Універсальна тригонометрична підстановка

Контрольна робота
Дисципліна:
«Вища математика»
Тема:
«Універсальна тригонометрична підстановка»

1. Універсальна тригонометрична підстановка
Розглянемо інтегрування виразів повністю залежать від тригонометричних функцій, над якими виконуються лише арифметичні операції. Такі вирази називаються раціональними функціями від тригонометричних функцій і в даному випадку позначаються . Наприклад,
, , .
У той же час функція раціональної не є.
Теорема. Інтеграл виду за допомогою підстановки перетвориться в інтеграл від раціонального дробу.
Для доказу висловимо , і через :
;
;
.

У результаті проведених перетворень , і перетворилися на раціональні дробу від . Підставляючи їх у вихідний інтеграл, отримуємо:
.
У даному виразі раціональні дроби підставлені в раціональну функцію. Так як над ними виконуються лише арифметичні операції, то в результаті виходить також раціональний дріб. Отже, раціональну функцію від тригонометричних функцій можна проінтегрувати, перетворивши її в раціональну дріб.
Підстановка
, , ,
називається універсальної тригонометричної підстановкою.
2. Окремі випадки інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
Розглянута в п. 11 універсальна тригонометрична підстановка дозволяє обчислити будь інтеграл від функції виду . Однак на практиці вона часто призводить до занадто складним раціональним функцій, інтегрування яких становить значні труднощі. Є цілий ряд інтегралів від тригонометричних функцій, які можна обчислити значно простіше.
1. Інтеграли типу зручно обчислювати за допомогою підстановки . Тоді і отримуємо простий інтеграл .
2. Інтеграли типу зручно обчислювати за допомогою підстановки . Тоді і інтеграл приводиться до вигляду .
3. Якщо підінтегральна функція залежить тільки від ( ), То зручна заміна . У цьому випадку і . У результаті отримуємо .
4. Якщо підінтегральна функція є раціональною щодо парних ступенів і , Тобто , То в цьому випадку також зручна заміна . При цьому:
;
;
.
Дана підстановка в цьому випадку дає більш просту раціональну дріб, ніж з використанням універсальної тригонометричної підстановки.
Нехай дано інтеграл , Де і при цьому хоча б одне з цих чисел непарне. Припустимо, що . Тоді

.
Далі робиться заміна , І отримуємо .
6. Нехай дано інтеграл , Де і невід'ємні і парні. Покладемо, що , . Тоді
; .
Дана заміна дозволяє в два рази знизити ступінь тригонометричних функцій. Розкриваючи дужки в інтегралі , Отримуємо знову випадки 5 або 6.
7. Нехай дано , Де і - Парні і хоча б одне з цих чисел негативно. Тоді зручна та ж заміна, що й у випадку 4.
8. У випадку використовується тригонометрична формула

і інтеграл перетворюється в два табличних інтеграла.
9. У випадку використовується тригонометрична формула
.
10. У випадку використовується тригонометрична формула

.
3. Тригонометричні підстановки для інтегралів виду
Розглянемо тригонометричні підстановки для обчислення таких інтегралів, які зводять підінтегральна функція до функції, раціонально залежить від і . Спочатку виконується виділення повного квадрата в тричленні (і відповідної лінійної заміни змінної), в результаті цього інтеграл зводиться, в залежності від знаків і дискриминанта тричлена, до інтегралу одного з наступних трьох видів:
, , .
Наступний крок:
1) раціоналізується підстановкою x = a sin t (або x = a cos t). Заміна змінної у невизначеному інтегралі.
2) раціоналізується підстановкою (Або , Або ).
3) раціоналізується підстановкою x = a tg t (або x = a ctg t, або x = a sh t).
Приклад 1. . Інтеграл виду , З можливих підстановок найбільш зручною виявляється x = ctg t.

,
тому


або
.
Приклад 2.



3. Інтегрування деяких алгебраїчних іррациональностей
Розглянемо тепер інтегрування функцій, що містять радикали. Не від всякої ірраціональної функції інтеграл виражається через елементарні функції. Однак у найбільш простих випадках, коли над радикалами виконуються раціональні дії, це вдається зробити. Необхідно відзначити, що всі такі ірраціональні функції інтегруються за допомогою їх раціоналізації, тобто позбавлення від коренів.
1. Нехай дано інтеграл
,
де , , ..., , . Знайдемо спільний знаменник дробів , ..., . Нехай це число . Зробимо підстановку , . У цьому випадку всі дробові мірою стають цілими і підінтегральна функція стає раціональною щодо .
2. Розглянемо загальний випадок подібних інтегралів:
,
де , , ..., , .
Щоб отримати раціональну функцію, знаходять спільний знаменник дробів , ..., (Позначимо його ) І роблять заміну змінної . У цьому випадку


.
Очевидно, якщо і , То випадок 2 переходить в випадок 1. Крім того, необхідно мати на увазі, що в обох випадках підстави всіх ступенів повинні бути однакові: у першому випадку , У другому - .
4. Інтегрування деяких ірраціональних функцій за допомогою тригонометричних підстановок
Розглянь знову інтеграли, що містять квадратний тричлен:
.
Виділивши повний квадрат під коренем, отримаємо один з трьох інтегралів: , , . Всі вони обчислюються за допомогою тригонометричних підстановок.
1.
.
2.

.
3.
.
У всіх трьох випадках після проведених підстановок інтеграли прийшли до виду, розглянутому в п. 2.
5. Інтеграли, не виражаються через елементарні функції
У п. 1 була сформульована теорема про те, що будь-яка безперервна функція має первісну. Однак необхідно мати на увазі, що не завжди первообразная виражається в кінцевому вигляді через елементарні функції.
До таких інтегралів слід віднести
, , , ,
( ).
У всіх подібних випадках первообразная представляє собою деяку нову функцію, яка не зводиться до комбінації кінцевого числа елементарних функцій.
Наприклад, та з первісних , Яка звертається в нуль при , Називається функцією Гауса і позначається . Ця функція добре вивчена, складені докладні таблиці її значень. Те ж саме можна сказати і про інші подібні функції.

Література
1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасіченко П.І., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К. та ін Алгебра, тригонометрія та елементарні функції. Підручник. М: Вища школа, 2001. - 736 с.
2. Крищенко Олександр, Канатніков Анатолій Аналітична геометрія: Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Вид-во «Академія», 2009. - 208c.
3. Макаричєв Юрій Тригонометрія. Видавництво: ОСВІТА, 2004. - 360 с.
4. Потапов Михайло Завдання з алгебри, тригонометрії та елементарними функціями. Видавництво: ІСПИТ XXI, 2008. - 160 с.
5. Тоом А., Гельфанд І., Львівський С. Тригонометрія. МЦМНО, 2003. - 200 с.
6. Шах-мейстер А.Х. ТРИГОНОМЕТРІЯ 1-е вид. МДУ, 2006. - 672 с.