Теорія ідеальних оптичних систем параксіального або гауссова оптика

Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
кафедра ЕТТ
РЕФЕРАТ на тему:
«Теорія ідеальних оптичних систем (параксіального або гауссова оптика)»
МІНСЬК, 2008

У параксіального області (нескінченно близько до оптичної осі), будь-яка реальна система веде себе як ідеальна:

Кожній точці простору предметів можна поставити у відповідність пов'язану їй точку в просторі зображень.
Кожна пряма лінія має пов'язану їй пряму лінію у просторі зображень.
Кожна площина простору предметів має пов'язану їй площину в просторі зображень. З цих положень випливає, що:
Меридіональна площину має пов'язану їй меридіональну площину в просторі зображень.
Площина в просторі предметів, перпендикулярна оптичній осі, має пов'язану їй площину, перпендикулярну оптичної осі в просторі зображень.

Лінійне, кутове, поздовжнє збільшення

Лінійне (поперечне) збільшення

Лінійне збільшення оптичної системи - це відношення лінійного розміру зображення в напрямку, перпендикулярному оптичній осі, до відповідного розміру предмета в напрямку перпендикулярному оптичній осі (рис.1):
. (1)
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

y '

площину предметів

площину зображень

Малюнок 1 - Парні лінійні величини
Якщо β> 0, то відрізки y і y направлені в один бік, якщо β <1, то відрізки y і y спрямовані в різні сторони, тобто відбувається обертання зображення.
Якщо │ β │> 1, то величина зображення більше величини предмета, якщо │ β │ <1, то величина зображення менше величини предмета.
Для ідеальної оптичної системи лінійне збільшення для будь-якої величини предмета та зображення в одних і тих же площинах одне і те ж. Кутове збільшення
Відносна збільшення оптичної системи - це відношення тангенса кута між променем і оптичної віссю в просторі зображень до тангенсу кута між зв'язаним з ним променем у просторі предметів і віссю (рис.2):
. (2)
SHAPE \ * MERGEFORMAT

-A

a '

Малюнок 2 - Парні кутові величини
У параксіального області кути малі, і отже, кутове збільшення - це відношення будь-яких з наступних кутових величин:
. (3)

Поздовжнє збільшення
Поздовжнє збільшення оптичної системи - це відношення нескінченно малого відрізка, взятого вздовж оптичної осі в просторі зображень, до спряженого з ним відрізку в просторі предметів (рис.3):
. (4)
SHAPE \ * MERGEFORMAT

l l

Малюнок 3 - Парні поздовжні відрізки

Кардинальні точки і відрізки

Розглянемо площини в просторі предметів і пов'язані їм площини в просторі зображень. Знайдемо пару площин, в яких лінійне збільшення дорівнює одиниці. У загальному випадку така пара площин існує, причому тільки одна (винятком є ​​афокальних або телескопічні системи, для яких такі площини можуть не існувати або їх може бути нескінченна безліч).
Головними площинами системи називається пара сполучених площин, в яких лінійне збільшення дорівнює одиниці (β = 1).
Головні точки H і H - це точки перетину головних площин з оптичною віссю.
Розглянемо випадок, коли лінійне збільшення дорівнює нулю, або нескінченності. Відсунемо площину предметів нескінченно далеко від оптичної системи. Сполучена їй площину називається задній фокальній площиною, а точка перетину цієї площини з оптичною віссю - задній фокус F (рис. 4).
SHAPE \ * MERGEFORMAT

F

1 2

H

H '

1

2

F '

- S F

S F

-

f

f

Малюнок 4 - Кардинальні точки і відрізки
Відстань від задньої головної точки до заднього фокусу називається заднім фокусною відстанню f.
Відстань від останньої поверхні до заднього фокусу називається заднім фокальним відрізком .
Передній фокус F - це точка на оптичній осі в просторі предметів, сполучена з нескінченно віддаленою точкою, розташованої на оптичній осі в просторі зображень.
Якщо промені виходять з переднього фокусу, то вони йдуть в просторі зображень паралельно.
Переднє фокусна відстань f - це відстань від передньої головної точки до переднього фокусу.
Передній фокальний відрізок - Це відстань від першої поверхні до переднього фокусу.
Якщо , То система називається збирає або позитивною. Якщо , То система розсіююча або негативна.
Переднє і заднє фокусні відстані не є абсолютно незалежними, вони пов'язані між собою співвідношенням:
. (5)
Вираз (5) можна переписати у вигляді:
, (6)
де - Приведений або еквівалентна фокусна відстань.
У тому випадку, якщо оптична система перебуває в однорідному середовищі (наприклад, в повітрі) , Отже, переднє і заднє фокусні відстані рівні за абсолютною величиною .
Оптична сила оптичної системи:
. (7)
Чим більше оптична сила, тим сильніше оптична система змінює хід променів. Якщо то .

Побудова зображень

Знайдемо зображення A точки A. Для цього необхідно побудувати хоча б два допоміжних променя, на перетині яких і буде знаходитися точка A (мал. 5). Допоміжний промінь 1 можна провести через точку A паралельно оптичної осі. Тоді в просторі зображень промінь 1 пройде через задній фокус оптичної системи. Допоміжний промінь 2 можна провести через точку А і передній фокус оптичної системи. Тоді в просторі зображень промінь 2 піде паралельно оптичної осі. На перетині променів 1 і 2 буде знаходитися зображення точки A. Тепер у точці A перетинаються всі промені (1-2-3), що виходять з точки A.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

H        H

A

2

1

3

F

K 1 K 3 K 2

K 1 K 3 K 2

3 ' 2 '

1 '

F '

A

Малюнок 5 - Побудова зображення точки
Побудуємо тепер хід променя r (рис.6).
1 спосіб. Можна побудувати допоміжний промінь, паралельний даному і проходить через передній фокус (промінь 1). У просторі зображень промінь 1 буде йти паралельно оптичної осі. Так як промені r і 1 паралельні у площині предметів, то в просторі зображень вони повинні перетинатися в задній фокальній площині. Отже, промінь r пройде через точку перетину променя 1 і задній фокальній площині.
2 спосіб. Можна побудувати допоміжний промінь, що йде паралельно оптичної осі і проходить через точку перетину променя r і передній фокальній площині (промінь 2). Відповідний йому промінь у просторі зображень (промінь 2) буде проходити через задній фокус. Так як промені r і 2 перетинаються в передній фокальній площині, в просторі зображень вони повинні бути паралельними. Отже, промінь r піде паралельно променю 2.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

r

2

n                              H H

r 1 ' 2 '

A

n y

-W

-W

F

F '

1

Малюнок 6 - Побудова ходу променя
Основні співвідношення параксіального оптики
Основні співвідношення параксіального оптики пов'язують між собою фокусні відстані, положення і розміри предмета та зображення, кутове, лінійне і поздовжнє збільшення.

Висновок залежності між положенням і розміром предмета та зображення

SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

A

2

1

3

K 1

K 1 '

f ' 3 '

z '

O

-A

H H ' FF '

α 1 '

O '

y

- Z

- F

K 2 K 2 '

2 '

A '

- Aa '

Рисунок 7 - Схема для виведення основних співвідношень параксіального оптики
Для виведення залежності між положенням і розміром предмета та зображення скористаємося рис.7. подібний , Отже:
, Звідси .
Тоді, відповідно до вираження (1), лінійне збільшення можна виразити таким чином:
. (8)
Аналогічно, з подібності трикутників і можна отримати вираз:
. (9)
Таким чином, збільшення можна виразити як через передні, так і через і задні відрізки. Звідси можна отримати формулу Ньютона:
. (10)
Якщо оптична система перебуває в однорідному середовищі ( ), То , І формула Ньютона отримує вигляд:
. (11)
Висловимо z і z через фокусні відстані і передній (-a) і задній (a) відрізки:

.
Тоді вираз (11) можна записати у вигляді:
.
Після перетворень отримаємо вираз, що зв'язує фокусні відстані і передній і задній відрізки (формула відрізків або формула Гауса):
. (12)

Відносна збільшення і вузлові точки

Тепер розглянемо кутове збільшення, знову скориставшись рис.7. З , Видно, що:
, Звідси .
Аналогічно можна вивести вираз:
.
Тепер можна висловити кутове збільшення через передній і задній відрізки:
(13)
Висловимо z з формули Ньютона (5.14), тоді після перетворень отримаємо вираз для обчислення кутового збільшення:
(14)
З виразу (14) випливає, що якщо вибрати площині предмета та зображення таким чином, що і , То в точках перетину цих площин з віссю кутове збільшення дорівнює одиниці. Такі точки називаються вузловими точками.
Щоб знайти вузлові точки N і N, від переднього фокусу відкладається заднє фокусна відстань, а від заднього фокусу відкладається переднє фокусна відстань (рис.8). Відрізки NN і HH рівні. Якщо ( ), То вузлові точки збігаються з головними.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

F

-Α f

H N N

H

f F α

Рисунок 8 - Вузлові точки
Наслідком виразів (5.13) і (5.18) є наступне співвідношення:
(15)

Окремі випадки положення предмета та зображення

Розглянемо різні положення предмета та зображення (різні z і z):
- . Тоді , Лінійне збільшення , Отже, предмет і зображення - це головні площині. Відносна збільшення .
- . Тоді , Кутове збільшення W = 1, отже, предмет і зображення - це вузлові точки. Лінійне збільшення .
- . Тоді , Лінійне збільшення , Кутове збільшення , Отже, предмет знаходиться на подвійному фокусній відстані, тобто відстань між предметом і зображенням мінімально.
- . Тоді , Лінійне збільшення , Кутове збільшення , Отже, предмет знаходиться в передньому фокусі, а зображення - у нескінченності.
- . Тоді , Лінійне збільшення , Кутове збільшення , Отже, предмет знаходиться на нескінченності, а зображення - в задньому фокусі.

Зв'язок поздовжнього збільшення з поперечним і кутовим

SHAPE \ * MERGEFORMAT

А

l

A 1 - Z 1 - Z

F

F

z 1

А l z

A 1

Рисунок 9 - Зв'язок поздовжнього збільшення з поперечним і кутовим
Розглянемо рис.9. Довжину відрізків l і l можна виразити таким чином:
.
За визначенням поздовжнього збільшення:
.
Після перетворень, отримаємо:
(16)
де β і β ₁ - поперечні (лінійні) збільшення в точках A і A _1.
Або,:
. (17)
Тепер розглянемо поздовжнє збільшення для нескінченно малих відрізків ( ) (За визначенням це і є поздовжнє збільшення). У цьому випадку лінійне збільшення в точках A і A ₁ буде однаковим, отже:
. (18)
З виразу (16) можна отримати:
(19)
Якщо оптична система перебуває в однорідному середовищі ( ), То:
. (20)
Тобто поздовжнє збільшення дорівнює квадрату лінійного збільшення, а кутове назад пропорційно йому.

Діоптрійна числення

Діоптрійна числення - це вимірювання поздовжніх відрізків у зворотних одиницях (діоптріях):

де - Приведена довжина.
Одна діоптрія відповідає наведеному відрізку в 1 куб. Якщо відрізок вимірюється в мм, то зворотний відрізок вимірюється в кілодіоптріях.
Використовуючи формулу відрізків (5.16) і вираз (5.9) можна отримати важливе співвідношення для наведених відрізків в просторі предметів і зображень та оптичної сили, що вимірюються в діоптріях:

або
(21)
де D і D - приведені передній і задній відрізки в діоптріях. Тобто оптична система збільшує наведений відрізок у просторі зображень (у дптр) на величину оптичної сили.

5.3.6 Інваріант Лагранжа-Гельмгольца

Інваріант Лагранжа-Гельмгольца пов'язує лінійний розмір предмета і кутовий розмір пучка променів (рис. 10). Ця величина інваріантна, тобто незмінна в будь-якому просторі.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

y

n n ¢ -A

a ¢

Рисунок 10 - Величини, які пов'язує інваріант Лагранжа-Гельмгольца
Для виведення цього інваріанта скористаємося виразом (18), що зв'язує кутове і лінійне збільшення. Тоді скориставшись виразами (5.5) і (5.7), що визначають лінійне і кутове збільшення, отримаємо таке співвідношення:
. (22)
Вираз (22) можна перетворити, і тоді отримаємо інваріант Лагранжа-Гельмгольца:
. (23)
Інваріант Лагранжа-Гельмгольца характеризує інформаційну ємність оптичної системи, тобто величину простору, яке може бути відображено оптичною системою. Цей інваріант математично виражає закон збереження інформації в геометричній оптиці.

ЛІТЕРАТУРА
Бігунів Б.М., замовлене Н.П. та ін Теорія оптичних систем. - М.: Машинобудування, 2004 2004
Замовне Н.П. Прикладна оптика. - М.: Машинобудування, 2002 2002
Дубовик О.С. Прикладна оптика. - М.: Недра, 2002 2002
Нагибіна І.М. та ін Прикладна фізична оптика. Навчальний посібник .- М.: Вища школа, 2005 2005