики.

    Уявімо собі змінний струм, поточний по провіднику. ; b ] через сечение проводника. Обчислимо кількість електрики, що протікає за інтервал часу [a; b] через перетин провідника. равнялось бы произведению I(ba). Пусть задан закон изменения I = I ( t ) в зависимости от времени. Якщо б сила не змінювалася з часом, то зміна кількості електрики q дорівнювало б твору I (ba). Нехай заданий закон зміни I = I (t) в залежності від часу. ; b ], равно q ( b )- q ( a ). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I ( t ), а dq = I ( t ) dt , следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I ( t ) . Тоді кількість електрики, що протікає за інтервал часу [a; b], так само q (b) - q (a). З іншого боку на малому проміжку часу можна вважати силу струму постійною і рівною I (t), а dq = I (t ) dt, отже, обчислення кількості електрики за даний проміжок часу, зводиться до відшукання первісної функції I (t).

    ( b )- q ( a ) называют интегралом от функции I ( t ) на отрезке [ a ; b ] и обозначают так: Різниця q (b) - q (a) називають інтегралом від функції I (t) на відрізку [a; b] і позначають так:

    .

    1. Витікання води з посудини.

    Дана задача проста і наочна у своїй постановці для учнів.

    Уявімо собі посудину, з якої витікає вода. поток воды вычисляется по формуле q = q ( t ). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [ t 1 ; t 2 ]. У момент часу t потік води обчислюється за формулою q = q (t). Знайдемо об'єм води, яка витікає з посудини за проміжок часу [t 1; t 2]. . Обсяг води, що знаходиться в посудині, позначимо через V. есть функция времени t . Цей обсяг з часом змінюється, тобто V є функція часу t.

    1 ; t 2 ]. Розглянемо проміжок часу [t 1; t 2]. ( t 2 )- V ( t 1 ) воды. Очевидно, що за цей час з посудини витече V (t 2) - V (t 1) води. = q ( t ) dt . З іншого боку, потік води - це величина, що характеризує швидкість зміни кількості води в посудині, тобто dV = q (t) dt. 1 ; t 2 ], сводится к отысканию первообразной функции q ( t ) . Отже, обчислення об'єму води, яка витікає з посудини за проміжок часу [t 1; t 2], зводиться до відшукання первісної функції q (t).

    ( t 2 )- V ( t 1 ) называют интегралом от функции q ( t ) на отрезке [ t 1 ; t 2 ] и обозначают так: Різниця V (t 2) - V (t 1) називають інтегралом від функції q (t) на відрізку [t 1; t 2] і позначають так:

    .

    Всі вишерассмотренние моделі - це найбільш часто зустрічаються в шкільному курсі фізики закони і формули, тому вони не вимагають від учнів додаткових знань з фізики, а, отже, задовольняють як принципу науковості, так і принципу доступності матеріалу.

    2.2. Вивчення властивостей певного інтеграла за допомогою фізичних моделей

    При вивченні інтеграла істотним є відбір властивостей, які необхідно знати учням. Їх має бути достатньо для розгляду додатків інтеграла і в той же час не повинні вводитися властивості, без яких можна обійтися надалі. Доказ властивостей при різних підходах до введення поняття інтеграла може бути різним.

    Нижче наведені властивості інтеграла розглядаються на різних фізичних моделях.

    1 0. .

    Розглянемо доказ даної властивості на задачі про переміщення точки.

    При введенні інтеграла розглядається випадок, коли нижня межа інтегрування менше верхнього. Але певний інтеграл можна узагальнити і на випадок, коли верхня межа менше нижнього. У цьому випадку звернемося до визначення інтеграла як суми. ; b ] промежуточными значениями t 1 , t 2 , …, t n -1 , убедимся, что все Δ t теперь отрицательны. Розбиваючи відрізок від [a; b] проміжними значеннями t 1, t 2, ..., t n -1, переконаємося, що всі Δ t тепер негативні. Легко переконатися, що

    , (1)

    ; b ] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δ t во всех слагаемых. тому що при будь-якому розбитті відрізка [a; b] відповідні суми будуть відрізнятися знаками всіх Δ t у всіх доданків. [7]

    2 0. .

    Доведемо властивість на прикладі задачі про переміщення точки.

    (конца), можно представить Істотне властивість інтеграла полягає в тому, що область інтегрування можна розбити на частини: шлях, пройдений за час від а (початку) до b (кінця), можна представити


    до c (промежуточного момента) и от c до b як суму шляху, пройденого за час від a до c (проміжного моменту) і від c до b

    . (2)

    ; b ]. За допомогою співвідношення (1) можна поширити формулу (2) і на випадок, коли з не лежить у проміжку [a; b].

    > b > a . Нехай c> b> a. Тоді очевидно

    .

    Перенесемо останнє доданок в ліву частину і скористаємося (1)

    . (3)

    Таким чином, отримали рівність (3), в точності збігається з (2).

    , c , b (их всего шесть вариантов). Аналогічно можна розглянути випадки іншого розташування чисел a, c, b (їх всього шість варіантів). , c , b .[7] Учні легко можуть самостійно переконатися, що формула (2) виявляється вірною у всіх цих випадках, тобто незалежно від взаємного розташування чисел a, c, b. [7]

    Виведене властивість називається властивістю адитивності інтеграла.

    3 0. , .

    Розглянемо доказ цих властивостей на прикладах завдання про роботу змінної сили і завдання про тиск рідини на стінку.

      1. 1 ( x ) и F 2 ( x ), направленные по одной прямой в одну сторону. Нехай до матеріальної точки, що рухається по осі х, включені дві сили F 1 (x) і F 2 (x), спрямовані по одній прямій в одну сторону. , при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: Під дією цих сил матеріальна точка перемістилася з точки а в точку b, при цьому робота кожної сили на цьому відрізку обчислюється за формулами: і . Тоді загальна робота, яка виконується обома силами дорівнює

    . (4)

    1 ( x ) и F 2 ( x ), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F ( x ) находится по формуле F ( x )= F 1 ( x )+ F 2 ( x ). Работа этой силы равна З іншого боку, якщо до тіла включені дві сили F 1 (x) і F 2 (x), спрямовані по одній прямій в одну сторону, то їх рівнодійна F (x) знаходиться за формулою F (x) = F 1 (x) + F 2 (x). Робота цієї сили дорівнює

    . (5)

    З огляду на рівності лівих частин у формулах (4) і (5), отримуємо рівність правих, тобто

    .

    Неважко показати, що ця властивість виконується для будь-якого кінцевого числа сил, що діють на точку і спрямованих по одній прямій в одну сторону. Це властивість показує, що інтеграл суми кількох доданків розбивається на суму інтегралів окремих доданків.

    1 ( x ) и F 2 ( x ), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то их равнодействующая F ( x ) при F 1 ( x )> F 2 ( x ) находится по формуле F ( x )= F 1 ( x )- F 2 ( x ). Тогда верно следующее равенство Якщо ж до матеріальної точки, що рухається по осі х, включені дві сили F 1 (x) і F 2 (x), спрямовані по одній прямій, але в протилежний бік, то їх рівнодійна F (x) при F 1 (x)> F 2 (x) знаходиться за формулою F (x) = F 1 (x) - F 2 (x). Тоді вірно наступне рівність

    .

      1. Раніше був наведений метод введення інтеграла, заснований на розгляді завдання про тиск рідини на прямокутну стінку басейну з основою а, в результаті рішення якої отримана формула

    , (6)

    де а - величина постійна, що дорівнює ширині стінки басейну.

    Розділимо прямокутну стінку басейну на а прямокутників з основою, що дорівнює одиниці. Тоді весь басейн також розділиться на а рівних частин, при чому тиск на прямокутну стінку з основою, рівним одиниці в кожній частині буде обчислюватися за формулою . Враховуючи, що у всіх частинах тиск одне і те ж і всього частин а, то загальний тиск одно

    . (7)

    З огляду на рівності лівих частин у формулах (6) і (7), одержуємо рівність правих, тобто

    .

    ( x ) и произвольный отрезок [ a ; b ], т. е. Дане рівність можна узагальнити на довільну безперервну функцію F (x) і довільний відрізок [a; b], тобто

    Виведені формули в пунктах 3.1 та 3.2 називаються властивостями лінійності інтеграла.

    4 0. Якщо ; b ], то на відрізку [a; b], то .

    Доведемо дане властивість за допомогою завдання про масу стержня.

    При введенні поняття інтеграла за допомогою задачі про обчисленні маси неоднорідного стрижня була отримана формула

    .

    Як відомо, щільність речовини - це фізична величина, що показує, чому дорівнює маса речовини в одиниці об'єму, отже, це величина невід'ємна. З іншого боку маса речовини є також величина невід'ємна. Таким чином, отримуємо: якщо підінтегральна функція неотрицательна на розглянутому відрізку, то

    .

    Використовувані в доказах властивостей фізичні моделі, по-перше, наочні, по-друге, при відповідною методикою введення поняття інтеграла, дана методика введення властивостей змушує постійно повторювати пройдене, згадувати виведені при введенні формули. Все це задовольняє принципу міцності знань та наочності у навчанні (додаток).

      1. Фізичні моделі при відпрацюванні техніки інтегрування.

    1. Використання властивостей інтеграла.

    № 1. Обчисліть силу тиску води на вертикальний прямокутний шлюз з підставою 18 м і висотою 6 м. [4]

    Рішення. ( x )= ax , где а – площадь площадки. Сила тиску води залежить від глибини х занурення майданчики: P (x) = ax, де а - площа майданчика. Отримуємо

    (Т).

    2. ( t )= 2 t - 1. Тіло масою 1 рухається з прискоренням, мінливим лінійно за законом a (t) = 2 t - 1. = 0, если в начальный момент его скорость равнялась 2? Який шлях пройде тіло за 4 одиниці часу від початку руху t = 0, якщо в початковий момент його швидкість дорівнювала 2?

    Рішення. вычисляется по формуле Швидкість тіла в будь-який момент часу t обчислюється за формулою

    v = v 0 + at.

    Використовуючи дані задачі, отримуємо:

    .

    3. 0 . Какова наибольшая высота, достигаемая телом? Тіло кинуто з поверхні Землі вертикально вгору з початковою швидкістю v 0. Яка найбільша висота, що досягається тілом? [5]

    Рішення. движения равна разности начальной скорости и скорости gt , вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v =v 0 -gt . Швидкість тіла в будь-який момент часу t руху дорівнює різниці початкової швидкості і швидкості gt, викликаної прискоренням, визначеним силою тяжіння: v = v 0-gt. = v 0 - gt >0 , т. е. при Рух вгору буде відбуватися при v = v 0 - gt> 0, тобто при . Таким чином, максимальна висота польоту дорівнює

    .

    1. Введення нової змінної.

    1. Задано закон зміни швидкості руху матеріальної точки по прямій: в секундах, скорость v в метрах в секунду). (Час t у секундах, швидкість v в метрах за секунду). =0 )? Який шлях пройде точка за 13 с від початку руху (t = 0)?

    Рішення. В якості нової змінної введемо величину, що стоїть в дужках. , Назвемо її z,

    = 2 t + 1. z = 2 t + 1.

    перейти к дифференциалу dz . При цьому треба також від диференціала dt перейти до диференціалу dz. Отримаємо

    =2 dt , dt = dz / 2 . dz = 2 dt, dt = dz / 2.

    Обчислимо спочатку невизначений інтеграл,

    Таким чином,

    . м / c.

    № 2. Обчислити кількість електрики, що протікає через ланцюг за проміжок часу [0,01; 1], якщо струм змінюється за формулою .

    Рішення. За елементарний проміжок часу протікає кількість електрики

    dq = I (t) dt.

    В якості нової змінної введемо величину, що стоїть в дужках.

    .

    = Тоді dt = . du.

    Значить, загальна кількість електрики одно

    .

    3. Точка рухається по прямій. = 1 с её скорость равна 1 м/с, а затем уменьшается по закону У початковий момент t = 1 с її швидкість дорівнює 1 м / с, а потім зменшується за законом . Знайдіть довжину шляху, пройденого точкою за 4 с від початкового моменту часу.

    1. Інтегрування шляхом підстановки (внесенням під знак диференціала).

    1. , а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости (рис.1); удельный вес жидкости равен γ. Знайти величину тиску на півколо, вертикально занурений в рідину, якщо його радіус дорівнює R, а верхній діаметр лежить на вільній поверхні рідини (рис.1); питома вага рідини дорівнює γ. [6]

    Рішення. Проведемо горизонтальну смужку на глибині х. Сила тиску рідини на цю смужку дорівнює

    .

    Таким чином,

    .

    = dx 2 , отсюда Зауважимо, що 2 xdx = dx 2, звідси

    .

    2. Кінець труби, зануреної горизонтально у воду, може бути закритий заслінкою. Визначити тиск, що мають цієї заслінкою, якщо її діаметр дорівнює 60 см, а центр знаходиться на глибині 15 м під водою. [6]

    2.4. Програми інтеграла у фізиці.

    Розглянемо декілька нетривіальних прикладів застосування інтеграла у фізиці.

    Знаходження сили.

    1. и однородный стержень массы M и длины l . На пряме розташовані матеріальна точка маси m і однорідний стрижень маси M і довжини l. и c + l . Точка віддалена від кінців стержня на відстані c і c + l. Визначити силу гравітаційного тяжіння між стрижнем і точкою. [3]

    Рішення. ; c + l ] на большое число отрезков. Розіб'ємо відрізок [c; c + l] на велике число відрізків. вычислять по закону всемирного тяготения. Якщо відрізки ці малі, то масу кожного з них можна вважати точкової і силу гравітаційного тяжіння між таким відрізком і масою m обчислювати за законом всесвітнього тяжіння. Якщо довжина відрізка дорівнює Δ х, а відстань його від початку координат одно х, то сила гравітаційного тяжіння дорівнює

    Δ х.

    ; c + l ]. Підсумовуючи отримані для кожного відрізка значення сили гравітаційного тяжіння, ми одержимо уявлення шуканої сили у вигляді суми тим більш точне, чим дрібніше відрізки, на які ми розбивали відрізок [c; c + l]. У межі отримаємо

    .

    № 2. и массы М действует на материальную точку массы m , находящуюся в его центре? З якою силою півкільце радіуса r і маси М діє на матеріальну точку маси m, що знаходиться в його центрі? [3]

    Знаходження кінетичної енергії.

    № 3. , вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Обчислити кінетичну енергію диска маси М і радіуса R, що обертається з кутовою швидкістю ω близько осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини. [6]

    Рішення. , находящегося на расстоянии r от центра диска, равна 2πρ rdr , где Маса кругового кільця товщини dr, що знаходиться на відстані r від центру диска, дорівнює 2πρ rdr, де - Поверхнева щільність. Лінійна швидкість υ = ω r кільця. Отже, його кінетична енергія буде:

    .

    Тому кінетична енергія диска дорівнює

    .

    4. Стрижень АВ обертається в горизонтальній пло скинув навколо осі ОО 'з кутовою швидкістю ω = 10π рад / с. = 4 см 2 , длина его l = 20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, γ= 7,8 • 10 3 кг/м 3 . Найти кинетическую энергию стержня. За перерізу стрижня S = 4 см 2, довжина його l = 20 см, щільність матеріалу, з якого він виготовлений, γ = 7,8 • 10 3 кг / м 3. Знайти кінетичну енергію стрижня. [3]

    Рішення. Кінетична енергія тіла, що обертається навколо непод вижній осі, дорівнює – момент инерции относительно оси вращения. , Де ω - кутова швидкість, а J - момент інерції відносно осі обертання.

    2 dl Момент інерції стрижня відносно осі дорівнює Sγl 2 dl , Звідси кінетичну енергію стрижня можна знайти за формулою:

    (Дж).

    5. = 30 см, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью ω=5π рад/с. Трикутна платівка, заснування якої а = 40 см, а висота h = 30 см, обертається навколо свого заснування з постійною кутовий швидкістю ω = 5π рад / с. Знайти кінетичну енергію платівки, якщо товщина її d = 0,2 см, а щільність матеріалу, з якого вона виготовлена, γ = 2,2 • 10 3 кг / м 3. [3]

    Знаходження тиску.

    6. , верхним основанием а и нижним основанием b . Знайти тиск води на греблю, якщо вода доходить до її верхнього краю і якщо відомо, що гребля має вигляд трапеції з висотою h, верхнім підставою а і нижнім підставою b.

    Рішення. . Розглянемо елементарний шар, що знаходиться на глибині х і має висоту dx.

    Легко довести, що довжина цього шару дорівнює

    равна Тому його площа dS дорівнює

    ,

    на него равно а тиск dP на нього дорівнює

    .

    Всі тиск на греблю виражається інтегралом

    . [4]

    7. . Обчислити силу тиску води на вертикальну греблю, що має форму трапеції, верхнє заснування якої дорівнює 70 м, нижнє 50 м, а висота 20 м. [4]

    Знаходження роботи.

    8. Знайдіть роботу змінного струму, що змінюється за формулою за проміжок часу . , Якщо опір ланцюга дорівнює R. [4]

    Рішення. Як відомо з фізики, у випадку постійного струму потужність виражається формулою . Тому, враховуючи, що маємо:

    .

    9. Два точкових електричних заряду +10 -4 і -10 -4 Кл знаходяться на відстані 10 см один від одного. Знайдіть роботу, необхідну для того, щоб розвести їх на відстань 10 км. [2]

    Рішення. между зарядами равна Сила взаємодії F між зарядами дорівнює = kq 1 q 2 , где (A = kq 1 q 2, де Нм 2 / Кл 2). 1 неподвижен, а заряд q 2 передвигается по отрезку [0,1; 10000] м, равна Тоді робота цієї сили, коли заряд q 1 нерухомий, а заряд q 2 пересувається по відрізку [0,1; 10000] м, дорівнює

    .

    10. поднять с поверхности Земли, радиус которой R , на высоту h ? Яку роботу потрібно виконати, щоб за допомогою ракети тіло маси m підняти з поверхні Землі, радіус якої R, на висоту h? [4]

    Рішення. На тіло маси m за законом всесвітнього тяжіння діє сила , Де M - Маса Землі, а r - Відстань тіла від центру Землі. Тому

    .

    = R На поверхні ж Землі, тобто при r = R = mg , т. маємо F = mg, т. е. і . Звідси .

    11. . , из A ( a ) в B ( b ) , если притягивающая её по закону Ньютона точка имеет массу μ и находится в начале координат. [4] Знайти роботу, виконувану при перенесенні матеріальної точки, що має масу m, з A (a) в B (b), якщо притягає її за законом Ньютона точка має масу μ і знаходиться на початку координат. [4]

    Рішення. За законом Ньютона сила тяжіння дорівнює – расстояние между точками. , Де γ - гравітаційна постійна, а r - відстань між точками. Тоді отримуємо

    .

    12. и высотой H , выкачивают воду через вершину конуса. З цистерни, що має форму прямого кругового конуса радіусом основи R та висотою H, викачують воду через вершину конуса. Знайдіть чинену при цьому роботу. =3 м, H = 5 м, считая плотность воды ρ =1 г/см 3 . Знайдіть числове значення роботи при R = 3 м, H = 5 м, вважаючи щільність води ρ = 1 г / см 3.

    Висновок

    На закінчення підведемо деякі підсумки виконаної роботи.

    Були проаналізовані різні підручники по темі, розглянуті різні підходи до викладу досліджуваного матеріалу, внаслідок чого виділені достоїнства і недоліки кожного підходу, на підставі цього і в силу необхідності повноцінного вивчення найважливіших елементів інтегрального числення в основній школі, а також в силу недостатньої розробленості методики викладання цього матеріалу за допомогою використання фізичних моделей у шкільному курсі математики, була розроблена своя методика, яка також має як свої недоліки, так і гідності.

    Серед недоліків виділимо відсутність універсальності у даної методики. Дане виклад матеріалу на уроках можливо на сьогоднішній день тільки в класах з поглибленим вивченням математики або фізики, або на факультативних заняттях.

    Достоїнствами даної методики є

      1. прикладна значимість матеріалу (що в деяких випадках полегшить роботу і вчителю фізики);

      2. ефективність навчання (за рахунок приведення практичних прикладів);

      3. задоволення пізнавальних інтересів учнів.

    Необхідно відзначити, що основні цілі і завдання, поставлені нами, були досягнуті. Тема «Інтеграл», що вивчається за допомогою розробленої методики, найбільш опукло і яскраво демонструє зв'язок математики з фізикою, дозволяє повноцінно і усвідомлено засвоїти матеріал по темі.

    У даній роботі представлені як теоретичний матеріал, так і практичні вправи. Фізичні моделі та явища, що розглядаються у другому розділі, не виходять за рамки шкільної програми з фізики, а, отже, не вимагають від учнів додаткових знань з предмета, що задовольняє принципу доступності викладу матеріалу, який у свою чергу узгоджується з принципом досить високого рівня труднощі . Також у цій роботі реалізовані принципи наочності (креслення, графіки до завдань), систематичності і послідовності в навчанні.

    Використання даної методики формує такі спеціальні якості, як уміння будувати математичні моделі реальних процесів і явищ, досліджувати й вивчати їх, а, отже, сприяє розвитку мислення, пам'яті, уваги і мови учнів.

    У вчителя при використанні даної методики є можливість вибору шляху викладу матеріалу відповідно до особливостей мислення і сприйняття учнів, а також відповідно до їх підготовкою з математики та фізики. Наприклад, вчитель класів курсу А може взяти лише деякі факти даної методики, вчитель же класів з поглибленим вивченням математики і фізики може використовувати всю методику цілком. У будь-якому випадку, ця робота може допомогти кожному вчителю у викладанні теми «Інтеграл».

    На мій погляд, застосування фізичних моделей при введенні поняття інтеграла, розгляді його властивостей, відпрацюванні техніки інтегрування і вивченні додатків сприяє усвідомленому якісному засвоєнню школярами цього матеріалу, розвитку правильного уявлення про досліджуваному понятті, його величезної значущості у фізиці, формування світогляду учнів.

    Бібліографія

    1. Алімов, Ш. А. Алгебра і початки аналізу [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін - М.: Просвещение, 1993. . - 254 c.

    2. Башмаков, М. І. Алгебра і початки аналізу [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 351 с.

    3. Берман, Г. Н. Збірник задач з курсу математичного аналізу [Текст]: Уч. посібник. - СПб.: Вид-во «Професія», 2001. - 432 с.

    4. Віленкін, Н. Я., Куницька, Є. С., Мордкович, А. Г. Математичний аналіз. Інтегральне числення [Текст]: Уч. курса физико-математических факультетов педагогических институтов. посібник для студентів-заочників II курсу фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів. - М.: Просвещение, 1979. - 175 с.

    5. классе [Текст]: Уч. Завдання як засіб навчання алгебри та початків аналізу в X класі [Текст]: Уч. посібник / / Укл. Є. С. Канін. - К.: Редакційно-видавнича рада Кіровського ДПІ імені В. І. Леніна, 1985. . - 92 c.

    6. Задачник з курсу математичного аналізу [Текст]: Уч. посібник для студентів заочн. відділень фіз.-мат. фак-тів педінститутів. // Под ред. Ч. I / / Под ред. Н. Я. Виленкина. - М.: Просвещение, 1971. - 343 с.

    7. Зельдович, Я. Б. Вища математика для початківців і її застосування до фізики [Текст]: Уч. посібник для фізико-математичних середніх шкіл і проведення факультативних занять. - М.: Наука, 1970. - 560 с.

    8. Колмогоров, А. М. Алгебра і початки аналізу [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. загаль. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин и др. - М.: Просвещение, 1998. . - 365 c.

    1. Моделі та моделювання в методиці навчання фізики [Текст]: Матеріали доповідей республіканської науково-теоретичної конференції. - К.: Вид-во Вятского ГПУ, 2000. - 90 с.

    2. Мордкович, А. Г. Алгебра і початки аналізу [Текст]: Учеб. для 10-11 кл. загаль. установ. . Ч. I. - М.: Мнемозина, 2003. - 375 с.

    3. Нікольський, С. М. Алгебра і початки аналізу [Текст]: Учеб. для 11 класу загаль. установ / С. М. Нікольський, М. К. Потапов. - М.: Просвещение, 2003.

    Додаток

    Дослідне викладання

    Конспект факультативного заняття

    Тема: Властивості інтеграла.

    Клас: 11 клас.

    Триєдина мета:

    . I. Освітній аспект:

    1. вивчити властивості інтеграла, продемонструвати учням застосування фізичних моделей при вивченні властивостей інтеграла (межпредметную зв'язок математики і фізики);

    2. навчити застосовувати властивості при обчислення інтеграла, при вирішенні задач математики і фізики.

    . II. Розвиваючий аспект:

    1. створити умови для розвитку практичного, абстрактного та логічного мислення учнів.

    . III. Виховний аспект:

    1. створити умови для осмислення цінності математичних та фізичних знань як засобу пізнання світу.

    Очікуваний результат факультативу:

    Репродуктивний рівень: знання властивостей інтегралів, вміння застосовувати їх для обчислення інтеграла.

    Конструктивний рівень: вміння застосовувати властивості інтеграла на вирішення найпростіших математичних та фізичних завдань.

    Творчий рівень: вміння застосовувати властивості інтеграла на вирішення нетривіальних текстових завдань з математичним і фізичним змістом.

    Методи навчання, які застосовуються на факультативі:

    • Пояснювально-ілюстративний

    • Частково-пошуковий

    Форми організації пізнавальної діяльності учнів:

    • Фронтальне

    • Індивідуальна

    Форми контролю:

    Контроль з боку вчителя

    План:

    . I. Організація діяльності (1-2 хв.).

    . II. Актуалізація знань (2-3 хв.).

    . III. Вивчення нового матеріалу (25 хв.).

    . IV. Рішення задач (10-12 хв.).

    Література: [2], [8].

    Зміст.

    Мотивація: Розглянемо задачу. ( t )= t 3 -2 t 2 - 1 м/с. Швидкість тіла задається формулою v (t) = t 3 -2 t 2 - 1 м / с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші 10 с після початку руху.

    Рішення. Шлях пройдений тілом за перші 10 с після початку руху обчислюється за формулою

    Як же обчислити інтеграл від такої функції?

    Для цього розглянемо допоміжну задачу.

    1 ( x ) и F 2 ( x ), направленные по одной прямой в одну сторону. Нехай до матеріальної точки, що рухається по осі х, включені дві сили F 1 (x) і F 2 (x), спрямовані по одній прямій в одну сторону. , при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: Під дією цих сил матеріальна точка перемістилася з точки а в точку b, при цьому робота кожної сили на цьому відрізку обчислюється за формулами: і . Тоді загальна робота, яка виконується обома силами дорівнює

    . (1)

    1 ( x ) и F 2 ( x ), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F ( x ) находится по формуле F ( x )= F 1 ( x )+ F 2 ( x ). Работа этой силы равна З іншого боку, якщо до тіла включені дві сили F 1 (x) і F 2 (x), спрямовані по одній прямій в одну сторону, то їх рівнодійна F (x) знаходиться за формулою F (x) = F 1 (x) + F 2 (x). Робота цієї сили дорівнює

    . (2)

    З огляду на рівності лівих частин у формулах (1) і (2), отримуємо рівність правих, тобто

    .

    Неважко показати, що ця властивість виконується для будь-якого кінцевого числа сил, що діють на точку і спрямованих по одній прямій в одну сторону. Це властивість показує, що інтеграл суми кількох доданків розбивається на суму інтегралів окремих доданків.

    1 ( x ) и F 2 ( x ), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то тогда верно следующее равенство Спробуйте самостійно довести, що якщо до тіла включені дві сили F 1 (x) і F 2 (x), спрямовані по одній прямій, але в протилежний бік, то тоді вірно наступне рівність

    .

    Тоді, повертаючись до початкової задачі, можна зробити наступний запис

    .

    Як видно з формули під знаком інтеграла залишилися постійні множники.

    Тепер перевіримо чи можна за знак інтеграла винести постійний множник.

    Згадаймо розгляд завдання про тиск рідини на прямокутну стінку басейну з основою а, в результаті вирішення якої була отримана формула

    , (3)

    де а - величина постійна, що дорівнює ширині стінки басейну.

    Розділимо прямокутну стінку басейну на а прямокутників з основою, що дорівнює одиниці. Тоді весь басейн також розділиться на а рівних частин, при чому тиск на прямокутну стінку з основою, рівним одиниці в кожній частині буде обчислюватися за формулою . Враховуючи, що у всіх частинах тиск одне і те ж і всього частин а, то загальний тиск одно

    . (4)

    З огляду на рівності лівих частин у формулах (3) і (4), отримуємо рівність правих, тобто

    .

    ( x ) и произвольный отрезок [ a ; b ], т. е. Дане рівність можна узагальнити на довільну безперервну функцію F (x) і довільний відрізок [a; b], тобто

    .

    Дана властивість показує, що постійний множник можна виносити за знак інтеграла.

    Тоді застосовуючи це властивість до вирішення вихідної задачі, отримуємо

    .

    Виведені формули називаються властивостями лінійності інтеграла.

    Але інтеграл володіє і іншими властивостями, які необхідно знати для рішення завдань. Одне з таких властивостей виглядає наступним чином

    .

    Розглянемо доказ даної властивості на задачі про переміщення точки [с.18].

    При введенні інтеграла розглядається випадок, коли нижня межа інтегрування менше верхнього. Але певний інтеграл можна узагальнити і на випадок, коли верхня межа менше нижнього. У цьому випадку звернемося до визначення інтеграла як суми. ; b ] промежуточными значениями t 1 , t 2 , …, t n -1 , убедимся, что все Δ t теперь отрицательны. Розбиваючи відрізок від [a; b] проміжними значеннями t 1, t 2, ..., t n -1, переконаємося, що всі Δ t тепер негативні. Легко переконатися, що

    , (5)

    ; b ] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δ t во всех слагаемых. тому що при будь-якому розбитті відрізка [a; b] відповідні суми будуть відрізнятися знаками всіх Δ t у всіх доданків.

    Наступне властивість називається властивістю адитивності інтеграла

    .

    Доведемо властивість на прикладі задачі про переміщення точки [с.18].

    (конца), можно представить Істотне властивість інтеграла полягає в тому, що область інтегрування можна розбити на частини: шлях, пройдений за час від а (початку) до b (кінця), можна представити


    до c (промежуточного момента) и от c до b як суму шляху, пройденого за час від a до c (проміжного моменту) і від c до b

    . (6)

    ; b ]. За допомогою співвідношення (5) можна поширити формулу (6) і на випадок, коли з не лежить у проміжку [a; b].

    > b > a . Нехай c> b> a. Тоді очевидно

    .

    Перенесемо останнє доданок в ліву частину і скористаємося (5)

    . (7)

    Таким чином, отримали рівність (7), в точності збігається з (6).

    , c , b (их всего шесть вариантов), которые нужно самостоятельно разобрать и убедиться, что формула (6) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a , c , b . Аналогічно можна розглянути випадки іншого розташування чисел a, c, b (їх всього шість варіантів), які потрібно самостійно розібрати і переконатися, що формула (6) виявляється вірною у всіх цих випадках, тобто незалежно від взаємного розташування чисел a, c , b.

    Ще одна властивість інтеграла звучить так:

    якщо ; b ], то на відрізку [a; b], то .

    Згадаймо формулу для обчислення маси стрижня за відомою щільності.

    .

    Як відомо, щільність речовини - це фізична величина, що показує, чому дорівнює маса речовини в одиниці об'єму, отже, це величина невід'ємна. З іншого боку маса речовини є також величина невід'ємна. Таким чином, отримуємо: якщо підінтегральна функція неотрицательна на розглянутому відрізку, то

    .

    Далі учням для самостійного рішення пропонуються наступні завдання:

    1) на обчислення інтеграла ([2] стр.264 № 11 8) -9), 15) -16), 23));

    2) з фізичним змістом ([8] стр.193 № 373, 374, 376; [2] стр.269 № 3)

    Зауваження. Дана методика вивчення властивостей інтеграла можлива за умови, що учні знають всі використовувані при доказах формули. Цього можна домогтися, вводячи поняття інтеграла наступним чином. Методом диференціалів, а конкретно на задачі про переміщення точки вводиться поняття інтеграла, потім цим же методом виводиться формула для обчислення маси стрижня за відомою щільності. Далі пояснюється, що інтеграли можна наближено обчислювати за допомогою складання інтегральних сум, і саме з цим методом історично пов'язана поява поняття інтеграл. Цей метод розглядається на задачі про тиск рідини на стінку і на задачі про роботу сили.

    Аналіз. Дані властивості інтеграла, як відомо, можна вивести і іншим способом (наприклад, за допомогою формули Ньютона-Лейбніца і з використанням властивостей площі криволінійної трапеції). Але використовувані в доказах фізичні моделі, по-перше, наочні, а, отже, легше сприймуться учнями, дозволять краще запам'ятати властивості і залишать у пам'яті учнів наочне уявлення про кожну з властивостей. По-друге, при відповідною методикою введення поняття інтеграла, дана методика введення властивостей змушує постійно повторювати пройдене, згадувати виведені при введенні формули (а, отже, і самі формули краще відкладуться в пам'яті учнів). Все це задовольняє принципу міцності знань та наочності у навчанні. Враховуючи, що поняття інтеграла вводилося через фізичні моделі, а властивості вводяться аналогічно, то при даній методиці виконується і принцип послідовності і систематичності у навчанні, і принцип доступності. Вище описані цінні боку факультативу, але є й недолік - дана методика підходить не для всіх учнів. Наприклад, в гуманітарних класах вона не може бути застосована, даними класами достатньо мати загальне уявлення про інтегралі.

    Додати в блог або на сайт

    Цей текст може містити помилки.

    Педагогіка | Диплом
    233.7кб. | скачати


    Схожі роботи:
    Фізичні моделі при вивченні інтеграла в курсі алгебри і початків аналізу в 10 11 класах
    Роль цікавих задач при вивченні курсу алгебри та початків аналізу
    Методика викладання теми Тригонометричні функції в курсі алгебри і початків аналізу
    Реалізація міжпредметних зв`язків на елективних курсах з початків математичного аналізу в класах
    Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів на прикладі підручників з алгебри під ред
    Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 9 липня класів на прикладі підручників з алгебри під ред
    Методика використання схем і малюнків при вивченні оптики в курсі фізики середньої школи
    Використання елементів цікавості та ігри при вивченні складу слова в початкових класах
    Прийоми активізації учнів у процесі навчання математики в початкових класах при вивченні нумерації
    © Усі права захищені
    написати до нас