ГОУ СПО «Кунгурской педагогічне училище»
Формування вміння рішення квадратних рівнянь у 8 класі
Ісламова Ензіри
Таузіфовни
Спеціальність: 050201
Математика
група: М - 41
відділення: очне
керівник:
Янкіна Л.Г.
викладач
математики
Захист відбувся:
Відмітка:
2007
Зміст
Вступ 3
Глава 1. Теоретичні аспекти навчання розв'язання рівнянь у 8 класі
1.1. З історії виникнення квадратних рівнянь 6
1.2. Основні напрями вивчення ліній рівнянь у шкільному курсі алгебри 12
1.3. Методика вивчення квадратних рівнянь 15
Глава 2. Методико-педагогічні основи навчання рішенню квадратних рівнянь
2.1. Урок - лекція на тему «Формула коренів квадратного рівняння з парних другий коефіцієнтом» 23
2.2. Урок - практикум на тему «Квадратні рівняння» 28
2.3. Узагальнюючий урок з теми «Квадратні рівняння» у формі гри «Зірковий час» 32
Висновок 37
Список літератури 38
Додаток 39
Введення
Сухі рядки рівнянь -
У них сила розуму влилася.
У них пояснення явищ,
Речей розгадана зв'язок.
Л. М. Фрідман [10,268].
Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему шкільного курсу математики. Сила теорії рівнянь в тому, що вона не тільки має теоретичне значення для пізнання природних законів, але і служить конкретним практичним цілям. Більшість задач про просторові форми і кількісні співвідношення реального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь. Опановуючи способами їх вирішення, люди знаходять відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т. д.). Так само для формування вміння розв'язувати рівняння велике значення має самостійна робота учня при навчанні рішення рівнянь. При вивченні будь-якої теми рівняння можуть бути використані як ефективний засіб закріплення, поглиблення, повторення і розширення теоретичних знань, для розвитку творчої математичної діяльності учнів. [10,241].
Автором даної роботи обрана тема «Формування вміння рішення квадратних рівнянь у 8 класі», так як вона актуальна в сучасному світі; це пояснюється тим, що рівняння широко використовуються в різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних задач.
Для цієї теми характерна велика глибина викладу і багатство встановлюються з її допомогою зв'язків у навчанні, логічна обгрунтованість викладу. Тому вона займає виключне становище в лінії рівнянь. До вивчення теми «Квадратні рівняння» учні приступають, вже накопичивши певний досвід, володіючи достатньо великим запасом алгебраїчних та общематематических уявлень, понять, умінь. Значною мірою саме на матеріалі даної теми відбувається синтез матеріалу, що відноситься до рівнянь.
Виходячи з вищесказаного, автор, вибираючи тему курсової роботи, керувався її значимістю і складністю при навчанні учнів рішенням квадратних рівнянь різного виду.
Мета роботи: формування уявлень про роботу над квадратними рівняннями на уроках математики. Виходячи з даної мети, були поставлені наступні завдання:
· Вивчити науково-методичну літературу, що стосується вивчення рівнянь;
· Проаналізувати шкільні підручники і виділити в них місце рівнянь.
· Розробити уроки на цю тему.
Для вирішення вищевказаних завдань були вивчені такі літературні джерела:
1) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов та ін - 2-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 287 с.
2) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - 10-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 255с.
3) Мордкович А.Г.. Алгебра: навч. для 8 кл. загаль. установ. - М.: Просвещение, 2004. - 287с.
4) Бекаревич А.Б. Рівняння в шкільному курсі математики. - М., 2000. - 241с.
5) Глейзер Г.І. Історія математики в школі VII - VIII класи. - М., 1982.
6) Колягін Ю.М. Методика викладання математики в середній школі. Приватні методики. - М.: Просвещение, 2002.
7) Маркушевич Л.А. Рівняння та нерівності в заключному повторенні курсу алгебри середньої школи / / Математика в школі. - 2001. - № 1. - С.15
8) Методика і технологія навчання математики. Курс лекцій: посібник для вузів / під ред. М. Л. Стефанової, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.
9) Мішин В.І. Методика викладання математики в середній школі. - М., 1999 .- 398с.
10) Оганесян В.А. Методика викладання математики в середній школі. - М.: Просвещение, 2003. - 368 с.
Проаналізувавши деякі джерела, можна зробити висновок про недостатнє висвітлення досліджуваного питання в сучасній методичній літературі.
Об'єкт дослідження роботи: процес навчання математики.
Предмет: формування вміння рішення квадратних рівнянь в учнів 8-го класу.
Контингент: учні 8-го класу.
Глава 1. Теоретичні аспекти навчання розв'язання рівнянь у 8 класі
1.1. З історії виникнення квадратних рівнянь
Алгебра виникла у зв'язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або декілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчаються загальні властивості дій над величинами.
Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавілоні.
Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні
Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавілоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:
Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.
У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних за допомогою складання рівнянь різних ступенів.
При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.
Ось, наприклад, одна з його завдань.
Завдання 2. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96».
Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, тому що якщо б вони були рівні, то їх твір дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їхньої суми, тобто 10 + х. Інша ж менше, тобто 10 - х. Різниця між ними 2х. Звідси рівняння:
(10 + x) (10-x) = 96,
або ж
100-x 2 = 96.
x 2 - 4 = 0
Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Рішення х = - 2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала тільки позитивні числа.
Якщо вирішити це завдання, вибираючи в якості невідомого одне з шуканих чисел, то можна прийти до рішення рівняння:
y (20-y) = 96
y 2 - 20y +96 = 0
Ясно, що, вибираючи в якості невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести задачу до рішення неповного квадратного рівняння.
Квадратні рівняння в Індії
Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:
ax 2 + bх = с, а> 0. (1)
У рівнянні (1) коефіцієнти, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
В Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто наділялися в віршовану форму.
Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскара.
Завдання 3.
Рішення Бхаскара свідчить про те, що автор знав про двозначності коренів квадратних рівнянь.
Відповідне задачі 3 рівняння:
Бхаскара пише під виглядом:
і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2, отримуючи потім:
x 2 - б4х + 32 2 = -768 + 1024,
(Х - 32) 2 = 256,
х - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі
У алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:
1) «Квадрати рівні коріння», тобто ах 2 = bх.
2) «Квадрати рівні числу», тобто ах 2 = с.
3) «Коріння рівні числу», тобто ах = с.
4) «Квадрати і числа дорівнюють кореням», тобто ах 2 + з = bх.
5) «Квадрати і коріння рівні числу», тобто ах 2 + bх = с.
6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобто bх + з == ах 2.
Для Аль-Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мукабала. Його рішення, звичайно, не співпадає повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисте риторичне, слід відзначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., Не враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім їх геометричні докази.
Наведемо приклад.
Завдання 4. «Квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням. Знайти корінь »(мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).
Рішення: роздягли навпіл число коренів, отримаєш 5, помнож 5 саме на себе, від твору відніми 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.
Трактат Аль-Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дані формули їх рішення. [3,75]
Квадратні рівняння в Європі XII - XVII ст.
Форми рішення квадратних рівнянь за зразком Аль-Хорезмі у Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший в Європі підійшов до введення від'ємних чисел.
Ця книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не лише в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з цієї книги переходили майже в усі європейські підручники XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного виду x 2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків і коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі в 1544 р. М. Штіфель.
Виведення формули вирішення квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI ст. враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише у XVII ст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд. [5,12].
Витоки алгебраїчних методів розв'язання практичних завдань пов'язані з наукою стародавнього світу. Як відомо з історії математики, значна частина завдань математичного характеру, що вирішуються єгипетськими, шумерськими, вавілонськими писарів-обчислювачами (XX-VI ст. До н. Е..), Мала розрахунковий характер. Проте вже тоді час від часу виникали завдання, в яких шукане значення величини задавалося деякими непрямими умовами, які вимагають, з нашої сучасної точки зору, складання рівняння або системи рівнянь. Спочатку для вирішення таких завдань застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки алгебраїчних уявлень. Наприклад, вавилонські обчислювачі вміли вирішувати задачі, що зводяться з точки зору сучасної класифікації до рівнянь другого ступеня. Був створений метод рішення текстових завдань, що послужив надалі основою для виділення алгебраїчного компонента і його незалежного вивчення.
Це вивчення здійснювалося вже в іншу епоху спочатку арабськими математиками (VI-Х ст. Н. Е..), Виділити характерні дії, з яких рівняння приводилися до стандартного вигляду приведення подібних членів, перенесення членів з однієї частини рівняння в іншу з зміною знака. А потім європейськими математиками Відродження, у результаті тривалого пошуку створили мову сучасної алгебри, використання букв, введення символів арифметичних операцій, дужок і т. д. На межі XVI-XVII ст. алгебра як специфічна частина математики, що володіє своїм предметом, методом, областями програми, була вже сформована. Подальший її розвиток, аж до нашого часу, полягало в удосконаленні методів, розширенні області додатків, уточнення понять і зв'язків їх з поняттями інших розділів математики. Формування вміння рішення квадратних рівнянь у 8 класі
Курсова робота
за методикою математикиІсламова Ензіри
Таузіфовни
Спеціальність: 050201
Математика
група: М - 41
відділення: очне
керівник:
Янкіна Л.Г.
викладач
математики
Захист відбувся:
Відмітка:
2007
Зміст
Вступ 3
Глава 1. Теоретичні аспекти навчання розв'язання рівнянь у 8 класі
1.1. З історії виникнення квадратних рівнянь 6
1.2. Основні напрями вивчення ліній рівнянь у шкільному курсі алгебри 12
1.3. Методика вивчення квадратних рівнянь 15
Глава 2. Методико-педагогічні основи навчання рішенню квадратних рівнянь
2.1. Урок - лекція на тему «Формула коренів квадратного рівняння з парних другий коефіцієнтом» 23
2.2. Урок - практикум на тему «Квадратні рівняння» 28
2.3. Узагальнюючий урок з теми «Квадратні рівняння» у формі гри «Зірковий час» 32
Висновок 37
Список літератури 38
Додаток 39
Введення
Сухі рядки рівнянь -
У них сила розуму влилася.
У них пояснення явищ,
Речей розгадана зв'язок.
Л. М. Фрідман [10,268].
Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему шкільного курсу математики. Сила теорії рівнянь в тому, що вона не тільки має теоретичне значення для пізнання природних законів, але і служить конкретним практичним цілям. Більшість задач про просторові форми і кількісні співвідношення реального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь. Опановуючи способами їх вирішення, люди знаходять відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т. д.). Так само для формування вміння розв'язувати рівняння велике значення має самостійна робота учня при навчанні рішення рівнянь. При вивченні будь-якої теми рівняння можуть бути використані як ефективний засіб закріплення, поглиблення, повторення і розширення теоретичних знань, для розвитку творчої математичної діяльності учнів. [10,241].
Автором даної роботи обрана тема «Формування вміння рішення квадратних рівнянь у 8 класі», так як вона актуальна в сучасному світі; це пояснюється тим, що рівняння широко використовуються в різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних задач.
Для цієї теми характерна велика глибина викладу і багатство встановлюються з її допомогою зв'язків у навчанні, логічна обгрунтованість викладу. Тому вона займає виключне становище в лінії рівнянь. До вивчення теми «Квадратні рівняння» учні приступають, вже накопичивши певний досвід, володіючи достатньо великим запасом алгебраїчних та общематематических уявлень, понять, умінь. Значною мірою саме на матеріалі даної теми відбувається синтез матеріалу, що відноситься до рівнянь.
Виходячи з вищесказаного, автор, вибираючи тему курсової роботи, керувався її значимістю і складністю при навчанні учнів рішенням квадратних рівнянь різного виду.
Мета роботи: формування уявлень про роботу над квадратними рівняннями на уроках математики. Виходячи з даної мети, були поставлені наступні завдання:
· Вивчити науково-методичну літературу, що стосується вивчення рівнянь;
· Проаналізувати шкільні підручники і виділити в них місце рівнянь.
· Розробити уроки на цю тему.
Для вирішення вищевказаних завдань були вивчені такі літературні джерела:
1) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов та ін - 2-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 287 с.
2) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - 10-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 255с.
3) Мордкович А.Г.. Алгебра: навч. для 8 кл. загаль. установ. - М.: Просвещение, 2004. - 287с.
4) Бекаревич А.Б. Рівняння в шкільному курсі математики. - М., 2000. - 241с.
5) Глейзер Г.І. Історія математики в школі VII - VIII класи. - М., 1982.
6) Колягін Ю.М. Методика викладання математики в середній школі. Приватні методики. - М.: Просвещение, 2002.
7) Маркушевич Л.А. Рівняння та нерівності в заключному повторенні курсу алгебри середньої школи / / Математика в школі. - 2001. - № 1. - С.15
8) Методика і технологія навчання математики. Курс лекцій: посібник для вузів / під ред. М. Л. Стефанової, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.
9) Мішин В.І. Методика викладання математики в середній школі. - М., 1999 .- 398с.
10) Оганесян В.А. Методика викладання математики в середній школі. - М.: Просвещение, 2003. - 368 с.
Проаналізувавши деякі джерела, можна зробити висновок про недостатнє висвітлення досліджуваного питання в сучасній методичній літературі.
Об'єкт дослідження роботи: процес навчання математики.
Предмет: формування вміння рішення квадратних рівнянь в учнів 8-го класу.
Контингент: учні 8-го класу.
Глава 1. Теоретичні аспекти навчання розв'язання рівнянь у 8 класі
1.1. З історії виникнення квадратних рівнянь
Алгебра виникла у зв'язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або декілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчаються загальні властивості дій над величинами.
Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавілоні.
Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні
Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавілоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:
Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.
У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних за допомогою складання рівнянь різних ступенів.
При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.
Ось, наприклад, одна з його завдань.
Завдання 2. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96».
Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, тому що якщо б вони були рівні, то їх твір дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їхньої суми, тобто 10 + х. Інша ж менше, тобто 10 - х. Різниця між ними 2х. Звідси рівняння:
(10 + x) (10-x) = 96,
або ж
100-x 2 = 96.
x 2 - 4 = 0
Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Рішення х = - 2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала тільки позитивні числа.
Якщо вирішити це завдання, вибираючи в якості невідомого одне з шуканих чисел, то можна прийти до рішення рівняння:
y (20-y) = 96
y 2 - 20y +96 = 0
Ясно, що, вибираючи в якості невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести задачу до рішення неповного квадратного рівняння.
Квадратні рівняння в Індії
Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:
ax 2 + bх = с, а> 0. (1)
У рівнянні (1) коефіцієнти, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
В Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто наділялися в віршовану форму.
Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскара.
Завдання 3.
| «Мавпочок жвавих зграя | А дванадцять по ліанах |
| Всмак поївши, розважалася | Стали стрибати, повисаючи |
| Їх у квадраті частина восьма | Скільки ж було мавпочок, |
| На галявині бавилася | Ти скажи мені, в цій зграї? » |
Відповідне задачі 3 рівняння:
Бхаскара пише під виглядом:
і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2, отримуючи потім:
x 2 - б4х + 32 2 = -768 + 1024,
(Х - 32) 2 = 256,
х - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
Квадратні рівняння у Аль-Хорезмі
У алгебраїчному трактаті Аль-Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:
1) «Квадрати рівні коріння», тобто ах 2 = bх.
2) «Квадрати рівні числу», тобто ах 2 = с.
3) «Коріння рівні числу», тобто ах = с.
4) «Квадрати і числа дорівнюють кореням», тобто ах 2 + з = bх.
5) «Квадрати і коріння рівні числу», тобто ах 2 + bх = с.
6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобто bх + з == ах 2.
Для Аль-Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мукабала. Його рішення, звичайно, не співпадає повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисте риторичне, слід відзначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду Аль-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., Не враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь Аль-Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім їх геометричні докази.
Наведемо приклад.
Завдання 4. «Квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням. Знайти корінь »(мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).
Рішення: роздягли навпіл число коренів, отримаєш 5, помнож 5 саме на себе, від твору відніми 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.
Трактат Аль-Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дані формули їх рішення. [3,75]
Квадратні рівняння в Європі XII - XVII ст.
Форми рішення квадратних рівнянь за зразком Аль-Хорезмі у Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший в Європі підійшов до введення від'ємних чисел.
Ця книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не лише в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з цієї книги переходили майже в усі європейські підручники XIV-XVII ст. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного виду x 2 + bх = с при всіляких комбінаціях знаків і коефіцієнтів b, c, було сформульовано в Європі в 1544 р. М. Штіфель.
Виведення формули вирішення квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI ст. враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише у XVII ст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд. [5,12].
Витоки алгебраїчних методів розв'язання практичних завдань пов'язані з наукою стародавнього світу. Як відомо з історії математики, значна частина завдань математичного характеру, що вирішуються єгипетськими, шумерськими, вавілонськими писарів-обчислювачами (XX-VI ст. До н. Е..), Мала розрахунковий характер. Проте вже тоді час від часу виникали завдання, в яких шукане значення величини задавалося деякими непрямими умовами, які вимагають, з нашої сучасної точки зору, складання рівняння або системи рівнянь. Спочатку для вирішення таких завдань застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки алгебраїчних уявлень. Наприклад, вавилонські обчислювачі вміли вирішувати задачі, що зводяться з точки зору сучасної класифікації до рівнянь другого ступеня. Був створений метод рішення текстових завдань, що послужив надалі основою для виділення алгебраїчного компонента і його незалежного вивчення.
Отже, з огляду на важливість і просторості матеріалу, пов'язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасній методиці математики пов'язано з трьома головними областями свого виникнення і функціонування.
1.2. Основні напрями вивчення ліній рівнянь у шкільному курсі алгебри
Рівняння як общематематическими поняття багатоаспектне. Можна виділити головні області виникнення і функціонування поняття «рівняння» як:
· Засоби вирішення текстових завдань;
· Особливого роду формули, яка є в алгебрі об'єктом вивчення;
· Формули, яку побічно визначаються числа або координати точок площини (простору), службовці його рішенням. [12,268]
Кожне з цих уявлень виявилося в тому чи іншому відношенні корисним.
Названим областей відносяться три основні напрямки вивчення ліній рівнянь у шкільному курсі алгебри.
1. Прикладна спрямованість лінії рівнянь розкривається головним чином при вивченні алгебраїчного методу розв'язання текстових задач. Цей метод широко застосовується в шкільній математиці, оскільки він пов'язаний з навчанням прийомам, використовуваним в додатках математики.
В даний час, провідне становище в додатках математики займає математичне моделювання (Математичне моделювання полягає в конструюванні за певними правилами деякої формальної системи, яка відображає через сукупність математичних операцій над величинами певну гіпотезу про структуру або виховання). Використовуючи це поняття, можна сказати, що прикладне значення рівнянь, їх систем визначається тим, що вони є основною частиною математичних засобів, використовуваних в математичному моделюванні. [14,246].
2. Теоретико-математична спрямованість лінії рівнянь розкривається у двох аспектах:
· Виділення і вивчення найбільш важливих класів рівнянь, та їх систем;
· Вивчення узагальнених понять, що відносяться до всієї лінії в цілому.
Обидва ці аспекти необхідні в курсі шкільної математики. Основні класи рівнянь пов'язані з найпростішими і водночас найбільш важливими математичними моделями. Використання узагальнених понять і методів дозволяє логічно впорядкувати вивчення лінії в цілому, оскільки вони описують те спільне, що є у процедурах та прийоми розв'язання, що відносяться до окремих класів рівнянь, нерівностей, систем. У свою чергу, ці загальні поняття і методи спираються на основні логічні поняття: невідоме, рівність, равносильность, логічне слідування, які також повинні бути розкриті в лінії рівнянь.
3. Спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики. Ця лінія тісно пов'язана з числовою лінією, причому цей зв'язок - двостороння. Основна ідея, реалізована у процесі встановлення взаємозв'язку цих ліній, - це ідея послідовного розширення числової системи. Всі числові області, що розглядаються в шкільній алгебри та початків аналізу, за винятком області всіх дійсних чисел, виникають у зв'язку з рішенням будь-яких рівнянь.
Наприклад, введення арифметичного квадратного кореня з раціональних чисел дозволяє записувати коріння не тільки рівнянь виду х 2 = b, де b-невід'ємне раціональне число, а й будь-яких квадратних рівнянь з раціональними коефіцієнтами та невід'ємним дискримінант. [9,341]
Лінія рівнянь тісно пов'язана також і з функціональною лінією. Одна з найважливіших таких зв'язків - додатки методів, що розробляються в лінії рівнянь, до дослідження функції (наприклад, до завдань на знаходження області визначення деяких функцій, їх коріння, проміжків знакопостоянства і т. д.). З іншого боку, функціональна лінія робить істотний вплив як на утримання лінії рівнянь, так і на стиль її вивчення. Зокрема, функціональні подання служать основою залучення графічної наочності до рішення і дослідженню рівнянь і їх систем. [12,269]
Вивчення та використання перетворень рівнянь і їх систем, з одного боку, припускають досить високу логічну культуру учнів, а з іншого боку, в процесі вивчення і застосування таких перетворень є широкі можливості для формування логічної культури.
Таким чином, володіння змістом лінії рівнянь дозволяє розширити список здійсненних перетворень. Так, уміння вирішувати квадратні рівняння дозволяє здійснювати скорочення дробів, у чисельнику або знаменнику яких є квадратний тричлен. У результаті вивчення матеріалу лінії рівнянь учні повинні не тільки оволодіти застосуванням алгоритмічних приписів до вирішення конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні засоби для обгрунтування рішень у випадках, коли це необхідно.
1.3. Методика вивчення квадратних рівнянь
З початком вивчення систематичного курсу алгебри основна увага приділяється способам розв'язання квадратних рівнянь, які стають спеціальним об'єктом вивчення. Для цієї теми характерна велика глибина викладу і багатство встановлюються з її допомогою зв'язків у навчанні, логічна обгрунтованість викладу. Тому вона займає виключне становище в лінії рівнянь і нерівностей. До вивчення цієї теми учні приступають, вже накопичивши певний досвід, володіючи достатньо великим запасом алгебраїчних та общематематических уявлень, понять, умінь.
Уміння вирішувати квадратні рівняння служить базою для вирішення інших рівнянь і їх систем (дробових раціональних, ірраціональних, вищих ступенів).
Для того щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння, учні повинні знати:
· Формулу знаходження дискриминанта;
· Формулу знаходження коренів квадратного рівняння;
· Алгоритми розв'язання рівнянь даного виду.
вміти:
· Вирішувати неповні квадратні рівняння;
· Вирішувати повні квадратні рівняння;
· Вирішувати наведені квадратні рівняння;
· Знаходити помилки у вирішені рівняннях та виправляти їх;
· Робити перевірку.
Рішення кожного рівняння складається з двох основних частин:
· Перетворення даного рівняння до найпростіших;
· Рішення рівнянь за відомими правилами, формулами або алгоритмам.
При вивченні теми «Квадратні рівняння» розглядаються неповні, повні і наведені квадратні рівняння. Для вивчення даної теми були проаналізовані сучасні шкільні підручники різних авторів, таких як А. Г. Мордкович, С. М. Нікольський, Ю. М. Макаричєв, М. І. Башмаков.
Аналіз підручників
| А.Г. Мордкович | С.М. Нікольський | Ю.Н. Макаричєв | М.І. Башмаков |
| 1. - 2.Неполние квадратні рівняння | 1. - 2.Неполние квадратні рівняння | 1. - 2.Неполние квадратні рівняння | 1.Історіческая довідка 2.Неполние квадратні рівняння |
| 3.Повна квадратні рівняння | 3.Повна квадратні рівняння | 3.Повна квадратні рівняння | 3.Повна квадратні рівняння |
| 4.Пріведенние квадратні рівняння | 4.Пріведенние квадратні рівняння | 4.Пріведенние квадратні рівняння | 4.Пріведенние квадратні рівняння |
| 5.Теорема Вієта | 5.Теорема Вієта | ||
| 6.Теорема, зворотній теоремі Вієта | 6.Теорема зворотна теоремі Вієта |
Навчання рішенню рівнянь починається з найпростіших їх видів, і програма [4,131] обумовлює поступове накопичення як їх видів, так і «фонду» тотожних і рівносильних перетворень, за допомогою яких можна навести довільне рівняння до найпростішого. У цьому напрямі слід будувати і процес формування узагальнених прийомів розв'язання рівнянь у шкільному курсі алгебри. У курсі математики старших класів учні стикаються з новими класами рівнянь, систем або з поглибленим вивченням уже відомих класів. Однак це мало впливає на вже сформовану систему знань, умінь і навичок; вони доповнюють її новим фактичним змістом.
Узагальнення способів діяльності учнів під час вирішення квадратних рівнянь відбувається поступово. Можна виділити наступні етапи при вивченні теми «Квадратні рівняння»:
I етап - «Рішення неповних квадратних рівнянь».
II етап - «Рішення повних квадратних рівнянь».
III етап - «Рішення наведених квадратних рівнянь».
На першому етапі розглядаються неповні квадратні рівняння. Так як спочатку математики навчилися вирішувати неповні квадратні рівняння, оскільки для цього не довелося, як кажуть, нічого винаходити. Це рівняння виду: ах 2 = 0, ах 2 + с = 0, де з ≠ 0, ах 2 + bх = 0, де b ≠ 0. Розглянемо рішення кілька таких рівнянь:
1. Якщо ах 2 = 0. Рівняння такого виду вирішуються за алгоритмом:
1) знайти х 2;
2) знайти х.
Наприклад, 5х 2 = 0. Розділивши обидві частини рівняння на 5 виходить: х 2 = 0, звідки х = 0.
2. Якщо ах 2 + с = 0, з ≠ 0 Рівняння даного виду вирішуються за алгоритмом:
1) перенести доданки в праву частину;
2) знайти всі числа, квадрати яких рівні числу с.
Наприклад, х 2 - 5 = 0, Це рівняння рівносильне рівнянню х 2 = 5. Отже, треба знайти всі числа, квадрати яких рівні числу 5. Таких чисел тільки два
3. Якщо ах 2 + bх = 0, b ≠ 0. Рівняння такого виду вирішуються за алгоритмом:
1) перенести загальний множник за дужки;
2) знайти x 1, x 2.
Наприклад, х 2 - 3х = 0. Перепишемо рівняння х 2 - 3х = 0 у вигляді х (х - 3) = 0. Це рівняння має, очевидно, коріння x 1 = 0, x 2 = 3. Інших коренів воно не має, бо якщо в нього підставити замість х будь-яке число, відмінне від нуля і 3, то в лівій частині рівняння х (х - 3) = 0 вийде число, не рівне нулю.
Отже, дані приклади показують, як вирішуються неповні квадратні рівняння:
1) якщо рівняння має вигляд ах 2 = 0, то воно має один корінь х = 0;
2) якщо рівняння має вигляд ах 2 + bх = 0, то використовується метод розкладання на множники: х (ах + b) = 0; значить, або х = 0, або ах + b = 0. У результаті виходить два кореня: x 1 = 0; x 2 = -
3) якщо рівняння має вигляд ах 2 + с = 0, то його перетворять до виду ах 2 = - с і далі х 2 .= -
Таким чином, неповне квадратне рівняння може мати два кореня, один корінь, ні одного кореня.
На другому етапі здійснюється перехід до вирішення повного квадратного рівняння. Це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де a, b, c - задані числа, а ≠ 0, х - невідоме.
Будь-яке повне квадратне рівняння можна перетворити до виду
1. Якщо D <0, то квадратне рівняння ах 2 + bx + c = 0 не має дійсних коренів.
Наприклад, 2х 2 + 4х + 7 = 0. Рішення: тут а = 2, b = 4, с = 7.
D = b 2 - 4ас = 4 2 - 4 * 2 * 7 = 16 - 56 = - 40.
Так як D <0, ця квадратне рівняння не має коренів.
2. Якщо D = 0, то квадратне рівняння ах 2 + bx + c = 0 має один корінь, який знаходиться за формулою
Наприклад, 4х - 20х + 25 = 0. Рішення: а = 4, b = - 20, з = 25.
D = b 2 - 4ас = (-20) 2 - 4 * 4 * 25 = 400 - 400 = 0.
Так як D = 0, то дане рівняння має один корінь. Цей корінь знаходиться за формулою
3. Якщо D> 0, то квадратне рівняння ах 2 + bx + c = 0 має два корені, які знаходяться за формулами:
Наприклад, 3х 2 +8 х - 11 = 0. Рішення: а = 3, b = 8, з = -11. D = b 2 - 4ас = 8 2 - 4 * 3 * (-11) = 64 + 132 = 196.
Так як D> 0, то дане квадратне рівняння має два корені. Ці корені знаходяться за формулами:
Складається алгоритм розв'язання рівняння виду ax 2 + bx + c = 0.
1. Обчислити дискримінант D за формулою D = b 2 - 4ас.
2. Якщо D <0, то квадратне рівняння ах 2 + bx + c = 0 не має коренів.
3. Якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь, який знаходиться за формулою
4. Якщо D> 0, то квадратне рівняння ах 2 + bx + c = 0 має два корені:
Це алгоритм універсальний, він застосовується як до неповним, так і до повних квадратних рівнянь. Однак неповні квадратні рівняння зазвичай за цим алгоритмом не вирішують.
Математики - люди практичні, економні, тому користуються формулою:
Отже, можна зробити висновок, що квадратні рівняння можна вирішувати докладно, використовуючи сформульоване вище правило; можна - записати одразу формулу (2) і з її допомогою робити необхідні висновки. [1,98].
На третьому етапі розглядаються наведені квадратні рівняння, які мають вигляд х 2 + px + q = 0 (3), де p і q - дані числа. Число p - коефіцієнт при х, а q - вільний член. Дискримінант рівняння дорівнює: D = p 2 - 4q. Розглядають 3 випадки:
1. D> 0, тоді рівняння (3) має два корені, які обчислюють за формулою
2. D = 0, тоді рівняння (3) має єдиний корінь, або, як горять, два співпадаючих кореня:
3. D <0, то рівняння не має коренів. Зазвичай у разі наведеного квадратного рівняння (3) замість D розглядається вираз
Звідси випливає, що:
1) якщо
2) якщо
3) якщо
Важливим моментом у вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта, яка стверджує наявність залежності між коренями і коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння.
Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння рівна другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Інакше кажучи, якщо x 1 і x 2 - корені рівняння х 2 + px + q = 0, то
x 1 + x 2 = - p,
x 1 x 2 = q. (5)
Дані формули називають формулами Вієта на честь французького математика Ф. Вієта (1540-1603), який ввів систему алгебраїчних символів, розробив основи елементарної алгебри. Він був одним з перших, хто числа став позначати буквами, що істотно розвинуло теорію рівнянь.
Наприклад, наведене рівняння х 2 - 7х +10 = 0 має 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а твір дорівнює 10. Видно, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Справедлива також теорема, зворотній теоремі Вієта.
Теорема, зворотна теоремі Вієта. Якщо для чисел x 1, x 2, p, q справедливі формули (5), то x 1 і x 2 - корені рівняння х 2 + px + q = 0 [2,49].
Теорема Вієта і теорема, зворотна їй, часто застосовуються при вирішенні різних завдань.
Наприклад. Напишемо наведене квадратне рівняння, коренями якого є числа 1 і -3.
За формулами Вієта
- P = x 1 + x 2 = - 2,
q = x 1 x 2 = -3.
Отже, шукане рівняння має вигляд х 2 + 2х - 3 = 0.
Складність освоєння теореми Вієта пов'язана з декількома обставинами. Перш за все, потрібно враховувати відмінність прямої і зворотної теореми. У прямій теоремі Вієта дані квадратне рівняння і його коріння; у зворотній - тільки два числа, а квадратне рівняння з'являється в ув'язненні теореми. Учні часто роблять помилку, обгрунтовуючи свої міркування невірної посиланням на пряму або зворотну теорему Вієта.
Наприклад, при знаходженні коренів квадратного рівняння підбором посилатися потрібно на зворотну теорему Вієта, а не на пряму, як часто роблять учні. Для того щоб поширити теореми Вієта на випадок нульового дискриминанта, доводиться умовитися, що в цьому випадку квадратне рівняння має два рівних кореня. Зручність такої угоди проявляється при розкладанні квадратного тричлена на множники
Таким чином, неповні і наведені квадратні рівняння мають різні алгоритми рішення, при вивченні даної теми необхідно показати, що загальна формула коренів застосовна і для цих випадків. Зазвичай вони вивчаються перед виведенням коренів загального квадратного рівняння. У цілому можна сказати, що освоєння теми «Квадратні рівняння» піднімає учнів на якісно новий щабель оволодіння змістом шкільної математики.
Глава 2. Методико-педагогічні основи навчання рішенню квадратних рівнянь
2.1. Урок - лекція на тему «Формула коренів квадратного рівняння з парних другий коефіцієнтом»
Цілі:
· Навчити дітей вирішувати квадратні рівняння за новою формулою;
· Повторити раніше вивчений матеріал на тему «Квадратні рівняння»;
· Розвивати обчислювальні навички дітей, увагу, пам'ять, математичну мову;
· Виховувати акуратність, вміння аргументувати свою точку зору.
Обладнання: картки з формулами.
Хід уроку
1. Домашнє завдання.
- Відкрийте щоденники, запишіть домашнє завдання: вчити формули, висновок цих формул.
2. Усні вправи.
- На початку уроку повторимо теоретичний матеріал по темі: «Квадратні рівняння".
2.1. Фронтальне опитування.
1. Що називають квадратним рівнянням? (Квадратне рівняння називають рівняння виду вид ах 2 + bx + c = 0, де а, b, c - будь-які дійсні числа, причому а ≠ 0).
2. У рівнянні 2х +4 х 2 +1 = 0 (на дошці).
- Назвіть: - старший коефіцієнт (4);
- Другий коефіцієнт (2)
- Вільний член (1).
3. Яке рівняння називають наведеним квадратним рівнянням? Приклад. (Квадратне рівняння називають наведеним, якщо старший коефіцієнт дорівнює 1. Приклад: х 2 + 3х + 4 = 0).
4. Яке рівняння називають повним квадратним рівнянням? (Повним квадратним рівнянням називають рівняння, в якому присутні всі три доданків, тобто рівняння, де b, c ≠ 0).
5. Яке рівняння називається повним квадратним рівнянням? (Неповна квадратне рівняння - це рівняння, в якому присутні не всі три доданків).
6. Що називають коренем квадратного рівняння? (Коренем квадратного рівняння називають будь-яке значення змінної х, при якому квадратний тричлен ах 2 + bx + c = 0 звертається в нуль; таке значення змінної х називають коренем квадратного тричлена).
7. Що означає вирішити квадратне рівняння? (Отже, знайти всі його корені або встановити, що коренів немає).
3. Повідомлення теми та мети уроку.
- Зараз ми познайомимося ще з однією формулу, за якою можна знайти коріння квадратного рівняння.
- Будемо вчитися застосовувати її під час вирішення квадратних рівнянь.
4. Робота по темі уроку.
4.1. Історична довідка.
- Прості рівняння люди навчилися вирішувати більш трьох тисяч років тому в Стародавньому Єгипті, Вавилоні, і тільки 400 років тому навчилися вирішувати квадратні рівняння. Одним з тих, хто вніс великий внесок в розвиток математики, був французький математик Вієт. Форми рішення квадратних рівнянь за зразком Аль-Хорезмі у Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший в Європі підійшов до введення від'ємних чисел
4.2. Пояснення нового матеріалу.
- Записуємо в зошитах для лекцій сьогоднішнє число і тему нашого уроку: «Формула коренів квадратного рівняння з парних другий коефіцієнтом».
- Усі уважно слухаємо, у зошит поки нічого не пишемо.
Слова вчителя Записи на дошці
1. Нехай дано квадратне рівняння ах 2 + bx + c = 0
ах 2 + bx + c = 0, з другим парних b = 2n. коефіцієнтом, тобто b = 2n.
- Тоді рівняння можна записати ах 2 + 2nx + c = 0 у вигляді:
- Знайдемо дискримінант (замість b D = (2n) 2 - 4ас = пишемо 2n).
- Що отримали?
- Що я можу зробити з цим висловом? = 4n 2 - 4ас =
(Розкрити дужки)
- Що вийти?
- А далі можна 4 - винести за дужки. = 4 (n 2 - ас)
- Вираз в дужках позначимо через n 2 - ас = D 1
D.
- Запишіть в зошит мої записи з дошки.
2. - Від чого залежить кількість коренів у D = 4 (n 2 - ас) = 4D 1
квадратному рівнянні? (Від значення D).
- Від чого залежить значення D? (Від значення D 1)
- Нехай D> 0, тоді D 1> 0 і D = 4D 1> 0 D 1> 0
- Чому дорівнює D? (4D 1)
- Що можна зробити далі? (Винесемо
- Ще що можемо зробити? (Винести
- Хто може записати, чому дорівнює x 2.
Мікрообобщеніе: таким чином, якщо
- Запишіть в зошит, як ми знайшли х 1 і х 2.
3. Якщо D 1 = 0, то D = 0. D 1 = 0
- Скільки коренів має квадратне рівняння? (Один корінь).
- За якою формулою його можна знайти?
- Тому що b = 2n, підставимо замість b → 2n.
Таким чином, якщо D 1 = 0, то
- Запишіть в зошит!
4. Якщо D 1 <0, то і D <0. D 1 <0
- Що відомо про коріння? (Коренів немає) коренів немає
5. Розглянемо цю формулу для х 2 + 2nx + c = 0 наведеного квадратного рівняння.
- Яку формулу коренів квадратного
а = 1.
- Запишіть!
- Уважно подивіться, які є питання?
4.3. Підсумок: ми познайомилися з новою формулою, яка в деяких випадках полегшує нам розрахунки.
4.4. Закріплення нового матеріалу.
а) Вирішуємо разом, один учень біля дошки: х 2 - 2,4 х +1 = 0
b = 2,4; n = - 1,2
D 1 = n 2 - ас
D 1 = 1,44 - 1 = 0,44
Відповідь:
б) х 2 + 6х + 8 = 0
b = 6, n = 3
D 1 = n 2 - ас
D 1 = 3 2 - 1 * 8 = 9 - 8 = 1
Відповідь: x 1 = - 4, x 2 = - 2.
в) 3х 2 - 3х + 4 = 0 (самостійно)
- Коріння цього рівняння можна знайти за новою формулою? (Ні, тому що b - число непарне).
- Вирішуємо рівняння за відомою вам вже формулою.
3х 2 - 3х + 4 = 0
D = 9 - 4 * 3 * 4 = 9 - 48 = - 39
D <0 => рішень немає.
5. Підсумок уроку.
-Що нового дізналися сьогодні на уроці?
2.2. Урок - практикум на тему «Рішення квадратних рівнянь» [16,22]
Цілі уроку:
· Відпрацювання загальних умінь і навичок при вирішенні квадратних рівнянь;
· Розвиток уваги, навичок самоконтролю і самооцінки.
Обладнання: картки для самостійної роботи.
Хід уроку:
1.Організаціонний момент (1 хв)
Повідомлення теми та мети - повторимо, те, що необхідно знати при рішенні квадратних рівнянь; перевіримо свої вміння вирішувати квадратні рівняння у самостійній роботі.
2. Розминка (6 хв)
2.1. Гра «Заповни квадрат». (Вправа на розвиток пам'яті та уваги). За 10 секунд запам'ятати, що записано в клітинах квадрата, і записати в свій квадрат.
Зашифровано слово «РІВНЯННЯ»
1.2. Історична довідка. Прості рівняння люди навчилися вирішувати більш трьох тисяч років тому в Стародавньому Єгипті, Вавилоні, і тільки 400 років тому навчилися вирішувати квадратні рівняння. Одним з тих, хто вніс великий внесок в розвиток математики, був французький математик Вієт. Ім'я цього математика нам скоро зустрінеться.
1.3. Повторюємо теоретичні питання (біля дошки одна особа). Записаний хід вирішення квадратного рівняння; учень розповідає, інші записують алгоритм.
3. Повторення (фронтальне опитування 6 хв)
3.1. Обчисліть:
а) -4 * 1 * (-4), -4 * 2 * 5, -5 * 6 * 4;
б) (-10) 2, 3 2, (-7) 2
Це потрібно вміти при знаходженні дискриминанта D.
в) У дошки два учня; правило додавання чисел з різними знаками, правило додавання від'ємних чисел:
г)
3.2. Гра «Термінова радіограма». Клас ділиться на дві команди: дівчата - хлопчики. У двох конвертах - окремі слова. Завдання: скласти одне математичне пропозицію з наявних слів. Складність полягає в тому, що одного слова не вистачає.
«Якщо дискримінант більше нуля, то рівняння має два різних кореня»;
«Якщо квадратне рівняння в СТАНДАРТНОМУ вигляді, то можна знаходити дискримінант».
4. Тестові питання (5 хв)
На дошці 8 квадратних рівнянь. Ці завдання на слух, повторюються тільки два рази. Запорука успіху - величезна увага.
1. 2х 2 - 8х +4 = 0; 5. 5х 2 + 6х = 0;
2. 3х 2 + 4х - 1 = 0, 6. х 2 - 8х + 12 = 0;
3. 4х 2 - 8 = 0; 7. 3х 2 = 0;
4. х 2 - 10х + 100 = 0; 8. 14 - 2х 2 + х = 0
а) Випишіть номери повних квадратів рівнянь
б) Випишіть коефіцієнти а, b, c в рівнянні 8.
в) Випишіть номер неповного квадратного рівняння, що має один корінь.
г) Випишіть коефіцієнти a, b, c в рівнянні 5.
д) Знайдіть дискримінант в рівнянні 6.
е) Знайдіть дискримінант в рівнянні 4 і зробіть висновок про кількість коренів.
Перевіряємо, оцінюємо себе самі:
немає помилок - «5»
1 - 2 помилки - «4»
3 - 4 помилки - «3»
5. Гра «Слідство ведуть знавці» (10 хв)
Перш ніж довірити розслідування серйозної справи, необхідно пройти перевірку.
а) Чи зможете ви знайти помилку у вирішенні рівняння?
- Х 2 + 6х + 16 = 0,
х 2 - 6х - 16 = 0,
a = 1, b = - 6, c = - 16.
D = b 2 - 4ac = (- 6) 2 - 4 * 1 * (- 16) = 36 +64 = 100
Помилку шукаємо по етапах, з самого початку.
б) Найважчим і важливою справою кожного учня є виконання домашнього завдання. Якщо домашнє завдання виконано правильно, то на уроці ви відчуваєте себе набагато впевненіше. Домашнє завдання заховано в кабіні, пропонується його знайти. Будемо діяти, як справжні знавці: чітко і злагоджено. У нас дві бригади слідчих. Я даю вам невеличку зачіпку у справі. Бригада, яка буде діяти дружно, першою впорається завданням:
Якщо ви, вірно вирішите квадратне рівняння
х 2 - 7х + 10 = 0,
то х вкаже номер ряду, а х - номер парти, де знаходиться домашнє завдання.
[5, 2]
в) Записуємо знайдене завдання:
2х 2 + 7х - 74 = 0.
Обчисліть дискримінант. Це і є номер завдання у підручнику. У цьому завданні вісім рівнянь. Можна вирішити будь-яку кількість.
6.Самостоятельная робота (12 хв)
Виконавши самостійну роботу, ви дізнаєтеся, чи можете вирішувати квадратні рівняння без помилок.
Перші два рівняння можна перевірити (рішення на зворотному боці дошки). Третє рівняння, якщо буде час, перевірте самі по визначенню кореня.
1. х 2 + 2х - 25 = 0.
2. 9х 2 - 6х + 1 = 0.
3. 3х 2 + 8х - 3 = 0.
7. Підведення підсумків уроку.
2.3. Узагальнюючий урок з теми «Квадратні рівняння» у формі гри «Зірковий час» [13,14]
Цілі уроку:
· Закріпити практичні та теоретичні знання і вміння учнів при виконанні завдань з теми «Квадратні рівняння»;
· Розвивати самостійність, активність, увагу;
· Виховувати інтерес до предмету.
Обладнання: зірочки, таблиці з цифрами.
Хід уроку:
1.Організація класу
а) Привітання
б) Перевірка готовності робочих місць
2. Повідомлення теми та мети уроку
-Сьогодні у нас особливий урок, ми проведемо з вами «Зірковий час» за темою «Квадратні рівняння», тим самим ще раз перевіримо свої знання та вміння.
3. Закріплення матеріалу
3.1. Знайомство з правилами гри.
- Отже, уявімо, що ми з вами в студії. Ви гравці, а я ведуча. У вас в кожного на партах лежать таблички з цифрами від 1 до 5.
- Отже, послухайте умови гри.
- Я буду ставити всім питання, а відповідно піднімати табличку з тим номером, який відповідає правильній відповіді. А так ж у кожного з вас лежать на партах листочки. За кожну правильну відповідь, коли я вам скажу, ви будете на ньому креслити зірочку. А в кінці гри ми їх підрахуємо і оцінимо роботу кожного з вас.
3.2. Проведення гри.
- Отже, починаємо гру. Зараз ми будемо працювати з вами по 1 таблиці
Таблиця № 1
-Отже, зверху ви бачите номери відповідей, а під ними відповідні відповіді. Я задаю питання, ви 5 секунд, думаєте і піднімаєте таблички з правильними відповідями.
1. Який вигляд має квадратне рівняння.
2. Назвіть формули коренів квадратного рівняння.
3. Назвіть неповне квадратне рівняння.
4. Назвіть, чому дорівнює дискримінант квадратного рівняння.
-Добре з цим завданням ви впоралися добре, майже всі учні піднімали таблички з правильними відповідями. А хто помилявся, він ще раз побачив правильні формули і сподіваюся, так само довчити матеріал.
-А тепер ми всі переходимо до другого туру. У другому турі ми з'ясуємо знання правил з даної теми. Працювати будемо з другої таблицею.
Таблиця № 2
-Я буду говорити вам правило, а ви піднімайте відповідну картку.
1) Сума коренів наведеного квадратного рівняння рівна другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
-Вірно, наступне питання, слухайте і піднімайте таблички.
1) Якщо в квадратному рівнянні
-Вірно, наведіть приклад квадратного рівняння.
2) Рівняння виду
-Вірно, наведіть приклад квадратного рівняння
Наступне питання
3) Якщо числа м і n такі, що їх сума дорівнює р., а твір q, то ці числа є коренями рівняння виду
-Вірно, скажіть, скільки коренів має неповне квадратне рівняння кожного виду.
-Вірно.
4) Як називаються повні квадратні рівняння, у яких всі три коефіцієнта відмінні від нуля і в яких перший коефіцієнт дорівнює 1.
-Добре і з цим завданням ви справились.
4. Самостійна робота. (Третій тур).
-Вам в цьому турі необхідно виконати такі завдання. На дошці виписані квадратні рівняння.
1. х 2 - 15х - 16 = 0.
2. х 2 - 9х + 20 = 0.
3. 2х 2 + 2х - 112 = 0.
4. х 2 - 6х + 8 = 0.
-Ви самостійно вирішуєте ці рівняння у зошиті, а потім ми перевіримо.
-Отже, я буду називати вам рівняння, а ви піднімайте картку, відповідну правильної відповіді.
-Добре давайте перевіримо.
-Підніміть картку, відповідну правильної відповіді для рівняння 2х 2 + 2х - 112 = 0.
-А тепер складіть три неповних квадратних рівняння і вирішіть їх.
-Давайте подивимося, які рівняння ви склали
5. Підведення підсумків
-Отже, ось і підходить до кінця наша гра. У ході гри ми повторили теоретичний і практичний матеріал, і тепер ми можемо підвести урок гри. Підрахуйте свої зірочки
-Хто набрав від 20 до 25 зірок отримують «5»
-Хто набрав від 20 до 15 зірок отримують «4»
-Хто набрав 15 зірок і менше отримують «3»
Висновок
Автором була виконана курсова робота з теми «Формування вміння рішення квадратних рівнянь у 8-му класі». При виконанні даної роботи знадобилися не тільки ті знання, які є у самого автора, але і необхідна робота з додатковою літературою, складання конспектів уроків.
Завдяки виконанню цієї роботи можна сказати, що матеріал, пов'язаний з рівняннями, становить значну частину шкільного курсу математики. На вивчення теми «Квадратні рівняння» за програмою дається всього 22 год Їх вивчення в сучасній методиці математики пов'язано з трьома головними областями свого виникнення і функціонування: прикладна спрямованість, теоретико-математична спрямованість і спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики.
Для цієї теми характерна велика глибина викладу і багатство встановлюються з її допомогою зв'язків у навчанні, логічна обгрунтованість викладу. Тому вона займає виключне становище в лінії рівнянь і нерівностей. До вивчення теми «Квадратні рівняння» учні приступають, вже накопичивши певний досвід, володіючи достатньо великим запасом алгебраїчних та общематематических уявлень, понять, умінь. володіння змістом лінії рівнянь дозволяє розширити список здійсненних перетворень. Так, уміння вирішувати квадратні рівняння дозволяє здійснювати скорочення дробів, у чисельнику або знаменнику яких є квадратний тричлен. У результаті вивчення матеріалу лінії рівнянь учні повинні не тільки оволодіти застосуванням алгоритмічних приписів до вирішення конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні засоби для обгрунтування рішень у випадках, коли це необхідно.
Список літератури
1) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов та ін - 2-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 287 с.
2) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - 10-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 255с.
3) Башмаков М.І. Алгебра: навч. для 8 кл. загаль. установ. - М.: Просвещение, 2004. - 287с.
4) Бекаревич А.Б. Рівняння в шкільному курсі математики. - М., 1968 .- 196 с.
5) Бурмістрова Т.А. Програми загальноосвітніх установ / / Математика .- М.: Просвещение, 1994.
6) Глейзер Г.І. Історія математики в школі VII - VIII класи. - М., 1982.
7) Колягін Ю.М. Методика викладання математики в середній школі. Приватні методики. - М.: Просвещение, 1977.
8) Лягущенко Є.І. Методика навчання математики в 5 кл. - Мінськ, 1976.
9) Маркушевич Л.А., Черкасов Р.С. Рівняння та нерівності в заключному повторенні курсу алгебри середньої школи / / Математика в школі. - 1994. - № 1. - С.
10) Методика і технологія навчання математики. Курс лекцій: посібник для вузів / під ред. М. Л. Стефанової, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.
11) Мішин В.І. Методика викладання математики в середній школі. - М., 1990.
12) Оганесян В.А. Методика викладання математики в середній школі. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.
13) Панкратова Л. Узагальнюючий урок з теми «Квадратні рівняння» у формі гри «Зоряний час» / / Математіка.-2002 .- № 21.
14) Сабініна Л.В. Методика у поняттях і термінах. Ч.1. - М.: Просвещение, 1978. - 320 с.
15) Столяр А.А. Загальна методика викладання математики. - М., 1985.
16) Шаталова С. Урок - практикум на тему «Квадратні рівняння» .- 2004. - № 42
1) якщо
2) якщо
3) якщо
Важливим моментом у вивченні квадратних рівнянь є розгляд теореми Вієта, яка стверджує наявність залежності між коренями і коефіцієнтами наведеного квадратного рівняння.
Теорема Вієта. Сума коренів наведеного квадратного рівняння рівна другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Інакше кажучи, якщо x 1 і x 2 - корені рівняння х 2 + px + q = 0, то
x 1 + x 2 = - p,
x 1 x 2 = q. (5)
Дані формули називають формулами Вієта на честь французького математика Ф. Вієта (1540-1603), який ввів систему алгебраїчних символів, розробив основи елементарної алгебри. Він був одним з перших, хто числа став позначати буквами, що істотно розвинуло теорію рівнянь.
Наприклад, наведене рівняння х 2 - 7х +10 = 0 має 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а твір дорівнює 10. Видно, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
Справедлива також теорема, зворотній теоремі Вієта.
Теорема, зворотна теоремі Вієта. Якщо для чисел x 1, x 2, p, q справедливі формули (5), то x 1 і x 2 - корені рівняння х 2 + px + q = 0 [2,49].
Теорема Вієта і теорема, зворотна їй, часто застосовуються при вирішенні різних завдань.
Наприклад. Напишемо наведене квадратне рівняння, коренями якого є числа 1 і -3.
За формулами Вієта
- P = x 1 + x 2 = - 2,
q = x 1 x 2 = -3.
Отже, шукане рівняння має вигляд х 2 + 2х - 3 = 0.
Складність освоєння теореми Вієта пов'язана з декількома обставинами. Перш за все, потрібно враховувати відмінність прямої і зворотної теореми. У прямій теоремі Вієта дані квадратне рівняння і його коріння; у зворотній - тільки два числа, а квадратне рівняння з'являється в ув'язненні теореми. Учні часто роблять помилку, обгрунтовуючи свої міркування невірної посиланням на пряму або зворотну теорему Вієта.
Наприклад, при знаходженні коренів квадратного рівняння підбором посилатися потрібно на зворотну теорему Вієта, а не на пряму, як часто роблять учні. Для того щоб поширити теореми Вієта на випадок нульового дискриминанта, доводиться умовитися, що в цьому випадку квадратне рівняння має два рівних кореня. Зручність такої угоди проявляється при розкладанні квадратного тричлена на множники
Таким чином, неповні і наведені квадратні рівняння мають різні алгоритми рішення, при вивченні даної теми необхідно показати, що загальна формула коренів застосовна і для цих випадків. Зазвичай вони вивчаються перед виведенням коренів загального квадратного рівняння. У цілому можна сказати, що освоєння теми «Квадратні рівняння» піднімає учнів на якісно новий щабель оволодіння змістом шкільної математики.
Глава 2. Методико-педагогічні основи навчання рішенню квадратних рівнянь
2.1. Урок - лекція на тему «Формула коренів квадратного рівняння з парних другий коефіцієнтом»
Цілі:
· Навчити дітей вирішувати квадратні рівняння за новою формулою;
· Повторити раніше вивчений матеріал на тему «Квадратні рівняння»;
· Розвивати обчислювальні навички дітей, увагу, пам'ять, математичну мову;
· Виховувати акуратність, вміння аргументувати свою точку зору.
Обладнання: картки з формулами.
Хід уроку
1. Домашнє завдання.
- Відкрийте щоденники, запишіть домашнє завдання: вчити формули, висновок цих формул.
2. Усні вправи.
- На початку уроку повторимо теоретичний матеріал по темі: «Квадратні рівняння".
2.1. Фронтальне опитування.
1. Що називають квадратним рівнянням? (Квадратне рівняння називають рівняння виду вид ах 2 + bx + c = 0, де а, b, c - будь-які дійсні числа, причому а ≠ 0).
2. У рівнянні 2х +4 х 2 +1 = 0 (на дошці).
- Назвіть: - старший коефіцієнт (4);
- Другий коефіцієнт (2)
- Вільний член (1).
3. Яке рівняння називають наведеним квадратним рівнянням? Приклад. (Квадратне рівняння називають наведеним, якщо старший коефіцієнт дорівнює 1. Приклад: х 2 + 3х + 4 = 0).
4. Яке рівняння називають повним квадратним рівнянням? (Повним квадратним рівнянням називають рівняння, в якому присутні всі три доданків, тобто рівняння, де b, c ≠ 0).
5. Яке рівняння називається повним квадратним рівнянням? (Неповна квадратне рівняння - це рівняння, в якому присутні не всі три доданків).
6. Що називають коренем квадратного рівняння? (Коренем квадратного рівняння називають будь-яке значення змінної х, при якому квадратний тричлен ах 2 + bx + c = 0 звертається в нуль; таке значення змінної х називають коренем квадратного тричлена).
7. Що означає вирішити квадратне рівняння? (Отже, знайти всі його корені або встановити, що коренів немає).
3. Повідомлення теми та мети уроку.
- Зараз ми познайомимося ще з однією формулу, за якою можна знайти коріння квадратного рівняння.
- Будемо вчитися застосовувати її під час вирішення квадратних рівнянь.
4. Робота по темі уроку.
4.1. Історична довідка.
- Прості рівняння люди навчилися вирішувати більш трьох тисяч років тому в Стародавньому Єгипті, Вавилоні, і тільки 400 років тому навчилися вирішувати квадратні рівняння. Одним з тих, хто вніс великий внесок в розвиток математики, був французький математик Вієт. Форми рішення квадратних рівнянь за зразком Аль-Хорезмі у Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202г. італійським математиком Леонардом Фібоначчі. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший в Європі підійшов до введення від'ємних чисел
4.2. Пояснення нового матеріалу.
- Записуємо в зошитах для лекцій сьогоднішнє число і тему нашого уроку: «Формула коренів квадратного рівняння з парних другий коефіцієнтом».
- Усі уважно слухаємо, у зошит поки нічого не пишемо.
Слова вчителя Записи на дошці
1. Нехай дано квадратне рівняння ах 2 + bx + c = 0
ах 2 + bx + c = 0, з другим парних b = 2n. коефіцієнтом, тобто b = 2n.
- Тоді рівняння можна записати ах 2 + 2nx + c = 0 у вигляді:
- Знайдемо дискримінант (замість b D = (2n) 2 - 4ас = пишемо 2n).
- Що отримали?
- Що я можу зробити з цим висловом? = 4n 2 - 4ас =
(Розкрити дужки)
- Що вийти?
- А далі можна 4 - винести за дужки. = 4 (n 2 - ас)
- Вираз в дужках позначимо через n 2 - ас = D 1
D.
- Запишіть в зошит мої записи з дошки.
2. - Від чого залежить кількість коренів у D = 4 (n 2 - ас) = 4D 1
квадратному рівнянні? (Від значення D).
- Від чого залежить значення D? (Від значення D 1)
- Нехай D> 0, тоді D 1> 0 і D = 4D 1> 0 D 1> 0
- Чому дорівнює D? (4D 1)
- Що можна зробити далі? (Винесемо
- Ще що можемо зробити? (Винести
- Хто може записати, чому дорівнює x 2.
Мікрообобщеніе: таким чином, якщо
- Запишіть в зошит, як ми знайшли х 1 і х 2.
3. Якщо D 1 = 0, то D = 0. D 1 = 0
- Скільки коренів має квадратне рівняння? (Один корінь).
- За якою формулою його можна знайти?
- Тому що b = 2n, підставимо замість b → 2n.
Таким чином, якщо D 1 = 0, то
4. Якщо D 1 <0, то і D <0. D 1 <0
- Що відомо про коріння? (Коренів немає) коренів немає
5. Розглянемо цю формулу для х 2 + 2nx + c = 0 наведеного квадратного рівняння.
- Яку формулу коренів квадратного
а = 1.
- Запишіть!
- Уважно подивіться, які є питання?
4.3. Підсумок: ми познайомилися з новою формулою, яка в деяких випадках полегшує нам розрахунки.
4.4. Закріплення нового матеріалу.
а) Вирішуємо разом, один учень біля дошки: х 2 - 2,4 х +1 = 0
b = 2,4; n = - 1,2
D 1 = n 2 - ас
D 1 = 1,44 - 1 = 0,44
Відповідь:
б) х 2 + 6х + 8 = 0
b = 6, n = 3
D 1 = n 2 - ас
D 1 = 3 2 - 1 * 8 = 9 - 8 = 1
Відповідь: x 1 = - 4, x 2 = - 2.
в) 3х 2 - 3х + 4 = 0 (самостійно)
- Коріння цього рівняння можна знайти за новою формулою? (Ні, тому що b - число непарне).
- Вирішуємо рівняння за відомою вам вже формулою.
3х 2 - 3х + 4 = 0
D = 9 - 4 * 3 * 4 = 9 - 48 = - 39
D <0 => рішень немає.
5. Підсумок уроку.
-Що нового дізналися сьогодні на уроці?
2.2. Урок - практикум на тему «Рішення квадратних рівнянь» [16,22]
Цілі уроку:
· Відпрацювання загальних умінь і навичок при вирішенні квадратних рівнянь;
· Розвиток уваги, навичок самоконтролю і самооцінки.
Обладнання: картки для самостійної роботи.
Хід уроку:
1.Організаціонний момент (1 хв)
Повідомлення теми та мети - повторимо, те, що необхідно знати при рішенні квадратних рівнянь; перевіримо свої вміння вирішувати квадратні рівняння у самостійній роботі.
2. Розминка (6 хв)
2.1. Гра «Заповни квадрат». (Вправа на розвиток пам'яті та уваги). За 10 секунд запам'ятати, що записано в клітинах квадрата, і записати в свій квадрат.
| А | Р | У |
| Е | Н | У |
| Е | І | Н |
1.2. Історична довідка. Прості рівняння люди навчилися вирішувати більш трьох тисяч років тому в Стародавньому Єгипті, Вавилоні, і тільки 400 років тому навчилися вирішувати квадратні рівняння. Одним з тих, хто вніс великий внесок в розвиток математики, був французький математик Вієт. Ім'я цього математика нам скоро зустрінеться.
1.3. Повторюємо теоретичні питання (біля дошки одна особа). Записаний хід вирішення квадратного рівняння; учень розповідає, інші записують алгоритм.
3. Повторення (фронтальне опитування 6 хв)
3.1. Обчисліть:
а) -4 * 1 * (-4), -4 * 2 * 5, -5 * 6 * 4;
б) (-10) 2, 3 2, (-7) 2
Це потрібно вміти при знаходженні дискриминанта D.
в) У дошки два учня; правило додавання чисел з різними знаками, правило додавання від'ємних чисел:
г)
3.2. Гра «Термінова радіограма». Клас ділиться на дві команди: дівчата - хлопчики. У двох конвертах - окремі слова. Завдання: скласти одне математичне пропозицію з наявних слів. Складність полягає в тому, що одного слова не вистачає.
«Якщо дискримінант більше нуля, то рівняння має два різних кореня»;
«Якщо квадратне рівняння в СТАНДАРТНОМУ вигляді, то можна знаходити дискримінант».
4. Тестові питання (5 хв)
На дошці 8 квадратних рівнянь. Ці завдання на слух, повторюються тільки два рази. Запорука успіху - величезна увага.
1. 2х 2 - 8х +4 = 0; 5. 5х 2 + 6х = 0;
2. 3х 2 + 4х - 1 = 0, 6. х 2 - 8х + 12 = 0;
3. 4х 2 - 8 = 0; 7. 3х 2 = 0;
4. х 2 - 10х + 100 = 0; 8. 14 - 2х 2 + х = 0
а) Випишіть номери повних квадратів рівнянь
б) Випишіть коефіцієнти а, b, c в рівнянні 8.
в) Випишіть номер неповного квадратного рівняння, що має один корінь.
г) Випишіть коефіцієнти a, b, c в рівнянні 5.
д) Знайдіть дискримінант в рівнянні 6.
е) Знайдіть дискримінант в рівнянні 4 і зробіть висновок про кількість коренів.
Перевіряємо, оцінюємо себе самі:
немає помилок - «5»
1 - 2 помилки - «4»
3 - 4 помилки - «3»
5. Гра «Слідство ведуть знавці» (10 хв)
Перш ніж довірити розслідування серйозної справи, необхідно пройти перевірку.
а) Чи зможете ви знайти помилку у вирішенні рівняння?
х 2 - 6х - 16 = 0,
a = 1, b = - 6, c = - 16.
D = b 2 - 4ac = (- 6) 2 - 4 * 1 * (- 16) = 36 +64 = 100
Помилку шукаємо по етапах, з самого початку.
б) Найважчим і важливою справою кожного учня є виконання домашнього завдання. Якщо домашнє завдання виконано правильно, то на уроці ви відчуваєте себе набагато впевненіше. Домашнє завдання заховано в кабіні, пропонується його знайти. Будемо діяти, як справжні знавці: чітко і злагоджено. У нас дві бригади слідчих. Я даю вам невеличку зачіпку у справі. Бригада, яка буде діяти дружно, першою впорається завданням:
Якщо ви, вірно вирішите квадратне рівняння
х 2 - 7х + 10 = 0,
то х вкаже номер ряду, а х - номер парти, де знаходиться домашнє завдання.
[5, 2]
в) Записуємо знайдене завдання:
2х 2 + 7х - 74 = 0.
Обчисліть дискримінант. Це і є номер завдання у підручнику. У цьому завданні вісім рівнянь. Можна вирішити будь-яку кількість.
6.Самостоятельная робота (12 хв)
Виконавши самостійну роботу, ви дізнаєтеся, чи можете вирішувати квадратні рівняння без помилок.
Перші два рівняння можна перевірити (рішення на зворотному боці дошки). Третє рівняння, якщо буде час, перевірте самі по визначенню кореня.
1. х 2 + 2х - 25 = 0.
2. 9х 2 - 6х + 1 = 0.
3. 3х 2 + 8х - 3 = 0.
7. Підведення підсумків уроку.
2.3. Узагальнюючий урок з теми «Квадратні рівняння» у формі гри «Зірковий час» [13,14]
Цілі уроку:
· Закріпити практичні та теоретичні знання і вміння учнів при виконанні завдань з теми «Квадратні рівняння»;
· Розвивати самостійність, активність, увагу;
· Виховувати інтерес до предмету.
Обладнання: зірочки, таблиці з цифрами.
Хід уроку:
1.Організація класу
а) Привітання
б) Перевірка готовності робочих місць
2. Повідомлення теми та мети уроку
-Сьогодні у нас особливий урок, ми проведемо з вами «Зірковий час» за темою «Квадратні рівняння», тим самим ще раз перевіримо свої знання та вміння.
3. Закріплення матеріалу
3.1. Знайомство з правилами гри.
- Отже, уявімо, що ми з вами в студії. Ви гравці, а я ведуча. У вас в кожного на партах лежать таблички з цифрами від 1 до 5.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||||||
- Я буду ставити всім питання, а відповідно піднімати табличку з тим номером, який відповідає правильній відповіді. А так ж у кожного з вас лежать на партах листочки. За кожну правильну відповідь, коли я вам скажу, ви будете на ньому креслити зірочку. А в кінці гри ми їх підрахуємо і оцінимо роботу кожного з вас.
3.2. Проведення гри.
- Отже, починаємо гру. Зараз ми будемо працювати з вами по 1 таблиці
Таблиця № 1
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1. Який вигляд має квадратне рівняння.
2. Назвіть формули коренів квадратного рівняння.
3. Назвіть неповне квадратне рівняння.
4. Назвіть, чому дорівнює дискримінант квадратного рівняння.
-Добре з цим завданням ви впоралися добре, майже всі учні піднімали таблички з правильними відповідями. А хто помилявся, він ще раз побачив правильні формули і сподіваюся, так само довчити матеріал.
-А тепер ми всі переходимо до другого туру. У другому турі ми з'ясуємо знання правил з даної теми. Працювати будемо з другої таблицею.
Таблиця № 2
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Теорема зворотна теоремі Вієта | Квадратне рівняння | Теорема Вієта | Неповна квадратне рівняння | Приводиться квадратне рівняння |
1) Сума коренів наведеного квадратного рівняння рівна другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.
-Вірно, наступне питання, слухайте і піднімайте таблички.
1) Якщо в квадратному рівнянні
-Вірно, наведіть приклад квадратного рівняння.
2) Рівняння виду
-Вірно, наведіть приклад квадратного рівняння
Наступне питання
3) Якщо числа м і n такі, що їх сума дорівнює р., а твір q, то ці числа є коренями рівняння виду
-Вірно, скажіть, скільки коренів має неповне квадратне рівняння кожного виду.
-Вірно.
4) Як називаються повні квадратні рівняння, у яких всі три коефіцієнта відмінні від нуля і в яких перший коефіцієнт дорівнює 1.
-Добре і з цим завданням ви справились.
4. Самостійна робота. (Третій тур).
-Вам в цьому турі необхідно виконати такі завдання. На дошці виписані квадратні рівняння.
1. х 2 - 15х - 16 = 0.
2. х 2 - 9х + 20 = 0.
3. 2х 2 + 2х - 112 = 0.
4. х 2 - 6х + 8 = 0.
-Ви самостійно вирішуєте ці рівняння у зошиті, а потім ми перевіримо.
-Отже, я буду називати вам рівняння, а ви піднімайте картку, відповідну правильної відповіді.
-Добре давайте перевіримо.
-Підніміть картку, відповідну правильної відповіді для рівняння 2х 2 + 2х - 112 = 0.
-А тепер складіть три неповних квадратних рівняння і вирішіть їх.
-Давайте подивимося, які рівняння ви склали
5. Підведення підсумків
-Отже, ось і підходить до кінця наша гра. У ході гри ми повторили теоретичний і практичний матеріал, і тепер ми можемо підвести урок гри. Підрахуйте свої зірочки
-Хто набрав від 20 до 25 зірок отримують «5»
-Хто набрав від 20 до 15 зірок отримують «4»
-Хто набрав 15 зірок і менше отримують «3»
Висновок
Автором була виконана курсова робота з теми «Формування вміння рішення квадратних рівнянь у 8-му класі». При виконанні даної роботи знадобилися не тільки ті знання, які є у самого автора, але і необхідна робота з додатковою літературою, складання конспектів уроків.
Завдяки виконанню цієї роботи можна сказати, що матеріал, пов'язаний з рівняннями, становить значну частину шкільного курсу математики. На вивчення теми «Квадратні рівняння» за програмою дається всього 22 год Їх вивчення в сучасній методиці математики пов'язано з трьома головними областями свого виникнення і функціонування: прикладна спрямованість, теоретико-математична спрямованість і спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики.
Для цієї теми характерна велика глибина викладу і багатство встановлюються з її допомогою зв'язків у навчанні, логічна обгрунтованість викладу. Тому вона займає виключне становище в лінії рівнянь і нерівностей. До вивчення теми «Квадратні рівняння» учні приступають, вже накопичивши певний досвід, володіючи достатньо великим запасом алгебраїчних та общематематических уявлень, понять, умінь. володіння змістом лінії рівнянь дозволяє розширити список здійсненних перетворень. Так, уміння вирішувати квадратні рівняння дозволяє здійснювати скорочення дробів, у чисельнику або знаменнику яких є квадратний тричлен. У результаті вивчення матеріалу лінії рівнянь учні повинні не тільки оволодіти застосуванням алгоритмічних приписів до вирішення конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні засоби для обгрунтування рішень у випадках, коли це необхідно.
Список літератури
1) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / С.М. Нікольський, М.К. Потапов та ін - 2-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 287 с.
2) Алгебра: Учеб. для 8 кл. загаль. установ / Ш. А. Алімов, Ю. М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - 10-е вид. - М.: Просвещение, 2003. - 255с.
3) Башмаков М.І. Алгебра: навч. для 8 кл. загаль. установ. - М.: Просвещение, 2004. - 287с.
4) Бекаревич А.Б. Рівняння в шкільному курсі математики. - М., 1968 .- 196 с.
5) Бурмістрова Т.А. Програми загальноосвітніх установ / / Математика .- М.: Просвещение, 1994.
6) Глейзер Г.І. Історія математики в школі VII - VIII класи. - М., 1982.
7) Колягін Ю.М. Методика викладання математики в середній школі. Приватні методики. - М.: Просвещение, 1977.
8) Лягущенко Є.І. Методика навчання математики в 5 кл. - Мінськ, 1976.
9) Маркушевич Л.А., Черкасов Р.С. Рівняння та нерівності в заключному повторенні курсу алгебри середньої школи / / Математика в школі. - 1994. - № 1. - С.
10) Методика і технологія навчання математики. Курс лекцій: посібник для вузів / під ред. М. Л. Стефанової, Н.С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.
11) Мішин В.І. Методика викладання математики в середній школі. - М., 1990.
12) Оганесян В.А. Методика викладання математики в середній школі. - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.
13) Панкратова Л. Узагальнюючий урок з теми «Квадратні рівняння» у формі гри «Зоряний час» / / Математіка.-2002 .- № 21.
14) Сабініна Л.В. Методика у поняттях і термінах. Ч.1. - М.: Просвещение, 1978. - 320 с.
15) Столяр А.А. Загальна методика викладання математики. - М., 1985.
16) Шаталова С. Урок - практикум на тему «Квадратні рівняння» .- 2004. - № 42