Теоретичні підходи до феномену математичне мислення 2

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Теоретичні підходи до феномену "математичне мислення"
Дослідження багатьох вітчизняних і зарубіжних психологів показують, що без цілеспрямованого розвитку математичного мислення, що є одним з найважливіших компонентів процесу пізнавальної діяльності, неможливо досягти ефективних результатів і навчанні, систематизації знань, умінь і навичок [1].
На жаль, єдиної думки з питання визначення поняття математичного мислення в психолого-педагогічної та методичної літератури немає.
При його характеристиці виникають складні питання про взаємозв'язок цього поняття з поняттями мислення взагалі і конкретні види мислення.
Одні дослідники вважають, що математичного мислення як такого, що володіє своїми специфічними формами розумових дій, немає; своєрідність такого мислення пов'язане, на їхню думку, лише з характером власне математичного матеріалу. Іншими словами, представники першого підходу заперечують специфіку математичного мислення (Л. С. Трегуб, Г. Фрейдепталь та ін.)
Так, Л.С. Трегуб вважає, що демонстрація "єдиних принципів людського пізнання означає, що немає особливих методів математичного мислення" [2, с. 7], своєрідного за методом і за способом свого функціонування. З.І. Слепкань вважає неправомірними спроби введення цього поняття з виділенням у ньому своїх особливостей і компонентів і його ототожнення з логічним мисленням [3, с. 18], а Г. Фрейдепталь пише, що поки неможливо переконливо розкрити суть математичного мислення [4, с. 9].
Ми згодні з Л.К. Максимовим [5, 6, 7] у тому, що, хоча методи математичного мислення зараз широко застосовуються в інших науках і мають статус загальних методів пізнання, все-таки воно має свої особливості, які відрізняють його від мислення в інших наукових галузях. Специфіку математичного мислення слід шукати не в його методах, а в його об'єктах [8], - так як перші породжуються другими, а також "у своєрідності його предметного змісту" [5].
Так, математик і філософ Г. Вейль пише: "У процесі мислення ми намагаємося збагнути розумом істину; наш розум прагне просвітити себе, виходячи зі свого досвіду. Тому, подібно самої істини і досвіду, мислення за своїм характером є щось досить однорідне і універсальне. ваблене найглибшим внутрішнім світлом, воно не зводиться до набору механічно застосовуваних правил і не може бути розділене водонепроникними перегородками на такі відсіки, як мислення історичне, філософське, математичне та інше. Правда, існують - швидше зовні - деякі специфічні особливості та відмінності; так, наприклад , процедури встановлення фактів у залі суду і у фізичній лабораторії помітно різняться. Під математичним способом мислення я розумію, по-перше, особливу форму міркувань, за допомогою яких математика проникає у науки про зовнішній світ - фізику, хімію, біологію, економіку і т.д . і навіть у наші роздуми про повсякденні справи і турботи, і, по-друге, ту форму міркувань, до якої вдається у своїй власній області математик, будучи наданим самому собі "[9].
Другий підхід представлений дослідженнями Ж. Піаже і його прихильників (мислення як "біологічний процес") [10]. Згідно цим ученим, під математичним мисленням розуміється власне логіко-математичне мислення, що має так звані "абстракції дії". Теорія Піаже включає в себе два основних компоненти: вчення про функції інтелекту і вчення про стадії його розвитку. Розвиток дитячого мислення розуміється як зміна відповідних стадій і описується за допомогою понять логіки і математики. Так, наприклад, у дошкільному та шкільному віці у дітей формуються розумові структури, що відповідають основним математичним структурам (алгебраїчна, топологічна, порядку), які виділені в математиці Нурбакіт. Математичні структури, на думку Ж. Піаже, є формальним продовженням розумових структур. Основу такої відповідності він бачить у їх генетичну спорідненість (його джерело - абстракції дій) [10]. Таким чином, концепцію Ж. Піаже можна сформулювати наступним чином: лише на основі сформованих розумових структур можливе формування математичного мислення у дітей.
Вітчизняна психологія неоднозначно ставиться до праць Ж. Піаже, зазначаючи в них як сильні, так і слабкі сторони. П.Я. Гальперін і Д. Ельконін не згодні ні з тим, що логіка є єдиним або хоча б головним критерієм мислення, пі з тим, що рівень формально-логічних операції становить вищий рівень розвитку мислення.
Згідно з Ж. Піаже, інтелектуальне, і зокрема математичне розвиток закапчівается до 15 років, так як до цього часу всі структури у підлітка вже сформовані, Б Надалі мова може йти лише про їх конкретизації і наповненні різними знаннями, вміннями, навичками і способами діяльності. Однак, як показали дослідження І.Я. Каплуновіча, після 15 років математичне розвиток триває, перш за все за рахунок формування різноманітних зв'язків і відносин між окремими підструктурами [11].
Л.К. Максимов вважає, що цей підхід не висвітлює питання про функціональному розвитку мислення. Розвиток дитячого мислення розуміється як зміна стадій розвитку інтелекту, які "прив'язані" до віку. Крім того, теорія Ж. Піаже "абсолютизує момент саморуху" і "недооцінює значення цілеспрямованих, формуючих впливів ззовні", так як визначається тільки внутрішніми закономірностями розвитку дитини. Незважаючи на це, у ній було отримано ряд важливих результатів. Як відзначив Ж. Піаже, "характерне для юнацтва рефлексивне мислення зароджується з 11 - 12 років, починаючи з моменту, коли суб'єкт стає здатний міркувати гіпотетико-дедуктивно" [10]. Третій підхід представлений дослідженнями Л.Б. Ітельсоіа, І.Я. Каплуновіча, Д. Нормана, В.А. Тестова, М.А. Холодної та ін про структуру мислення. Так, В.А. Тестів стверджує, що "ідея структур, що знайшла своє відображення (і виявилася дуже плідною) у багатотомній трактаті Н. Бурбаки, а також відповідність між математичними структурами і структурами людського мислення, виявлене школою Ж. Піаже, послужили спонукальними мотивами до радикальної реформи математичної освіти в 60-70-х роках у школах і вузах як за кордоном, так і в нашій країні ... Істотним недоліком у стратегії навчання, що проявився в ході реформи, стало те, що більшість вчених-модернізаторів, спираючись на окремі результати Ж. Піаже, обмежилися спробами впровадження в шкільну математику тільки алгебраїчних, порядкових і топологічних структур і не приділили належної уваги іншим видам математичних структур (комбінаторним, алгоритмічним, образно-геометричним і т.д.), що грає особливу роль у дослідницькій активності, в утворенні нових понятійних структур " [12].
Сучасна психологія дає всі підстави вважати, що основами інтелектуальних процесів є різні складні пізнавальні структури, що мають різну кількість ієрархічних рівнів.
У когнітивної психології вважається встановленим фактом, що інформація зберігається в пам'яті переважно не у вигляді безпосередніх зліпків того, що було сприйнято, а у вигляді більш-менш узагальнених продуктів розумової переробки сприйнятого - репрезентативних когнітивних структур або когнітивних схем,
Репрезентативні когнітивні структури - це внутрішні психологічні структури, які складаються в процесі життя і навчання в голові людини, це спосіб опису і збереження знань в довготривалій пам'яті. У цих структурах представлена ​​склалася у людини картина світу, суспільства і самого себе.
У процесі навчання математики у людини складаються специфічні когнітивні структури, що є відображенням об'єктивно існуючих математичних структур. Розрізняють два типи когнітивних структур, які формуються за "горизонтального" і "вертикальному" принципом (В. А. Тестів, М. А. Холодна). До першого належать алгебраїчні, порядкові і топологічні когнітивні структури, що виступають як прототипи, спрощені моделі математичних об'єктів, перш за все як комплекс, засоби зберігання математичних знань. До другого - логічні, алгоритмічні, комбінаторні, образно-геометричні когнітивні схеми, причому вони виступають, в першу чергу, як засобу, методи математичного пізнання.
У процесі навчання структури зазнають змін. Залежно від характеру останніх Д. Норманом були виділені три різні форми навчання [12]:
1) нарощування структур - додавання нового знання до вже існуючих схем пам'яті;
2) створення структур - утворення нових понятійних структур, нове осмислення, якісне оновлення системи знань;
3) настройка структур - грузьке пристосування знання до задачі.
До цих форм В.А. Тестів додає ще одну, фактично розглянуту Л.Б. Ітельсона:
4) перебудова структур. Ця форма навчання складається з перетворень структур трьох типів:
а) перехід на більш високу ступінь організації, коли сформована раніше структура стає підструктурою нової, більш широкої (наприклад, структура натуральних чисел стає підструктурою раціональних чисел);
б) зміна принципу організації структури, коли координація (поєднання) частин всередині неї замінюється їх субординацією (підпорядкуванням) або назад (наприклад, цілі числа і дроби - лише з певного моменту в навчанні ціле число стає окремим випадком дробу);
в) перецентровка структури, тобто висунення в якості істотних тих елементів, які були другорядними, і назад (наприклад, при переході від вивчення рівних трикутників до вивчення подібних довжини відповідних сторін стають другорядними, а величини відповідних кутів - головними ознаками).
Дещо інша точка зору про структуру мислення наводиться в дослідженнях І.Я. Каплуновіча. Відповідно до його моделі, структура математичного мислення являє собою перетин п'яти основних підструктур: топологічної, порядкової, метричної, композиційної (алгебраїчної) і проективної [13].
Топологічна підструктура забезпечує замкнутість, компактність, зв'язаність здійснюваних мисленням перетворень, безперервність трансформацій, уявне вирощування, виділення в поданні необхідного об'єкта (його образу). Порядкова дає можливість постійного зіставлення людиною математичних об'єктів і їх елементів за такими характеристиками, як більше-менше, ближче-далі, частина-ціле, зміна напрямку руху і його характеру, положення, форма, конструкція предмета. Метрична дозволяє виокремлювати в об'єктах і їх компонентах кількісні величини та відношення (пропорції, чисельні значення розмірів, кутів, відстаней). За допомогою алгебраїчної підструктури людина здійснює не тільки прямі і зворотні операції над математичними об'єктами, розчленування і поєднання їх складових, за і заміну кількох операцій - одного з певної сукупності, об'єднання декількох блоків предмета в один, виконання математичних перетворень у будь-якій послідовності. Нарешті, проективна підструктура забезпечує вивчення математичного об'єкта або його зображення з певного самостійно обраного положення, проектування з цієї позиції об'єкта па зображення (або зображення на об'єкт) і встановлення відповідності між ними.
Вказані п'ять підструктур в математичному мисленні людини існують не автономно, не ізольовано, вони не рівнозначні і не рядоположени, а перетинаються і знаходяться в певній залежності, ієрархії за ступенем значущості і показності в інтелекті. У відповідності з індивідуальними особливостями та чи інша підструктура займає місце головною, провідною, домінуючою. Вона найбільш яскраво виражена в порівнянні з іншими, більш-стійка і краще розвинена. Цю модель структури мислення ми назвемо "спрямованістю розуму".
На наш погляд, ця модель структури мислення може надати допомогу в пошуку відповідей па нелегкі питання, пов'язані з диференційованим навчанням у початковій школі. Вона описує структуру мислення дитини і пропонує орієнтири для подальшої роботи в напрямку його розвитку.
Знання індивідуальних домінантних підструктур мислення учнів може надати істотну допомогу і при організації на уроці групової роботи. Якщо разом об'єднуються діти з різними домінантними підструктурами, то згуртованої роботи, однодумності очікувати від них важко. Такі групи доцільно створювати в тих ситуаціях, коли діти повинні виробити різні точки зору, різні підходи, різні рішення. Допомагає така форма організації і тоді, коли ми хочемо, щоб однолітки допомогли своєму товаришеві прийняти ІНША погляд, позицію, інше рішення. Зібравши в групу дітей з однаковою підструктурою мислення, можна бути впевненим, що вони легко і швидко зрозуміють один одного і їх спільна робота буде швидко просуватися, виявиться продуктивною.
Прихильники самого поширеного, четвертого підходу (Ж. Адамара, А. Я. Хінчіп, С. І. Шварцбурд, А. Пуанкаре та ін) характеризують математичне мислення як абстрактне, логічне, що володіє здатністю до формалізації, узагальнення, просторовим уявленням і ін , тобто наділяють якостями, які фактично визначають характеристику мислення не тільки в математичній, по і в будь-який інший предметної області.
Серед характерних рис математичного мислення називають абстрактність, широту, глибину, гнучкість та інші якості. Так, наприклад, Г. Хемлі виділив три види операцій: класифікацію, порядок і відповідність, вважаючи, що вони найбільш повно характеризують дії з будь-яким математичним матеріалом.
У дослідженнях К. Дупкера в якості умов, що сприяють розвитку мислення в галузі математичних об'єктів, виділені широта, гнучкість і здатність абстрагуватися від конкретного змісту. Він зазначає: "Поганий математик не може легко здійснити перетворення тому, що мислиме їм зміст не є відносно нерухомим, жорстким і тому з працею піддається перебудові" [14. с. 231].
Н. Манер [15] також надає великого значення гнучкості мислення та процесі вирішення завдань, в тому числі і математичних. Він вважає, що звичний спосіб дії гальмує вироблення правильного рішення, створить труднощі у використанні різних підходів.
Особливо важливим у вирішенні завдань вважається здатність до генералізованого розуміння ситуації, до схоплювання структурних співвідношень і узагальненому вигляді [16]. У результаті інтроспективного дослідження структури математичного мислення В. Хаекер і Т. Циген виділили компоненти, складові, на їхню думку, "ядро" такого мислення [1]:
1) просторове - розуміння просторових фігур, образів та їх складових, пам'ять па просторові образи, просторові абстракції;
2) логічний - утворення понять (типу "синус", "тангенс" і т.п.) і понять абстракцій; розуміння, запам'ятовування і самостійне виведення загальних понятійних зв'язків, висновків і доказів за правилами формальної логіки, освіта числових уявлень, пам'ять на числа , числові рішення;
3) символічний - розуміння і запам'ятовування символів, операції з ними.
Специфіка математичного мислення та його особливості відзначаються в багатьох роботах математиків-педагогів. Так, А. Пуанкаре та Ж. Адамара, з одного боку, відзначали специфічність мислення математика, яка виявляється у властивій йому "математичної індукції", підсвідомої творчої роботи, вказуючи, що математичне творчість пов'язана із загальним інтелектом, творчістю взагалі, з іншого боку, говорили про необхідність особливого логічного мислення.
Велике значення надавав ролі "несвідомого розумового процесу" російський математик Д.Д. Мордухай-Болтовский. Він писав: "Мислення математика ... глибоко впроваджується в несвідому сферу, то спливаючи па поверхню, то занурюючись в глибину ... Математик не усвідомлює кожного кроку думки, як віртуоз - рухів смичка". В якості найбільш важливих компонентів мислення він вважав "сильну пам'ять" па "предмет того типу, з яким має справу математика" (пам'ять на ідеї і думки); "дотепність" як здатність "обіймати в одному судженні" поняття з двох малосвязанних областей думки; швидкість думки [17].
Враховуючи, що математичне мислення має свої риси і особливості, які обумовлені специфікою методів навчання, Ю. М. Колягін відзначає, що математичному мисленню властиві ті якості, які притаманні науковому мисленню, тобто гнучкість, активність, цілеспрямованість, готовність пам'яті до відтворення засвоєного, широта, глибина, критичність і самокритичність, ясність, точність, лаконічність, оригінальність, доказовість [18].
С.І. Шварцбурд, вказуючи на ряд компонентів, що впливають на розвиток учнів, звертає увагу на шпроти просторових уявлень; вміння відрізняти істотне від несуттєвого, абстрагуватися, абсолютно мислити; здатність перейти від конкретної ситуації до математичної формулюванні питання, до схеми, стисло характеризує суть справи; навички дедуктивного мислення, вміння аналізувати, критикувати і ставити нові питання; володіння досить розвиненою математичної промовою; володіння достатнім терпінням при вирішенні математичних завдань [19, с.33].
А.І. Маркушенічем в характеристиці математичного мислення виділені: вміння виокремлювати сутність питання, відволікаючись від несуттєвих деталей, абстрагуватися, будувати таку схему явища, в якій присутня тільки те, що потрібно для математичної трактування питання, а саме: відношення порядку, приналежності, кількості і заходи. просторового розташування, вміння схематизувати; виводити логічні наслідки з даних передумов; аналізувати дане питання, виокремлюючи з пего окремі випадки, розрізняти, коли вони вичерпують всі можливості і коли вони є лише прикладами; вміння застосовувати висновки, отримані з теоретичних міркуванні, до конкретних питань і зіставляти результати з тим, що теоретично передбачається, оцінювати вплив зміни умов по надійності результату; вміння узагальнювати отримані висновки і ставити нові питання в узагальненому вигляді [20, с. 3-14].
В.А. Гусєв вказує такі характерні риси математичного мислення, які формуються у переважної кількості учнів при вивченні математики а середній школі: 1) чіткість формулювання проблеми, завдання, завдання; 2} розуміння пропонованого математичного матеріалу; 3) строгість викладу матеріалу; 4) пам'ять.
Як стверджує В.А. Гусєв, "зрозуміти яке-небудь явище - це означає розкрити в ньому істотне, усвідомити причини його виникнення, його взаємозв'язок з іншими явищами, його місце в системі навколишніх явищ. Можна по-різному ставитися до такого трактування, але слід усвідомити одне, що акт розуміння не може бути миттєвим, він охоплює безліч взаємопов'язаних параметрів, а тому критика типового для вчителів питання правомірна "[21].
Одним з найважливіших якостей математичного мислення М.В. Потоцький вважає "уміння розчленовувати комплекси, зокрема, оголити логічну структуру міркування, вміння відокремити те, що доведено, від усього привнесеного ...", а також уміння" відірвавшись від второваних шляхів, або іноді йдучи по мім, відразу помітити той шлях, який веде від вихідних передумов до намічених кінцевих висновків "[22, с. 130]. При цьому він відзначає, що математичне мислення треба розвивати шляхом подолання труднощів п вирішенні доцільно підібраних завдань [22, с. 136].
А.Я. Хинчин, глибоко цікавився проблемами навчання математики, до своєрідних рис математичного мислення відносив наступні чотири характерні ознаки.
1. "Для математики характерно доведення до межі домінування логічної схеми міркування ... Ця своєрідна риса стилю математичного мислення, в настільки повною мірою не зустрічається пі в жодній іншій науці, має в собі багато ланцюгового ... Вона в максимальній мірі дозволяє стежити за правильністю перебігу думки і гарантує від помилок, з іншого боку, вона змушує мислячого при кожній диз'юнкції мати перед очима всю сукупність наявних можливостей і зобов'язує його врахувати кожну з них, не пропускаючи жодної ".
2. "Лаконізм, свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший, що веде до даної мети логічний шлях, нещадне відкидання всього, що не абсолютно необхідно для бездоганної аргументації".
3. "Чітка розчленованість ходу аргументації",
4. Скрупульозна точність символіки. "Кожен математичний символ має строго певне значення: заміна його іншим символом або перестановка на інше місце, як правило, тягне за собою спотворення, а часом і повне знищення сенсу даного висловлювання" [23, с. 141-144].
Звичайно, ці риси специфічні, та все ж вони відбивають лише зовнішні сторони математичного стилю мислення. Що здійснюється зараз, широка математизація науки призвела до того, що всі вони стали притаманні і стилю багатьох інших наук, не тільки природних (фізики, хімії та ін), але й таких, як лінгвістика, економіка і т.д.
Представники п'ятого підходу пов'язують математичне мислення з поняттями "здібності" і "узагальнення".
Розумінню суті, змісту і способів математичного мислення допомагають виділені фахівцями особистісні та розумові якості, що характеризують діяльність математиків при вирішенні математичних проблем, завдань. О.М. Колмогоров такими якостями вважав знаходження вдалих шляхів для вирішення рівнянь, не підходящих під стандартні правила ("алгоритмічні здібності"), геометричне уяву або "геометричну інтуїцію", мистецтво послідовного, правильного розчленованого логічного міркування, л зокрема, розуміння і вміння правильно застосовувати принцип індукції [ 24, с. 9-10]. Б. В. Гнєденко в ряді робіт [25; 26; 27] в якості основних вимог до математичного мислення висуває здатність вловлювати нечіткість міркувань, необхідність повноцінного логічного аргументування, чітку розчленованість ходу міркувань, лаконізм, точність символіки.
В.А. Крутецкий відзначає, що мислення здатних до математики учнів відрізняється наступними характеристиками: швидким і широким узагальненням; прагненням мислити згорнутими висновками; великою рухливістю розумових процесів; вільним перемиканням від однієї розумової операції до іншої; тенденцією до ясності, простоті, раціональності, економічності, витонченості рішення. Як вказує цей автор, найголовніше при навчанні математики - формувати в учнів узагальнені математичні відносини, розвивати здібності до узагальнення. У його дослідженні специфічною здатністю щодо математичного матеріалу виступала "здатність до узагальнення математичних об'єктів, відносин і дій" [28, с. 385-386, 389]. Існують різні шляхи досягнення цього в залежності від індивідуально-типологічних особливостей школярів. Вчителю слід керуватися тими особливостями, які найбільш сильно виражені, і, відштовхуючись від них, поступово долати специфічні слабкі риси математичного мислення.
У дослідженні В.А. Крутецкого були виявлені два способи узагальнення: поступове, до якого учень приходить в результаті тривалого вирішення однотипних завдань, та узагальнення "з місця" - на основі аналізу рішення однієї задачі, "... не відчуваючи труднощів, без допомоги експериментатора, без спеціального тренування в рішенні однотипних завдань "[28, с. 264-265]. Перший спосіб, як показав В.В. Давидов, є не що інше, як емпіричне узагальнення, а другий - теоретичне. Вони обумовлюють особливості двох типів мислення - розсудливо-емпіричного і теоретичного [29].
За визначенням В.А. Крутецкого, основними характеристиками математичного мислення є [28]:
1) здатність до формалізації математичного матеріалу, до відділення форми від змісту, абстрагування від конкретних кількісних відносин і просторових форм і оперування формальними структурами, структурами відносин і зв'язків;
2) здатність узагальнювати математичний матеріал, виділяти головне, відволікаючись від несуттєвого, бачити загальне в зовні різному;
3) здатність до оперування числовою і знаковою символікою;
4) здатність до послідовного, правильно расчлененному логічного міркування, пов'язаному з потребою в доказах, обгрунтуваннях, висновках;
5) здатність скорочувати процес міркування, мислити згорнутими структурами;
6) здатність до оборотності розумового процесу (до переходу з прямого на зворотний хід думки);
7) гнучкість мислення, здатність до перемикання від однієї розумової операції до іншої, свобода від сковуючого впливу шаблонів і трафаретів, Ця особливість потрібна у творчій роботі математика;
8) математична пам'ять. Можна припустити, що її характерні особливості також випливають з особливостей математичної науки, що це пам'ять па узагальнення, формалізовані структури, логічні схеми;
9) здатність до просторових уявлень, яка прямим чином пов'язана з наявністю такої галузі математики, як геометрія,
Прихильники шостого підходу вважають, що математичне мислення є мисленням теоретичним і має таку ж послідовність становлення від емпіричного до аналітичного, до плануючого, рефлексуючому (Р. Атаханов, В. В. Давидов, Ле Тхі Кхань Кхо, Л. К. Максимов та ін ).
Л.М. Фрідман пише: "Здається все ж, що математичне мислення, особливо сучасне, має свою специфіку, сном особливості, що відрізняють його від мислення в інших науках ... Специфіку математичного мислення слід шукати не в її методах, які дійсно широко зараз застосовуються в інших науках і тому отримують все більше і більше статус загальних методів пізнання, а в її об'єктах "[30, с. 39 - 40]. Виходячи з цього, він дає наступне визначення: "Математичне мислення - це гранично абстрактне, теоретичне мислення, об'єкти якого позбавлені будь-якої матеріальність і можуть інтерпретуватися самим довільним чином, аби при цьому зберігалися задані між ними відносини" [30, с. 41].
Математичне мислення, яке повинно бути сформовано в учнів в процесі навчання математики, Л.М. Фрідман вважає складовою частиною загальної культури мислення. На його думку, "культурне мислення - це таке, при якому використання різних способів та прийомів мислення відбувається у певній, суворої системі, в повній відповідності з характером розв'язуваної розумової задачі" [30, с. 44]. Однак він відзначає, що математичний стиль мислення в найбільш яскравій формі виражає науково-теоретичний стиль мислення взагалі. Культура мислення характеризується їм такими ознаками, як розумність, логічність та дисциплінованість.
Л.К. Максимовим були розроблені методики, що дозволяють виявити особливості прояву на математичному матеріалі таких розумових дій, як аналіз, рефлексія, планування. З його точки зору, "показником розвитку математичного мислення школярів служить наявність у них можливості орієнтуватися на рефлексію і внутрішній план дії". Іншими словами, "математичне мислення передбачає такий тип орієнтації, який характерний для теоретичного мислення" [5, 6, 7]. У результаті проведеного експериментального дослідження Л.К. Максимовим було встановлено, що емпіричний рівень математичного мислення має більш ранні, а теоретичний - пізніші вікові прояви. Наприклад, число учнів звичайних класів, правильно виконали завдання на рефлексію, зростала від 8,1% в I класі до 13,5% в III. На підставі цих даних був зроблений висновок про те, що є певний період переходу від емпіричного рівня математичного мислення до теоретичного. Ле Тхі Кхань Кхо відзначає, що "можна зафіксувати наступні переходи в розвитку мислення: від емпіричного до теоретичного, а всередині теоретичного - від аналітичного рівня до рефлексуючому" [31].
Р. Атахапов виділив наступні рівні розвитку математичного мислення: емпіричний, рівень аналізу, планування, рефлексії (останній і є теоретичним, власне математичним мисленням) [32].
Таким чином, ми розглянули основні підходи до трактування феномена математичне мислення у психолого-педагогічній літературі. Мислення як процес, що характеризує активність особистості, отримує свій найбільший розвиток у діяльності. При вивченні математики такою діяльністю є процес вирішення навчальних завдань, тобто процес безперервного взаємодії з знаючого суб'єкта з пізнаваним об'єктом.
Отже, математичне мислення є складовою частиною мислення взагалі. Тим не менше, воно володіє деякими особливостями, перш за все пов'язаними зі специфікою відображення математикою реальної дійсності, Якщо в природних павуків, з якими математика найбільш пов'язана, результати виходять на основі експерименту, то в математиці експеримент грає лише допоміжну роль, будучи засобом побудови гіпотез. Математика, абстрагуючись від конкретного, має високий ступінь спільності за рахунок побудови багатоступеневих абстракцій. Формування цих абстрактних конструкцій робить вирішальний вплив на так зване "абстрактне мислення". Це та категорія мислення, без урахування якої неможливо навчити учнів додатків математики. Наступною особливістю математичного мислення є строго детермінована побудова його логічного апарату, при цьому методи міркування (аналогія, індукція і т.д.), так звані евристичні методи, є лише допоміжними засобами. У математиці той чи інший факт або доводиться з вичерпною обгрунтованістю, або нещадно відкидається. Такі жорсткі вимоги в деяких випадках лякають дітей, і складність полягає в постійному привчанні їх до повноти і обгрунтованості аргументації.
У концепції шкільної математичної освіти виділені основні цілі навчання - це навчання учнів прийомів мислення і методів пізнання, формування у них якостей математичного мислення, математичних розумових здібностей і вмінь. Іншими словами, одна з основних завдань шкільного математичної освіти - це розвиток математичного мислення. Важливість досліджень зазначеної проблеми підсилюється зростаючим значенням і застосуванням математики і різних галузях науки, економіки та виробництва.

Список літератури
1. Голіков А.І. Розвиток математичного мислення засобами динамічних інтелектуальних ігор переслідування. Новосибірськ, 2002.
2. Трегуб Л.С. Елементи сучасного введення в матаналіз. Ташкент, 2003.
3. Слєпкань З.І. Психолого-педагогічні основи навчання математики: Метод, посібник. Київ, 1983.
4. Фрейдентал' Г. Математика в науці і навколо нас. М., 1977.
5. Максимов Л.К. Залежність розвитку математичного мислення школярів від характеру навчання / / Питання психології. 2002. № 2.
6. Максимов Л.К. Психічні особливості математичного мислення школярів. Повідомлення 1. Про поняття "математичне мислення" в сучасній психолого-математичної літератури / / Нові дослідження в психології. 2004. № 1.
7. Максимов Л.К. Розвиток математичного мислення молодших школярів в умовах навчальної діяльності: Автореф. дисс. докт. психол. наук. Москва, 2003.
8. Фрідман Л.М. Теоретичні основи методики навчання математики в школі. М., 2008.
9. Вейл' Г. Математичне мислення. М., 2005.
10. Піаже Ж. Структури математики та операторні структури мислення. М "2000.
11. Каплуновіч І.Я. Психологічні закономірності генезису математичного мислення / / Математика в вузі та школі: навчання та розвиток: Тези 16 Всеросійського семінару викладачів математики та методики її викладання. Новгород, 2007.
12. Тестів В.А. Стратегія навчання математики. М., 1999.
13. Каплуновіч І.Я. Вимірювання і конструювання навчання у зоні найближчого розвитку / / Педагогіка. 2002. № 10.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Реферат
61.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Теоретичні підходи до феномену математичне мислення
Теоретичні підходи до феномену математичне мислення 3
Теоретичні підходи до розуміння феномену субкультури
Сучасні підходи до феномену лідерства
Математичне мислення молодших школярів
Теоретичні підходи в юридичній психології
Теоретичні підходи до аналізу соціальної структури суспільства
Як побудувати комплексну систему управління витратами теоретичні засади та практичні підходи
Теоретичні засади розвитку творчого професійно-педагогічного мислення
© Усі права захищені
написати до нас