Реферат на тему:
Функція, границя функції
Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=f(x) .
Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).
Приклад. Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:
-
Витрати на рекламу
x
Прибуток
f(x)
50
80
100
220
140
240
160
210
200
160
Областю визначення цієї функції є множина D={50;100;140;160;200}, областю значень – множина E={80;220;240;210;160} .
Приклад. Залежність (функція) Q(p) попиту Q на товар від його ціни p задана графіком (рис. 4.1).
Q
Q1
Q2
p1 p2 p
Рис. 4.1.
Областю визначення цієї функції є відрізок D=[p1;p2] , а областю значень – відрізок E=[Q1;Q2] .
Приклад. Загальні витрати TC на виробництво Q одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:
TC(Q) = 20 + 5Q ,
де 20 це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 – це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).
Означення. Число b називається границею функції y=f(x) в точці a, якщо для довільної послідовності {xn} , що збігається до точки (числа) a, відповідна послідовність значень функції {f(xn)} буде збігатися до числа b .
Використовують позначення
За допомогою кванторів ∃ та ∀ це означення можна записати так:
≡ (∀>0)(∃>0)(∀x)[|x-a|< |f(x)-b | <]
Приклад. Розглянемо функцію .
і співпадає із значенням y(1) = 2 ;
;
не існує.
Приклад. Розглянемо функцію .
Тут , хоча y(10)=5.
Границі функцій мають такі властивості:
якщо існують границі
та
, то
;
якщо існують границі
;
якщо існують границі
та
, причому
, то
.
Означення. Функція y=f(x) називається неперервною в точці x = a, якщо існує границя цієї функції в точці a і
Приклад. Зарплата W продавця залежно від кількості x проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду
W
50 x
Рис. 4.2.
Функція W(x) у точці x=50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W(50)=200 , проте границі не існує.
Приклади обчислення границь:
(тут використано властивість неперервності функцій та y=x2 );
2) знайти . Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки
, тому спершу скорочуємо дріб.
Тепер ;
3).