Функція Дірака

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
Функція Дірака
Виконала студентка V курсу
математичного факультету Прокашева Є.В.
________________________________ / Підпис /
Науковий керівник:
старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ Ончукова Л.В.
________________________________/ Підпис /
Рецензент:
старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ Фалелеева С.А.
________________________________/ Підпис /
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою М.В. Крутіхін
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005

Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава 1. Визначення функції Дірака ............................................... .......... 4
1.1. Основні поняття ................................................ ................................ 4
1.2. Завдання, що призводять до визначення дельта-функції Дірака ... ... ... ... 10
1.2.1. Завдання про імпульс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
1.2.2.Задача про щільність матеріальної точки ... ... ... ... ... ... ... ... ........ 11
1.3. Математичне визначення дельта-функції ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 16
Глава 2. Застосування функції Дірака ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 19
2.1. Розривні функції та їх похідні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19
2.2. Знаходження похідних розривних функцій ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25

Введення
Розвиток науки вимагає для її теоретичного обгрунтування все більш і більш «високої математики», одним з досягнень якої є узагальнені функції, зокрема функція Дірака. В даний час теорія узагальнених функцій актуальна у фізиці і математиці, оскільки володіє рядом чудових властивостей, що розширюють можливості класичного математичного аналізу, розширює коло розглянутих завдань і до того ж призводить до значних спрощень в обчисленнях, автоматизуючи елементарні операції.
Цілі даної роботи:
1) вивчити поняття функції Дірака;
2) розглянути фізичний і математичний підходи до її визначення;
3) показати застосування до знаходження похідних розривних функцій.
Завдання роботи: показати можливості використання дельта-функції в математиці й фізиці.
У роботі представлені різні способи визначення і введення дельта-функції Дірака, її застосування при вирішенні завдань.

Глава 1
Визначення функції Дірака
1.1. Основні поняття.
У різних питаннях математичного аналізу термін «функція» доводиться розуміти з різним ступенем спільності. Іноді розглядаються безперервні, але не диференціюються функції, в інших питаннях доводиться припускати, що мова йде про функції, що диференціюються один або кілька разів і т.д. Проте у ряді випадків класичне поняття функції, навіть трактуемое в самому широкому сенсі, тобто як довільне правило, відносить кожному значенню x з області визначення цієї функції деяке число y = f (x), виявляється недостатнім.
Ось важливий приклад: застосовуючи апарат математичного аналізу до тих чи інших завдань, нам доводиться стикатися з таким становищем, коли ті чи інші операції аналізу виявляються нездійсненними; наприклад, функцію, яка не має похідної (в деяких точках або навіть всюди), не можна диференціювати, якщо похідну розуміти як елементарну функцію. Труднощів такого типу можна було б уникнути, обмежившись розглядом одних тільки аналітичних функцій. Однак таке звуження запасу допустимих функцій в багатьох випадках дуже небажано. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострою.
У 1930 році для вирішення задач теоретичної фізики найбільшому англійському фізику-теоретику П. Дірак, одному із засновників квантової механіки, не вистачило апарату класичної математики, і він ввів новий об'єкт, названий "дельта-функцією", який виходив далеко за рамки класичного визначення функції .
П. Дірак у книзі «Принципи квантової механіки» [5] визначив дельта-функцію δ (x) наступним чином:
.
Крім того задається умова:

Наочно можна представити графік функції, схожою на δ (x), як показано на малюнку 1. Чим більше у

Рис.1

x

y

1

-1

зкой зробити смужку між лівою і правою гілкою, тим вище повинна бути ця смужка, для того щоб площа смужки (тобто інтеграл) зберігала своє задане значення, рівне 1. При звуженні смужки ми наближаємося до виконання умови δ (x) = 0 при x ≠ 0, функція наближається до дельта-функції.
Таке уявлення загальноприйнято у фізиці.
Слід підкреслити, що δ (x) не є функцією в звичайному сенсі, так як з цього визначення випливають несумісні умови з точки зору класичного визначення функції і інтеграла:
при   і .
У класичному аналізі не існує функції, що володіє властивостями, запропонованими Діраком. Лише кілька років тому в роботах С.Л. Соболєва та Л. Шварца дельта-функція отримала своє математичне оформлення, але не як звичайна, а як узагальнена функція.
Перш ніж переходити до розгляду функції Дірака, введемо основні визначення й теореми, які нам будуть необхідні:
Визначення 1. Зображенням функції f (t) або L - зображенням заданої функції f (t) називають функцію комплексної змінної p, яка визначається рівністю:

При цьому будемо вважати, що при t <0 f (t) = 0, а при t> 0 виконується нерівність , Де М і а - деякі позитивні постійні.
Визначення 2. Функція f (t), визначена так:
,
називається одиничною функцією Хевісайда і позначається через . Графік цієї функції зображено на рис.2
Знайдемо L - зображення функції Хевісайда:

.
Отже,
(1)
Нехай функція f (t) при t <0 тотожно дорівнює нулю (рис.3). Тоді функція f (tt ₀₎ буде тотожно дорівнює нулю при t <t ₀ (рис. 4).

Для знаходження зображення δ (x) за допомогою допоміжної функції розглянемо теорему запізнювання:
Теорема 1. Якщо F (p) є зображення функції f (t), то є зображення функції f (t - t _0), тобто якщо L {f (t)} = F (p), то .
Доказ.
За визначенням зображення маємо
.
Перший інтеграл дорівнює нулю, так як f (t - t ₀₎ = ₀ при t <t _0. В останньому інтегралі зробимо заміну змінної t - t ₀ = z:
.
Таким чином, .
Для одиничної функції Хевісайда було встановлено, що . На підставі доведеної теореми випливає, що для функції , L - зображенням буде , Тобто
(2)
Визначення 3. Безперервна або кусково-неперервна функція δ (t, λ) аргументу t, що залежить від параметра λ, називається голкоподібних, якщо:
1) при ;
2) при ;
3)
Визначення 4. Числову функцію f, визначену на деякому лінійному просторі L, називають функціоналом.
Задамо сукупність тих функцій, на яких будуть діяти функціонали. В якості цієї сукупності розглянемо безліч K всіх дійсних функцій φ (x), кожна з яких має безперервні похідні всіх порядків і фінітних, тобто звертається в нуль поза деякої обмеженої області (своєї для кожної з функцій φ (x)). Ці функції будемо називати основними, а всю їх сукупність К - основним простором.
Визначення 5. Узагальненої функцією називається будь лінійний неперервний функціонал, визначений на основному просторі К.
Розшифруємо визначення узагальненої функції:
1) узагальнена функція f є функціонал на основних функціях φ, тобто кожній φ зіставляється (комплексне) число (f, φ);
2) функціонал f лінійний, тобто для будь-яких комплексних чисел λ ₁ і λ ₂ і будь-яких основних функцій φ ₁ і φ _2;
3) функціонал f неперервний, тобто , Якщо .
Визначення 6. Імпульс - одиночний, короткочасний стрибок електричного струму або напруги [2, стор 482].
Визначення 7. Середня щільність - відношення маси тіла m до його об'єму V, тобто [2, стор 134].
Теорема 2. (Узагальнена теорема про середню).
Якщо f (t) - безперервна, а - Інтегрована функції на [a; b], причому на цьому відрізку не змінює знака, то , Де [1, стор 228].
Теорема 3. Нехай функція f (x), обмежена на [a, b] і має не більше кінцевого числа точок розриву. Тоді функція є первісною для функції f (x) на відрізку [a, b] і для будь-первообразной Ф (x) справедлива формула [1, стор 220].
Визначення 8. Сукупність усіх неперервних лінійних функціоналів, визначених на деякому лінійному просторі Е, утворює лінійний простір. Воно називається простором, зв'язаних з Е, і позначається Е ^*.
Визначення 9. Лінійне простір Е, в якому задана деяка норма, називається нормованим простором.
Визначення 10. Послідовність називається слабко збіжної до , Якщо для кожного виконано співвідношення .
Теорема 4. Якщо {x _n} - слабо сходиться послідовність у нормованому просторі, то існує таке постійне число С, що [10, стор 187].
1.2 Завдання, що призводять до визначення дельта-функції Дірака.
З фізичної точки зору, функція Дірака, застосовувана в математичній фізиці при розв'язку задач, в які входять зосереджені в одній точці величини (навантаження, заряд і т. п.), представлена ​​як найпростіша узагальнена функція, що дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сила і т. п.), зосередженою або прикладеною в точці a простору R _n. Вона характеризує, наприклад, щільність розподілу мас, при якому в одній точці зосереджена одинична маса, а будь-який інтервал, що не містить цієї точки, вільний від мас.
1.2.1.Задача про імпульс.
Розглянемо функцію
,

зображену на рис.5.
Якщо цю функцію трактувати як силу, що діє за проміжок часу від 0 до h, а в інший час рівну нулю, то імпульс цієї сили, що обчислюється за формулою дорівнює одиниці.
На підставі формул (1) і (2) зображення цієї функції буде

.
У механіці буває зручно розглядати сили, що діють дуже короткий проміжок часу, як сили, що діють миттєво, але мають кінцевий імпульс. Тому вводять функцію δ (t) як межа функції при :
.
Цю функцію називають одиничною імпульсної функцією або дельта-функцією, причому , Так як імпульс сили дорівнює одиниці.
1.2.2. Завдання про щільність матеріальної точки.
Спробуємо визначити щільність, створювану матеріальної точкою маси 1.
Покладемо, що ця точка є початок координат. Щоб визначити щільність, розподілимо одиничну масу рівномірно всередині кулі радіуса ε з центром в 0. У результаті отримаємо середню щільність f _ε (x), що дорівнює

Але нас цікавить щільність при (Тобто ε прагне до 0 праворуч). Приймемо спочатку в якості шуканої густини δ (x) межа послідовності середніх густин f _ε (x) при , Тобто функцію
(3)
Від щільності δ природно вимагати, щоб інтеграл від неї по всьому простору давав би повну масу речовини, тобто
. (4)
Але для функції δ (x), визначеної формули (3), . Це означає, що функція не відновлює масу (не задовольняє вимогу (4)) і тому не може бути прийнята в якості шуканої щільності. Таким чином, межа послідовності середніх густин f _ε (x) не підходить для наших цілей, тобто не може бути прийнятий як щільності δ (x).
Для будь-якої неперервної функції φ (x) знайдемо слабкий межа послідовності при .
Покажемо, що
(5)
Дійсно, в силу безперервності функції φ (x) для будь-якого η> 0 існує таке ε _0> 0, що , Якщо . Звідси при всіх отримуємо

.
Покажемо, що .


Так як (Тут dx фактично дорівнює dV), то - Об'єм кулі радіуса ε. Отже,

.
Формула (5) позначає, що слабким межею послідовності функцій f _ε (x), , Є функціонал φ (0) (а не функція!), Сопоставляющий кожній неперервній функції φ (x) число φ (0) - її значення в точці x = 0. Цей функціонал приймається за визначення щільності δ (x) - це і є дельта-функція Дірака. Отже, можна записати
, ,
розуміючи під цим граничне співвідношення (5). Значення функціонала δ на функції φ - число φ (0) - позначається так:
(6)
Це рівність дає точний сенс дельта-функції, введеної Діраком, що володіє наступними властивостями:
δ (x) = 0, x ≠ 0, , C.
Роль інтеграла тут грає величина - Значення функціоналу δ на функції φ.
Таким чином, дельта-функція - функціонал, сопоставляющий за формулою = Φ (0) кожній неперервній функції φ число φ (0) - її значення в нулі.

Перевіримо, що функціонал δ відновлює повну масу. Дійсно, роль інтеграла грає величина , Рівна, в силу (6), значенням функції, тотожно дорівнює 1, у точці x = 0, тобто = 1 (0) = 1.
Таким чином, щільність, відповідна точкового розподілу мас, не може бути описана в рамках класичного поняття функції, і для її опису слід залучати лінійні (безперервні) функціонали.
1.3. Математичне визначення функції Дірака.
Функція δ (x) застосовується не тільки в механіці, а в багатьох розділах математики, зокрема при вирішенні багатьох завдань рівнянь математичної фізики.
Нехай f (t) - функція, неперервна на (a; b), а - Голкоподібних функція. Для подальшого введення визначення дельта-функції Дірака розглянемо поведінку інтеграла
при
Розглянемо (a; b), що містить усередині себе точку t = 0, тобто a <0 <b і . З визначення голкоподібних функції і узагальненої теореми про середню отримуємо:
, Де .
Якщо , То й , А в силу безперервності функції f (t) і . Тому при a <0 <b
(7)
Якщо ж числа a і b однакових знаків (a <b <0 або 0 <a <b), тобто (a; b) не містить усередині себе точки t = 0, то

при всіх досить малих λ.
Якщо числа a і b мають однакові знаки, то при , Якщо a> 0 (рис.6), або при , Якщо b <0 (рис.7), інтервал не буде перетинатися з (a; b), а тому для всіх

і .
Отже,
(8)

0