В. Березін
Реальні суцвіття соняшника два сімейства логарифмічних спіралей Спіралі одного сімейства закручуються до центру проти годинникової стрілки, іншого - по ходу. У ботаніці таке поєднання двох сімейств спіралей називають филлотаксисом (у перекладі з грецької слово це означає «пристрій листа»).
Виявляється, числа спіралей в суцвіттях соняшнику наближено дорівнюють двом сусіднім членам так званої послідовності Фібоначчі: 34 і 55 або 89 і 144.
Филлотаксисом соняшнику - одна з багатьох несподіваних зустрічей з послідовністю Фібоначчі. Вперше з нею зіткнувся в минулому столітті французький математик Едуард Люка. Читаючи книгу «Мистецтво абака» знаменитого італійського математика епохи Відродження Леонардо Пізанського, відомого більше на прізвисько Фібоначчі, і вирішуючи одну із завдань Леонардо, Люка склав послідовність 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., в якій
Fn = Fn-1 + Fn-2.
Несподівана зустріч з цією послідовністю відбудеться зараз і у нас. Припустимо, що α2 = 1 - α.
Висловимо значення ступенів α3, α4, α5, ... через 1 = α0 і α:
| α3 = | α · α2 = 2α - 1, |
| α4 = | 2 - 3α, |
| α5 = | 5α - 3, ... |
Ви дізналися в коефіцієнтах послідовність Фібоначчі, починаючи з члена F1? Мабуть, і для будь-якого n можна записати формулу
αn = (-1) n (Fn-1 - Fnα),
де Fn-1 і Fn - члени послідовності Фібоначчі. Доведемо це методом математичної індукції:
| αn +1 = αn · α | = (-1) N (Fn-1α - Fnα2) = (-1) n (Fn-1α - Fn (1 - α)) = |
| = (-1) N (-Fn + (Fn-1 + Fn) α) = (-1) n +1 (Fn - Fn +1 α). |
У рівняння α2 = 1 - α два кореня - позитивний α = (√ 5 - 1) / 2 і негативний α = - (√ 5 + 1) / 2. Як ми переконалися,
| ì | (-1) N α1n = Fn-1 - Fnα1, |
| í | |
| î | (-1) N α2n = Fn-1 - Fnα2. |
Вирішуючи цю систему відносно Fn, отримуємо, що
| Fn = | 1 √ 5 | ( | 1 + √ 5 2 | ) | n | - | ( | 1 - √ 5 2 | ) | n | . |
І цей результат досить несподіваний - послідовність цілочисельна, а загальний її член виражається через квадратні радикали.
Наступну несподіванка отримаємо, якщо обчислимо
| Fn Fn +1 | = | √ 5 - 1 2 | . |
Це знамените «золотий перетин» (про нього див, наприклад, «Квант», 1973, № 8, с.22 і далі). Прямокутний предмет з таким відношенням сторін найбільш приємний для ока.
Існує багато формул, що пов'язують між собою члени послідовності Фібоначчі. Ось деякі з них:
| n | n | |||
| Fn +2 = 1 + | Σ | Fk, F2n = | Σ | F2k-1, |
| k = 1 | k = 1 |
| n | 2n-1 | |||
| F2n +1 = 1 + | Σ | F2k, F2n-2 = -1 + | Σ | (-1) K-1 Fk, |
| k = 1 | k = 1 |
| 2n-1 | ||||||||
| F | 2 2n | = | Σ | FkFk +1, F2n-1 = F | 2 n | + F | 2 n-1 | . |
| k = 1 |
Викладання цієї скромної за розміром статті переслідує кілька цілей. По-перше, «всяке може бути». Можливо, цю публікацію побачить школяр, що вперше почула про числа Фібоначчі і хто хоче дізнатися про них більше. Він зможе тут знайти назви книг для подальшого читання. По-друге, дана стаття згадувалася в іншій, вже викладеною статті про сполучених числах, і я постарався (в міру сил), щоб тим, хто дістався до тамтешнього списку додаткової літератури, не довелося далеко ходити. :) І нарешті, головне: цей файл містить лінк на відеоролик, в якому розповідається і про соняшник, і про прямокутник, «приємний для ока», і про золотий переріз. Загалом, майже відеоверсія даної статті. А те, що закадровий коментар англійською, так це й непогано - зайвий привід повправлятися у мові.