Контрольна робота

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

1. У кожній з двох урн міститься 6 чорних і 4 білих куль. З першої урни навмання витягнутий одна куля і перекладений у другу. Знайти ймовірність того, що куля, витягнутий з другої урни, виявиться чорним.
Рішення
Нехай гіпотези і полягають у тому що:
- З першої урни витягли чорна куля, ймовірність
- Витягли біла куля, ймовірність
Гіпотези несумісні і сума їх ймовірностей дорівнює 1. Значить, гіпотези утворюють повну групу.
Нехай подія А полягає в тому, що з другої урни витягнуть чорна куля. Якщо відбувається подія Н1 то в другій урні стане 6 +1 = 7 чорних і 4 білі кулі. У цьому випадку ймовірність настання А дорівнює


Якщо ж відбувається подія Н2 то в другій урні стане 6 чорних і 4 +1 = 5 білих куль. Імовірність настання А


За формулою повної ймовірності обчислимо ймовірність події А (з другої урни виймуть чорний куля)

Відповідь: 0,60

  
5. Студент знає 40 з 50 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає 2 питання, які містяться в його екзаменаційному білеті.
Рішення
Для кожного питання ймовірність того що студент його знає, однакова


  
Знайдемо ймовірність того, що в двох випробуваннях подія А (студент знає питання) відбудеться 2 рази за формулою Бернуллі

Відповідь: 0,64
11. Середнє число викликів, що надходять на АТС в 1 хв., Дорівнює чотирьом. Знайти ймовірність того, що за 2 хв. надійде: 1) 6 викликів; 2) менше шести викликів; 3) не менше шести викликів. Передбачається, що потік викликів - найпростіший.

Рішення

Інтенсивність потоку
Час t = 2

За формулою Пуассона, ймовірність того що за час t надійде k викликів, дорівнює
1)
2)



3)

15. Середнє число літаків, що прибувають в аеропорт за 1 хв, дорівнює трьом. Знайти ймовірність того, що за 2 хв прибудуть: 1) 4 літака; 2) менше чотирьох літаків; 3) не менше чотирьох літаків.

За формулою Пуассона, ймовірність того що за час t надійде k викликів, дорівнює
1)

2)

3)

21-30. Для дискретної випадкової величини Х, визначеної в задачі:
1). Написати ряд розподілу, 2). Побудувати багатокутник розподілу;
3). Обчислити математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення; 4). Побудувати інтегральну функцію розподілу.
21. Імовірність того, що в бібліотеці необхідна книга вільна, дорівнює 0,3. У місті 4 бібліотеки. СВ Х - кількість бібліотек, які відвідає студент у пошуках необхідної книги.
Рішення
Випадок ная величина Х може приймати такі значення
Х = 1 - якщо студент знайде книгу в першій же бібліотеці
Х = 2-якщо в першій не знайде а знайде в другій
Х = 3 - якщо не знайде в першій і другій а знайде у третій
Х = 4 - якщо не знайде ні в першій, ні в другий, ні в третій.
Знайдемо їх вірогідність.
Нехай подія А полягає в тому що книга знайдена. Р (А) = 0,3.

Не знайдена - ймовірність протилежного події дорівнює
1) Запишемо ряд розподілу Х

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,21	0,147	0,343

2) Див малюнок 1 (21)
3) Математичне сподівання дискретної випадкової величини
Дисперсія



Середньоквадратичне відхилення
4) Х - дискретна випадкова величина. Знайдемо функцію розподілу F (x) = P {x <X} - кусково-постійна функція


25. Три плавбази вийшли на путину. Імовірність того, що перша з них перевиконає план дорівнює 0,9; друга - 0,8 і третя - 0,85. СВ Х - число баз, перевиконавши план.
Випадок ная величина Х може приймати такі значення
Х = 0 якщо ні перша ні друга ні третя бази не перевиконали план
Х = 1 - це може статися якщо 1-я база перевиконала план, а друга і третя немає, або друга перевиконала а перша і третя немає, або третя первиполніла а перша і друга немає.
Х = 2-якщо перша і друга бази перевиконали план а третя немає, чи друга і третя перевиконали а перша немає, або перша і третя перевиконали а друга немає.
Х = 3 - якщо всі три бази перевиконали план
.
Знайдемо їх вірогідність.
За формулами суми і твори ймовірностей, за формулою ймовірності
1) Запишемо ряд розподілу Х

Х	0	1	2	3
Р	0,003	0,056	0,329	0,612

2) Див малюнок 1 (25)
3) Математичне сподівання дискретної випадкової величини
Дисперсія

Середньоквадратичне відхилення
4) Х - дискретна випадкова величина. Знайдемо функцію розподілу F (x) = P {x <X} - кусково-постійна функція

31-40. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу | (х). Визначити: а) параметр А, б) функцію розподілу ймовірностей F (х), в) математичне сподівання МХ; г) дисперсію ДХ; д) ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях випадкова величина Х потрапить рівно m раз на інтервал (a, b). Побудувати графіки функцій | (х), F (х).
31.
| (Х) =

n = 4, m = 3, a = 0, b = 2

Рішення

а) Для щільності розподілу неперервної випадкової величини має виконуватися умова


     
У нашому випадку
б) Функція розподілу ймовірностей
 

в) Математичне сподівання


г) Дисперсія


д) При кожному незалежному випробуванні ймовірність попадання в інтервал дорівнює

За формулою Бернуллі ймовірність того що випадкова величина в n = 4 випробуваннях m = 3 рази потрапить в інтервал дорівнює
е) Графіки дивись мал.2 (31)
35.
| (Х) =
n = 4, m = 2, a =- 1 / 3 А, b = 5 / 4 А.
а) Для щільності розподілу неперервної випадкової величини має виконуватися умова


     
У нашому випадку
 

б) Функція розподілу ймовірностей
 

в) Математичне сподівання


г) Дисперсія


д) При кожному незалежному випробуванні ймовірність попадання в інтервал дорівнює



За формулою Бернуллі ймовірність того що випадкова величина в n = 4 випробуваннях m = 2 рази потрапить в інтервал дорівнює
е) Графіки дивись мал.2 (35)
41-50. Дана вибірка значень ознаки Х. Потрібно:
1) побудувати статичну сукупність;
2) побудувати гістограму частот;
3) знайти точкові оцінки генеральної середньої, генеральної
дисперсії і генерального середнього квадратичного відхилення;
4) знайти довірчий інтервал для невідомого математичного
очікування;
5) перевірити нульову гіпотезу про нормальний закон розподілу
кількісної ознаки Х генеральної сукупності.
41.
38, 51, 57, 64, 76, 92, 89, 19, 35, 60, 22, 41, 44, 48, 60, 44, 67, 80, 86,
57, 25, 83, 73, 70, 70, 70, 64, 60, 60, 64, 57, 54, 57, 54, 32, 86, 86, 80,
76, 60, 76, 70, 70, 67, 67, 64, 64, 60, 28, 67, 41, 41, 51, 48, 44, 80, 80,
76, 73, 51, 67, 60, 32, 41, 41, 54, 57, 60, 67, 73, 73, 76, 57, 67, 73, 73,
64, 60, 54, 57.
1) Об'єм вибірки n = 80
Найменше значення ознаки Х

MIN:

19

Найбільше значення

MAX:

92

Визначимо оптимальне число інтервалів розбивки за формулою

Число інтервалів:	7,00
Крок інтервалу h = (92-19) / 7 =	10,43

Складемо інтервальний варіаційний ряд

Інтервал		Колич. Елементів m (i)	Відносить. Частоти m (i) / n	Середини інтервалів
19,00	29,43	4	0,05	24,21
29,43	39,86	4	0,05	34,64
39,86	50,29	10	0,13	45,07
50,29	60,71	23	0,29	55,50
60,71	71,14	18	0,23	65,93
71,14	81,57	15	0,19	76,36
81,57	92,00	6	0,08	86,79

2) Побудуємо гістограму частот, відкладаючи по осі Х межі інтервалів а по осі У значення


3) точкову оцінку математичного очікування є емпірична середня


Точкової оцінкою генеральної дисперсії є дисперсія емпірична
 

Точкова оцінка генерального середнього квадратичного відхилення
Виправлене середнє квадратичне відхилення


4) Довірчий інтервал для невідомого математичного сподівання
має вигляд (при надійності p = 0.95)
Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання має вигляд


Де - таке число, для якого


За таблицями значень функції Лапласа знаходимо = 1,96
Довірчий інтервал має вигляд
6)
Припустимо, що кількісний ознака Х має нормальний розподіл і обчислимо теоретичні частоти.
Параметри розподілу

Імовірність попадання в інтервал для нормально розподіленої випадкової величини


Для більш точного застосування критерію Пірсона потрібно щоб теоретичні частоти були> 5. Це не виконується для інтервалу 1, який об'єднуємо з сусіднім. Тепер кількість інтервалів дорівнює 6. Знайдемо величину ухилення


За таблицями для критерію Пірсона знайдемо критичну точку для кількості ступенів свободи k = 6-1-2 = 3 і q = 0.05


Звідси випливає, що відмінності між теоретичними і досвідченими частотами випадкові і гіпотезу про нормальний розподіл слід прийняти.

45.
24, 99, 28, 68, 72, 81, 85, 93, 29, 36, 32, 48, 72, 52, 62, 60, 40, 85, 68, 76,
64, 52, 60, 76, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 72, 68, 72, 85, 68, 72, 73, 98, 44, 51,
48, 52, 97, 56, 84, 81, 97, 62, 64, 56, 93, 86, 69, 89, 64, 81, 56, 72, 72, 81,
68, 76, 85, 70, 81, 72, 68, 71, 72, 93, 76, 92, 72, 93, 65, 55, 84, 36, 48, 52.
2) Обсяг вибірки n = 80
Найменше значення ознаки Х

MIN:

24

Найбільше значення

MAX:

99

Визначимо оптимальне число інтервалів розбивки за формулою

Число інтервалів:	7,00
Крок інтервалу h = (99-24) / 7 =	10,71

Складемо інтервальний варіаційний ряд

Інтервальний ряд		Колич. Елементів m (i)	Відносить. Частоти m (i) / n	Середини інтервалів
24,00	34,71	4	0,05	29,36
34,71	45,43	4	0,05	40,07
45,43	56,14	13	0,16	50,79
56,14	66,86	10	0,13	61,50
66,86	77,57	27	0,34	72,21
77,57	88,29	12	0,15	82,93
88,29	99,00	10	0,13	93,64

2) Побудуємо гістограму частот, відкладаючи по осі Х межі інтервалів а по осі У значення


3) точкову оцінку математичного очікування є емпірична середня


Точкової оцінкою генеральної дисперсії є дисперсія емпірична
 

Точкова оцінка генерального середнього квадратичного відхилення
Виправлене середнє квадратичне відхилення


4) Довірчий інтервал для невідомого математичного сподівання
має вигляд (при надійності p = 0.95)
Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання має вигляд


Де - таке число, для якого


За таблицями значень функції Лапласа знаходимо = 1,96
Довірчий інтервал має вигляд
7)
Припустимо, що кількісний ознака Х має нормальний розподіл і обчислимо теоретичні частоти.
Параметри розподілу

Імовірність попадання в інтервал для нормально розподіленої випадкової величини


8)
Для більш точного застосування критерію Пірсона потрібно щоб теоретичні частоти були> 5. Це не виконується для інтервалу 1, який об'єднуємо з сусіднім. Тепер кількість інтервалів дорівнює 6. Знайдемо величину ухилення


За таблицями для критерію Пірсона знайдемо критичну точку для кількості ступенів свободи k = 6-1-2 = 3 і q = 0.05


Звідси випливає, що відмінності між теоретичними і досвідченими частотами значимі і гіпотезу про нормальний розподіл слід відхилити ..


51-60.
Для встановлення кореляційної залежності між величинами
X і Y (де Y-випадкова величина, X-невипадкова величина) проведені
експерименти, результати яких представлені у таблиці.
Потрібно: 1. Знайти умовні середні і побудувати емпіричну лінію
регресії Y по X (ламану). 2. Знайти рівняння регресії Y по X
методом найменших квадратів, приймаючи як згладжуючої
лінії параболу потім побудувати її на одному кресленні
з емпіричної лінією регресії. 3. Оцінити тісноту кореляційного
залежності Y по X. 4. Перевірити адекватність рівняння регресії Y по X.
51.

	10	20	30	40	50
	212 220 251 270 292	258 258 285 314 325	282 290 325 326 343	316 330 334 361 370	370 330 350 375 380

Рішення
Знайдемо умовні середні по у

Емпірична ламана регресії див рис 3 (51)
2. Для визначення невідомих параметрів a, b, c потрібно вирішити
систему рівнянь


Заповнимо допоміжну таблицю

								Y ( )
1	10	245	2450	100	1000	10000	24500	246,64
2	20	288	5760	400	8000	160000	115200	284,26
3	30	313,2	9396	900	27000	810000	281880	315,88
4	40	342,2	13688	1600	64000	2560000	547520	341,5
5	50	361	18050	2500	125000	6250000	902500	361,12
	150	1549,4	49344	5500	225000	9790000	1871600

Отримуємо систему рівнянь


Рішення системи: a =- 0.03; b = 4.662; c = 203.02
Отримуємо рівняння кривої

Підставляючи в рівняння по черзі значення х, отримуємо відповідні точки параболи, які і наносимо на графік. (Рис 3 (51))
3. Знайдемо значення коефіцієнта кореляції


Звідси можна зробити висновок що залежність пряма сильна., Тк
коефіцієнт близький до 1
55.

	1	2	3	4	5
	0.27 0.25 0.21 0.33 0.24	0.23 0.25 0.30 0.31 0.37	0.31 0.27 0.26 0.24 0.22	0.32 0.29 0.33 0.32 0.33	0.81 0.65 0.50 0.63 0.60

Рішення
Знайдемо умовні середні по у


Емпірична ламана регресії див рис 3 (51)
2. Для визначення невідомих параметрів a, b, c потрібно вирішити
систему рівнянь


Заповнимо допоміжну таблицю

								Y ( )
1	1	0.26	0.26	1	1	1	0.26	0.294
2	2	0.292	0.584	4	8	16	1.168	0.224
3	3	0.26	0.78	9	27	81	2.34	0.254
4	4	0.318	1.272	16	64	256	5.088	0.384
5	5	0.638	3.19	25	125	625	15.95	0.614
	15	1.768	6.086	55	225	979	24.806

Отримуємо систему рівнянь


Вирішуючи систему знаходимо a = 0.05, b =- 0.22, c = 0.464



Підставляючи в рівняння по черзі значення х, отримуємо
відповідні точки параболи, які і наносимо на графік (рис.3 (55).)
І в таблицю. (Останній стовпець)
3. Знайдемо значення коефіцієнта кореляції


Звідси можна зробити висновок що залежність пряма помірна.
61-70. Знайти вибіркове рівняння прямої регресії Y на Х з даної кореляційної таблиці.
61.

Y	X
	4	9		14	19	24	29
10	2	3	__		__	__	__	5
20	__	7	3		__	__	__	10
30	__	__	2		50	2	__	54
40	__	__	1		10	6	__	17
50	__	__	__		4	7	3	14
	2	10	6		64	15	3	n = 100

Виберемо як помилкових нулів варіанти по х і у з найбільшими частотами.
Перейдемо до умовних варіантами

Отримаємо таблицю в умовних варіантах.

V	U
	-3	-2		-1	0	1	2
-2	2	3	__		__	__	__	5
-1	__	7	3		__	__	__	10
0	__	__	2		50	2	__	54
1	__	__	1		10	6	__	17
2	__	__	__		4	7	3	14
	2	10	6		64	15	3	n = 100

Знайдемо вибіркові середні

Знайдемо допоміжні величини

Обчислимо коефіцієнт кореляції

Перейдемо тепер до вихідних варіантів і складемо рівняння регресії

Рівняння регресії

65.

Y	X
	10	15		20	25	30	35
6	4	2	__		__	__	__	6
12	__	6	2		__	__	__	8
18	__	__	5		40	5	__	50
24	__	__	2		8	7	__	17
30	__	__	__		4	7	8	19
	4	8	9		52	19	8	n = 100

Виберемо як помилкових нулів варіанти по х і у з найбільшими частотами.
Перейдемо до умовних варіантами


Отримаємо таблицю в умовних варіантах.

V	U
	-3	-2		-1	0	1	2
-2	4	2	__		__	__	__	6
-1	__	6	2		__	__	__	8
0	__	__	5		40	5	__	50
1	__	__	2		8	7	__	17
2	__	__	__		4	7	8	19
	4	8	9		52	19	8	n = 100

Знайдемо вибіркові середні

Знайдемо допоміжні величини

Обчислимо коефіцієнт кореляції

Перейдемо тепер до вихідних варіантів і складемо рівняння регресії

Рівняння регресії