Реферат
на тему:
"Стійкість лінійних систем автоматичного керування"
1. Загальні поняття стійкості
Стійкість - це властивість системи повертатися в початковий стан після виведення її зі стану рівноваги і припинення дії обурення. Стійкість - це одне з основних вимог, що пред'являються до системи. Якщо система не стійка, то вона не працездатна. Розглянемо математичне поняття стійкості.
Рух лінійної системи автоматичного управління описується лінійним, неоднорідним рівнянням:
при цьому права частина - вхідний вплив, а ліва - реакція виходу.
Рішення рівняння можна записати у вигляді:
де
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:
де: С до - постійні інтегрування, які залежать від початкових умов;
Розглянемо характер рішення при різних значеннях коренів характеристичного рівняння.
1. Якщо корені дійсні одноразові
2. Якщо корені дійсні кратні
3. Якщо корені комплексно - зв'язані одноразові
4. Нехай коріння комплексно - зв'язані кратні
Для того щоб система була стійкою рішення має задовольняти умові
Ця умова виконується, якщо корені характеристичного рівняння системи розташовані в лівій півплощині комплексної площині P.
Для стійкості лінійної системи необхідно і достатньо, щоб коріння її характеристичного рівняння розташовувалися в лівій півплощині комплексної площині P.
Характеристичне рівняння системи можна представити у вигляді:
Якщо рівняння містить хоча б один позитивний корінь, то хоча б один коефіцієнт характеристичного рівняння буде негативним. Необхідна, але недостатня умова стійкості (при n> 2) системи - це позитивність коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Для знаходження коренів характеристичного рівняння необхідно вирішувати алгебраїчні рівняння. Аналітичне рішення рівнянь 3-го і 4-го порядку громіздкі, а рівняння вище 4-го порядку не мають аналітичного рішення.
У теорії автоматичного керування розроблено ряд так званих критеріїв стійкості, які дозволяють, не вирішуючи рівнянь визначати стійкість систем.
2. Критерій стійкості Рауса-Гурвіца
Для стійкості лінійної системи необхідно і достатньо, щоб при а 0> 0 визначник Гурвіца, складений для характеристичного рівняння
Визначник Гурвіца має вигляд:
Діагональні мінори визначаються співвідношеннями
Розглянемо окремі випадки
1. Для системи першого порядку (n = 1) характеристичне рівняння має вигляд:
2. Для системи другого порядку (n = 2) характеристичне рівняння має вигляд:
3.
Умова стійкості:
4. Для системи третього порядку (n = 3) характеристичне рівняння має вигляд:
Умова стійкості:
Для систем 1-го і 2-го порядку позитивність коефіцієнтів характеристичного рівняння є необхідною і достатньою умовою стійкості системи. Для системи 3-го порядку має виконуватися додаткову умову
Гідність критерію:
1. Висока точність, тому що це алгебраїчний критерій.
2. Простота для систем невисокого порядку.
Недоліки критерію:
1. Необхідно мати математичний опис системи.
2. Складність застосування для систем високого порядку.
Розглянемо приклади визначення стійкості за критерієм Гурвіца.
Приклад 1. Визначити стійкість системи, якщо її характеристичне рівняння має вигляд:
Умова стійкості
Приклад 2. Визначити стійкість якщо передаточна функція розімкнутої системи має вигляд
Рішення:
1. Визначаємо передавальну функцію замкненої системи
2. Запишемо характеристичне рівняння і умова стійкості
Умова стійкості виконується, отже, система стійка.
Приклад 3. Для заданої системи (рис. 1) визначити умова стійкості і критичний коефіцієнт посилення, тобто коефіцієнт підсилення, при якому система знаходиться на межі стійкості.
Рішення:
3. Визначаємо передавальну функцію розімкнутої системи
4. Визначаємо передавальну функцію замкненої системи
5. Запишемо характеристичне рівняння і умова стійкості
4. Визначимо критичний коефіцієнт посилення
3. Критерій стійкості Михайлова
Для оцінки стійкості систем управління крім алгебраїчних критеріїв, використовуються частотні критерії Михайлова та Найквіста.
Доказ частотних критеріїв базується на слідстві з принципу аргументу.
Припустимо, задано поліном
Якщо система n - го порядку містить m нестійких полюсів, то кут повороту вектора D (jw) дорівнює:
Формулювання критерію Михайлова:
Замкнута система автоматичного управління стійка, якщо характеристична крива (годограф Михайлова), починаючись на позитивній дійсної осі в точці a n, при зміні частоти 0 £ w £ ¥ послідовно проходить число квадрантів рівне ступеня характеристичного полінома.
При цьому
Приклад 4. Припустимо, задано характеристичний поліном системи
Годограф стійкої системи має вигляд (рис. 3a).
Приклад 5. Припустимо, задано характеристичний поліном системи
Годограф стійкої системи має вигляд (рис. 3б).
Приклад 6. Припустимо, задано характеристичний поліном системи
Годограф стійкої системи має вигляд (рис. 3в).
Визначити стійкість при T 1 = T 2 = 1 c і k v = 1 c -1.
Рішення:
1. Визначаємо передавальну функцію розімкнутої системи
де
2. Визначаємо передавальну функцію замкненої системи
3. Запишемо характеристичне рівняння
4. Визначимо частоту власних коливань системи та критичний коефіцієнт підсилення за умови межі стійкості
Критичний коефіцієнт посилення дорівнює:
5. Визначимо стійкість при T1 = T2 = 1 c і kv = 1 c-1.
5. Будуємо характеристичну криву
Таблиця 1
Відповідно до критерію Михайлова, розглянута система є стійкою.
4. Частотний критерій стійкості Найквіста
Частотний критерій стійкості Найквіста дозволяє по виду частотної характеристики розімкнутої системи судити про стійкість замкнутої системи, тобто він застосовується для замкнутих систем.
Розглянемо функцію, яка пов'язує характеристики розімкнутих і замкнутих систем
де D (p) - характеристичний поліном замкнутої системи;
A (p) - характеристичний поліном розімкнутої системи.
При цьому ступеня поліномів A (p) і D (p) однакові виходячи з умови фізичної реалізованості системи.
У відповідності зі слідством з принципу аргументу
Розглянемо різні випадки.
Система, стійка в розімкнутому стані.
Так як розімкнена система стійка, то вона не містить коренів у правій півплощині (тобто m = 0), для того щоб і замкнута система була стійка, повинна виконуватися умова:
Графічно це означає, що годограф вектора W (jw) не охоплює початку координат, а вектора K (jw) - точку з координатами (-1, j0), як показано на рис. 6. Точка з координатами (-1, j0) називається критичною.
Рис. 6.
Система, нестійка в розімкнутому стані.
Так як розімкнена система нестійка, то вона містить m коренів у правій півплощині, для того, щоб замкнута система була стійкою, повинна виконуватися умова
Графічно це означає, що годограф вектора K (jw) охоплює точку з координатами (-1, j0) m / 2 - раз.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнена система автоматичного керування стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої, нестійкою системи, що має m коренів у правій півплощині, охоплює точку з координатами (-1, j0) m/2-раз.
Іноді за графіком важко визначити чи охоплює АФХ критичну точку. У цьому випадку можна використовувати правило переходів. Переходами називаються точки перетину АФХ відрізка осі (-¥.. - 1). Знак переходу визначається за наступним правилом: якщо фаза убуває - перехід негативний.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнута система автома-тичного управління стійка, якщо різниця позитивних і негативних переходів дорівнює m / 2, де m - кількість коренів у правій півплощині розімкнутої нестійкою системи, тобто
(10)
Приклад 8. Для заданої системи (рис. 7) визначити умова стійкості і критичний коефіцієнт підсилення.
Визначити стійкість при T 1 = T 2 = 1 c і k v = 1 c -1.
Рішення:
1. Визначаємо передавальну функцію розімкнутої системи
2. Будуємо АФХ розімкнутої системи
При T 1 = T 2 = 1 c і k v = 1 c -1 АФХ розімкнутої системи має вигляд
Розрахункові дані наведені в таблиці 2, а графік АФХ на рис. 8.
на тему:
"Стійкість лінійних систем автоматичного керування"
1. Загальні поняття стійкості
Стійкість - це властивість системи повертатися в початковий стан після виведення її зі стану рівноваги і припинення дії обурення. Стійкість - це одне з основних вимог, що пред'являються до системи. Якщо система не стійка, то вона не працездатна. Розглянемо математичне поняття стійкості.
Рух лінійної системи автоматичного управління описується лінійним, неоднорідним рівнянням:
при цьому права частина - вхідний вплив, а ліва - реакція виходу.
Рішення рівняння можна записати у вигляді:
де
Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд:
де: С до - постійні інтегрування, які залежать від початкових умов;
Розглянемо характер рішення при різних значеннях коренів характеристичного рівняння.
1. Якщо корені дійсні одноразові
2. Якщо корені дійсні кратні
3. Якщо корені комплексно - зв'язані одноразові
4. Нехай коріння комплексно - зв'язані кратні
Для того щоб система була стійкою рішення має задовольняти умові
Ця умова виконується, якщо корені характеристичного рівняння системи розташовані в лівій півплощині комплексної площині P.
Для стійкості лінійної системи необхідно і достатньо, щоб коріння її характеристичного рівняння розташовувалися в лівій півплощині комплексної площині P.
Характеристичне рівняння системи можна представити у вигляді:
Якщо рівняння містить хоча б один позитивний корінь, то хоча б один коефіцієнт характеристичного рівняння буде негативним. Необхідна, але недостатня умова стійкості (при n> 2) системи - це позитивність коефіцієнтів характеристичного рівняння.
Для знаходження коренів характеристичного рівняння необхідно вирішувати алгебраїчні рівняння. Аналітичне рішення рівнянь 3-го і 4-го порядку громіздкі, а рівняння вище 4-го порядку не мають аналітичного рішення.
У теорії автоматичного керування розроблено ряд так званих критеріїв стійкості, які дозволяють, не вирішуючи рівнянь визначати стійкість систем.
2. Критерій стійкості Рауса-Гурвіца
Для стійкості лінійної системи необхідно і достатньо, щоб при а 0> 0 визначник Гурвіца, складений для характеристичного рівняння
Визначник Гурвіца має вигляд:
Діагональні мінори визначаються співвідношеннями
Розглянемо окремі випадки
1. Для системи першого порядку (n = 1) характеристичне рівняння має вигляд:
2. Для системи другого порядку (n = 2) характеристичне рівняння має вигляд:
3.
Умова стійкості:
4. Для системи третього порядку (n = 3) характеристичне рівняння має вигляд:
Умова стійкості:
Для систем 1-го і 2-го порядку позитивність коефіцієнтів характеристичного рівняння є необхідною і достатньою умовою стійкості системи. Для системи 3-го порядку має виконуватися додаткову умову
Гідність критерію:
1. Висока точність, тому що це алгебраїчний критерій.
2. Простота для систем невисокого порядку.
Недоліки критерію:
1. Необхідно мати математичний опис системи.
2. Складність застосування для систем високого порядку.
Розглянемо приклади визначення стійкості за критерієм Гурвіца.
Приклад 1. Визначити стійкість системи, якщо її характеристичне рівняння має вигляд:
Умова стійкості
Приклад 2. Визначити стійкість якщо передаточна функція розімкнутої системи має вигляд
Рішення:
1. Визначаємо передавальну функцію замкненої системи
2. Запишемо характеристичне рівняння і умова стійкості
Умова стійкості виконується, отже, система стійка.
Приклад 3. Для заданої системи (рис. 1) визначити умова стійкості і критичний коефіцієнт посилення, тобто коефіцієнт підсилення, при якому система знаходиться на межі стійкості.
Рис. 1 |
x - |
y |
k 1 T 1 p +1 |
k 2 T 2 p +1 |
k 3 p |
Рішення:
3. Визначаємо передавальну функцію розімкнутої системи
4. Визначаємо передавальну функцію замкненої системи
5. Запишемо характеристичне рівняння і умова стійкості
4. Визначимо критичний коефіцієнт посилення
3. Критерій стійкості Михайлова
Для оцінки стійкості систем управління крім алгебраїчних критеріїв, використовуються частотні критерії Михайлова та Найквіста.
Доказ частотних критеріїв базується на слідстві з принципу аргументу.
Припустимо, задано поліном
+ J + jw-p 2 jw-p 1 + P jw-p p 2 p 1 + |
Рис.2 |
| |||
Якщо система n - го порядку містить m нестійких полюсів, то кут повороту вектора D (jw) дорівнює:
Формулювання критерію Михайлова:
Замкнута система автоматичного управління стійка, якщо характеристична крива (годограф Михайлова), починаючись на позитивній дійсної осі в точці a n, при зміні частоти 0 £ w £ ¥ послідовно проходить число квадрантів рівне ступеня характеристичного полінома.
При цьому
Приклад 4. Припустимо, задано характеристичний поліном системи
Годограф стійкої системи має вигляд (рис. 3a).
Приклад 5. Припустимо, задано характеристичний поліном системи
Годограф стійкої системи має вигляд (рис. 3б).
Приклад 6. Припустимо, задано характеристичний поліном системи
Годограф стійкої системи має вигляд (рис. 3в).
a) б) в) |
+ J D (jw) + a 3 |
+ J D (jw) + a 3 |
+ J D (jw) + a 3 |
Рис. 3
Приклад. Для заданої системи (рис. 4) визначити умова стійкості, частоту власних коливань системи та критичний коефіцієнт посилення, тобто коефіцієнт підсилення, при якому система знаходиться на межі стійкості.Визначити стійкість при T 1 = T 2 = 1 c і k v = 1 c -1.
Рис. 4 |
x - |
y |
k 1 T 1 p +1 |
k 2 T 2 p +1 |
k 3 p |
Рішення:
1. Визначаємо передавальну функцію розімкнутої системи
де
2. Визначаємо передавальну функцію замкненої системи
3. Запишемо характеристичне рівняння
4. Визначимо частоту власних коливань системи та критичний коефіцієнт підсилення за умови межі стійкості
Звідки частота власних коливань системи дорівнює:
5. Визначимо стійкість при T1 = T2 = 1 c і kv = 1 c-1.
5. Будуємо характеристичну криву
+ J D (jw) + a 3 = 1 |
Таблиця 1
| w | 0 | 1 | ¥ | |||
| X (w) | 1 | 0 | -1 | - ¥ | ||
| 0 | 0 | - ¥ |
4. Частотний критерій стійкості Найквіста
Частотний критерій стійкості Найквіста дозволяє по виду частотної характеристики розімкнутої системи судити про стійкість замкнутої системи, тобто він застосовується для замкнутих систем.
Розглянемо функцію, яка пов'язує характеристики розімкнутих і замкнутих систем
де D (p) - характеристичний поліном замкнутої системи;
A (p) - характеристичний поліном розімкнутої системи.
При цьому ступеня поліномів A (p) і D (p) однакові виходячи з умови фізичної реалізованості системи.
У відповідності зі слідством з принципу аргументу
Розглянемо різні випадки.
Система, стійка в розімкнутому стані.
Так як розімкнена система стійка, то вона не містить коренів у правій півплощині (тобто m = 0), для того щоб і замкнута система була стійка, повинна виконуватися умова:
Графічно це означає, що годограф вектора W (jw) не охоплює початку координат, а вектора K (jw) - точку з координатами (-1, j0), як показано на рис. 6. Точка з координатами (-1, j0) називається критичною.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнута система автоматичного управління стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої стійкої системи не охоплює критичну току. |
-1 W = ¥ w = 0 + |
W (jw) K (jw) |
+ J |
Рис. 6.
Система, нестійка в розімкнутому стані.
Так як розімкнена система нестійка, то вона містить m коренів у правій півплощині, для того, щоб замкнута система була стійкою, повинна виконуватися умова
Графічно це означає, що годограф вектора K (jw) охоплює точку з координатами (-1, j0) m / 2 - раз.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнена система автоматичного керування стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої, нестійкою системи, що має m коренів у правій півплощині, охоплює точку з координатами (-1, j0) m/2-раз.
Іноді за графіком важко визначити чи охоплює АФХ критичну точку. У цьому випадку можна використовувати правило переходів. Переходами називаються точки перетину АФХ відрізка осі (-¥.. - 1). Знак переходу визначається за наступним правилом: якщо фаза убуває - перехід негативний.
Формулювання критерію Найквіста: Замкнута система автома-тичного управління стійка, якщо різниця позитивних і негативних переходів дорівнює m / 2, де m - кількість коренів у правій півплощині розімкнутої нестійкою системи, тобто
|
(10)
Приклад 8. Для заданої системи (рис. 7) визначити умова стійкості і критичний коефіцієнт підсилення.
Визначити стійкість при T 1 = T 2 = 1 c і k v = 1 c -1.
Рис. 7 |
x - |
y |
k 1 T 1 p +1 |
k 2 T 2 p +1 |
k 3 p |
Рішення:
1. Визначаємо передавальну функцію розімкнутої системи
2. Будуємо АФХ розімкнутої системи
При T 1 = T 2 = 1 c і k v = 1 c -1 АФХ розімкнутої системи має вигляд
Розрахункові дані наведені в таблиці 2, а графік АФХ на рис. 8.
K (jw) |
+ J |
Таблиця 2
| w | 0 | 1 | ¥ | ||||
| P (w) | -2 | -1 / 2 | 0 | ||||
| Q (w) | - ¥ |
| 0 |
|
Як видно з малюнка (8) і таблиці 2, АФХ розімкнутої системи не охоплює критичну точку, отже, замкнута система, при заданій структурі і параметрах, стійка.
Визначимо критичний коефіцієнт підсилення за умови:
5. Визначення областей стійкості
Стійкість систем залежить від структури і параметрів системи. При розрахунку систем автоматичного управління виникає завдання визна-чення діапазону зміни варійованих параметрів системи, при кото-яких вона стійка.
Область стійкості - це сукупність значень параметрів системи, при яких вона стійка.
Коефіцієнти характеристичного рівняння є функціями від параметрів системи, і вони визначають розташування коренів в комплексній площині, при зміні параметрів коріння переміщуються в комплексній площині і система може стати не стійкою.
Для визначення областей стійкості можна використовувати різні методи, найбільш часто використовують метод D - розбиття. D-розбиття може бути виконано з одного і більше параметрами.
Розглянемо алгоритм визначення областей стійкості за допомогою методу D - розбиття за одним параметром на конкретних прикладах.
Приклад 9. Визначити область можливих значень параметра «до», при яких задана система (рис. 9) стійка
- |
k p (p 2 + p +2 |
x |
Рис. 9 |
y |
Порядок визначення областей стійкості
1. Визначаємо передавальну функцію замкненої системи
2. Визначаємо характеристичний поліном
3. Розв'язано рівняння щодо параметра - до
4. Будуємо криву D - розбиття (див. таблицю 3 та рис. 10)
1 2 3 4 5 |
+ J |
+ |
w ® ¥ |
w ® - ¥ |
K |
B |
A |
Рис. 10 |
C |
Таблиця 3
| w | 0 | 1 | Ö2 | 2 | ¥ |
| X (w) | 0 | 1 | 2 | 4 | ¥ |
| Y (w) | 0 | -1 | 0 | 4 | ¥ |
|
|
Так як параметр є речовій позитивною величиною, то областю стійкості є значення параметра - к, розташовані на дійсній позитивної осі, тобто] 0, 2 [, що може бути перевірений-но за критерієм Гурвіца.
Література
1. Бронштейн І.М., Семендяев К.Н. Довідник з математики для інженерів і студентів вузів. - М.: Наука, 1986.
2. Брюханов В.М. та ін Теорія автоматичного керування. - М: Вища школа, 2000.
3. Єгупов Н.Д., Пупков К.А., Баркін А.І. Синтез регуляторів систем автоматичного керування. МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2004.
4. Кім Д.П., Дмитрієва Н.Д. Збірник завдань з теорії автоматичного управління. Лінійні системи. Фізматліт, 2007. - 168 с.
5. Лукас В.А. Теорія автоматичного керування. - М.: Надра, 1990. - 416 с.
6. Збірник завдань з теорії автоматичного регулювання та управління / Під редакцією В.А. Бесекерскій. - M.: Наука, 1978.
7. Довідник з теорії автоматичного управління. / Под ред. А.А. Красовського - М.: Наука, 198 - 712 с.