Узагальнений принцип найменшої дії

канд. біол. наук М. П. Іванов, д-р техн. наук В. В. Кашино

ФНІІ ім.А.А.Ухтомского, СПбДУ

Введено континуально багатозначні функції, що дозволяють адекватно описувати фізичні задачі. Показано їх відмінність від розривних функцій. Сформульована і вирішена варіаційна задача для функціоналів з розривним інтегрантів, що залежать від лінійних інтегральних операторів, що діють на шукану оптимізується функція, причому ядро ​​оператора і оптимізується функція можуть бути континуально безперервними. За допомогою таких операторів можна адекватно описувати розподілені частки.

Добре відомий у фізиці принцип найменшої дії [1] заснований на класичному варіаційному численні, коли функціонал залежить від екстремал і її похідних, застосовується лише для нейтральних частинок. У замітці [2] показано, що для заряду прискорення запізнюється по відношенню до обурює силі за рахунок Лоренцева сил тертя, тобто для заряду існує деяка перехідна імпульсна характеристика, а рух заряду можна описати інтегральним оператором. Тому для зарядів, коли не можна зв'язати значення прискорення в даний момент із значенням обурення в той же (або інший) момент, принцип найменшої дії непридатний. Для таких завдань потрібно інший математичний апарат. Узагальнений принцип найменшої дії заснований на методах узагальненого варіаційного числення. Розглянемо його.

1. Континуально багатозначні функції

Останнім часом негладкі, розривні і сингулярні функції стали привертати увагу [3-5]. Побудовано приклад безперервно диференційовною розривної функції на просторі D - нескінченно диференційовних фінітних функцій [4]. При вирішенні варіаційних задач екстремалами іноді виявляються негладкі, т.зв. розривні або сингулярні функції [3, 5]. Однак поняття розривності функцій у точках розриву) не завжди відповідає фізичним і математичним об'єктам - безперервним кривим, які вони фактично описують.

Розглянемо криву - прямокутний імпульс (рис. 1), певний і безперервний на всій осі абсцис. Подібні об'єкти можна уявити не тільки математично: наприклад, так можна уявити розкладену на плоскій поверхні мотузку. Але якщо про пряму b ми говоримо, що вона існує, і пишемо при , То про точки x = 0 і x = 1 говориться, що в них функція терпить розрив першого роду, а прямих a і c як би немає, хоча мотузка фізичних розривів не має.

Рис.1. Безперервна крива - прямокутний імпульс

Мабуть, пояснюється це тим, що розгляду багатозначних функцій традиційно намагаються уникати. У нашому ж випадку точкам x = 0 і x = 1 відповідають замкнуті відрізки [0,1], паралельні осі ординат, тобто одній точці на осі абсцис відповідає безліч точок на осі ординат, що має потужність континууму. Виходить не просто багатозначність, а багатозначність потужності континууму.

Розглянемо характерний приклад - першу введену у фізиці розривну функцію - функцію Хевісайда, яка визначається [6-8] як межа послідовностей безперервних функцій, що мають всі похідні. Тому графік граничної функції начебто має бути безперервним. Цьому суперечить визначення функції Хевісайда, дане, наприклад, у монографіях [6-8],

(1.1)

Введемо уточнене визначення функції включення, відповідне граничного переходу в еквівалентних послідовностях [6] безперервних функцій, що має безперервний графік,

(1.2)

Якщо функцію включення (1.2) можна представити у вигляді безперервної мотузки, розкладеної на плоскій поверхні, то функція Хевісайда представляється тієї ж мотузкою, з якої вирізаний шматок (сегмент [0,1]) в точці x = 0. Обидві функції мають рівні односторонні межі, але різні графіки при x = 0 і випливають з цієї властивості.

На перший погляд, визначення (1.2) незвичне, але фактично воно не нове. Коли говорять про значення певного інтеграла від позитивної підінтегральної функції, то мають на увазі, що він "дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком підінтегральної функції, віссю абсцис і прямими, паралельними осі ординат, побудованими на кінцях відрізка інтегрування" [8].

Оскільки певний інтеграл в кінцевих межах від a до b завжди можна виразити за допомогою зсунутих функцій включення H (x) через інтеграл з нескінченними межами

(1.3)

то функції включення (1.2) як раз і описують "прямі, паралельні осі ординат", чого не скажеш про функції Хевісайда (1.1).

Зауваження. З формули (1.3) випливає, що всі інтегровані функції фактично визначені на всій осі абсцис, що дозволяє, володіючи методикою рішення розривних екстремальних завдань, наприклад, наведеної у монографії [5], легко вирішувати їх, коли екстремум не внутрішній, а досягається на кордоні замкнутого відрізка [a, b].

Використовуючи визначення функції включення (1.2), функцію, зображену на рис.1, - прямокутний імпульс - можна записати:

Запропоноване несуперечливе визначення безперервної функції включення дозволяє адекватно описувати безперервні криві в точках математичної розривності. Сам термін "розривна функція" обраний трохи невдало. Фактично ми маємо справу з безперервними функціями, що володіють багатозначністю потужності континууму. Дійсно розривними є функції типу функції Хевісайда (1.1), але фактично, коли йдеться про "розривних функціях", в більшості випадків маються на увазі функції виду (1.2).

Цікаво відзначити, що популярні пакети комп'ютерних програм для вирішення прикладних завдань і побудови графіків EUREKA та MATHEMATICS дають графічне зображення функції включення, записаної як H (x) = (1 + sgn (x)) / 2, саме у вигляді формули (1.2). У монографії [5] в графіках також використовується безперервна функція включення (1.2), хоча це визначення й не наводиться.

Наочне уявлення d-функції у вигляді звичайної функції в математичній літературі заперечується, тому при вирішенні екстремальних негладких і розривних завдань поняття d-функції не використовується [3, 5]. Для аналітичного рішення екстремальних задач потрібне уточнення визначення в d-функції.

Для уточнення визначення введеної Діраком сингулярної функції - d-функції введемо d-образну еквівалентну послідовність [6, 9] через функції включення (1.2)

(1.4)

При будь-якому значенні a існує інтеграл

і межа формули (1.4) при a-0 є d-функцією, тобто

(1.5)

Так певна (1.4) - (1.5) d-функція є межею безперервного графіка прямокутного імпульсу висотою 1/2a і шириною 2a. При a-0 висота "стінок" прямокутного імпульсу необмежено зростає, а ширина імпульсу прагне до 0. У межі "стінки" "злипаються" в один промінь - d-функцію, розташовану на початку координат.

При проходженні функції в da (x) за напрямом кривої від до "Стінки" прямокутного імпульсу проходять в протилежних напрямках, тому d-функція (що складається з двох "злиплих" "стінок") одночасно спрямована в протилежних напрямках. (Одну криву, яку проходять в різних напрямках, вважають різними кривими [8]).

Певна вище d-функція має наочне уявлення у вигляді променя - позитивної півосі ординат. Маючи нескінченну висоту і нульову ширину, d-функція обмежує одиничну площу (невизначеність типу ) І має подвійний спрямованістю.

Слід зазначити, що в наведеному визначенні d-функція не розглядається як "рівна нулю при всіх і звертається в точці x = 0 в нескінченність "[8]. Тепер d-функція розглядається як промінь - лінійне безліч, що має потужність континууму.

Оскільки уточнене визначення d-функції не зачіпає її визначення як функціоналу на просторі D, всі властивості d-функції, що розглядається як сингулярна узагальнена функція, зберігаються.

Похідна d-функції має наочне уявлення у вигляді осі ординат, має подвійний спрямованістю в кожній з півплощини y <0 і y> 0 і перетинає вісь абсцис (все це в одній точці x = 0).

Далі всі похідні розуміються в узагальненому сенсі [6-9], тобто у вигляді згортки з похідними сингулярної d-функції.

Теорія узагальнених функцій і розроблена техніка обчислень їх похідних [6-9] дозволяють поширити необхідні умови екстремуму на континуально багатозначні (так звані розривні) функції багатьох дійсних змінних.

2. Варіаційні задачі з розривним інтегрантів

Багато прикладні оптимізаційні задачі зводяться до пошуку екстремумів інтегральних функціоналів з розривним інтегрантів. Тут "розривної" розуміється так: не обов'язково розривної. Зазвичай, в тому числі і в монографіях [3, 5], оптимізаційні задачі розглядаються для функціоналів, що залежать від операторів диференціювання. У роботах [10, 11] розглядаються функціонали, які залежать від інтегральних операторів, що істотно розширює коло розв'язуваних завдань.

Будемо вирішувати варіаційну задачу для функціоналів з розривним інтегрантів, що залежать від лінійних інтегральних операторів

(2.1)

де h (t) - екстремали, щодо якої припускаємо, що .

Функціонал якості I може залежати від декількох операторів

(2.2)

де F [T] - інтегрантів, що визначає зв'язок (композицію) операторів F i у функціоналі I. Інтегрантів F [T] може бути безперервним, гладким, негладких і навіть континуально багатозначним або розривним.

Оптимізації методами негладко аналізу присвячена монографія Френка Кларка [3], але методику Кларка застосувати до функціоналом, що залежить від інтегральних операторів, можна, як можна її застосовувати і для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантів. Крім того, екстремал у Кларка передбачаються абсолютно безперервними. Все це дещо звужує сферу застосування негладкої оптимізації Кларка - теорії, яка увібрала в себе досягнення його попередників, на кoторого він посилається в своїй монографії. Оскільки оптимізується функціонал залежить від інтегральних операторів, метод, використаний в монографії [5], непридатний теж. У той же час для вирішення сформульованої задачі досить методів варіаційного числення, теорії узагальнених функцій та теореми Фубіні [8], тому будемо чинити так.

Негладких, континуально багатозначний або розривної інтегрантів можна представити за допомогою функції включення H (x) (1.2) або її похідних, тобто d-функції (1.5) і її похідних, використовуючи їх властивості, що фільтрують. При варіюванні функціонала I всі похідні будемо розуміти в узагальненому сенсі

.

Зауважимо, що цей інтеграл тепер має математичний і фізичний змив, а не є "просто символом", як при класичному визначенні d-функції.

За загальним правилом [9-12] введемо однопараметричне сімейство кривих , Де dh (t)-довільна функція з Lp [a, b], a - малий параметр. Підставляючи в оператори (2.1), а оператори (2.1) у функціонал (2.2) і диференціюючи I по a, отримаємо варіацію функціонала d I і прирівняємо її нулю:

(2.3)

Тепер, щоб отримати необхідну умову екстремуму, треба виключити довільну функцію з варіації функціоналу d I. У класичному варіаційному численні це робиться за допомогою інтегрування по частинах, яке в даному випадку не застосовується. Вважаючи, що до варіації d I застосовна теорема Фубіні [8], однією з умов застосовності якої може бути сумовністю творів

змінимо у формулі (2.3) порядок інтегрування [10, 11]

(2.4)

Використовуючи основну лему варіаційного числення в формулюванні Л. Янга [7], отримаємо аналог рівняння Ейлера для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантів, що залежать від лінійних інтегральних операторів, що діють на екстремали,

(2.5)

Слідство. Якщо скористатися фільтруючим властивістю d-функції і її похідних, і позначити ядра операторів (2.1) через Ki (x, t) = d (i) (xt), то рівняння (2.5) набуде вигляду рівняння Ейлера

(2.6)

найпростішої варіаційної задачі [12], але для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантів

(2.7)

залежать від шуканої функції h (t) та її похідних h (i) (t).

Приклад. Завдання Дідони з канавою. У розпорядженні царівни є мотузка заданої довжини L, якої слід обмежити ділянка узбережжя, причому берегова риса представляється лінією x = 0 на площині Оtx (Рис.2). При цьому треба знайти криву довжини L, що лежить у півплощині , Що сполучає точки (-1,0) і (1,0), таку що площа між кривою і віссю t максимальна.

Прагнучи мати для прикладу негладких інтегрантів, Кларк модифікував [3, с.178] завдання Дідони наступним чином. Він вважає, що для деякого a> 0 земля в області x> a гіршої якості і дохід з неї становить лише половину доходу з землі в області x <a.

Рис.2. Ділянка Дідони з канавою

Дохід Д з обгородженого ділянки, обмеженої кривою x (t), дорівнює

(П.1)

де gn [x (t)] = {x (t), якщо ; (X + a) / 2, якщо }. Слід максимізувати значення доходу Д (інтеграла (П.1)) при наявності обмежень

(П.2)

. (П.3)

Далі Кларк використовує методи негладко аналізу для вирішення модифікованої завдання Дідони. Застосування цих методів обмежується негладкі інтегрантів і абсолютно безперервними екстремалами.

Для часткової ілюстрації можливостей запропонованого нами методу розв'язання задач з розривним інтегрантів будемо вважати, що ділянка Дідони паралельно берегової лінії перетинає канава шириною b-a. Один берег канави проходить по лінії x (t) = a., А інший - по лінії x (t) = b. Ділянка канави, обмежений берегами і мотузкою (рис.2), ніякого доходу не приносить, і інтегрантів виглядає так:

(П.4)

Мотузка обмежує канаву, перетинаючи її, але розірвати мотузку Дідона не може, тому изопериметрической умова (П.3) залишається в силі. Потрібно максимізувати дохід з ділянки, розташованої по берегах канави, обмеженого береговою лінією і мотузкою.

Уявімо g [x (t)] за допомогою одиничної функції включення (1.2) у вигляді

У рівняння Ейлера найпростішої варіаційної задачі (2.6) входять похідні інтегрантів по x та по . Обчислимо цю похідну

Виробляючи скорочення і враховуючи властивості d-функції [7], знаходимо

або

(П.5)

З урахуванням изопериметрической умови (П.3), отримаємо диференціальне рівняння для екстремала

(П.6)

де l - невизначений поки множник Лагранжа [7].

Рівняння (П.6) при і обмеження (П.2) має інтегралом окружність

(П.7)

де C = | (l 2 / a2-1) 1 / 2, симетрично розташовану щодо осі Оx (рис.2). Висловимо довжину мотузки Дідони через параметри задачі a, b, g і невідомий коефіцієнт l.

У горизонтальній смузі 0 <x <a і центр відповідної кола розташовується нижче осі Оt (інакше інтегральні дуги опиняться поза вертикальної смуги -1 <t <1), звідки для довжини дуги отримаємо

(П.8)

При x> b і при знаходженні максимуму функціонала (П.1) у разі g> 1 (або g <1) центр кола, що містить інтегральну дугу , Буде розташований вище (або нижче) осі Оt. Для довжини дуги отримаємо

(П.9)

У смузі a <x <b та інтегральна лінія має вигляд відрізків прямої , Що з'єднує кінці дуг і з кінцями дуги . При різних значеннях параметра g може бути різна орієнтування цих відрізків. Зокрема, вони можуть бути паралельні осі Оy ( ) Або нахилені. Довжина відрізка визначається виразом

або

Зауважимо, що при a = b і лише при g = 1, тобто вимоги "стикування" або навіть "парування" дуг і , Накладені в [3] при , Не випливають з умови задачі, не дивлячись на нерозривність мотузки.

Остаточно отримаємо

або (П.10)

При a = b отримуємо

При a = b і a = 1 виходить довжина дуги в класичній задачі [12] Дідони

Або

(П.11)

3. Варіаційна задача пошуку оптимального оператора

Крім наведеної в розділі 2 постановки варіаційної задачі, сформулюємо завдання пошуку ядра оптимального оператора F i, чинного на задані функції Si, і доставляє екстремум функціоналу з розривним інтегрантів F. Такі завдання можуть, наприклад зустрічатися при знаходженні розподілу щільності заряду у частці.

Нехай існує функціонал I з розривним інтегрантів F

(3.1)

У разі кінцевих меж інтегрування в (3.1) функціонал I завжди можна виразити через інтеграл з нескінченними межами за допомогою функції (1.2) включення H (x). У формулі (3.1) символами F i (x) позначені лінійні інтегральні оператори

(3.2)

з шуканим ядром K (x, t), що діють на задані функції , .

Приватні рішення

Встановимо цікава властивість безлічі екстремальний. Для цього представимо ядро ​​у вигляді добутку

(3.3)

де , - Вибрана з деякого безлічі довільна функція, на яку множаться вхідні процеси Si (t); , - Різницеве ​​ядро, яке потрібно знайти з умови екстремуму функціонала I. Підставивши (3.3) в (3.2), отримаємо

(3.4)

Використовуємо властивість згортки і наведемо оператор (3.4) до виду

(3.5)

Приватна оптимізаційна задача для функціоналу (3.1), що залежить від лінійного інтегрального оператора з ядром (3.3), звелася до задачі для функціоналу (3.1), що залежить від інтегральних операторів (3.5) з різницевими ядрами Ki (x, t) = Si (xt) r (xt). Вирішення цієї задачі отримано в розділі 2. Приватним необхідною умовою екстремуму функціонала I на основі розділу 2 є рівняння

(3.6)

Оскільки функції Si (xt) задані з умов завдання, а функція r (xt) вибирається довільно, то кожній з обраних r (xt) відповідає оптимальна h (t), тобто навіть при поданні ядра K (x, t) у вигляді твору (3.3) єдиного рішення сформульованої завдання не існує.

Ніяких обмежень на безперервність ядер K (x, t) при виведенні приватних необхідних умов екстремуму не накладалися, тому й функції r (xt), і функції h (t) можуть бути розривними або d-функцією та її похідними. Отже, на підставі теореми [13] про потужність безлічі функцій дійсної змінної можна зробити висновок про те, що безлічі приватних і, тим більше, загальних необхідних умов екстремуму мають потужність більше потужності континууму.

У зв'язку з тим, що завдання (3.1), (3.2) рахункового безлічі рішень не має, рішенням в даному випадку можна назвати конструктивне опис підмножини функцій K (x, t), що доставляють екстремум функціоналу I, причому потужність множини K більше потужності континууму.

Загальна задача

Розглянемо загальну задачу (3.1), (3.2). Будемо її вирішувати як варіаційну. Для цього введемо однопараметричне сімейство кривих - функцій двох змінних K (x, t) = K (x, t) + ad K (x, t), де d K (x, t) - довільна функція двох змінних, a - малий параметр K (x, t) замість K (x, t) в оператори (3.2), оператори (3.2) у функціонал (3.1), диференціюючи (3.1) по параметру a, отримаємо варіацію d I

(3.7)

Вважаючи, що до варіації (3.7) застосовна теорема Фубіні, змінимо порядок інтегрування і підсумовування і покладемо варіацію dI рівною нулю

(3.8)

Застосовуючи до варіації (3.8) основну лему варіаційного числення в формулюванні Л. Янга [7], отримаємо необхідна умова екстремуму функціонала (3.1), що залежить від оператора (3.2),

(3.9)

Якщо інтегрантів функціоналу (3.1) не є лінійним, приватні похідні інтегрантів завжди містять сам оператор (3.2), а рівняння (3.9) є нелінійним двовимірним інтегральним рівнянням, коли шукана функція K (x, t) двох незалежних змінних входить під знак інтеграла. Властивості рівнянь типу (3.9) поки досліджені мало. Тільки якщо функціонал I - квадратичний, рівняння (3.9) - лінійне двовимірне інтегральне рівняння, деякі властивості яких зведені в монографії [11].

Список літератури

[1] Фейнмановские лекції з фізики, Том 6, М.: Світ, 1977.

[2] КашіновВ.В. Фізична думка Росії, N 1 / 2, (1999), с.127.

[3] КларкФ. Оптимізація і негладких аналіз: Пер. з англ. / Под ред. В. І. Благодатскіх, М.: Наука, 1988.

[4] СмоляноваМ.О. Безперервно дифференцируемая розривна функція на просторі D / / Известия РАН. Серія математична. Том 59.5, (1995), с.197-202.

[5] БатухтінВ.Д., МайбородаЛ.А. Розривні екстремальні завдання, СПб.: Гіппократ, 1995.

[6] АнтосікП., МікусінскійЯ., СікорскійР. Теорія узагальнених функцій (Секвенціальние підхід). - М.: Світ, 1976.

[7] ЯнгЛ. Лекції з варіаційного числення і оптимального керування. - М.: Світ, 1974.

[8] КолмогоровА.Н., ФомінС.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. - М.: Наука, 1981.

[9] МишкісА.Д. Лекції з вищої математики. - М.: Наука, 1973. с.186-188.

[10] КашіновВ.В. Необхідні умови оптимальності в деяких завданнях управління та фільтрації / / Кибернетика. 6, 1972, с.148-149.

[11] ПахолковГ.А., КашіновВ.В., ПономаренкоБ.В. Варіаційний метод синтезу сигналів і фільтрів. - М.: Радіо і зв'язок, 1981.

[12] КрасновМ.Л., МакаренкоГ.І., КіселевА.І. Варіаційне числення. - М.: Наука, 1973.

[13] МакаровІ.П. Додаткові глави математичного аналізу. - М.: Просвещение, 1968.