Зміст
Введення
1. Вірогідність як подія
2. Вірогідність та інформація
3. Аксіоми теорії ймовірності
Висновок
Список літератури
W = íw 1, w 2, ... w n ý, або W = íw 1, w 2, ... ý.
Такий простір елементарних фіналів називається дискретним.
Найпростішим простором елементарних фіналів є такий простір, в якому всі зазначені результати розглянутого експерименту:
1) рівноможливими;
2) взаємно несумісні (тобто в результаті експерименту може відбутися один і тільки один із зазначених випадків),
3) всі результати утворюють повну групу подій (тобто ніякі інші результати, крім перерахованих, не можуть відбутися).
Такий простір звичайно і називається простором равновозможних исходов (або симетричним простором).
ПРИКЛАД 1. При киданні симетричної монети можливі два результати - випадання решки або герба. Вони відповідають усім трьом зазначеним вище умовам і тому в цьому випадку простір елементарних фіналів представляється так (тут літерами Р і Г позначені решка і герб відповідно):
ПРИКЛАД 2. При одночасному киданні двох монет результати являють собою впорядковані пари, що складаються з символів Р і Г. Перший елемент цієї пари - результат, який випав на першій монеті, другий елемент - результат на другий монеті. Очевидно, що таких пар - чотири:
ПРИКЛАД 3. У разі кидання гральної кістки може випасти будь-яке з чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тому простір елементарних фіналів
ПРИКЛАД 4. При одночасному киданні двох гральних кісток елементарні результати являють собою пари (x, y), де x - число очок, яке випало на першій кістки, а y - число очок на другий кістки. Усього таких пар - 36:
1) р i ³ 0
2)
(Або 
),
3)
тобто сума (кінцева чи нескінченна) ймовірностей всіх елементарних фіналів дорівнює одиниці. Елементарні результати ми називаємо елементарним подією.
Подією
називається будь-яка підмножина, що складається з елементарних фіналів простору елементарних подій W. Кажуть, що «подія А сталося», якщо експеримент закінчився одним з елементарних результатів w i ÎА.
Ймовірністю події А називається сума ймовірностей всіх елементарних результатів, що входять в А, тобто Р (А) =
. З цього визначення ймовірності події випливає, що завжди 0 £ Р (А) £ 1.
У разі равновозможних результатів ймовірність елементарної події А визначається формулою
,
де
- Число елементів у безлічі W, яке зазвичай називається «загальне число фіналів», а 
- Число елементів у безлічі A, зване «числом благоприятствующих результатів».
Подія `А, що складається з усіх елементарних фіналів, що не входять в А, називається протилежним подією до події А. Воно відбувається тоді і тільки тоді, коли подія A не відбулося. Очевидно що Р (А) + Р (`А) = 1. Це рівність використовується для обчислення ймовірності події А у випадку, коли ймовірність протилежного події відома або легко може бути знайдена, тоді Р (А) = 1 - Р (`А).
Таким чином, для обчислення ймовірності в кожній задачі важливо визначити, в чому полягає експеримент, правильно побудувати відповідний простір елементарних подій W і виділити в ньому потрібну подію A. Потім, використовуючи методи комбінаторики, підрахувати кількість елементів у W і A.
Завдання 1. У ящику 5 апельсинів і 4 яблука. Навмання вибираються 3 фрукта. Яка ймовірність, що всі три фрукти - апельсини?
Рішення. Елементарними наслідками є тут вибірки, що включають 3 фрукту.
Рішення. Оскільки порядок тут байдужий, будемо вважати вибірки неупорядкованими (і, зрозуміло, бесповторного). Загальне число елементарних результатів
дорівнює числу способів вибрати 3 елементи з 9, тобто числу сполучень n = 
. Число сприятливих результатів m = 
буде дорівнює числу способів вибору трьох апельсинів з наявних 5, тобто числу сполучень трьох елементів з 5, тобто 
. Тоді ймовірність
.
Задача 2. Викладач пропонує кожному з трьох студентів задумати любе число від 1 до 10. Вважаючи, що вибір кожним із студентів будь-якого числа з заданих равновозможен, знайти ймовірність того, що когось із них задумані числа співпадуть.
Рішення. Підрахуємо спочатку загальна кількість випадків. Елементарними наслідками будемо вважати впорядковані сукупності задуманих чисел: N 1, N 2, N 3, де N 1 - число, задумане першим студентом, N 2 - другим і N 3 - третім Перший з них вибирає одну з 10 чисел - 10 можливостей, другий робить те ж саме - 10 можливостей, нарешті, вибір третьої також 10 можливостей. Згідно з основною теореми комбінаторики загальне число способів дорівнюватиме:
n = N 1 "N 2 'N 3 = 10 3 = 1000 елементарних фіналів.
Підрахунок кількості сприятливих результатів складніший. Зауважимо, що збіг задуманих чисел може відбутися у будь-якої пари студентів (або навіть одночасно у всіх трьох). Щоб не розбирати окремо всі ці випадки, зручно перейти до протилежного подією, тобто підрахувати кількість тих випадків, коли всі три студенти замислюють різні числа. Перший з них як і раніше має 10 способів вибору числа. Другий студент тепер має лише 9 можливостей (оскільки йому доводиться дбати про те, щоб його число не співпало з задуманим числом першого студента N 2 ¹ N 1. Третій студент ще більш обмежений у виборі - у нього всього 8 можливостей (з 10 можливих для N 3 виключаються два числа N 3 ¹ N 1, N 3 ¹ N 2). Тому загальна кількість комбінацій задуманих чисел, в яких немає збігів, так само в силу тієї ж основної теореми m = 10 × 9 × 8 = 720. Інші випадки 1000 - 720 = 280 характеризуються наявністю хоча б одного збігу. Отже, шукана ймовірність збігу дорівнює Р = 280/1000 = 0,28.
Завдання 3. Знайти ймовірність того, що у 8-значному числі рівно 4 цифри збігаються, а інші різні.
Рішення. Подія А = {8-значне число містить 4 однакові цифри}. З умови задачі випливає, що в числі 5 різних цифр, одна з них повторюється - число способів її вибору - будь-яка з 10 цифр, і ця цифра займає будь-які 4 місця в числі - число способів
. Решта 4 місця займають різні цифри з невикористаних 9, і так як число залежить від порядку розташування цифр, то число способів вибору чотирьох цифр одно 
. Тоді число сприятливих результатів 
. Всього ж способів складання 8-значних чисел одно | W | = 10 8. Шукана ймовірність дорівнює 
.
Завдання 4. Шість клієнтів випадковим чином звертаються до 5 фірм. Знайти ймовірність того, що хоча б в одну фірму ніхто не звернеться.
Рішення. Розглянемо зворотне подія
, Яке у тому, що в кожну з 5 фірм звернувся клієнт, тоді в якусь із них звернулися двоє людей, а в інші 4 фірми - по одному клієнту. Таких можливостей 
. А всього способів розподілити 6 клієнтів по 5 фірмам 
. Звідси 
, Отже 
.
Задача 5. Серед 25 екзаменаційних квитків є 5 «щасливих» і 20 «нещасливих». Студенти підходять за білетами один за одним по черзі. У кого більше ймовірність витягнути «щасливий» квиток: в того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?
Рішення. Нехай «щасливі» квитки мають номери 1,2,3,4,5. Позначимо через i 1 номер квитка, взятого першим студентом, через i 2 - номер квитка, взятого другий студентом, тоді елементарним результатом буде пара
, А простір елементарних результатів
тут всі елементарні результати рівноймовірні. Подія А = {перший студент взяв «щасливий» квиток} має вигляд
а подія В = {другий студент взяв «щасливий» квиток} має вигляд:
І з подій А і В містить
елементів, а весь простір W містить 
елементів. Отже, Р (А) = Р (В) = 1 / 5.
. Хай в якусь обмежену область 
навмання кинули крапку. Слово «навмання» означає, що такому експерименті всі крапки області 
«Рівноможливими». У цьому випадку ймовірність потрапляння цієї точки в якусь підобласть визначається формулою
де
і 
- N-мірні об'єми областей 
і відповідно. Тут елементарними наслідками називаються точки безлічі (Яке відіграє роль простору елементарних результатів), а сприятливими наслідками - точки безлічі .
Завдання 6. Крапку навмання кинули на відрізок
. Яка ймовірність потрапляння цієї точки на інтервал 
?
Рішення. Тут простір елементарних фіналів весь відрізок
, А безліч благоприятствующих фіналів 
, При цьому довжини цих інтервалів рівні 
і 
. Тому ймовірність потрапляння кинутої точки у вказаний інтервал дорівнює 
.
Завдання 7. На відрізок кинули навмання і по черзі дві точки. Яка ймовірність, що перша точка лежить правіше другої точки?
Рішення. Позначимо отримані координати точок через x та y. Елементарним виходом в такому киданні двох точок буде пара
, А простором елементарних результатів - квадрат 
. Подія A = {перша точка лежить правіше другої точки} рівносильно умові x> y, отже,
, Тобто представляє собою трикутник (див. малюнок). Площі квадрата і трикутника дорівнюють відповідно 
і 
, А тому ймовірність 
.
Твором (або перетином) двох подій А і В називається подія АÇВ (АВ), що складається в одночасному появі та події А та події В.
Ймовірність суми двох подій обчислюється за формулою (теорема додавання)
.
Події А 1, А 2 ,..., А до утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування неодмінно відбудеться одна з них, тобто
.
Події А і В називаються несумісними (непересічними), якщо вони не можуть відбутися одночасно АÇВ = Æ. Якщо події несумісні, то
Р (АВ) = 0 і Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Завдання 1. У ящику 10 червоних і 5 синіх гудзиків. Виймаються навмання два гудзики. Яка ймовірність, що гудзики будуть одноколірними?
Рішення. Подія A = {вийняті гудзики одного кольору} можна представити у вигляді суми
, Де події 
і 
означають вибірку гудзиків червоного і синього кольору відповідно. Імовірність витягнути дві червоні гудзики дорівнює 
, А ймовірність витягнути дві сині гудзики 
. Оскільки події і не можуть відбутися одночасно, то в силу теореми складання
Крім звичайної (безумовної) ймовірності можна розглядати так звану умовну ймовірність, яка обчислюється за умови, що подія B сталося. Таку ймовірність (імовірність А за умови В) позначають Р (А | В) і обчислюють за допомогою однієї з двох формул:
З цієї формули випливає формула для ймовірності добутку двох подій (теорема множення)
.
Формула множення для трьох подій:
.
Завдання 2. У сім'ї - двоє дітей. Яка ймовірність, що старша дитина - хлопчик, якщо відомо, що в сім'ї є діти обох статей?
Рішення. Нехай А = {старша дитина - хлопчик}, B = {в родині є діти обох статей}. Будемо вважати, що народження хлопчика і народження дівчинки - рівноімовірні події. Якщо народження хлопчика позначити буквою М, а народження дівчинки - Д, то простір всіх елементарних фіналів складається з чотирьох пар:
. У цьому просторі лише два результати (МД і ДМ) відповідають події B. Подія AB означає, що в сім'ї є діти обох статей і старша дитина - хлопчик, це означає, що другий (молодший) дитина - дівчинка. Цій події AB відповідає один результат - МД. Таким чином, | AB | = 1, | B | = 2 і
Завдання 3. Майстер, маючи 10 деталей, з яких 3 - нестандартних, бере і перевіряє деталі одну за одною, поки нього не попадеться стандартна. Яка ймовірність, що він перевірить рівно дві деталі.
Рішення. Подія А = {майстер перевірив рівно дві деталі} означає, що при такій перевірці перша деталь виявилася нестандартною, а друга - стандартна. Значить,
, Де = {Перша деталь виявилася нестандартною} і = {Другий деталь - стандартна}. Очевидно, що ймовірність 
крім того, 
(Так як перед взяттям другої деталі у майстра залишилося 9 деталей, з яких тільки 2 нестандартні і 7 стандартних). По теоремі множення
Подія А не залежить від В, якщо поява події В не змінює значення ймовірності події А, тобто умовна ймовірність дорівнює безумовній: Р (А / В) = Р (А). Аналогічно визначається незалежність події B від A. Виявляється, що властивість незалежності насправді симетрично щодо подій A і B, і тому визначення незалежності двох подій приймає більш простий вигляд:
дві події A і B незалежні, якщо справедливо рівність
Р (АВ) = Р (А) × Р (В).
Це рівність можна використовувати також як зручний критерій незалежності при практичній перевірці незалежності двох подій.
Завдання 4. В одному ящику 3 білих і 5 чорних куль, в іншому ящику - 6 білих і 4 чорних кулі. Знайти ймовірність того, що хоча б з одного ящика буде вийнято один білий куля, якщо з кожного ящика вийнято по одній кулі.
Рішення. Подія A = {хоча б з одного ящика виймуть біла куля} можна представити у вигляді суми , Де події і означають вибірку одного білої кулі з першого і другого ящика відповідно. Імовірність витягнути біла куля з першого ящика дорівнює 
, А ймовірність витягнути біла куля з другого ящика 
. Крім того, в силу незалежності і маємо: 
. По теоремі складання отримуємо:
.
Хай подія А може бути реалізовано лише за умови появи однієї з подій H i, i = 1 ,..., n. Припустимо, що події H i несумісні, утворюють повну групу (тобто в результаті випробування неодмінно відбудеться одна з них) та ймовірності їх до досвіду відомі .. Такі події H i називаються гіпотезами. Тоді імовірність події А можна обчислити за допомогою формули повної ймовірності:
.
Завдання 5. Три екзаменатора приймають іспит по деякому предмету у групи в 30 чоловік, причому перший опитує 6 студентів, другий - 3 студенти, а третій - 21 студентів (вибір студентів здійснюється випадковим чином зі списку). Ставлення трьох екзаменаторів слабо до підготували різні: шанси таких студентів здати іспит у першого викладача рівні 40%, у другого - лише 10%, зате у третього - 70%. Знайти ймовірність того, що слабо підготували студенти складе іспит.
Рішення. Позначимо через
- Гіпотези, що складаються в тому, що слабо підготували студенти відповідав першому, другому і третьому екзаменатору відповідно. За умовою задачі
, 
, 
.
Нехай подія A = {слабо підготували студенти здав іспит}. Тоді знову з умови задачі
, 
, 
.
Отже, в роботі були розглянуті ймовірність як подія, класична імовірнісна модель, аксіоми теорії ймовірності.
Досвід, експеримент, спостереження явища називаються випробуванням. Випробуваннями, наприклад, є: кидання монети, постріл з гвинтівки, кидання гральної кістки (кубика із нанесеним на кожну грань числом очок - від одного до шести).
Результат (результат) випробування називається подією. Подіями є: випадання герба або випадання цифри, влучення в ціль або промах, поява того чи іншого числа очок на кинутої гральної кістки.
Чи можна якось виміряти можливість появи деякої випадкової події? Іншими словами, чи можна охарактеризувати цю можливість деяким числом?
Будь-яке випробування тягне за собою деяку сукупність результатів - результатів випробування, тобто подій. У багатьох випадках можливо перерахувати всі події, які можуть бути наслідками даного випробування.
Визначення 1. Кажуть, що сукупність подій утворює повну групу подій для даного випробування, якщо його результатом обов'язково стає хоча б одне з них.
Визначення 2. Події U 1, U 2, ..., U, що утворюють повну групу попарно несумісних і равновозможних подій, будемо називати елементарними подіями.
Визначення 3. Подія А називається сприятливим події Б, якщо настання події А тягне за собою настання події В.
Визначення 4 (класичне визначення ймовірності). Ймовірністю Р (А) події А називається відношення m / n числа елементарних подій, що сприяють події А, до числа всіх елементарних подій, тобто Р (А) = m / n.
З наведеного класичного визначення ймовірності випливають такі її властивості.
1. Імовірність достовірного події дорівнює одиниці.
Дійсно, достовірного події повинні сприяти всі n елементарних подій, тобто m = n, і, отже,
2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю. У самому справі, неможливого події не може сприяти ні одне з елементарних подій, тобто m = 0, звідки
3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.
2. Боровков А.А. Математична статистика. М.: Наука, 1984.
3. Коршунов Д.А., Чернова М.І. Збірник завдань і вправ з математичної статистики. Новосибірськ: Изд-во Інституту математики ім. С. Л. Соболєва СО РАН, 2001.
4. Феллер В. Введення в теорію ймовірностей і її застосування. М.: Світ, Т.2, 1984.
Введення
1. Вірогідність як подія
2. Вірогідність та інформація
3. Аксіоми теорії ймовірності
Висновок
Список літератури
Введення
Кожен експеримент закінчується якимось певним результатом, який не завжди можливо заздалегідь передбачити. Для того, щоб формально описати певний експеримент, потрібно вказати всі можливі варіанти результатів, якими цей експеримент може закінчитися. У теорії ймовірностей такі результати називаються наслідками. Безліч W всіх можливих результатів експерименту називається простором елементарних фіналів. Передбачається, що експеримент може закінчитися одним і лише одним елементарним результатом. У найпростішому випадку всі ці результати можна перерахувати:W = íw 1, w 2, ... w n ý, або W = íw 1, w 2, ... ý.
Такий простір елементарних фіналів називається дискретним.
Найпростішим простором елементарних фіналів є такий простір, в якому всі зазначені результати розглянутого експерименту:
1) рівноможливими;
2) взаємно несумісні (тобто в результаті експерименту може відбутися один і тільки один із зазначених випадків),
3) всі результати утворюють повну групу подій (тобто ніякі інші результати, крім перерахованих, не можуть відбутися).
Такий простір звичайно і називається простором равновозможних исходов (або симетричним простором).
ПРИКЛАД 1. При киданні симетричної монети можливі два результати - випадання решки або герба. Вони відповідають усім трьом зазначеним вище умовам і тому в цьому випадку простір елементарних фіналів представляється так (тут літерами Р і Г позначені решка і герб відповідно):
ПРИКЛАД 2. При одночасному киданні двох монет результати являють собою впорядковані пари, що складаються з символів Р і Г. Перший елемент цієї пари - результат, який випав на першій монеті, другий елемент - результат на другий монеті. Очевидно, що таких пар - чотири:
ПРИКЛАД 3. У разі кидання гральної кістки може випасти будь-яке з чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тому простір елементарних фіналів
ПРИКЛАД 4. При одночасному киданні двох гральних кісток елементарні результати являють собою пари (x, y), де x - число очок, яке випало на першій кістки, а y - число очок на другий кістки. Усього таких пар - 36:
1. Імовірність як подія
У дискретному просторі ймовірність кожного елементарного результату вважається заданою і позначається Р (w i), або просто р i, причому завжди1) р i ³ 0
2)
3)
тобто сума (кінцева чи нескінченна) ймовірностей всіх елементарних фіналів дорівнює одиниці. Елементарні результати ми називаємо елементарним подією.
Подією
Ймовірністю події А називається сума ймовірностей всіх елементарних результатів, що входять в А, тобто Р (А) =
У разі равновозможних результатів ймовірність елементарної події А визначається формулою
де
Подія `А, що складається з усіх елементарних фіналів, що не входять в А, називається протилежним подією до події А. Воно відбувається тоді і тільки тоді, коли подія A не відбулося. Очевидно що Р (А) + Р (`А) = 1. Це рівність використовується для обчислення ймовірності події А у випадку, коли ймовірність протилежного події відома або легко може бути знайдена, тоді Р (А) = 1 - Р (`А).
Таким чином, для обчислення ймовірності в кожній задачі важливо визначити, в чому полягає експеримент, правильно побудувати відповідний простір елементарних подій W і виділити в ньому потрібну подію A. Потім, використовуючи методи комбінаторики, підрахувати кількість елементів у W і A.
Завдання 1. У ящику 5 апельсинів і 4 яблука. Навмання вибираються 3 фрукта. Яка ймовірність, що всі три фрукти - апельсини?
Рішення. Елементарними наслідками є тут вибірки, що включають 3 фрукту.
Рішення. Оскільки порядок тут байдужий, будемо вважати вибірки неупорядкованими (і, зрозуміло, бесповторного). Загальне число елементарних результатів
Задача 2. Викладач пропонує кожному з трьох студентів задумати любе число від 1 до 10. Вважаючи, що вибір кожним із студентів будь-якого числа з заданих равновозможен, знайти ймовірність того, що когось із них задумані числа співпадуть.
Рішення. Підрахуємо спочатку загальна кількість випадків. Елементарними наслідками будемо вважати впорядковані сукупності задуманих чисел: N 1, N 2, N 3, де N 1 - число, задумане першим студентом, N 2 - другим і N 3 - третім Перший з них вибирає одну з 10 чисел - 10 можливостей, другий робить те ж саме - 10 можливостей, нарешті, вибір третьої також 10 можливостей. Згідно з основною теореми комбінаторики загальне число способів дорівнюватиме:
n = N 1 "N 2 'N 3 = 10 3 = 1000 елементарних фіналів.
Підрахунок кількості сприятливих результатів складніший. Зауважимо, що збіг задуманих чисел може відбутися у будь-якої пари студентів (або навіть одночасно у всіх трьох). Щоб не розбирати окремо всі ці випадки, зручно перейти до протилежного подією, тобто підрахувати кількість тих випадків, коли всі три студенти замислюють різні числа. Перший з них як і раніше має 10 способів вибору числа. Другий студент тепер має лише 9 можливостей (оскільки йому доводиться дбати про те, щоб його число не співпало з задуманим числом першого студента N 2 ¹ N 1. Третій студент ще більш обмежений у виборі - у нього всього 8 можливостей (з 10 можливих для N 3 виключаються два числа N 3 ¹ N 1, N 3 ¹ N 2). Тому загальна кількість комбінацій задуманих чисел, в яких немає збігів, так само в силу тієї ж основної теореми m = 10 × 9 × 8 = 720. Інші випадки 1000 - 720 = 280 характеризуються наявністю хоча б одного збігу. Отже, шукана ймовірність збігу дорівнює Р = 280/1000 = 0,28.
Завдання 3. Знайти ймовірність того, що у 8-значному числі рівно 4 цифри збігаються, а інші різні.
Рішення. Подія А = {8-значне число містить 4 однакові цифри}. З умови задачі випливає, що в числі 5 різних цифр, одна з них повторюється - число способів її вибору - будь-яка з 10 цифр, і ця цифра займає будь-які 4 місця в числі - число способів
Завдання 4. Шість клієнтів випадковим чином звертаються до 5 фірм. Знайти ймовірність того, що хоча б в одну фірму ніхто не звернеться.
Рішення. Розглянемо зворотне подія
Задача 5. Серед 25 екзаменаційних квитків є 5 «щасливих» і 20 «нещасливих». Студенти підходять за білетами один за одним по черзі. У кого більше ймовірність витягнути «щасливий» квиток: в того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?
Рішення. Нехай «щасливі» квитки мають номери 1,2,3,4,5. Позначимо через i 1 номер квитка, взятого першим студентом, через i 2 - номер квитка, взятого другий студентом, тоді елементарним результатом буде пара
тут всі елементарні результати рівноймовірні. Подія А = {перший студент взяв «щасливий» квиток} має вигляд
а подія В = {другий студент взяв «щасливий» квиток} має вигляд:
І з подій А і В містить
2. Вірогідність та інформація
Розглянемо n-мірний речовий простірде
Завдання 6. Крапку навмання кинули на відрізок
Рішення. Тут простір елементарних фіналів весь відрізок
Завдання 7. На відрізок
Рішення. Позначимо отримані координати точок через x та y. Елементарним виходом в такому киданні двох точок буде пара
3. Аксіоми теорії ймовірності
Сумою двох подій А і В називається подія АÈВ (А + У), що полягає в тому, що відбудеться хоча б одна з подій А або В (або подія А, або подія В або А і В одночасно).Твором (або перетином) двох подій А і В називається подія АÇВ (АВ), що складається в одночасному появі та події А та події В.
Ймовірність суми двох подій обчислюється за формулою (теорема додавання)
Події А 1, А 2 ,..., А до утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування неодмінно відбудеться одна з них, тобто
Події А і В називаються несумісними (непересічними), якщо вони не можуть відбутися одночасно АÇВ = Æ. Якщо події несумісні, то
Р (АВ) = 0 і Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Завдання 1. У ящику 10 червоних і 5 синіх гудзиків. Виймаються навмання два гудзики. Яка ймовірність, що гудзики будуть одноколірними?
Рішення. Подія A = {вийняті гудзики одного кольору} можна представити у вигляді суми
Крім звичайної (безумовної) ймовірності можна розглядати так звану умовну ймовірність, яка обчислюється за умови, що подія B сталося. Таку ймовірність (імовірність А за умови В) позначають Р (А | В) і обчислюють за допомогою однієї з двох формул:
З цієї формули випливає формула для ймовірності добутку двох подій (теорема множення)
Формула множення для трьох подій:
Завдання 2. У сім'ї - двоє дітей. Яка ймовірність, що старша дитина - хлопчик, якщо відомо, що в сім'ї є діти обох статей?
Рішення. Нехай А = {старша дитина - хлопчик}, B = {в родині є діти обох статей}. Будемо вважати, що народження хлопчика і народження дівчинки - рівноімовірні події. Якщо народження хлопчика позначити буквою М, а народження дівчинки - Д, то простір всіх елементарних фіналів складається з чотирьох пар:
Завдання 3. Майстер, маючи 10 деталей, з яких 3 - нестандартних, бере і перевіряє деталі одну за одною, поки нього не попадеться стандартна. Яка ймовірність, що він перевірить рівно дві деталі.
Рішення. Подія А = {майстер перевірив рівно дві деталі} означає, що при такій перевірці перша деталь виявилася нестандартною, а друга - стандартна. Значить,
Подія А не залежить від В, якщо поява події В не змінює значення ймовірності події А, тобто умовна ймовірність дорівнює безумовній: Р (А / В) = Р (А). Аналогічно визначається незалежність події B від A. Виявляється, що властивість незалежності насправді симетрично щодо подій A і B, і тому визначення незалежності двох подій приймає більш простий вигляд:
дві події A і B незалежні, якщо справедливо рівність
Р (АВ) = Р (А) × Р (В).
Це рівність можна використовувати також як зручний критерій незалежності при практичній перевірці незалежності двох подій.
Завдання 4. В одному ящику 3 білих і 5 чорних куль, в іншому ящику - 6 білих і 4 чорних кулі. Знайти ймовірність того, що хоча б з одного ящика буде вийнято один білий куля, якщо з кожного ящика вийнято по одній кулі.
Рішення. Подія A = {хоча б з одного ящика виймуть біла куля} можна представити у вигляді суми
Хай подія А може бути реалізовано лише за умови появи однієї з подій H i, i = 1 ,..., n. Припустимо, що події H i несумісні, утворюють повну групу (тобто в результаті випробування неодмінно відбудеться одна з них) та ймовірності їх до досвіду відомі .. Такі події H i називаються гіпотезами. Тоді імовірність події А можна обчислити за допомогою формули повної ймовірності:
Завдання 5. Три екзаменатора приймають іспит по деякому предмету у групи в 30 чоловік, причому перший опитує 6 студентів, другий - 3 студенти, а третій - 21 студентів (вибір студентів здійснюється випадковим чином зі списку). Ставлення трьох екзаменаторів слабо до підготували різні: шанси таких студентів здати іспит у першого викладача рівні 40%, у другого - лише 10%, зате у третього - 70%. Знайти ймовірність того, що слабо підготували студенти складе іспит.
Рішення. Позначимо через
Нехай подія A = {слабо підготували студенти здав іспит}. Тоді знову з умови задачі
Висновок
У висновку підведемо основні підсумки роботи.Отже, в роботі були розглянуті ймовірність як подія, класична імовірнісна модель, аксіоми теорії ймовірності.
Досвід, експеримент, спостереження явища називаються випробуванням. Випробуваннями, наприклад, є: кидання монети, постріл з гвинтівки, кидання гральної кістки (кубика із нанесеним на кожну грань числом очок - від одного до шести).
Результат (результат) випробування називається подією. Подіями є: випадання герба або випадання цифри, влучення в ціль або промах, поява того чи іншого числа очок на кинутої гральної кістки.
Чи можна якось виміряти можливість появи деякої випадкової події? Іншими словами, чи можна охарактеризувати цю можливість деяким числом?
Будь-яке випробування тягне за собою деяку сукупність результатів - результатів випробування, тобто подій. У багатьох випадках можливо перерахувати всі події, які можуть бути наслідками даного випробування.
Визначення 1. Кажуть, що сукупність подій утворює повну групу подій для даного випробування, якщо його результатом обов'язково стає хоча б одне з них.
Визначення 2. Події U 1, U 2, ..., U, що утворюють повну групу попарно несумісних і равновозможних подій, будемо називати елементарними подіями.
Визначення 3. Подія А називається сприятливим події Б, якщо настання події А тягне за собою настання події В.
Визначення 4 (класичне визначення ймовірності). Ймовірністю Р (А) події А називається відношення m / n числа елементарних подій, що сприяють події А, до числа всіх елементарних подій, тобто Р (А) = m / n.
З наведеного класичного визначення ймовірності випливають такі її властивості.
1. Імовірність достовірного події дорівнює одиниці.
Дійсно, достовірного події повинні сприяти всі n елементарних подій, тобто m = n, і, отже,
2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю. У самому справі, неможливого події не може сприяти ні одне з елементарних подій, тобто m = 0, звідки
3. Ймовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.
Список літератури
1. Більше Л.М., Смирнов Н.В. Таблиці математичної статистики. М.: Наука, 1965.2. Боровков А.А. Математична статистика. М.: Наука, 1984.
3. Коршунов Д.А., Чернова М.І. Збірник завдань і вправ з математичної статистики. Новосибірськ: Изд-во Інституту математики ім. С. Л. Соболєва СО РАН, 2001.
4. Феллер В. Введення в теорію ймовірностей і її застосування. М.: Світ, Т.2, 1984.