АСТРАХАНСЬКИЙ государственнной ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретичної і прикладної механіки
ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА
Посібник за рішенням типових завдань
Частина 1. Статика
В.І. Локтєв, М.А. Михайлова
Астрахань 2008

ЗМІСТ
Введення
Загальні методичні вказівки
Вимоги до виконання розрахунково-графічних робіт
Приклади типових завдань
Приклад 1. Система збіжних сил у площині
Приклад 2. Рівновага тіла у площині
Приклад 3. Визначення реакцій двухопорний балки
Приклад 4. Рівновага системи тіл в площині
Приклад 5. Рівновага просторової системи сил

Введення

Допомога, за задумом авторів, допоможе студентам освоїти алгоритм розв'язання типових задач статики в рамках розрахунково-графічних робіт (РГР) за курсом теоретичної механіки. Посібник включає в себе загальні методичні вказівки, рекомендації з оформлення РГР, приклади розв'язання задач.
Всі завдання, розглянуті в прикладах, взяті з давно вже став класичним «Збірника завдань з теоретичної механіки» І.В. Мещерського, номери завдань відповідають тридцять шостому виданню 1986 року.
В даний час актуальним є впровадження комп'ютерних програм у процес навчання. Дійсно, при багатому виборі математичних програм, що володіють великими можливостями, цілком логічно залишити обчислювальну частина завдання комп'ютера. Це дозволяє, по-перше, не оцінювати математичні здібності студентів, а по-друге, заощаджує час студента. Наведені в нашому посібнику завдання вирішені й аналітично, і з використанням програми Mathcad. Для вирішення отриманих систем рівнянь рівноваги використовувалися матричний і ітераційний методи, показана реалізація цих методів у програмі Mathcad. Використання математичних комп'ютерних програм при вирішенні завдань, безумовно, заохочується, проте не є необхідною вимогою.
Ще один корисний для студентів порада - не просто формально отримати в задачі числової відповідь, а в ході рішення знайти упевненість, що відповідь отримана правильний. Для цього рішення необхідно перевірити, фахівці сказали б - «провести експертизу проекту». У посібнику показано, як в задачах статики можна провести подібну експертизу, тобто шляхом перевірки переконатися в правильності рішення.

Загальні методичні вказівки
Основна практичне завдання статики - визначення реакцій зв'язків, що утримують конструкцію, тіло або систему тіл у рівновазі. Усі типові задачі про рівновазі вирішуються за єдиною методикою:
1. Вибираємо об'єкт дослідження.
Об'єкт дослідження вибираємо так, щоб на розрахунковій схемі були шукані невідомі і задані навантаження. У задачах про рівновагу складеної конструкції в якості об'єкта дослідження доводиться послідовно розглядати кожну частину конструкції.
2. Складаємо розрахункову схему вибраного об'єкту
Обраний об'єкт дослідження зображуємо окремо, і тут же зображуємо всі сили, що діють на нього:
а) активні сили (задаються сили або моменти, а також сили, які не залежать від контакту об'єкта з іншими тілами, наприклад, сили тяжіння або сили електромагнітного взаємодії);
б) реакції зв'язків (для цього подумки обводимо об'єкт дослідження по контуру, і в точках контакту з відкинутими тілами або опорами (зв'язками) прикладаємо сили або моменти, що їх замінюють дію).
3. Складаємо рівняння рівноваги, їх форма і кількість залежать від виду системи сил в розрахунковій схемі.
Тут можливі такі випадки:
а) лінійна система сил по осі x: ;
б) система збіжних сил у площині xy: , ;
в) система збіжних сил у просторі xyz: , , ;
г) система паралельних сил у площині: , ;
д) система довільних сил у площині xy: , , ;
е) система довільних сил у просторі xyz: , , , , , .
4. Вирішуємо отриману систему лінійних алгебраїчних рівнянь і знаходимо невідомі. Слід звернути увагу на розмірності вихідних даних. Краще всього відразу перевести всі величини в одиниці СІ (метри, Ньютон).
5. Оцінимо логічно правдоподібність отриманих результатів і виконаємо перевірку. Будь-які додаткові («нові») рівняння рівноваги для тих же або інших об'єктів дослідження в рамках даної задачі повинні звертатися в тотожність.

Вимоги до оформлення розрахунково-графічних робіт
Розрахунково-графічні роботи (РГР) оформляються акуратно на аркушах паперу формату А4 (писати з одного боку).
На першому (титульному аркуші) вказується назва університету, кафедри, предмета, назва (тема) РГР, номер варіанта і рік виконання роботи. Також вказується П.І.Б. й посаду викладача, спеціальність (група), П.І.Б. студента.
При виконанні РГР потрібно обов'язково привести текст кожного завдання, виписати вихідні дані свого варіанту і зробити відноситься до задачі і свого варіанту креслення. Креслення повинні виконуватися олівцем, з допомогою креслярських інструментів, в масштабі, акуратно і точно. На кресленнях повинні бути зображені осі координат і всі вектори, які зустрічаються в ході вирішення завдання (сили, швидкості, прискорення).
Рішення кожної задачі повинно супроводжуватися короткими поясненнями, тобто має бути вказано, які теореми, формули або рівняння застосовуються при вирішенні даної задачі.
Використання математичних комп'ютерних програм при вирішенні завдань, безумовно, заохочується, проте не є необхідною вимогою. Розрахунки, виконані в математичній програмі необхідно роздрукувати і прикріпити до записці.

Приклади типових завдань
Приклад СП-1. Система збіжних сил у площині (Мещерський, 2.15)

До мотузці АВ, один кінець якої закріплений в точці А, прив'язані в точці В вантаж Р і мотузка ВСD, перекинута через блок, до кінця її D прив'язана гиря Q ваги 100 Н. Визначити, нехтуючи тертям на блоці, натяг T мотузки АВ і величину вантажу Р, якщо в положенні рівноваги кути, утворені мотузками з вертикаллю ВЕ, рівні .

Відповідь: T = 122 H, P = 137 H.

b

a

Q

P

E

D

C

B

A

Рішення.

Розглянемо рівновагу точки В і складемо розрахункову схему сил, діючих на неї (рис.1). На точку В, як активна сила, діє сила тяжіння вантажу .

З боку зв'язків (мотузок) на точку В діють їх реакції - натяг вздовж мотузки АВ і натяг частини мотузки ВС, причому за модулем натяг N дорівнює вазі вантажу D (N = Q).

x 1

b

a

x

C

B

A

y

 

Для отриманої в розрахунковій схемі плоскої системи збіжних сил складаємо два рівняння рівноваги в проекціях на осі координат x і y (рис. 1):

З рівняння (1) знаходимо Підставляємо в рівняння (2) і знаходимо При заданих числових значеннях отримуємо T = 122 Н, Р = 136,6 Н.
Перевірка.
Для перевірки складемо ще одне рівняння рівноваги у формі проекцій сил на вісь x ₁ (рис.1) і переконаємося, що воно звертається в тотожність:

Дійсно, при підстановці знайдених значень отримуємо

Відносна похибка обчислень становить не більше (0,028 / ^100). 100% ~ 0,028%.
Відповідь.
Натяг мотузки АС дорівнює T = 122,5 Н, вага вантажу Р = 136,6 Н.
Комп'ютерне рішення.
Для вирішення системи лінійних рівнянь можна використовувати, наприклад, матричний метод. Рівняння рівноваги (1) і (2) запишемо у стандартній формі, зберігаючи невідомі в лівих частинах рівнянь:

У матричному вигляді ця система рівнянь записується так:

Матричне рішення має вигляд:
.
У середовищі Mathcad можна виконати і перевірку.

Приклад СП-2. Рівновага тіла в площині (Мещерський, 4.10)

Однорідний стрижень АВ ваги 100 Н спирається одним кінцем на гладкий горизонтальну підлогу, іншим на гладку площину, нахилену під кутом 30 0 до горизонту. У кінця У стрижень підтримується мотузкою, перекинутої через блок С і несучої вантаж Р; частина мотузка НД паралельна похилій площині. Нехтуючи тертям на блоці, визначити вантаж Р і сили тиску N A і N B на підлогу і похилу площину.

Відповідь: P = 25 H, N _A = 50 H, N _B = 43,3 H

B

A

30 0

P

C

Рішення.

Розглянемо рівновагу стрижня АВ і складемо розрахункову схему сил, діючих на неї (рис.2). На точку D, як активна сила, діє сила тяжіння стрижня АВ - .

З боку зв'язків (підлоги і площині) на стрижень діють їх реакції - , (Відповідно), і натяг частини мотузки ВС, причому за модулем натяг дорівнює вазі вантажу P (T = P).

b

C

D

a

x

y

B

A

 

Для отриманої в розрахунковій схемі плоскої системи сил складаємо три рівняння рівноваги: ​​2 рівняння сил у проекціях на осі координат x і y та суму моментів сил відносно точки B (рис. 2). ( ):

З рівняння (3) знаходимо .
З рівняння (1) .
Підставляємо в рівняння (2)

і знаходимо

При заданих числових значеннях отримуємо N _A = 50 Н, N _B = 43,3 Н, Р = 25 Н.
Перевірка. Для перевірки складемо рівняння рівноваги у формі суми моментів сил відносно точки D (рис. 1) і переконаємося, що воно звертається в тотожність:

Дійсно, при підстановці знайдених значень отримуємо

Відповідь. Тиску рівні N _A = 50 Н, N _B = 43.3 Н, вага вантажу Р = 25 Н.

Комп'ютерне рішення. Для вирішення системи лінійних рівнянь можна використовувати, наприклад, матричний метод. Рівняння рівноваги (1), (2) та (3) запишемо у стандартній формі, зберігаючи невідомі в лівих частинах рівнянь:

Матрична запис рівнянь має вигляд:

Вирішуємо в середовищі Mathcad і виконуємо перевірку.



Приклад СП-3. Визначення реакцій в двухопорний балці (Мещерський, 3.16)

На двухопорний горизонтальну балку діє пара сил (P, P), на ліву консоль - рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q, а в точці D правої консолі - вертикальне навантаження Q. Визначити реакції опор, якщо P = 1 кН, Q = 2 кН, q = 2 кН / м., а = 0,8 м..

Відповідь: Ra = 1.5 кН, Rв = 2.1 кН
SHAPE \ * MERGEFORMAT

a

P

a

q

P

Q

D

a

a

C

A

B

a

Рішення:
Розглянемо рівновагу стрижня CАВD і складемо розрахункову схему сил, діючих на неї (рис.3).
У точці А шарнірно нерухома опора замінюється реакціями R _ay і R _ax . Аналогічно в точці B шарнірно рухлива опора замінюється реакцією R _в.
Для отриманої в розрахунковій схемі плоскої системи сил складаємо 3 рівняння: два рівняння сил у проекціях на осі координат x і y, а також суму моментів сил щодо однієї з відкинутих опор (рис.3)


З рівняння (1) знаходимо .
З рівняння (3)
.
Підставляємо Rв в рівняння (2) і висловлюємо Rау:

Перевірка. Для перевірки складемо рівняння рівноваги у формі суми моментів сил відносно точки D (рис. 3) і переконаємося, що воно звертається в тотожність:

Дійсно, при підстановці знайдених значень отримуємо

Відповідь. Реакції рівні Ra = 1.5 кН, Rв = 2.1 кН.
Комп'ютерне рішення. Для вирішення системи лінійних рівнянь можна використовувати ітераційні методи.
Вирішуємо задачу в у середовищі Mathcad ітераційним методом:



Приклад СП-4. Рівновага системи тіл в площині (Мещерський, 4.43)

Підвіска складається з двох балок АВ і СD, з'єднаних шарнірно в т.D і прикріплених до стелі шарнірами А і С. Вага балки АВ дорівнює 60 Н і прикладений в тобто. Вага балки CD дорівнює 50 Н і прикладений в т.F. У точці В балки АВ прикладена вертикальна сила Р = 200 Н. Визначити реакції в шарнірах А і С, якщо задано такі розміри: АВ = 1 м, СD = 0.8 м, АЕ = 0.4 м, СF = 0.4 м, кути нахилу балок АВ і СD до горизонту відповідно рівні: α = 60 0 і β = 45 0.

Відповідь:-Xa = Xc = 135 Н, Ya = 150 H, Yc = 160 H.

SHAPE \ * MERGEFORMAT

P

A

B

Е

D

F