Статистичне моделювання 2

Задача 1

Район	Споживчі витрати на душу населення, тис. грн., Y	Грошові доходи на душу населення, тис. грн., X
Республіка Башкортостан	461	632
Удмуртська Республіка	524	738
Курганська область	298	515
Оренбурзька область	351	640
Пермська область	624	942
Свердловська область	584	888
Челябінська область	425	704
Республіка Алтай	277	603
Алтайський край	321	439
Кемеровська область	573	985
Новосибірська область	576	735
Омська область	588	760
Томська область	497	830
Тюменська область	863	2093
Fтабл. = 4,75 (α = 0,05)	σy = 152,47	σx = 382,79

ПОТРІБНО
1. Розрахуйте параметри рівняння лінійної регресії.
2. Оцініть тісноту зв'язку за допомогою показників кореляції і детермінації.
3. Визначте середню помилку апроксимації. Зробіть висновок.
4. Оцініть статистичну надійність регресійного моделювання з допомогою F-критерію Фішера та t-критерію Стьюдента.
5. Оцініть отримані результати, оформіть висновки.
РІШЕННЯ.
1. А) Вводимо дані в таблицю (EXCEL) - стовпці № x, y:

	Район	y	x	y x	yy x	A i
1	Республіка Башкортостан	461	632	430,82	30,18	6,55
2	Удмуртська Республіка	524	738	466,86	57,14	10,90
3	Курганська область	298	515	391,04	-93,04	31,22
4	Оренбурзька область	351	640	433,54	-82,54	23,52
5	Пермська область	624	942	536,22	87,78	14,07
6	Свердловська область	584	888	517,86	66,14	11,33
7	Челябінська область	425	704	455,3	-30,3	7,13
8	Республіка Алтай	277	603	420,96	-143,96	51,97
9	Алтайський край	321	439	365,2	-44,2	13,77
10	Кемеровська область	573	985	550,84	22,16	3,87
11	Новосибірська область	576	735	465,84	110,16	19,13
12	Омська область	588	760	474,34	113,66	19,33
13	Томська область	497	830	498,14	-1,14	0,23
14	Тюменська область	863	2093	927,56	-64,56	7,48
	Разом	6962,00	11504,00	6934,52
	середнє значення	497,29	821,71	495,32		15,75
	σ	152,47	382,79
	σ 2	23246,63	146524,63

Обчислення параметрів лінійного рівняння регресії. За допомогою інструменту Регресія (Дані QUOTE Аналіз даних QUOTE Регресія) отримуємо наступні результати.

ВИСНОВОК ПІДСУМКІВ
Регресійна статистика
Множинний R	0,859604
R-квадрат	0,738919
Нормований R-квадрат	0,717162
Стандартна помилка	84,14752
Спостереження	14
Дисперсійний аналіз
	df	SS	MS	F	Значимість F
Регресія	1	240483,2	240483,2	33,9627	8,11 E-05
Залишок	12	84969,65	7080,804
Разом	13	325452,9
	Коефіцієнти	Стандартна помилка	t-статистика	P-Значення	Нижні 95%	Верхні 95%
Y-перетин	215,9377	53,2585	4,054521	0,001597	99,89739	331,978
Грошові доходи на душу населення, тис. грн., X	0,342392	0,058752	5,827752	8,11 E-05	0,214382	0,470401

Записуємо рівняння парної лінійної регресії
y _x = 215,94 +0,34 x
Економічний зміст рівняння: зі збільшенням грошових доходів x на 1тис.руб. - Споживчі витрати y в середньому зростає на 0,34 тис. руб.
v Множинний коефіцієнт кореляції R = 0,86
за формулою
r _xy = b QUOTE = 0,34 * 382,79 / 152,47 = 0,85.
Зв'язок між змінними x і y пряма, сильна, тісний, тобто величина споживчих витрат значно залежить від грошових доходів.
v Коефіцієнт детермінації R ² = 0,74, тобто в 74% випадків зміни грошових доходів призводять до зміни споживчих витрат. Іншими словами точність підбору рівняння регресії 74% - висока.
3. Для визначення середньої помилки апроксимації розраховуємо стовпці y _x, yy _x, Ai:
A _i = I QUOTE I * 100, QUOTE = 15,75

Отримуємо значення середньої помилки апроксимації QUOTE = 15,8%
Це означає, що, в середньому, розрахункові значення залежного ознаки відхиляються від фактичних значень на 15,8%. Величина помилки апроксимації говорить про погану якість моделі.
А) за критерієм Фішера
1. Висуваємо нульову гіпотезу про статистичну незначущість параметрів регресії і показника кореляції a = b = r _xy = 0;
2. Фактичне значення критерію F _ф = 33,96;
3. Для визначення табличного значення критерію розраховуємо коефіцієнти k ₁ = m = 1 і
k ₂ = nm-1 = 12 F _табл = 4,75
4. Порівнюємо фактичне і табличне значення критерію F _факт> F _табл, тобто нульову гіпотезу відхиляємо і робимо висновок про статистичної значущості і надійності отриманої моделі.
Б) за критерієм Стьюдента:
1. Висуваємо нульову гіпотезу про статистично незначному відміну показників від нуля: a = b = r _xy = 0;
2. Табличне значення t-критерію залежить від числа ступенів свободи і заданого рівня значущості α. Рівень значущості - це ймовірність відкинути правильну гіпотезу за умови, що вона вірна. Для числа ступенів свободи 12 і рівня значущості α = 0,05 t _табл = 2,18
3. Фактичне значення t-критерію розраховуються окремо для кожного параметра моделі. З цією метою спочатку визначаються випадкові помилки параметрів m _a, m _b, m _rxy.
m _a = 53,26, m _b = 0,06, m _rxy = 0,152, де S _ост = QUOTE .
n-число спостережень, кількість незалежних змінних.
Розраховуємо фактичні значення t-критерію:

t _фа = QUOTE = 215,94 / 53,26 = 4,05; t _фr = QUOTE = 0,85 / 0,152 = 5,6.
t _фb = QUOTE = 0,34 / 0,06 = 5,7;
4.Сравнім фактичні значення t-критерію з табличним значенням:
t _фа> t _табл; t _фb> t _табл; t _фr> t _табл.
Нульову гіпотезу відхиляємо, параметри a, b, r _xy - не випадково відрізняються від нуля і є статистично значущими і надійними.
В) Щоб розрахувати довірчий інтервал для параметрів регресії a, b, необхідно визначити граничну помилку параметрів:
Δa = t _табл m _a = 2,18 * 53,26 = 116,11 Δa = t _табл m _b = 2,18 * 0,06 = 0,13
Довірчий інтервал: γ _a = a ± Δa = 215,94 ± 116,11
99,83 ≤ a ≤ 332,05
γ _b = b ± Δb = 0,34 ± 0,13
0,21 ≤ b ≤ 0,47
Аналіз верхньої та нижньої меж довірчих інтервалів показує, що з імовірністю
p = 1 - α = 0,95 параметри a і b не приймають нульових значень, тобто є статистично значущими і надійними.
Висновки:
ü Рівняння парної лінійної регресії y _x = 215,94 +0,34 x. Економічний зміст рівняння: зі збільшенням грошових доходів x на 1тис.руб. - Споживчі витрати y в середньому зростає на 0,34 тис. руб.
ü Множинний коефіцієнт кореляції R = 0,86 вказує на с в'язь між змінними x і y пряма, сильна, тісний, тобто величина споживчих витрат значно залежить від грошових доходів.
ü Коефіцієнт детермінації R ² = 0,74, показує, що в 74% випадків зміни грошових доходів призводять до зміни споживчих витрат. Точність підбору рівняння регресії 74% - висока.
ü Значення середньої помилки апроксимації QUOTE = 15,8% означає, що середньому, розрахункові значення залежного ознаки відхиляються від фактичних значень на 15,8%. Величина помилки апроксимації говорить про погану якість моделі.
ü Фактичне значення більше табличного значення критерію F _факт> F _табл, вказує, що отримана модель статистично значуща і надійна
ü При порівнянні фактичних значень t-критерію з табличним значенням, отримуємо, що параметри a, b, r _xy - не випадково відрізняються від нуля і є статистично значущими і надійними.
ü Аналіз верхньої та нижньої меж довірчих інтервалів показує, що з імовірністю p = 1 - α = 0,95 параметри a і b не приймають нульових значень, тобто є статистично значущими і надійними.
Задача 2
За даними газети "З рук в руки» була зроблена мною вибірка даних про вартість квартир на вторинному ринку за певний період (від 25 травня 2009р). Вибірка містить 20 даних. Як фактори, що впливають на вартість квартир вибрала число кімнат (х _1), загальна площа (х _2), житлова площа (х _3), площа кухні (х _4). Необхідно побудувати рівняння регресії, що характеризує залежність ціни від всіх якостей. Оцінити економічний сенс і значимість отриманого рівняння.
1. Вводимо дані в таблицю (EXCEL) - стовпці № x _1, х _2, х _3, х _4, y. Для зручності проведення розрахунків помістимо результати проміжних розрахунків у таблицю [Приложение1]

0	x1	x2	x3	x4	y
1	1	32	19	6	1200
2	1	36	18	6	1400
3	1	29	16	5	980
4	1	29	16	5	1100
5	2	43	28,8	9	1420
6	2	52	34	10	1950
7	2	45	30	9	980
8	2	46	29	9	1350
9	3	54	38	11	1800
10	4	58	40	12	2500
11	3	50	35	10	1700
12	3	60	38	11	2100
13	4	70	52	16	1750
14	4	70	52	16	2950
15	4	76	49	15	3500
16	4	68	47	14	2400
17	5	145	86	26	5800
18	5	82	65	19	4500
19	5	83	66	20	4000
20	5	130	78	24	6500
Сума	61	1258	836,8	253	49880
СР значення	3,05	62,9	41,84	12,7	2494

Знайдемо середні квадратичні відхилення ознак:
σ _y = QUOTE = 1556,86;

σ _x1 = QUOTE = 1,43;
σ _x2 = QUOTE = 29,74;
σ _x3 = QUOTE = 19,63;
σ _x4 = QUOTE = 5,90;
2. Обчислення параметрів лінійного рівняння множинної регресії.
Для знаходження параметрів лінійного рівняння множинної регресії
y = a + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₃ x ₃ + b ₄ x _4.
Знайдемо матрицю парних коефіцієнтів кореляції (Дані QUOTE Аналіз даних QUOTE Кореляція)
Отримуємо наступний результат:

	x1	x2	x3	x4	y
x1	1
x2	0,847337	1
x3	0,940703	0,964635	1
x4	0,931673	0,968788	0,998364	1
y	0,833719	0,949023	0,930686	0,934761	1

1 стовпець матриці містить коефіцієнти кореляції y з кожним з факторів x. Таким чином, найбільш сильний вплив на вартість квартири надають фактори x _2; x _3; x _4.
За допомогою інструменту Регресія (Дані QUOTE Аналіз даних QUOTE Регресія) отримуємо наступні результати:

ВИСНОВОК ПІДСУМКІВ
Регресійна статистика
Множинний R	0,951256
R-квадрат	0,904889
Нормований R-квадрат	0,879526
Стандартна помилка	554,416
Спостереження	20
Дисперсійний аналіз
	df	SS	MS	F	Значимість F
Регресія	4	43865823	10966455,67	35,6775234	1,69079 E-07
Залишок	15	4610657	307377,1554
Разом	19	48476480
	Коефіцієнти	Стандартна помилка	t-статистика	P-Значення	Нижні 95%	Верхні 95%
Y-перетин	-688,384	308,7638	-2,229485916	0,04148909	-1346,49885	-30,2701
x1	67,88611	351,3708	0,193203645	0,84939123	-681,042959	816,8152
x2	39,08366	21,70148	1,800967381	0,09184344	-7,17195183	85,33927
x3	-31,251	130,6937	-0,239116437	0,81425164	-309,817992	247,316
x4	144,2302	404,6624	0,35642105	0,72648905	-718,287253	1006,748

Таким чином, отримали рівняння множинної регресії:
y _x = 67,89 x ₁ + 39,08 x ₂ - 31,25 x ₃ +144,23 x ₄ - 688,38
Економічний зміст рівняння: при збільшенні числа кімнат квартири х _1, ціна квартири збільшується на 67,89 тис. руб.; При збільшенні загальної площі квартири х _2, ціна квартири збільшується на 39,08 тис. руб.; При збільшенні житлової площі квартири х _3, ціна квартири зменшується на 31,25 тис. руб.; при збільшенні площі кухні х _4, ціна квартири збільшується на 144,23 тис.руб.

v Залишкова дисперсія: σ ² = 230532,9.
v Середня помилка апроксимації: QUOTE = 19%. Якість моделі, виходячи з відносних відхилень по кожному спостереження, визнається поганим, тому що середня помилка апроксимація перевищує 15%.
v Множинний коефіцієнт кореляції R = 0,951.
v Коефіцієнт детермінації R ² = 0,905. Нескоригований коефіцієнт детермінації R ² оцінює частку дисперсії вартості за рахунок наданих у рівнянні факторів у загальній варіації результату. Тут ця частка становить 90,5% і вказує на досить високу ступінь зумовленості варіації вартості з варіацією факторів, тобто на надто тісний зв'язок факторів з вартістю.
v Cкорректірованний коефіцієнт детермінації ^{QUOTE   2} = 0,88 визначає тісноту зв'язку з урахуванням ступенів свободи загальної і залишкової дисперсій. Всі чотири коефіцієнта вказують на досить високу 88% детермінованість вартості y в моделі з факторами x _1, х _2, х _3, х _4.
3. Оцінку надійності рівняння регресії в цілому та показника тісноти зв'язку дає -Критерію Фішера:
Число спостережень n = 20, число незалежних змінних m = 4, звідси
k ₁ = 4, k ₂ = 20-4-1 = 15.
F _факт. = QUOTE = 35,68.
Отримали, що F _факт.> F _табл. = 3,06 (при n = 20), тобто ймовірність випадково отримати таке значення F-критерію не перевищує допустимий рівень значимості 5%. Таким чином, підтверджується статистична значущість всього рівняння і показника тісноти зв'язку.
4. Оцінимо статистичну значимість параметрів чистої регресії за допомогою t-критерію Стьюдента.
Фактичні значення t-критерію:
t _x4 = b ₄ / se ₄ = 144,23 / 404,66 = 0,356;
t _x3 = b ₃ / se ₃ = -31,251 / 130,694 = - 0,239;
t _x2 = b ₂ / se ₂ = 39,08 / 21,7 = 1,80;
t _x1 = b ₁ / se ₁ = 67,89 / 351,4 = 0,193.
Табличне значення критерію при рівні значущості α = 0,05 і числі ступенів k = 15 складе t _табл = 2,13.
Таким чином, визнається статистична значимість параметра x4, тому що t _x4> t _табл, і випадкова природа формування параметра x _1, x _2, x _3, t _x1 <t _табл, t _x2 <t _табл, t _x3 <t _табл.
Довірчі інтервали для параметрів чистої регресії:
-681,04 QUOTE x ₁ QUOTE 816,82; -309,82 QUOTE x ₃ QUOTE 247,32;
-7,17 QUOTE x ₂ QUOTE 85,34; -718,29 QUOTE x ₄ QUOTE 1006,75.
Висновки:
ü Рівняння множинної регресії
y _x = 67,89 x ₁ + 39,08 x ₂ - 31,25 x ₃ +144,23 x ₄ - 688,38.
Економічний зміст рівняння: при збільшенні числа кімнат квартири х _1, ціна квартири збільшується на 67,89 тис. руб.; При збільшенні загальної площі квартири х _2, ціна квартири збільшується на 39,08 тис. руб.; При збільшенні житлової площі квартири х _3, ціна квартири зменшується на 31,25 тис. руб.; при збільшенні площі кухні х _4, ціна квартири збільшується на 144,23 тис.руб. Множинний коефіцієнт кореляції R = 0,95 вказує на с в'язь між змінними x і y пряма , сильна, тісний, тобто величина споживчих витрат значно залежить від грошових доходів.
ü Коефіцієнт детермінації R ² = 0,905, вказує на досить високу ступінь зумовленості варіації вартості з варіацією факторів, тобто на надто тісний зв'язок факторів з вартістю. Точність підбору рівняння регресії 95% - висока.
ü Cкорректірованний коефіцієнт детермінації ^{QUOTE   2} = 0,88, вказують на досить високу 88% детермінованість вартості y в моделі з факторами x _1, х _2, х _3, х _4.
ü Середня помилка апроксимації: QUOTE = 19%. Якість моделі, виходячи з відносних відхилень по кожному спостереження, визнається поганим, тому що середня помилка апроксимація перевищує 15%.
ü Фактичне значення більше табличного значення критерію F _факт> F _табл, підтверджується статистична значущість всього рівняння і показника тісноти зв'язку.
ü При порівнянні фактичних значень t-критерію з табличним, визнається статистична значимість параметра x4, тому що t _x4> t _табл, і випадкова природа формування параметра x _1, x _2, x _3, t _x1 <t _табл, t _x2 <t _табл, t _x3 <t _табл.

Список літератури
1) Економетрика: Підручник / За ред. І.І. Єлисєєвій. - М.: Фінанси і статистика, 2006. - 576 с.
2) Практикум з економетрики: Учеб. посібник / За ред. І.І. Єлисєєвій. - М.: Фінанси і статистика, 2006. - 344 с.
3) Практикум з економетрики з застосування MS Excel / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. - К.: Видавничий центр Академії управління «ТИСБИ», 2008 - 53 с.
4) Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Економетрика: Підручник для вузів / Під ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.