Задача 1
Є дані 24 заводів однієї з галузей промисловості (табл.1.1).Таблиця 1.1
№ заводу | Середньорічна вартість ОФ, млн. грн. | Валова продукція в порівнянних цінах, грн. | № заводу | Середньорічна вартість ОФ, млн. грн. | Валова продукція в порівнянних цінах, грн. |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1 | 1,7 | 1,5 | 13 | 1,2 | 1,1 |
2 | 3,9 | 4,4 | 14 | 7 | 7,7 |
3 | 3,5 | 4,5 | 15 | 4,6 | 5,6 |
4 | 4,9 | 4,5 | 16 | 8,1 | 7,8 |
5 | 3,2 | 2 | 17 | 6,4 | 6 |
6 | 5,1 | 4,4 | 18 | 5,5 | 8,5 |
7 | 3,3 | 4 | 19 | 6,7 | 6,5 |
8 | 0,5 | 0,2 | 20 | 1 | 0,8 |
9 | 3,2 | 3,6 | 21 | 4,8 | 4,5 |
10 | 5,6 | 7,8 | 22 | 2,7 | 2,5 |
11 | 3,6 | 3 | 23 | 2,8 | 3,2 |
12 | 0,9 | 0,7 | 24 | 6,8 | 6,8 |
1) число заводів;
2) середньорічну вартість основних фондів - всього і в середньому на один завод;
3) вартість валової продукції - всього і в середньому на один завод;
4) рівень фондовіддачі по групах. Результати подайте у вигляді групової таблиці. Зробіть висновки.
Рішення:
1. Визначимо величину інтервалу группировочного ознаки.
Середньорічна вартість основних фондів є групувальні ознакою.
де x max - Максимальне значення;
x min - Мінімальне значення группировочного ознаки;
s - число утворених груп.
2. Визначимо межі інтервалів.
x min ® 0,5 ... 2,4
2,4 ... 4,2
4,2 ... 6,3
6,3 ... 8,1 ¬ x max
Складемо допоміжну таблицю.
Таблиця 1.2 Допоміжна таблиця.
№ п / п | Групи по с / г вартості ОФ | Номер заводу | Середньорічна вартість ОФ, млн. грн. | Валова продукція в зіставлення на. цінах, грн. |
1 | 0,5 - 2,4 | 1 | 1,7 | 1,5 |
8 | 0,5 | 0,2 | ||
12 | 0,9 | 0,7 | ||
13 | 1,2 | 1,1 | ||
20 | 1 | 0,8 | ||
Разом | 5 | 5,3 | 4,3 | |
2 | 2,4 - 4,3 | 2 | 3,9 | 4,4 |
3 | 3,5 | 4,5 | ||
5 | 3,2 | 2 | ||
7 | 3,3 | 4 | ||
9 | 3,2 | 3,6 | ||
11 | 3,6 | 3 | ||
22 | 2,7 | 2,5 | ||
23 | 2,8 | 3,2 | ||
Разом | 8 | 26,2 | 27,2 | |
3 | 4,3 - 6,2 | 4 | 4,9 | 4,5 |
6 | 5,1 | 4,4 | ||
10 | 5,6 | 7,8 | ||
15 | 4,6 | 5,6 | ||
18 | 5,5 | 8,5 | ||
21 | 4,8 | 4,5 | ||
Разом | 6 | 30,5 | 35,3 | |
4 | 6,2 - 8,1 | 14 | 7 | 7,7 |
16 | 8,1 | 7,8 | ||
17 | 6,4 | 6 | ||
19 | 6,7 | 6,5 | ||
24 | 6,8 | 6,8 | ||
Разом | 5 | 35 | 34,8 | |
Всього | 24 | 97 | 101,6 |
Таблиця 1.3 Групування заводів з середньорічної вартості ОФ.
Групи, № п \ п | Групи з СР / г вартості ОФ | Кількість заводів, шт. | Середня СР / рік ст-ть ОФ, млн. грн. | Валова продукція в порівнянних цінах, грн | |
всього | на один завод | ||||
А | Б | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0,5 - 2,4 | 5 | 1,06 | 4,3 | 0,86 |
2 | 2,4 - 4,3 | 8 | 3,275 | 27,2 | 3,4 |
3 | 4,3 - 6,2 | 6 | 5,08 | 35,3 | 5,88 |
4 | 6,2 - 8,1 | 5 | 7 | 34,8 | 6,96 |
Разом | 24 | 4,1 | 101,6 | 4,2 |
5,3 / 5 = 1,064,3 / 5 = 0,86
26,2 / 8 = 3,27527,2 / 8 = 3,4
30,5 / 6 = 5,08 35,3 / 6 = 5,88
35 / 5 = 7 34,8 / 5 = 6,96
Разом: 97/24 = 4,1 Разом: 101,6 / 24 = 4,2
Висновок: зі зростанням середньорічної вартості основних фондів зростає вартість валової продукції, отже, між досліджуваними показниками існує пряма залежність.
Задача 2
Є дані по двом заводам, що виробляють однорідну продукцію (табл.2)Таблиця 2
Номер заводу | 1998 | 1999 | ||
Витрати часу на одиницю продукції, год | Виготовлення продукції, шт. | Витрати часу на одиницю продукції, год | Витрати часу на всю продукцію, год | |
1 | 2,5 | 150 | 1,9 | 380 |
2 | 3,2 | 250 | 3,4 | 850 |
Вкажіть, який вид середньої необхідно застосувати при обчисленні цих показників.
Рішення:
Якщо у статистичній сукупності дано ознака x i і f i його частота, то розрахунок ведемо за формулою середньої арифметичної зваженої.
Якщо дано ознака x i, немає його частоти f i, а дан обсяг M = x i f i поширення явища, тоді розрахунок ведемо за формулою середньої гармонійної зваженої:
У середньому витрати часу на виготовлення одиниці продукції в 1998 році вище, ніж у 1999 р.
Задача 3
Для визначення середньої суми вкладу в ощадних касах району, що має 9000 вкладників, проведена 10%-я механічна вибірка, результати якої представлені в табл.3.Таблиця 3.
Групи вкладів за розміром, грн. - X i | До 200 | 200-400 | 400-600 | 600-800 | Св.800 | Разом |
Кількість вкладників - f i | 85 | 110 | 220 | 350 | 135 | 900 |
100 | 300 | 500 | 700 | 900 | ||
x - A | -600 | -400 | -200 | 0 | 200 | |
-3 | -2 | -1 | 0 | 1 | ||
-255 | -220 | -220 | 0 | 135 | -560 | |
-475 | -275 | -75 | 125 | 325 | ||
225625 | 75625 | 5625 | 15625 | 105625 | ||
19178125 | 8318750 | 1237500 | 5468750 | 14259375 | 48462500 |
застосовуючи спосіб моментів:
а) середню суму внесків;
б) дисперсію і середнє квадратичне відхилення вкладу;
коефіцієнт варіації;
з ймовірністю 0,954 можливі межі, в яких перебуває середня сума вкладів в ощадкасі району;
з ймовірністю 0,954 можливі межі, в яких знаходиться питома вага вкладників, внесок яких не перевищує 400 грн.
Рішення:
Середню суму вкладів способом моментів визначимо за формулою:
де А - постійна величина, на яку зменшуються всі значення ознаки.
У варіаційних рядах з рівними інтервалами в якості такої величини приймається варіанту ряду з найбільшою частотою.
i = величина інтервалу.
Знаходимо середини інтервалів:
200 + 400 / 2 = 300 - для закритих інтервалів;
Для відкритих інтервалів друга межа добудовується:
0 + 200 / 2 = 100
Величина інтервалу i = 200.
Найбільша частота дорівнює 350, отже А = 700.
Висновок: в середньому сума вкладів становить 575 грн.
Дисперсія:
Коефіцієнт варіації:
Середньоквадратичне відхилення:
Задача 4
Є дані про малюкової смертності на Україну (табл.4.1).Таблиця 4.1
Рік | 1990 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 |
Померло дітей у віці до 1 року (всього), тис. чол. | 12,5 | 11,7 | 11,9 | 10,6 | 9,4 | 9,2 |
1) абсолютний приріст, темпи росту і приросту (по роках і до базисного 1995 р), абсолютний вміст 1% приросту (отримані показники подайте у вигляді таблиці);
2) середньорічний темп зростання і приросту малюкової смертності: а) з 1990 по 1996 роки, б) з 1995 по 1999 роки, в) з 1990 по 1999 роки. Зобразіть вихідні дані графічно. Зробіть висновки.
Рішення:
1. Абсолютний приріст (Δ i) визначається як різниця між двома рівнями динамічного ряду і показує, на скільки даний рівень ряду перевищує рівень, прийнятий за базу порівняння Δ i = y i-y баз, де y i - рівень порівнюваного періоду; y баз - базисний рівень.
При порівнянні зі змінною базою абсолютний приріст буде дорівнює Δ i = y i-y i -1, де y i - рівень порівнюваного періоду; y i -1 - попередній рівень.
Темпи зростання визначаються як процентне відношення двох порівнюваних рівнів:
При порівнянні з базисом:
По роках:
Темп приросту показує, на скільки відсотків рівень даного періоду більше (або менше) базисного рівня.
По відношенню до базисного:
по роках:
або можна обчислювати так:
Тп = Тр-100%.
Абсолютна утримання 1% приросту - порівняння темпу приросту з показником абсолютної зростання:
2. Середньорічна малюкова смертність обчислюється за формулою:
3. Середньорічний абсолютний приріст обчислюється за формулою:
4. Базисний темп росту за допомогою взаємозв'язку ланцюгових темпів зростання обчислюється за формулою:
5. Середньорічний темп зростання обчислюється за формулою:
Середньорічний темп приросту обчислюється за формулою:
Розраховані дані представимо в таблиці 4.2
Таблиця 4.2
Рік | Померло, тис. чол. | Абсол. приріст | СР рік. темп зростання | СР рік. темп приросту | А і | |||
ланцюг. | базисним. | ланцюг. | базисним. | ланцюг. | базисним. | |||
1990 | 12,3 | - | 0,7 | 102,973 | 2,973046 | |||
1995 | 11,6 | 0,7 | 0 | 98,83 | 100 | -1,16504 | 0 | 0,123 |
1996 | 11,1 | 0,5 | 0,5 | 97,82 | 97,82109 | -2,17891 | -2,17891 | 0,116 |
1997 | 10,6 | 0,5 | 0 | 97,72 | 95,59253 | -2,2782 | -4,40747 | 0,111 |
1998 | 9 | 1,6 | 1,6 | 92,14 | 88,08303 | -7,85573 | -11,917 | 0,106 |
1999 | 9,3 | -0,3 | -1,9 | 101,65 | 89,53905 | 1,653005 | -10,461 | 0,09 |
Як базисний беремо 1995
\ S
Таблиця 5.
Визначте:
1) загальний індекс фізичного обсягу продукції;
2) загальний індекс цін і абсолютний розмір економії (перевитрати) від зміни цін;
3) на підставі обчислених індексів визначити індекс товарообігу.
Рішення.
Індекс являє собою відносну величину, що отримується в результаті зіставлення рівнів складних соціально-економічних показників в часі, в просторі або з планом.
Індивідуальними називаються індекси, що характеризують зміни тільки одного елемента сукупності.
Загальний індекс відображає зміну по всій сукупності елементів складного явища.
Вартість - це якісний показник.
Фізичний обсяг продукції - кількісний показник.
Загальний індекс фізичного обсягу продукції обчислюється за формулою:
,
де p 0 і р 1 - ціна одиниці товару відповідно в базисному і звітному періодах; q 0 і q 1 - кількість (фізичний обсяг) товару відповідно в базисному і звітному періодах. Кількість проданих товарів збільшилася на 19,4%.
Або в грошах: 30,4 - 25,45 = 4,95 тис. грн.
Загальний індекс вартості обчислюється за формулою:
Отже, ціни на дані товари в середньому збільшилися на 46,7%.
Сума заощаджених або перевитрачено грошей:
сума зросла на 46,7%, отже, населення в звітному періоді на купівлю даних товарів додатково витратить: 44,6 - 30,4 = 14,2 тис. грн.
Загальний індекс товарообороту обчислюється за формулою:
Товарообіг в середньому зріс на 75,2%.
Взаємозв'язок індексів:
1,467 * 1, 194 = 1,752
Таблиця 6.
Обчисліть індекси:
1) собівартості змінного складу;
2) собівартості постійного складу;
3) структурних зрушень. Поясніть отримані результати.
Рішення.
Індекс собівартості змінного складу обчислюється за формулою:
де z 0 і z 1 - собівартість одиниці продукції відповідно базисного і звітного періодів;
q 0 і q 1 - кількість (фізичний обсяг) продукції відповідно в базисному і звітному періодах.
Індекс показує, що середня собівартість за двом заводам підвищилася на 0,6%, це підвищення обумовлене зміною собівартості продукції по кожному заводу і зміною структури продукції (збільшенням обсягу випуску).
Виявимо вплив кожного з цих факторів.
Індекс собівартості постійного складу обчислюється за формулою:
Тобто собівартість продукції за двома заводам в середньому зросла на 0,3%.
Індекс собівартості структурних зрушень обчислюється за формулою:
або
Взаємозв'язок індексів:
1,003 * 1,003 = 1,006
Висновок:
Індекс собівартості змінного складу залежить від зміни рівня собівартості і від зміни обсягу виробництва, тобто середній приріст собівартості склало 0,6%.
Індекс собівартості постійного складу показує зміну собівартості при фіксованому обсязі виробництва, тобто в середньому по заводам собівартість підвищилася на 0,3%. Індекс собівартості змінного складу вище, ніж індекс собівартості постійного складу, це свідчить про те, що відбулися сприятливі структурні зрушення. Індекс структурних зрушень дорівнює 1,003%, тобто за рахунок зміни обсягів виробництва по заводах середня собівартість підвищилася на 0,3%.
Середньорічний темп зростання | ||
з 1990 по 1996 | 98,30 | |
з 1995 по 1999 | 94,63 | |
з 1990 по 1999 | 96,94 | |
Середньорічний темп приросту | ||
з 1990 по 1996 | -1,70 | |
з 1995 по 1999 | -5,37 | |
з 1990 по 1999 | -3,06 |
Задача 5
Реалізація товарів на колгоспному ринку характеризується даними представленими в табл.5.Таблиця 5.
Найменування товару | Базисний період | Звітний період | ||
Кількість, тис. кг. | Ціна 1 кг., Грн | Кількість, тис. грн. | Ціна 1 кг., Грн | |
Картопля | 15,5 | 0,4 | 21 | 0,6 |
М'ясо | 3,5 | 5,5 | 4 | 8 |
1) загальний індекс фізичного обсягу продукції;
2) загальний індекс цін і абсолютний розмір економії (перевитрати) від зміни цін;
3) на підставі обчислених індексів визначити індекс товарообігу.
Рішення.
Індекс являє собою відносну величину, що отримується в результаті зіставлення рівнів складних соціально-економічних показників в часі, в просторі або з планом.
Індивідуальними називаються індекси, що характеризують зміни тільки одного елемента сукупності.
Загальний індекс відображає зміну по всій сукупності елементів складного явища.
Вартість - це якісний показник.
Фізичний обсяг продукції - кількісний показник.
Загальний індекс фізичного обсягу продукції обчислюється за формулою:
де p 0 і р 1 - ціна одиниці товару відповідно в базисному і звітному періодах; q 0 і q 1 - кількість (фізичний обсяг) товару відповідно в базисному і звітному періодах. Кількість проданих товарів збільшилася на 19,4%.
Або в грошах: 30,4 - 25,45 = 4,95 тис. грн.
Загальний індекс вартості обчислюється за формулою:
Отже, ціни на дані товари в середньому збільшилися на 46,7%.
Сума заощаджених або перевитрачено грошей:
сума зросла на 46,7%, отже, населення в звітному періоді на купівлю даних товарів додатково витратить: 44,6 - 30,4 = 14,2 тис. грн.
Загальний індекс товарообороту обчислюється за формулою:
Товарообіг в середньому зріс на 75,2%.
Взаємозв'язок індексів:
1,467 * 1, 194 = 1,752
Задача 6
Є дані про випуск однойменної продукції і її собівартості по двом заводам (табл.6).Таблиця 6.
Завод | Виробництво продукції, тис. шт. | Собівартість 1 шт., Грн. | ||
I квартал | II квартал | I квартал | II квартал | |
I | 120 | 180 | 100 | 96 |
II | 60 | 80 | 90 | 100 |
1) собівартості змінного складу;
2) собівартості постійного складу;
3) структурних зрушень. Поясніть отримані результати.
Рішення.
Індекс собівартості змінного складу обчислюється за формулою:
де z 0 і z 1 - собівартість одиниці продукції відповідно базисного і звітного періодів;
q 0 і q 1 - кількість (фізичний обсяг) продукції відповідно в базисному і звітному періодах.
Індекс показує, що середня собівартість за двом заводам підвищилася на 0,6%, це підвищення обумовлене зміною собівартості продукції по кожному заводу і зміною структури продукції (збільшенням обсягу випуску).
Виявимо вплив кожного з цих факторів.
Індекс собівартості постійного складу обчислюється за формулою:
Тобто собівартість продукції за двома заводам в середньому зросла на 0,3%.
Індекс собівартості структурних зрушень обчислюється за формулою:
Взаємозв'язок індексів:
1,003 * 1,003 = 1,006
Висновок:
Індекс собівартості змінного складу залежить від зміни рівня собівартості і від зміни обсягу виробництва, тобто середній приріст собівартості склало 0,6%.
Індекс собівартості постійного складу показує зміну собівартості при фіксованому обсязі виробництва, тобто в середньому по заводам собівартість підвищилася на 0,3%. Індекс собівартості змінного складу вище, ніж індекс собівартості постійного складу, це свідчить про те, що відбулися сприятливі структурні зрушення. Індекс структурних зрушень дорівнює 1,003%, тобто за рахунок зміни обсягів виробництва по заводах середня собівартість підвищилася на 0,3%.
Задача 7
Для вивчення тісноти зв'язку між випуском валової продукції на один завод (результативна ознака Y) і оснащеністю заводів основними виробничими фондами (факторний ознака X) за даними задачі 1 визначити коефіцієнт детермінації і емпіричне кореляційне відношення. Рішення: показником тісноти зв'язку між факторами, є лінійний коефіцієнт кореляції. Лінійний коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою:
.
Лінійне рівняння регресії має вигляд: y = bx-а.
Коефіцієнт детермінації показує наскільки варіація ознаки залежить від чинника, покладеного в основу групування та обчислюється за формулою:
де d 2 - внутригрупповая дисперсія; s 2 - загальна дисперсія.
Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки, який залежить від всіх умов у даній сукупності. Міжгрупова дисперсія відображає варіацію досліджуваної ознаки, яка виникає під впливом фактору, покладеного в основу групування та розраховується за формулою:
де середнє значення по окремих групах; f i - частота кожної групи.
Середня з внутрішньогрупових дисперсія:
де - Дисперсія кожної групи.
Емпіричне кореляційне відношення розраховується за формулою:
Всі розрахункові дані наведені в таблиці 7.
Таблиця 7
\ S
Підставивши обчислені значення у формулу, отримаємо:
Коефіцієнт детермінації h 2 = 0,87.
Емпіричне кореляційне відношення має вигляд: у = 1,0873 х - 0,161.
Лінійний коефіцієнт кореляції r = 0,93.
a = 0,161 b = 1,0873
Так як значення коефіцієнта кореляції близьке до одиниці, то між випуском валової продукції і оснащеністю заводів основними виробничими фондами є тісна залежність.
b - коефіцієнт регресії, т.к b> 0, то зв'язок прямий.
2. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики: Підручник. - М.: Фінанси і статистика, 2004.
3. Єфімова М.Р., Рябцев В.Ф. Загальна теорія статистики: Підручник. М.: Фінанси і статистика, 1999.
Лінійне рівняння регресії має вигляд: y = bx-а.
Коефіцієнт детермінації показує наскільки варіація ознаки залежить від чинника, покладеного в основу групування та обчислюється за формулою:
де d 2 - внутригрупповая дисперсія; s 2 - загальна дисперсія.
Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки, який залежить від всіх умов у даній сукупності. Міжгрупова дисперсія відображає варіацію досліджуваної ознаки, яка виникає під впливом фактору, покладеного в основу групування та розраховується за формулою:
де
Середня з внутрішньогрупових дисперсія:
де
Емпіричне кореляційне відношення розраховується за формулою:
Всі розрахункові дані наведені в таблиці 7.
Таблиця 7
№ заводу | Середньорічна вартість ОФ, млн. грн. (X) | Валова продукція в порівнянних цінах, грн. (Y) | X ^ 2 | Y ^ 2 | XY |
1 | 1,6 | 1,5 | 2,56 | 2,25 | 2,55 |
2 | 3,9 | 4,2 | 15,21 | 17,64 | 17,16 |
3 | 3,3 | 4,5 | 10,89 | 20,25 | 15,75 |
4 | 4,9 | 4,4 | 24,01 | 19,36 | 22,05 |
5 | 3,0 | 2,0 | 9 | 4 | 6,4 |
6 | 5,1 | 4,2 | 26,01 | 17,64 | 22,44 |
7 | 3,1 | 4,0 | 9,61 | 16 | 13,2 |
8 | 0,5 | 0,4 | 0,25 | 0,16 | 0,1 |
9 | 3,1 | 3,6 | 9,61 | 12,96 | 11,52 |
10 | 5,6 | 7,9 | 31,36 | 62,41 | 43,68 |
11 | 3,5 | 3,0 | 12,25 | 9 | 10,8 |
12 | 0,9 | 0,6 | 0,81 | 0,36 | 0,63 |
13 | 1,0 | 1,1 | 1 | 1,21 | 1,32 |
14 | 7,0 | 7,5 | 49 | 56,25 | 53,9 |
15 | 4,5 | 5,6 | 20,25 | 31,36 | 25,76 |
16 | 8,1 | 7,6 | 65,61 | 57,76 | 63,18 |
17 | 6,3 | 6,0 | 39,69 | 36 | 38,4 |
18 | 5,5 | 8,4 | 30,25 | 70,56 | 46,75 |
19 | 6,6 | 6,5 | 43,56 | 42,25 | 43,55 |
20 | 1,0 | 0,9 | 1 | 0,81 | 0,8 |
21 | 4,7 | 4,5 | 22,09 | 20,25 | 21,6 |
22 | 2,7 | 2,3 | 7,29 | 5,29 | 6,75 |
23 | 2,9 | 3,2 | 8,41 | 10,24 | 8,96 |
24 | 6,8 | 6,9 | 46,24 | 47,61 | 46,24 |
Разом | 95,6 | 100,8 | 485,96 | 561,62 | 523,49 |
Середнє | 3,824 | 4,032 | 19,4384 | 22,4648 | 21,81 |
Підставивши обчислені значення у формулу, отримаємо:
Коефіцієнт детермінації h 2 = 0,87.
Емпіричне кореляційне відношення має вигляд: у = 1,0873 х - 0,161.
Лінійний коефіцієнт кореляції r = 0,93.
a = 0,161 b = 1,0873
Так як значення коефіцієнта кореляції близьке до одиниці, то між випуском валової продукції і оснащеністю заводів основними виробничими фондами є тісна залежність.
b - коефіцієнт регресії, т.к b> 0, то зв'язок прямий.
Список використаної літератури
1. Адамов В.Є. Факторний індексний аналіз. - М.: Статистика, 1997.2. Єлісєєва І.І., Юзбашев М.М. Загальна теорія статистики: Підручник. - М.: Фінанси і статистика, 2004.
3. Єфімова М.Р., Рябцев В.Ф. Загальна теорія статистики: Підручник. М.: Фінанси і статистика, 1999.