Числова послідовність - це функція, задана на безлічі натуральних чисел і приймаюча дискретні значення (не безперервні). {Y n} - обмежена, якщо існує таке M (M> 0), що для всякого n виконується нер-во: - M <= yn <= M. {Y n} - зростаюча, якщо для всіх n: y n +1> = y n. Послідовність монотонна якщо вона строго зростає або убуває.
Число А називається межею {y n} при n прагне до нескінченності, якщо для всякого Е> 0, як завгодно малого, існує такий номер N, що залежить від Е (N = N (E)), що для всіх n> N буде виконуватися нер-во | y n-A | <= E. Достатня умова: Якщо {y n} зростає (зменшується) і обмежена зверху (знизу), то послідовність має межу.
Число А називається межею f (x) при x, що прагне до x 0, якщо для всякого як завгодно малого числа Е існує б = б (Е)> 0, що виконується нер-во: | f (x)-A | <= E, для всякого х належить: х 0-б <= x <= x 0 + б. f (x) - нескінченно мала, якщо lim f (x) = 0, при х прагне до х 0. f (x) - нескінченно велика, якщо lim f (x) = нескінченності, при х прагне до х 0. f (x) - обмежена в даному інтервалі, якщо існує таке число М (М> 0), що при всіх значеннях х, що належать цьому інтервалу, виконується | f (x) | <= M. Функція називається обмеженою при х прагне до х 0, якщо в деякій околиці х 0 вона обмежена.
Нехай l, b - б.м. в деякому процесі і lim l / b = C 1) C не дорівнює 0 і нескінченності => l, b - одного порядку малості. 2) З = 0 => l - більш високого порядку малості. 3) С = нескінченності => b - більш високого порядку малості. Сума двох, трьох і взагалі кінцевого числа б.м. величин є величина б.м. Твір б.м. на обмежену функцію є б.м. Частка від ділення б.м. на функцію, межа якої відмінний від 0, є величина б.м.
Межа суми двох доданків = сумі меж цих складових. Межа твори двох множників = твору меж цих множників. Межа приватного = приватному від розподілу меж, якщо тільки межа знаменника не 0.
Якщо функція має межу, то її можна представити як сукупність постійної, рівної її межі і б.м. величини. Якщо функцію можна представити як сукупність постійної і б.м. величини, то постійний доданок є межа функції. Нехай є f (x) і g (x) і існують їх межі при х прагне до х0, рівні відповідно А і В, і f (x)> g (x) в околиці х 0 => A> = B => lim f (x)> = lim g (x).
Якщо значення f (x) укладені між відповідними значеннями F (x) і Ф (х), що прагнуть до одного і того ж межі А (при х прагне до х 0), то f (x) при х прагне до х0 також має межу = А. Перший чудовий межа: lim sinx / x = 1 при х прагне до 0.
Другий чудовий межа: lim (1 +1 / n) n = e, при х прагне до нескінченності. е = 2,718 ...
Функція y = f (x) називається безперервної в точці х 0, якщо ця функція визначена в який-небудь околиці точки х 0 і якщо lim дельта y = 0, при дельта х прагне до нуля. Дельта у = f (x + x 0)-f (x 0).
Нехай f (x) і g (x) неперервні в точці а, тоді їх сума (твір) (приватне, якщо g (a) не = 0) теж неперервні в точці а.
Складна функція - функція від функції. Складна функція, що складається з простих безупинна, якщо безупинні всі прості функції. Функція неперервна в замкнутому інтервалі, хоча б в одній точці інтервалу приймає найбільше значення і хоча б в одній найменше. Функція, безперервна у замкненому інтервалі і приймаюча на кінцях цього інтервалу значення різних знаків, хоча б один раз звертається в нуль всередині інтервалу.
Якщо в будь-якій точці х 0 функція не є безперервною, то точка х 0 називається точкою розриву. Нехай х прагнути до х 0, залишаючись весь час ліворуч від х 0, тобто будучи менше х 0, і якщо за цієї умови значення функції f (x) прагне до межі, то він називається лівим межею (правий аналогічно). Точкою розриву 1-го роду f (x) називається така точка х 0, в якій f (x) має лівий і правий межі, не рівні між собою. (Всі інші точки розриву-2-го роду).
Похідною даної функції називається границя відношення приросту функції до приросту незалежної змінної при довільному прагнення цього приросту до нуля: f '(x) = lim (f (x + дельта x)-f (x)) / дельта х, при х прагне до 0. Похідна характеризує швидкість зміни якої-небудь величини. Значення f '(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f (x) в точці з абсцисою х 0.
Похідна суми кінцевого числа функцій = сумі похідних доданків. Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів похідної першого функції на 2-у і похідної другого на 1-у. Похідна приватного 2-х функцій = дробу, знаменник якого = квадрату дільника, а чисельник - різниці між похідною діленого на дільник і твором діленого на похідну дільника.
Похідна складної функції дорівнює похідної заданої функції з проміжного аргументу, помножений на похідну цього аргументу з незалежної змінної. Завдання функціональної залежності між двома змінними, яке у тому, що обидві змінні визначаються кожна окремо як функція однієї і тієї ж допоміжної змінної, називається параметричним.
Диференціал функції називається величина, пропорційна нескінченно малому приросту аргументу дельта х і що відрізняється від відповідного приросту функції на нескінченно малу величину більш високого порядку ніж дельта х (dy = f '(x) dx). Диференціал dy функції y = f (x) в точці х зображується приростом ординати точки дотичній, проведеної до лінії y = f (x) у відповідній її точці (x, f (x)). Диференціал функції y = f (u) зберігає одне і теж вираз незалежно від того, чи є аргумент u незалежної змінної або функцією від незалежної змінної.
Дотичної до графіка f (x) в точці називається граничне положення прямої, що проходить через дану точку, коли ця точка прагнути злитися з графіком f (x). Якщо значення похідної від функції y = f (x) при х = х 0 одно f (x0), то пряма, проведена через дану точку з кутовим коефіцієнтом, рівним f '(x), є дотичною до графіка функції в даній точці. ( yy 0 = f '(x 0) (xx 0)). Нормаллю до лінії її даній точці називається пряма перпендикулярна дотичній. (Yy 0 =- 1 / f '(x 0) (xx 0)).
Функція y = f (x) називається не диференціюється в точці х, якщо вона не має в цій точці диференціал.
Нехай f (x) неперервна на замкнутому інтервалі [a, b] і дифференцируема у всіх його точках і на кінцях відрізка вона приймає значення f (a) = f (b), тоді існує така точка С, що a <C <b і f '(C) = 0. На лінії f (x), де f (x) задовольняє умовам теореми Ролля знайдеться точка дотична в якій | | Ox.
Якщо f (x) неперервна в замкнутому інтервалі [a, b] і дифференцируема у всіх його точках, то в цьому інтервалі існує хоча б одне значення х = с для якого: f (a)-f (b) / ba = f '(c). Якщо виконуються умови Теореми Лагранжа, то дотична в цій точці буде | | хорді зв'язує точки інтервалу.
Т. Коші: нехай f (x) неперервна на [a, b] і дифференцируема на (а, b); g (x) - задовольняє тим же умовам і g '(x) не = 0 для всіх х на цьому проміжку, тоді існує точка С належить (a, b), що f (b)-f (a) / g (b)-g (a) = f '(c) / g' (c). Т. Лапіталя: Нехай функції f (x) і g (x) при х прагне а (або до нескінченності) спільно прагнуть до 0 або нескінченності. Якщо відношення їх похідних має межу, то ставлення самих функцій так само імее межа = відношенню проізодних.
Т. Тейлора: Якщо f (x) має в замкнутому проміжку (a, b) похідними до n +1- го порядку включно, то f (b) = f (a) + f '(a) / 1! * (Ba ) + f''(a) / 2! * (ba) 2 + ... + f (n) (a) / n! * (ba) n + f (n +1) (c) / (n +1) ! (ba) n +1, де с - деяке число лежить між а і b. Rn = f n +1 (c) / (n +1)! * (ba) n +1 - залишковий член у формі Тейлора.
Формула Маклорена - формула Тейлора при а = 0. F (x) = f (0) + f '(0) / 1! * X + ... + f n (0) / n! * x n + f (n +1) (C) / (n +1)! * x n +1.
Необхідна умова: Якщо f (x) в інтервалі зростає (зменшується), то її похідна f '(x)> = 0 (f' (x) <= 0). Достатня умова: Якщо f '(x) від f (x ) всюди на інтервалі позитивна (негативна), f (x) в цьому інтервалі зростає (зменшується).
Точка х = х 0 називається глобальним мінімумом (максимумом) f (x) на множині m, якщо для всіх х, що належать m f (x)> f (x 0) (f (x) <f (x 0)). Точка х = х0 називається локальним мінімумом функції f (x) якщо існує б-околиця точки х 0, що для всіх х крім х 0 з цієї околиці буде виконано f (x 0 + дельта х)> x 0. Необхідна умова: нехай функція f (x) диференційована в точці х 0 і її околиці тоді f '(x) = 0.
Достатня умова (1-го порядку): Точка х 0 є точкою екстремуму функції f (x), якщо похідна f (x) при переході через х х 0 змінює знак.
Точки, де перша похідна звертається в 0 називають стаціонарними точками. Достатня умова 2-го порядку: нехай точка х 0 - стаціонарне й існує f''(x 0) - безупинна, тоді якщо f''(x 0)> 0 => x 0 - точка мінімуму. (F''(x 0)> 0 => x 0 - точка максимуму.
Дуга називається опуклою, якщо вона перетинається з будь-якою своєю січною не більше ніж у двох точках. Точкою перегину називається така точка лінії, яка відокремлює опуклу дугу від увігнутою. Якщо х 0 - абсциса точки перегину, то або f''(x 0) = 0, або не існує.
Якщо f''(x) всюди в інтервалі негативна (позитивна), то дуга лінії y = f (x), відповідна цьому інтервалу, опукла (увігнута).
Пряма лінія називається асимптотой графіка функції, якщо відстань точки графіка від нашої прямої прямує до нуля при необмеженому видаленні цієї точки від початку координат. Вертикальні асимптоти: якщо lim f (x) = нескінченності при х прагне до х 0, то лінія y = f (x) має асимптоти х = х 0. Похилі асимптоти: Якщо f (x) / x при х прагне до нескінченності прагнути до кінцевого межі а і якщо f (x)-ax при х прагне до нескінченності прагнути до кінцевого межі b, то лінія y = f (x) має асимптоту y = ax + b.