Зміст
Введення
1. Характери
1. 1 Визначення характеру. Основні властивості характерів
1. 2 Суми характерів. Співвідношення ортогональності
1. 3 Характери Дирихле
2. L-функція Діріхле
3. Доказ теореми Діріхле
Введення
Прості числа розташовані в натуральному ряді вельми нерівномірно.
Метою даної роботи є доказ наступної теореми про прості числа в арифметичній прогресії.
Теорема Діріхле. Якщо різниця і перший член арифметичної прогресії є взаємно прості натуральні числа, то вона містить безліч простих чисел.
Нехай
mn + l, n = 1,2, ...,
прогресія, що задовольняє умові теореми.
Умова (m, l) = 1, накладені на числа m і e у формулюванні теореми, природно, оскільки у випадку, коли d = (m, l)> 1, всі члени прогресії діляться на d і тому не є простими числами.
Сформульована теорія була вперше висловлена Л. Ейлером в 1783 р. У 1798 р. А. Лежандр опублікував доказ для парних m, використовувала, як з'ясувалося пізніше, одну помилкову лему.
Повністю довів теорему в 1837-1839 рр.. Петер Густав Лежен-Діріхле (1805-1859), німецький математик, автор праць з аналітичної теорії чисел, теорії функцій, математичної фізики.
У 1837 р. вийшли дві роботи Дирихле, присвячені теоремі про прості числа в арифметичній прогресії. Вони містили формулювання теореми в загальному вигляді, однак доказ наводилося тільки для випадку, коли різниця прогресії є просте число. Наприкінці другої роботи міститься побудова характерів для довільного модуля і деякі твердження про те, як можна довести твердження L (1, χ) ¹ 0 для неголовних характерів x в одному випадку. У 1839 р. Діліхле опублікував повний доказ теореми про прості числа в арифметичній прогресії. З тих пір вона носить його ім'я.
1. Характери
1.1 Визначення характеру. Основні властивості характерів
Характером (від грецького хара æ τή p-ознака, особливість) χ кінцевої абелевих групи G називається не рівна тотожно нулю комплекснозначних функція, визначена на цій групі і володіє тим властивістю, що якщо, А Î G і B Î G
χ (АВ) = χ (А) χ (В).
Позначимо через Е поодинокі елементи в групі G і через А -1 зворотний елемент для А Î G
Характери групи G мають такі властивості:
1. Якщо Е-одиниця групи, то для кожного характеру χ
χ (Е) = 1 (1.1)
Доказ. Нехай для кожного елемента А Î G справедливо нерівність
c 1 (А) = c (АЕ) = c (А) χ (Е)
З цієї рівності одержимо, що c (Е) ¹ 0. Тепер з рівності
c (Е) = c (ЇЇ) = c (Е) c (Е) = 1
слід рівність (1.1)
2. C (А) ¹ 0 для кожного А Î G
Дійсно, якби χ (А) = 0 для деякого А Î G, то
c (А) χ (А-1) = c (АА -1) = χ (Е) = 0,
а це суперечить властивості 1.
3. Якщо група G має порядок h, то А h = Е для кожного елемента А Î G Отже,
1 = χ (Е) = χ (А h) = χ (А) h,
тобто χ (А) є деякий корінь ступеня h з одиниці.
Характер χ 1, володіє властивістю χ 1 (А) = 1 для кожного елемента А Î G, називається головним характером групи G. Решта характери називаються неголовним.
Лемма 1. Нехай Н підгрупа кінцевої абелевих групи G, причому G / H - циклічна порядку n, тоді для кожного характеру χ H - Підгрупи Н існує рівно n характерів.
Доказ. Розглянемо групу G = g k H, причому g n H = H, g n Î H і g n = h 1 = 1.
Для кожного елемента X Î G існує і притому єдине к = до х і h х = h таке, що якщо 0 £ до х <n, то X = g k х h х = g k h. Візьмемо ще один елемент групи G, Y = g m h y, де 0 £ m <n. Перемножимо ці два елементи
Х Y = g к + m hh y.
Визначимо характер χ (X).
χ (X) = χ (g до h) = χ (g к) χ (n) = χ к (g) χ H (h).
В даному вираженні невідомим є χ (g).
χ n (G) = χ (g n) = χ (h 1) = χ H (h 1) - дане число.
χ (g) = - n коренів з 1,
тобто ξ ј n = χ n (g) = χ H (h 1), отримуємо x k (G) = ξ ј n. Отже, x (g) = ξ 1, ..., ξ n
З отриманих рівностей отримуємо:
χ (X) = χ k (G) χ H (h x) = ξ j kx χ H (h x)
χ (Y) = χ m (G) χ H (h y) = ξ j ky χ H (h y)
Визначимо множення характерів
χ (X) χ (Y) = ξ j ky χ H (h y) ξ j k - x χ H (h x) = ξ j kx + ky χ H (h x) χ H (h y) = j k + m χ H (hh y)
Для того щоб визначення виконувалося, необхідно розглянути ступінь g kx + kx. Можливі два випадки:
1) Якщо 0 £ до х + k y <n, то
до х + k y = k xy,; h x h y = H xy.
У цьому випадку визначення виконується.
2) Якщо n £ до х + k y <2 n -1, то отримаємо
до х + k y = n + k xy..
Тоді
XY = g kx + ky h x h y = g h g kx + ky - n h x h y = g kx + ky - n h 1 h x h y
У свою чергу 0 £ до х + k y - n £ n -1 Þ k x + k y - n = k xy, h 1 h x h y = H xy.
χ (XY) = ξ j k х + k у χ н (h x у) = ξ j k х + k у - n χ н (h 1) χ н (h x) χ н (h y) = ξ j кх ξ j ку ξ j - n χ н (h 1) χ н (h x) χ н (h y) = ξ j кх χ н (h 1х) · ξ j ку χ н (h y) = χ (X) χ (Y).
Лемма доведена.
5. Характери кінцевої мультиплікативної абелевих групи G утворюють кінцеву мультипликативную абелевих групу Ĝ.
Під твором двох характерів χ 'і х χ''групи G будемо розуміти характер х, який визначається наступним властивість:
χ (AB) = χ '(A) χ''(В)
Для будь-якого елементу А Î G, маємо:
χ (АВ) = χ '(АВ) χ''(АВ) = χ' (А) χ '(В) · χ''(А) χ''(В) = χ (А) χ (В)
Таким чином, отримуємо χ 'χ''дійсно є характером.
Роль одиничного елемента групи G грає головний характер χ 1
Зворотним елементом G є:
χ 2 (g 1 g 2) = = = = Χ 2 (g 1) χ 2 (g 1)
1.2 Суми характерів. Співвідношення ортогональності
Нехай G - кінцева мультиплікативна абелева група порядку h. Розглянемо суму:
S = ,
де А пробігає всі елементи G, і суму
Т =
де c пробігає всі елементи групи характерів Ĝ.
Розглянемо чому дорівнює кожна із сум.
а) Якщо В-фіксований елемент групи G і А пробігає всі елементи G, то АВ також пробігає всі елементи групи G. Отже,
S · c (В) = c (В) = = = S.
Отримали S c (В) = S, звідки випливає, що (c (В) - 1) · S = 0. Отже, можливі два варіанти:
1) S = 0, то c (В) - негативний характер
2) S ≠ 0, то c (В) = 1 для кожного елемента В € G і в цьому випадку c (В) = c 1 (В) є головний характер і сума S дорівнює порядку h групи G. Таким чином,
S = = { (1.2)
б) Якщо ми помножимо суму Т на деякий характер c 'групи Ĝ, то аналогічним чином отримаємо
c '(А) Т = c '(А) = = Т,
Отже,
1) або Т = 0, то А ≠ Е
2) або Т ≠ 0, то c '(А) = 1 для кожного характеру c' € G. У цьому випадку відповідно до властивості 3 § 1, маємо А = Е. І тоді Т = h. Таким чином,
Т = = {
1.3 Характери Дирихле
Нехай m - позитивне ціле число. Визначимо числові характери по модулю m. Ми знаємо, що j (m) наведених класів відрахувань по модулю m утворюють мультипликативную абелева група порядку h = j (m). Ми можемо, отже, розглянути характер цієї групи. Але визначення характеру для наведених класів вирахування по модулю m можна перенести на безліч цілих чисел наступним чином. Покладемо
c (а) = c (А), якщо а Î А,
де А - наведений клас відрахувань по модулю m. Тоді очевидно, c (а) = c (b) (mod m), і c (ab) = c (а) c (b), якщо (а, m) = (b, m) = 1. Оскільки c (А) ¹ 0 для кожного наведеного класу відрахувань А, то c (а) ¹ 0, якщо (a, m) = 1.
Це визначення застосовується лише до цілих чисел а, які взаємно прості з m.
Ми можемо розглянути його на всі цілі числа, поклавши
c (а) = 0, якщо (a, m)> 1.
Отже, характер по модулю m є арифметична функція c, що володіє наступними властивостями:
c (а) = c (b), якщо з = b (mod m)
c (ab) = c (a) c (b) для всіх цілих a і b
c (а) = 0, якщо (a, m)> 1
c (а) ¹ 0, якщо (a, m) = 1
Є точно j (m) - кількість характерів по модулю m, де j (m) - кількість позитивних цілих чисел, не переважаючих m і взаємно простих з m. Вони утворюють мультипликативную абелева групу наведених класів вирахування по mod m. Одиничним елементом цієї групи буде головний характер c 1, то є такий характер, що c 1 (а) = 1, якщо (а, m) = 1. Далі маємо наступне співвідношення ортогональності:
= {
= {
Нехай m - позитивне ціле число. Визначимо числові характери по модулю m. Комплекснозначних функція, визначена для всіх цілих чисел n, називається числовим характером або характером Дирихле по модулю m, вона задовольняє таким умовам:
а) c (n) = 0 тоді і тільки тоді, коли (n, m) ≠ 1
б) c (n) періодична з періодом m
в) для будь-яких чисел а і b
c (а b) = c (а) c (b)
Функція
c 1 (n) = {
є числовим характером і називається головним характером. Решта числові характери по модулю m називаються неголовним.
Має місце наступне твердження про числові характерах.
Теорема 1 Існує одно φ (m) числових характерів по модулю m. Якщо c = c (n) - числовий характер по модулю m, то:
1) для n, взаємно простих з модулем m, значення c (n) є корінь з 1 ступеня φ (m).
2) для всіх n виконується нерівність / c (n) / ≤ 1
3) Має місце рівність
{
4) Для кожного цілого числа n
= {
Доказ. Нехай c (n) - деякий числовий характер по модулю m. З пункту б) визначення випливає, що c (n) задає деяку функцію c '( ) = C (n) на мультипликативной групі класів відрахувань по модулю m, взаємно простих з m, а саме
c '( ) = C (n)
Тут позначає клас відрахувань по модулю m, що містить n. Так як c (1) ≠ 0, то c '( ) Не дорівнює нулю тотожне, а з пункту в) визначення числового характеру слід, що c '( ) = C '( ) = C '(ab) = c (a) c (b) = c' ( ) C '( ).
Таким чином, c '( ) Є характер модультіплікатівной групи G m.
Зворотно, по кожному характеру c '( ) Групи G m можна побудувати числовий характер c (n) по модулю m, поклавши
{
Встановлений відповідність є взаимнооднозначное. І всі твердження теореми 1 випливають з доведеного вище для групових характерів стосовно групі G m, якщо врахувати, що порядок групи G m дорівнює φ (m), де φ (m) - функція Ейлера.
Надалі потрібно ще одне твердження з числових характерах. Позначимо для кожного c, c ≥ 1
Де підсумовування ведеться за всіма натуральним числам n, не переважаючим c.
Лемма 2. Нехай c (n) - неглавний характер. Тоді для кожного c, c ≥ 1 справедливо нерівність
/ S (x) / <m
Доказ. Функція c (n) періодична з періодом m і по теоремі з
0, оскільки c ≠ c 1
Тому, представивши [c] - цілу частину числа c - у вигляді [c] = m 1 + z, 0 £ z £ m, матиме
S (c) = S ([c]) = q
З причини рівності / c (n) / £ 1 звідси отримали S (c) £ z £ m
2. L-функція Діріхле
Нехай х (п) - довільний характер по модулю m. Розглянемо ряд
, (2.1)
члени якого є функціями комплексного змінного S. В області збіжності він визначає функцію, яка називається L-функцією Діріхле, що відповідає характеру c (n), і позначається L (s, c).
Лема 3
1. Якщо c ¹ c 1, то ряд (1) сходиться в області ReS> 0 і визначається їм функція L (s, c) є аналітичною в цій галузі.
2. Ряд, що визначає L (S, c 1), сходиться в області ReS> 1. Функція L (S, c 1) є аналітичною в області ReS> 1.
Доказ.
Нехай c (n) - довільний характер по модулю m, а б - деяке позитивне число. Так як / c (n) / £ 1, то в області ReS> 1 + б справедливо нерівність
Отже, ряд (1) рівномірно сходиться в області ReS> 1 + б. Обумовлена їм функція L (S, c) по теоремі Вейерштрасса про суму рівномірно сходиться ряду аналітичних функцій є аналітичною в цій галузі. Зважаючи довільності 6 Це доводить друге твердження Леми.
Для неголовних характерів c (n) буде потрібно більш складне дослідження ряду (1).
Лемма 4 (перетворення Абеля).
Нехай a n, n = 1,2, ..., - послідовність комплексних чисел, c> 1,
А (c) =
а q (t) - комплекснозначних функція, безперервно диференціюється на безлічі 1 £ t £ ¥
Тоді
(2.2)
Якщо ж
то
(2.3)
за умови, що ряд у лівій частині рівності сходиться.
Доказ. Покладемо А (0) = 0 і В (х) рівним лівій частині рівності (2.2). Тоді при будь-якому натуральному N
так як А (0) = 0. Далі
оскільки функція А (х) постійна на кожному полуінтервале n £ t <n +1. Отже, рівність (2.2) доведено при цілих значеннях х.
нехай х ³ 1 - довільне число. Покладемо N = [x]; значить, N £ x £ N +1. Тоді А (х) = А (N), B (x) = B (N), а
Отже,
Тим самим доведено, що рівність (2.2) вірно і для нецілих чисел значень х.
Рівність (2.3) отримуємо з рівності (2.2) переходом до межі при х ® ¥. Лемма доведена.
Скориставшись лемою 4, отримаємо наступне рівність
(2.4)
де
функція, введена Лемма 4.
Для s = p + it з області ReS = s, де s - деяке позитивне число, користуючись лемою 4, знаходимо
Тому інтеграл
сходиться в області ReS> s. Оскільки в цій області виконується нерівність
то з рівності (2) випливає, що ряд (1), що визначає функцію L (S, x), сходиться в області ReS> s. Ці міркування справедливі для будь-якого позитивного числа s. Значить, ряд (1) сходиться в напівплощини ReS> 0.
З рівності (2) випливає, що в цій напівплощини для L-функції, відповідної неголовним характеру c (n), справедливо уявлення
(2.5)
так як
Інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (2.5), можна також представити у вигляді
(2.6)
Члени ряду (2.6) є аналітичними функціями в області ReS> s, що випливає з рівностей
При цьому використано, що на полуінтервале n £ х <n +1 функція S (х) набуває значення S (n). Оскільки
то ряд (2.6) рівномірно сходиться в області ReS> s. Звідси, як і вище, одержуємо, що сума його, тобто
є аналітичною функцією (по теоремі Вейерштраса) в області ReS> s.
З уявлення (2.5) слід тепер, що L (S, x) є аналітична функція в напівплощині ReS> s, а зважаючи на довільності S - s і b напівплощини ReS> 0.
Слідство. Нехай c (n) - довільний характер. Тоді в області ReS> 1 справедливо рівність
(2.7)
Це випливає з того, що ряд (2.1) по доведеному рівномірний сходиться в області ReS> 1 + s, де s> 0. Отже, за теоремою Вейштрасса про рівномірно збіжних рядах аналітичних функцій в цій галузі ряд (2.1) можна почленно диференціювати
Тому в напівплощини ReS> 1 + s виконується рівність (2.7). Так як в цьому міркуванні s-будь-яке позитивне число, то рівність (2.7) буде справедливо в напівплощини ReS> 1.
Для L-функцій має місце представлення у вигляді нескінченного твори за простими числах, аналогічне тотожності Ейлера. Розглянемо допоміжну Лема.
Лемма 5. Нехай функція f (n) цілком мультипликативна і ряд
(2.8)
абсолютно сходиться. Тоді виконується рівність
(2.9)
Доказ. Зазначимо насамперед, що / f (n) / <1 при будь-якому натуральному n> 1. В іншому випадку при кожному m ÎN
/ F (n) m / = / f (n) / m ³ 1,
що суперечить збіжності ряду (2.6). Тому при кожному простому р ряд
абсолютно сходиться, і його сума як сума нескінченно вбиває геометричній прогресії дорівнює (1 - f (р)) -1. Крім цього, в силу абсолютної збіжності, ряди можна перемножити. Перемножая кінцеве число таких рядів і використовуючи те, що f (n) є цілком мультиплікативна функція, отримаємо
де n e = P a ... p a s і в сумі в правій частині рівності містяться такі і лише такі складові f (n e), що всі прості дільники n e не перевершують х. Отже, в різниці
залишаються ті і тільки ті складові f (m e), для яких у числа m e є хоча б один простий дільник р> x. Тоді оцінимо різницю
/ S - S (x) / £
і з абсолютної збіжності ряду (2.8) випливає, що
Це доводить, що нескінченне твір (2.7) сходиться і виконується твердження Леми.
Лемма 6. Для кожного характеру c (n) в області ReS> 1 справедливо уявлення
Доказ. Ця лема є наслідком Леми 5, оскільки функція c (n) цілком мультипликативна, тобто c (АВ) = c (А) c (В), і виконується нерівність / c (n) / £ 1 по теоремі 1.
Слідство 1. В області ReS> 1 для головного характеру c 1 (n) по модулю m справедливо рівність
(2.10)
і тому функція L (S, c 1) може бути аналітично продовжена в область ReS> 0, де вона має єдиний полюс (першого порядку) в точці S = 1.
Дійсно, за визначенням головного характеру c 1 (n) має місце рівність
Тому
Користуючись тепер тотожністю Ейлера для дзета-функції Рімана отримуємо рівність (2.10). Інші твердження легко виходять з цієї рівності, оскільки дзета-функція є аналітичною в області ReS> 0 з єдиним полюсом першого порядку в точці S = 1.
Наслідок 2. Для кожного характеру c функція L (S, x) не звертається в нуль в області ReS> 1.
Доказ.
Якщо s = ReS> 1. то
Користуючись нерівністю для дзета-функції Рімана, знаходимо
Отримуємо:
L (S, c) ≥ > 0
Тепер доведемо твердження, що L - функція, відповідна неголовним характеру c, точці S = 1 відмінна від нуля.
Теорема 2. Якщо c - неглавний характер, то L (1, c) ≠ 0
Для доказу розглянемо 2 випадки
1. Нехай характер c - комплексне число, не є дійсним. Тоді характер c 2 (n) не є головним. У цьому випадку доказ теореми буде грунтуватися на тих же ідеях, що і доказ відсутності нулів дзета - функції на прямій ReS = 1.
Лемма7. Нехай 0 <ч <1, а х - дійсне число, тоді виконується нерівність / (1 - ч) 3 (1 - че ix) 4 (1 - че 2 ix) / -1 ≥ 1
Доказ.
Для всіх z з кола / z / <1 має місце розташування
- Ln (1 - z) = (2.11)
Так як ln (t) = Re lnt, то позначаючи М (ч φ), ліву частину нерівності (2.11), одержимо
lnM (ч φ) = 3 ln (1 - ч) - 4 ln (1 - че i 4) - ln (1 - че 2 i 4) = - 3 ln (1 - ч) - 4 Reln / 1 - че i 4 / - Reln / 1 - че 2 i 4 / = rc (3 +4 e) inl / 1 - re i 4 / = (3 +4 cosnl +2 cos 2 nl) = (2 +4 cos a +1 + cos 2 a) = 1 (1 + cos a) 2 ³ 0
ln = M (r, l) = ³ 0
Отже, M (r, l) = ³ 1 доведена.
З леми 7 слід, сто при будь-якому дійсному S> 1 виконується рівність:
| L 3 (8, c 1) L 4 (S, c) 4 (S, c 4) 1 = П (1 - ) 3 (1 - ) 4 (1 - ) | -1 (2.12)
Отримуючи в лемі ч = р - s, тобто
0 <ч = c 1 (р) <1
0 <р - s <1
c (р) р - s = че i 4, в силу того що c (р) - комплексне
c (р) р - s = Че 2 i 4
Одержуємо, що кожен співмножник у правій частині рівності (f) не менше 1 і, отже, при будь-якому S> 1 виконується рівність:
| L 3 (S c 1) · L 4 (S c) L (S c 2) | ≥ 1 (2.13)
Припустимо, що для деякого характеру c (c 2 ≠ c 1) виконується рівність
L (1, c) = 0 (2.14)
Оцінимо зверху ліву частину нерівності. З оцінки дзета-функції Рімана
ξ (S) ≤ , Випливає, що при S € R, S> 1 виконується нерівність
а) 0 <4 (S, c 1) =
отримали 0 <L (S, c 1) ≤
б) Функція L (S, c) розкладемо в ряд Тейлора
L (S, c) = C p + C 1 (S - 1) + C 2 (S - 1) 2 + ... + C n (S - 1) n + ...
Припустимо, що у неї є нуль L (1, c) = 1, тоді С 0 = 0
Перепишемо розкладання L - функції в ряд
L (S c) = C к (S - 1) до + С до +1 (S - 1) до +1 = (S - 1) 1 (C до + С до +1 (S -1) + ....), Де до ≥ 1, С до ≤ 0, т. к. S> 1
| L (S, c) | = | S - 1 | k | C k + C k +1 (S - 1) + .... | ≤ 2 C k | S - 1) k, при | S - | <r
Функція L (S, c 2) в точці S = 1 не має полюса, отже не має особливості. Це в силу того, що c комплексне і c 2 ≠ c 1
Отримуємо нерівність:
L (S, c 2) ≤ C,
За умови | S - 1 | <δ
Враховуючи всі нерівності та оцінки
| L 3 (S, c) L 4 (S, c) L (S, c 2) | = ( ) 3 · 4 лютого | C k | 4 (S - 1) 4k · C ≥ 1
Отже, ця нерівність стає суперечливим, якщо перейти до межі при S → 1 +0. Отримане протиріччя показує, що рівність (2.14) не виконується.
2. Розглянемо c - речовий характер, тобто приймає тільки речові значення, неспівпадаючі з головним характером
Лемма 8. Нехай c - речовий характер.
Розглянемо функцію
F (S) = ξ (S) L (S, x) (2.15)
Доведемо, що якщо Re S> 1, то
(2.16)
представляється поруч Дирихле, якого справедливі наступні твердження:
1) Всі коефіцієнти а n ≥ 0
2) при n = k 2, k € / N (N) / а n ≥ 1
3) В області ReS <1 можна почленно диференціювати, тобто
F (K) (S) = (-1) K (ln n) k k = 1,2 ..., (2.17)
4) Ряд (1) в точці S = 1 / 2 розходиться.
Доказ. В області ReS> 1 ряди, що визначають функції S (S) і L (S, c), абсолютно сходяться, тому їх можна перемножити:
де
(2.19)
Нехай - Розташування числа n у твір простих співмножників. Тоді всі натуральні подільники l числа n мають вигляд
тому з рівності (14) знаходимо, що
де a ni = 1 + c (p i) + ... + c Li (p i), i = 1, ..., m (2.21)
так як c - речовий характер, то він може приймати тільки три значення: 0, 1, -1. З рівності (2.21) випливає, що
(2.22)
У всіх випадках числа a ni ³ 0, а значить, і a n = a n 1 ... a nm ³ 0
Якщо ж число п є повним квадратом, то
N = k 2 = p / 2 g ... p m 2 g,
і з рівностей (2.20) і (2.22) випливає, що а n ³ 1
При будь-якому s> 0 в області ReS> 1 + s виконується нерівність
Ряд (2.18) сходиться в області ReS> 1. Тому за ознакою Вейєрштрасса ряд (2.16) сходиться рівномірно в області ReS> 1 + s, а за теоремою Вейєрштрасса його можна в цій області почленно диференціювати будь-яке число разів. Отже, в області ReS> 1 + s виконується рівність (2. 17), а в силу довільності s воно виконується і в області ReS> 1.
Однак ряд (39) розходиться, так як за другим твердженням леми
Ряд (2.16) при S = має невід'ємні члени. Тому, якщо б він сходився, то також сходився б низку
(2.23)
Отже, ряд (2.23) розходиться. Лемма доведена.
Переходимо непоредственно до доведення другого випадку теореми. Припустимо, що L (1, c) = 0. Тоді полюс дзета-функції буде компенсуватися в творі S (S) L (S, c) нулем функції L (S, c).
Тому функція (2.15) F (S) буде аналітичної в області ReS> 0 так як в точці S = 1 у F (z) - усунена особлива точка. Отже, її можна розкласти в ряд Тейлора в точці S = 2:
(2. 24)
радіус збіжності якого не менше 2 R ³ 2 /
З рівностей (2.17), зокрема S = 2, знаходимо
(2.25)
У радіусі збіжності буде брати не все S, а тільки речові ReS = s S = sÎ (0,2). Користуючись розкладання (18) і (19), знаходимо
Члени подвійного ряду невід'ємні, тому він сходиться абсолютно, і в ньому можна поміняти порядок підсумовування. Тоді
Отже, ряд (2.16) сходиться в усіх точках, s <(, 0, 2), і в точці , А це суперечить четвертому твердженням леми. Тому L (S, c) ¹ 0 /
Цим завершується доказ теореми
За Наслідок 2 леми 2 функція є аналітичною в області ReS> 1. Для подальшого доказу теореми Діріхле нам буде необхідно подання цієї функції у вигляді ряду, аналогічного ряду (2.16).
Лемма. Для кожного характеру c (n) в області ReS> 1 справедливо рівність
(2. 26)
Доказ.
Так як S = s + it має місце нерівність
отримуємо, що ряд стоїть в правій частині рівності (2.26), абсолютно сходиться в області s> 1. Помножимо цей ряд на ряд визначальний L (S, c). Отримали
Передостаннє рівність має місце через рівності ), А останнє - по слідству з леми 3, рівність 2.7.
3. Доказ теореми Діріхле
Теорема. Якщо різниця і перший член арифметичної прогресії є взаємно прості натуральні числа, то вона містить безліч простих чисел.
Доказ.
Розглянемо рівність (2.26), яке справедливе по Лемма в області ReS> 1. Оскільки (N) = 0 для всіх n, які не є ступенями простих чисел, то всі відмінні від нуля члени ряду в правій частині (2.26) мають вигляд
де р - просте і k - натуральне числа. Ряд (2.26) абсолютно сходиться, отже, його можна представити у вигляді подвійного ряду) і, значить, в області ReS> 1
(3.1)
Другий доданок у правій частині цієї рівності рівномірно обмежена по s в області ReS ³ 3 / 4. Дійсно, якщо S = p + it, p ³ 3 / 4, то
Отже, при S ® 1 +0 для кожного характеру c має місце рівність
(3.2)
Тут і надалі s ® 1 + o означає, що S прагне 1 по дійсній осі справа.
Нехай u - деяке натуральне число, що задовольняє порівнянні
(3.3)
Помножимо обидві частини рівності (3.2) на c (u) і підсумуємо отримані рівності по всьому числовим характерам c. Тоді отримаємо
(3.3)
Якщо просте число р задовольняє порівнянні р º l (mod m), то p u ≠ 1 (mod m), і по теоремі 1
Якщо ж p ≠ l (mod m), то p u ≠ 1 і з тієї ж теоремі
Таким чином, рівність (3.3) можна переписати у вигляді
(3.4)
За лемі 3 та теоремі 2 для неголовне характеру c функція є аналітичною в точці S = 1. Тому для таких характерів при S ® 1 + 0 маємо
(3.5)
По слідству 1 леми 4 функція L (S, c 1) має в точці S = 1 полюс першого порядку. Значить, при S ® 1 +0
(3 / 6)
Враховуючи рівності (3.5) і (3.6.) З рівності (26) отримуємо, що
Так як число u задовольняє порівнянню (3.3), то (u, m) = 1 і c 0 (u) = 1. Отже, при S ® 1 +0
(3.7)
Права частина рівності а (3.7) при S ® 1 +0 має нескінченну границю. Значить, сума, що стоїть в лівій частині цієї рівності, має нескінченну безліч складових. Тому існує безліч простих чисел, що задовольняють порівнянні
p º e (mod m)
Теорема Діріхле доведена.