Статистика в обробці матеріалів психологічних досліджень
Статистичні методи застосовуються при обробці матеріалів психологічних досліджень для того, щоб зробити з тих кількісних даних, які отримані в експериментах, при опитуванні та спостереженнях, можливо більше корисної інформації. Зокрема, в обробці даних, одержуваних при випробуваннях по психологічній діагностиці, це буде інформація про індивідуально-психологічних особливостях випробуваних. Психологічні дослідження зазвичай будуються з опорою на кількісні дані.
Ось приклад.
До шкільного психолога звернувся шестикласник Саша Ю. з проханням випробувати його руховий темп. Його дуже цікавило баскетбол, і він збирався вступити в баскетбольну команду, а баскетболіст, безсумнівно, повинен мати високий руховий темп. Психолог розробив план невеликого дослідження. Він почав з того, що попросив Сашу так швидко, як він тільки може, ставити крапки в центрі гуртків, намальованих на листку паперу. За одну хвилину хлопчик поставив 137 точок. Наскільки цей темп характерний для нього? Щоб встановити це, психолог попросив Сашу повторити цю пробу 25 разів. Дійсно, деякі результати перевищували спочатку отримане число, але деякі виявилися і трохи менше. Психолог підсумував всі отримані за 25 проб результати, а суму розділив на 25 - таким шляхом він отримав середнє арифметичне за всіма пробам. Це середнє арифметичне склало 141. Такий по цій пробі максимальний темп цього хлопчика. Чи можна вважати цей темп високим? Знадобився ще один крок у дослідженні. Психолог сформував групу з 50 шестикласників, що не відрізняються від Саші і один від одного за віком більш ніж на півроку. З цими хлопцями психолог також провів спочатку по кілька тренувальних проб, щоб отримати надійні дані про їх темпі, і, нарешті, останню пробу для обробки.
Всі ці дані у вигляді середніх арифметичних були побудовані в один порядковий ряд, який був розбитий по десятках (за децилям).
Сашині дані увійшли в перший десяток з найбільш швидкими результатами. За цим кількісним даними психолог зробив висновок про те, що хлопчик має порівняно високим руховим темпом, про що і було йому повідомлено.
Сучасна математична статистика являє собою велику і складну систему знань. Не можна розраховувати на те, що кожен психолог опанує цими знаннями. Тим часом статистика потрібна психолога постійно в його повсякденній роботі. Фахівці-статистики розробили цілий комплекс простих методів, які абсолютно доступні будь-якій людині, не забув те, що він вивчив ще в середній школі.
У залежності від вимог, які пред'являють до статистики різні галузі науки і практики, створюються допомоги по геологічної, медичної, біологічної, психологічної статистикою '.
У цьому додатку даються найпростіші методи статистики для психологів. Всі необхідні для їх застосування обчислення можна виконувати вручну або на комп'ютері. Доречне грамотне застосування цих методів дозволить практику і досліднику, у всякому разі провівши початкову обробку, отримати загальну картину того, що дають кількісні результати його досліджень, оперативно проконтролювати хід досліджень. Надалі, якщо виникне така необхідність, матеріали досліджень можуть бути передані для більш глибокої розробки фахівця-статистику на великий комп'ютер.
Статистичні шкали
Застосування тих чи інших статистичних методів визначається тим, до якої статистичної шкалою відноситься отриманий матеріал. С. Стівенс запропонував розрізняти чотири статистичні шкали:
1. шкалу найменувань (або номінальну);
2. шкалу порядку;
3. шкалу інтервалів;
4. шкалу відносин.
Знаючи типові особливості кожної шкали, неважко встановити, до якої з них слід віднести підлягає статистичній обробці матеріал.
Шкала найменувань. До цієї шкалою відносяться матеріали, в яких вивчаються об'єкти відрізняються один від одного за їх якістю.
При обробці таких матеріалів немає ніякої потреби в тому, щоб розташовувати ці об'єкти в якомусь порядку, виходячи з їх характеристик. У принципі, об'єкти можна розташовувати в будь-якій послідовності.
Ось приклад: вивчається складу міжнародної наукової конференції. Серед учасників є французи, англійці, данці, німці і росіяни. Чи має значення порядок, в якому будуть розташовані учасники при вивченні складу конференції? Можна розташувати їх за алфавітом, це зручно, але ясно, що ніякого принципового значення в цьому розташуванні немає. При перекладі цих матеріалів на іншу мову (а значить і на інший алфавіт) цей порядок буде порушений. Можна розташувати національні групи з числа учасників. Але при порівнянні цього матеріалу з матеріалом інший конференції знайдемо, що навряд чи цей порядок буде таким же. Віднесені до шкали найменувань об'єкти можна розміщувати в будь-якій послідовності в залежності від мети дослідження.
При статистичній обробці такого роду матеріалів потрібно зважати на те, яким числом одиниць представлений кожний об'єкт. Є дуже ефективні статистичні методи, що дозволяють по цим числовим даними прийти до науково значимим висновків (наприклад, метод хі-квадрат).
Шкала порядку. Якщо у шкалі найменувань порядок проходження досліджуваних об'єктів практично не грає ніякої ролі, то в шкалі порядку - це видно з її назви - саме на цю послідовність перемикається всю увагу.
До цієї шкалою в статистиці відносять такі дослідницькі матеріали, в яких розгляду підлягають об'єкти, що належать до одного чи кількох класів, але відрізняються при їх порівнянні з іншим - «більше-менше», «вище-нижче» - і т. п.
Простіше за все показати типові особливості шкали порядку, якщо звернутися до опублікованими підсумками будь-яких спортивних змагань. У цих результати послідовно перераховуються учасники, що зайняли відповідно перше, друге, третє і наступні по порядку місця. Але в цій інформації про підсумки змагань нерідко відсутні або відходять на другий план відомості про фактичні досягнення спортсменів, а на перший план ставляться їх порядкові місця.
Припустимо, шахіст Д. посів у змаганнях перше місце. Які ж його досягнення? Виявляється, він набрав 12 очок. Шахіст Є. зайняв друге місце. Його досягнення - 10 очок. Третє місце зайняв Ж. з вісьмома очками, четверте - 3. з шістьма очками і т. д. У повідомленнях про змагання різниця в досягненнях при розміщенні шахістів відходить на другий план, а на першому залишаються їх порядкові місця. У тому, що саме порядковому місцем відводиться головне значення, є свій сенс. Справді, в нашому прикладі З. набрав шість, а Д. - 12 очок. Це абсолютні їх досягнення - виграні ними партії. Якщо спробувати витлумачити цю різницю в досягненнях суто арифметично, то довелося б визнати, що 3. грає вдвічі гірше, ніж Д. Але з цим не можна погодитися. Обставини змагань не завжди прості, як не завжди просто і те, як провів їх той чи інший учасник. Тому, утримуючись від арифметичній абсолютизації, обмежуються тим, що встановлюють: шахіст 3. відстає від зайняв перше місце Д. на три порядкових місця.
Шкала інтервалів. До неї належать такі матеріали, в яких дана кількісна оцінка досліджуваного об'єкта в фіксованих одиницях.
Повернемося до дослідів, які провів психолог з Сашком. У дослідах враховувалося, скільки точок можуть поставити, працюючи з максимально доступної їм швидкістю, сам Саша і кожен з його однолітків. Оціночними одиницями в дослідах служило число точок. Підрахувавши їх, дослідник отримав те абсолютне число точок, яке виявилося можливим поставити за відведений час кожному учаснику дослідів. Головні труднощі при віднесенні матеріалів до шкали інтервалів полягає в тому, що потрібно розташовувати такою одиницею, яка була б при всіх повторних вимірах тотожною самій собі, тобто однаковою і незмінною. У прикладі з шахістами (шкала порядку) такої одиниці взагалі не існує.
У самому справі, враховується число партій, виграних кожним учасником змагань. Але ясно, що партії далеко не однакові. Можливо, що учасник змагань, який посів четверте місце - він виграв шість партій, - виграв щонайважчу партію у самого лідера! Але в остаточні підсумки як би приймається, що всі виграні партії однакові. Насправді ж цього немає. Тому при роботі з такими матеріалами доречно їх оцінювати відповідно до вимог шкали порядку, а не шкали інтервалів. Матеріали, відповідні шкалою інтервалів, повинні мати одиницю виміру.
Шкала відносин. До цієї шкалою відносяться матеріали, в яких враховуються не тільки число фіксованих одиниць, як в шкалі інтервалів, але і відносини отриманих сумарних підсумків між собою. Щоб працювати з такими відносинами, потрібно мати якусь абсолютну точку, від якої і ведеться відлік. При вивченні психологічних об'єктів ця шкала практично непридатна.
Про параметричних і непараметричних методах статистики
Приступаючи до статистичної обробці своїх досліджень, психолог повинен вирішити, які методи йому більше підходять за особливостями його матеріалу - параметричні чи непараметричні. Різниця між ними легко зрозуміти.
Раніше вже говорилося про вимірювання рухової швидкості дітей-шестикласників.
Як обробити ці дані?
Потрібно записати всі зроблені вимірювання - в даному випадку це буде число точок, поставлених кожним випробуваним, - потім обчислити для кожного випробуваного середнє арифметичне за його результатами. Після цього розташувати всі дані в їх послідовності, наприклад починаючи з найменших до найбільших. Для полегшення видимістю цих даних їх звичайно об'єднують у групи; в цьому випадку можна об'єднати по 5-9 вимірювань в групі. Взагалі ж при такому об'єднанні бажано, якщо загальне число випадків не більше ста, щоб загальна кількість груп було близько дванадцяти.
Далі потрібно встановити, скільки разів в дослідах зустрілися числові значення, що відповідають кожній групі. Зробивши це, для кожної групи записати її чисельність. Отримані в такий таблиці дані носять назву розподілу численностей або частот. Рекомендується представити цей розподіл у вигляді діаграми, на якій зображується полігон розподілу, або гістограма розподілу. Контури цього полігону допоможуть вирішити питання про статистичні методи обробки.
Нерідко ці контури нагадують контури дзвони, з найвищою точкою в центрі полігону і з симетричними гілками, що відходять у ту і іншу сторону. Такий контур відповідає кривою нормального розподілу. Це поняття було введено в математичну статистику К. Ф. Гауссом (1777-1855), тому криву називають також кривої Гауса. Він же дав математичний опис цієї кривої. Для побудови кривої Гауса (або кривої нормального розподілу) теоретично потрібно незліченну кількість випадків. Практично ж доводиться задовольнятися тим фактичним матеріалом, який накопичено в дослідженні. Якщо дані, якими володіє дослідник, при їх уважному розгляді або після перенесення їх на діаграму лише в незначній мірі розходяться з кривою нормального розподілу, то це дає право досліднику застосовувати у статистичній обробці параметричні методи, вихідні положення яких грунтуються на нормальній кривої розподілу Гауса.
Нормальне розподіл називають параметричним тому, що для побудови та аналізу кривої Гауса досить мати всього два параметри: середнє значення, яке повинно відповідати висоті перпендикуляра, відновленого в центрі кривої, і так зване середнє квадратичне, або стандартне, відхилення величини, що характеризує розсіювання значень навколо середнього значення; про способи обчислення тієї й іншої величини буде розказано нижче.
Параметричні методи мають для дослідника багатьма перевагами, але не можна забувати про те, що застосування їх правомірно лише тоді, коли оброблювані дані показують розподіл, лише несуттєво відрізняється від гауссовского.
При неможливості застосувати параметричні слід звернутися до непараметрическим методам. Ці методи успішно розроблялися в останні 3-4 десятиліття, і їх розробка була викликана перш за все потребами низки наук, зокрема психології. Вони показали свою високу ефективність. Разом з тим вони не вимагають складної обчислювальної роботи.
Сучасному психолога-дослідникові потрібно виходити з того, що «... є велика кількість даних, які або взагалі не піддаються аналізу за допомогою кривої нормального розподілу, або не задовольняють основним передумов, необхідних для її використання».
Генеральна сукупність і вибірка. Психологу постійно доводиться мати справу з цими двома поняттями.
Генеральна сукупність, або просто сукупність, - це безліч досить великого обсягу, всі елементи якого володіють якимись загальними ознаками.
Так, всі підлітки-шестикласники 12 років (від 11,5 до 12,5) утворюють сукупність. Діти того ж віку, але не навчаються в школі або ж навчаються, але не в шостих класах, не підлягають включенню в цю сукупність.
У ході конкретизації проблем свого дослідження психолога неминуче доведеться визначити межі досліджуваної їм сукупності.
Чи слід включати в досліджувану сукупність дітей того ж віку, але навчаються в коледжах, гімназіях, ліцеях та інших подібних навчальних закладах?
У відповіді на це та інші такі ж питання може допомогти статистика.
У переважній більшості випадків дослідник не в змозі охопити у вивченні всю сукупність. Доводиться, хоча це і пов'язано з деякою втратою інформації, взяти для вивчення лише частина сукупності, її і називають вибіркою. Завдання дослідника полягає в тому, щоб підібрати таку вибірку, яка репрезентувала би, представляла сукупність; іншими словами, ознаки елементів сукупності повинні бути представлені у вибірці. Це досягається, насамперед, використанням випадкової вибірки із сукупності. Скласти таку вибірку, в точності повторює всі різноманітні поєднання ознак, які є в елементах сукупності, навряд чи можливо. Тому деякі втрати в інформації виявляються неминучими. Важливо, щоб були збережені у вибірці суттєві з точки зору даного дослідження ознаки сукупності. Можливі випадки, і для їх виявлення є статистичні методи, коли завдання дослідження вимагають створення двох вибірок однієї сукупності; при цьому потрібно встановити, чи не взято вибірки з рівних сукупностей. Ці та інші подібні казуси потрібно мати на увазі психолога при обробці результатів вибіркових досліджень.
Слід розглянути типи завдань, з якими найчастіше має справу психолог. Відповідно наводяться і статистичні методи, які застосовні для обробки психологічних матеріалів, спрямованих на вирішення цих завдань.
Перший тип завдань. Даний тип завдань представлений в ситуації, коли психолога потрібно дати стислу і досить інформативну характеристику психологічних особливостей якийсь вибірки, наприклад школярів певного класу. Щоб підійти до вирішення цього завдання, необхідно розташовувати; результатами діагностичних випробувань; ці випробування, зрозуміло, слід заздалегідь спланувати так, щоб вони давали інформацію про ті особливості групи, які в цьому конкретному випадку цікавлять психолога. Це можуть бути особливості розумового розвитку, психофізіологічні особливості, дані про зміну працездатності і т. д.
Отримавши всі експериментальні результати і матеріали спостережень, слід подумати про те, як їх подати користувачеві в компактному вигляді, щоб при цьому звести до мінімуму втрату інформації. У переліку статистичних методів, використовуваних при вирішенні подібних завдань, зазвичай знаходять своє місце і параметричні, і непараметричні методи; про можливості застосування тих і інших, як було сказано вище, судять по самому отриманому матеріалу. Про ці статистичних методах і їх використанні піде мова далі.
Статистичні методи застосовуються при обробці матеріалів психологічних досліджень для того, щоб зробити з тих кількісних даних, які отримані в експериментах, при опитуванні та спостереженнях, можливо більше корисної інформації. Зокрема, в обробці даних, одержуваних при випробуваннях по психологічній діагностиці, це буде інформація про індивідуально-психологічних особливостях випробуваних. Психологічні дослідження зазвичай будуються з опорою на кількісні дані.
Ось приклад.
До шкільного психолога звернувся шестикласник Саша Ю. з проханням випробувати його руховий темп. Його дуже цікавило баскетбол, і він збирався вступити в баскетбольну команду, а баскетболіст, безсумнівно, повинен мати високий руховий темп. Психолог розробив план невеликого дослідження. Він почав з того, що попросив Сашу так швидко, як він тільки може, ставити крапки в центрі гуртків, намальованих на листку паперу. За одну хвилину хлопчик поставив 137 точок. Наскільки цей темп характерний для нього? Щоб встановити це, психолог попросив Сашу повторити цю пробу 25 разів. Дійсно, деякі результати перевищували спочатку отримане число, але деякі виявилися і трохи менше. Психолог підсумував всі отримані за 25 проб результати, а суму розділив на 25 - таким шляхом він отримав середнє арифметичне за всіма пробам. Це середнє арифметичне склало 141. Такий по цій пробі максимальний темп цього хлопчика. Чи можна вважати цей темп високим? Знадобився ще один крок у дослідженні. Психолог сформував групу з 50 шестикласників, що не відрізняються від Саші і один від одного за віком більш ніж на півроку. З цими хлопцями психолог також провів спочатку по кілька тренувальних проб, щоб отримати надійні дані про їх темпі, і, нарешті, останню пробу для обробки.
Всі ці дані у вигляді середніх арифметичних були побудовані в один порядковий ряд, який був розбитий по десятках (за децилям).
Сашині дані увійшли в перший десяток з найбільш швидкими результатами. За цим кількісним даними психолог зробив висновок про те, що хлопчик має порівняно високим руховим темпом, про що і було йому повідомлено.
Сучасна математична статистика являє собою велику і складну систему знань. Не можна розраховувати на те, що кожен психолог опанує цими знаннями. Тим часом статистика потрібна психолога постійно в його повсякденній роботі. Фахівці-статистики розробили цілий комплекс простих методів, які абсолютно доступні будь-якій людині, не забув те, що він вивчив ще в середній школі.
У залежності від вимог, які пред'являють до статистики різні галузі науки і практики, створюються допомоги по геологічної, медичної, біологічної, психологічної статистикою '.
У цьому додатку даються найпростіші методи статистики для психологів. Всі необхідні для їх застосування обчислення можна виконувати вручну або на комп'ютері. Доречне грамотне застосування цих методів дозволить практику і досліднику, у всякому разі провівши початкову обробку, отримати загальну картину того, що дають кількісні результати його досліджень, оперативно проконтролювати хід досліджень. Надалі, якщо виникне така необхідність, матеріали досліджень можуть бути передані для більш глибокої розробки фахівця-статистику на великий комп'ютер.
Статистичні шкали
Застосування тих чи інших статистичних методів визначається тим, до якої статистичної шкалою відноситься отриманий матеріал. С. Стівенс запропонував розрізняти чотири статистичні шкали:
1. шкалу найменувань (або номінальну);
2. шкалу порядку;
3. шкалу інтервалів;
4. шкалу відносин.
Знаючи типові особливості кожної шкали, неважко встановити, до якої з них слід віднести підлягає статистичній обробці матеріал.
Шкала найменувань. До цієї шкалою відносяться матеріали, в яких вивчаються об'єкти відрізняються один від одного за їх якістю.
При обробці таких матеріалів немає ніякої потреби в тому, щоб розташовувати ці об'єкти в якомусь порядку, виходячи з їх характеристик. У принципі, об'єкти можна розташовувати в будь-якій послідовності.
Ось приклад: вивчається складу міжнародної наукової конференції. Серед учасників є французи, англійці, данці, німці і росіяни. Чи має значення порядок, в якому будуть розташовані учасники при вивченні складу конференції? Можна розташувати їх за алфавітом, це зручно, але ясно, що ніякого принципового значення в цьому розташуванні немає. При перекладі цих матеріалів на іншу мову (а значить і на інший алфавіт) цей порядок буде порушений. Можна розташувати національні групи з числа учасників. Але при порівнянні цього матеріалу з матеріалом інший конференції знайдемо, що навряд чи цей порядок буде таким же. Віднесені до шкали найменувань об'єкти можна розміщувати в будь-якій послідовності в залежності від мети дослідження.
При статистичній обробці такого роду матеріалів потрібно зважати на те, яким числом одиниць представлений кожний об'єкт. Є дуже ефективні статистичні методи, що дозволяють по цим числовим даними прийти до науково значимим висновків (наприклад, метод хі-квадрат).
Шкала порядку. Якщо у шкалі найменувань порядок проходження досліджуваних об'єктів практично не грає ніякої ролі, то в шкалі порядку - це видно з її назви - саме на цю послідовність перемикається всю увагу.
До цієї шкалою в статистиці відносять такі дослідницькі матеріали, в яких розгляду підлягають об'єкти, що належать до одного чи кількох класів, але відрізняються при їх порівнянні з іншим - «більше-менше», «вище-нижче» - і т. п.
Простіше за все показати типові особливості шкали порядку, якщо звернутися до опублікованими підсумками будь-яких спортивних змагань. У цих результати послідовно перераховуються учасники, що зайняли відповідно перше, друге, третє і наступні по порядку місця. Але в цій інформації про підсумки змагань нерідко відсутні або відходять на другий план відомості про фактичні досягнення спортсменів, а на перший план ставляться їх порядкові місця.
Припустимо, шахіст Д. посів у змаганнях перше місце. Які ж його досягнення? Виявляється, він набрав 12 очок. Шахіст Є. зайняв друге місце. Його досягнення - 10 очок. Третє місце зайняв Ж. з вісьмома очками, четверте - 3. з шістьма очками і т. д. У повідомленнях про змагання різниця в досягненнях при розміщенні шахістів відходить на другий план, а на першому залишаються їх порядкові місця. У тому, що саме порядковому місцем відводиться головне значення, є свій сенс. Справді, в нашому прикладі З. набрав шість, а Д. - 12 очок. Це абсолютні їх досягнення - виграні ними партії. Якщо спробувати витлумачити цю різницю в досягненнях суто арифметично, то довелося б визнати, що 3. грає вдвічі гірше, ніж Д. Але з цим не можна погодитися. Обставини змагань не завжди прості, як не завжди просто і те, як провів їх той чи інший учасник. Тому, утримуючись від арифметичній абсолютизації, обмежуються тим, що встановлюють: шахіст 3. відстає від зайняв перше місце Д. на три порядкових місця.
Шкала інтервалів. До неї належать такі матеріали, в яких дана кількісна оцінка досліджуваного об'єкта в фіксованих одиницях.
Повернемося до дослідів, які провів психолог з Сашком. У дослідах враховувалося, скільки точок можуть поставити, працюючи з максимально доступної їм швидкістю, сам Саша і кожен з його однолітків. Оціночними одиницями в дослідах служило число точок. Підрахувавши їх, дослідник отримав те абсолютне число точок, яке виявилося можливим поставити за відведений час кожному учаснику дослідів. Головні труднощі при віднесенні матеріалів до шкали інтервалів полягає в тому, що потрібно розташовувати такою одиницею, яка була б при всіх повторних вимірах тотожною самій собі, тобто однаковою і незмінною. У прикладі з шахістами (шкала порядку) такої одиниці взагалі не існує.
У самому справі, враховується число партій, виграних кожним учасником змагань. Але ясно, що партії далеко не однакові. Можливо, що учасник змагань, який посів четверте місце - він виграв шість партій, - виграв щонайважчу партію у самого лідера! Але в остаточні підсумки як би приймається, що всі виграні партії однакові. Насправді ж цього немає. Тому при роботі з такими матеріалами доречно їх оцінювати відповідно до вимог шкали порядку, а не шкали інтервалів. Матеріали, відповідні шкалою інтервалів, повинні мати одиницю виміру.
Шкала відносин. До цієї шкалою відносяться матеріали, в яких враховуються не тільки число фіксованих одиниць, як в шкалі інтервалів, але і відносини отриманих сумарних підсумків між собою. Щоб працювати з такими відносинами, потрібно мати якусь абсолютну точку, від якої і ведеться відлік. При вивченні психологічних об'єктів ця шкала практично непридатна.
Про параметричних і непараметричних методах статистики
Приступаючи до статистичної обробці своїх досліджень, психолог повинен вирішити, які методи йому більше підходять за особливостями його матеріалу - параметричні чи непараметричні. Різниця між ними легко зрозуміти.
Раніше вже говорилося про вимірювання рухової швидкості дітей-шестикласників.
Як обробити ці дані?
Потрібно записати всі зроблені вимірювання - в даному випадку це буде число точок, поставлених кожним випробуваним, - потім обчислити для кожного випробуваного середнє арифметичне за його результатами. Після цього розташувати всі дані в їх послідовності, наприклад починаючи з найменших до найбільших. Для полегшення видимістю цих даних їх звичайно об'єднують у групи; в цьому випадку можна об'єднати по 5-9 вимірювань в групі. Взагалі ж при такому об'єднанні бажано, якщо загальне число випадків не більше ста, щоб загальна кількість груп було близько дванадцяти.
Далі потрібно встановити, скільки разів в дослідах зустрілися числові значення, що відповідають кожній групі. Зробивши це, для кожної групи записати її чисельність. Отримані в такий таблиці дані носять назву розподілу численностей або частот. Рекомендується представити цей розподіл у вигляді діаграми, на якій зображується полігон розподілу, або гістограма розподілу. Контури цього полігону допоможуть вирішити питання про статистичні методи обробки.
Нерідко ці контури нагадують контури дзвони, з найвищою точкою в центрі полігону і з симетричними гілками, що відходять у ту і іншу сторону. Такий контур відповідає кривою нормального розподілу. Це поняття було введено в математичну статистику К. Ф. Гауссом (1777-1855), тому криву називають також кривої Гауса. Він же дав математичний опис цієї кривої. Для побудови кривої Гауса (або кривої нормального розподілу) теоретично потрібно незліченну кількість випадків. Практично ж доводиться задовольнятися тим фактичним матеріалом, який накопичено в дослідженні. Якщо дані, якими володіє дослідник, при їх уважному розгляді або після перенесення їх на діаграму лише в незначній мірі розходяться з кривою нормального розподілу, то це дає право досліднику застосовувати у статистичній обробці параметричні методи, вихідні положення яких грунтуються на нормальній кривої розподілу Гауса.
Нормальне розподіл називають параметричним тому, що для побудови та аналізу кривої Гауса досить мати всього два параметри: середнє значення, яке повинно відповідати висоті перпендикуляра, відновленого в центрі кривої, і так зване середнє квадратичне, або стандартне, відхилення величини, що характеризує розсіювання значень навколо середнього значення; про способи обчислення тієї й іншої величини буде розказано нижче.
Параметричні методи мають для дослідника багатьма перевагами, але не можна забувати про те, що застосування їх правомірно лише тоді, коли оброблювані дані показують розподіл, лише несуттєво відрізняється від гауссовского.
При неможливості застосувати параметричні слід звернутися до непараметрическим методам. Ці методи успішно розроблялися в останні 3-4 десятиліття, і їх розробка була викликана перш за все потребами низки наук, зокрема психології. Вони показали свою високу ефективність. Разом з тим вони не вимагають складної обчислювальної роботи.
Сучасному психолога-дослідникові потрібно виходити з того, що «... є велика кількість даних, які або взагалі не піддаються аналізу за допомогою кривої нормального розподілу, або не задовольняють основним передумов, необхідних для її використання».
Генеральна сукупність і вибірка. Психологу постійно доводиться мати справу з цими двома поняттями.
Генеральна сукупність, або просто сукупність, - це безліч досить великого обсягу, всі елементи якого володіють якимись загальними ознаками.
Так, всі підлітки-шестикласники 12 років (від 11,5 до 12,5) утворюють сукупність. Діти того ж віку, але не навчаються в школі або ж навчаються, але не в шостих класах, не підлягають включенню в цю сукупність.
У ході конкретизації проблем свого дослідження психолога неминуче доведеться визначити межі досліджуваної їм сукупності.
Чи слід включати в досліджувану сукупність дітей того ж віку, але навчаються в коледжах, гімназіях, ліцеях та інших подібних навчальних закладах?
У відповіді на це та інші такі ж питання може допомогти статистика.
У переважній більшості випадків дослідник не в змозі охопити у вивченні всю сукупність. Доводиться, хоча це і пов'язано з деякою втратою інформації, взяти для вивчення лише частина сукупності, її і називають вибіркою. Завдання дослідника полягає в тому, щоб підібрати таку вибірку, яка репрезентувала би, представляла сукупність; іншими словами, ознаки елементів сукупності повинні бути представлені у вибірці. Це досягається, насамперед, використанням випадкової вибірки із сукупності. Скласти таку вибірку, в точності повторює всі різноманітні поєднання ознак, які є в елементах сукупності, навряд чи можливо. Тому деякі втрати в інформації виявляються неминучими. Важливо, щоб були збережені у вибірці суттєві з точки зору даного дослідження ознаки сукупності. Можливі випадки, і для їх виявлення є статистичні методи, коли завдання дослідження вимагають створення двох вибірок однієї сукупності; при цьому потрібно встановити, чи не взято вибірки з рівних сукупностей. Ці та інші подібні казуси потрібно мати на увазі психолога при обробці результатів вибіркових досліджень.
Слід розглянути типи завдань, з якими найчастіше має справу психолог. Відповідно наводяться і статистичні методи, які застосовні для обробки психологічних матеріалів, спрямованих на вирішення цих завдань.
Перший тип завдань. Даний тип завдань представлений в ситуації, коли психолога потрібно дати стислу і досить інформативну характеристику психологічних особливостей якийсь вибірки, наприклад школярів певного класу. Щоб підійти до вирішення цього завдання, необхідно розташовувати; результатами діагностичних випробувань; ці випробування, зрозуміло, слід заздалегідь спланувати так, щоб вони давали інформацію про ті особливості групи, які в цьому конкретному випадку цікавлять психолога. Це можуть бути особливості розумового розвитку, психофізіологічні особливості, дані про зміну працездатності і т. д.
Отримавши всі експериментальні результати і матеріали спостережень, слід подумати про те, як їх подати користувачеві в компактному вигляді, щоб при цьому звести до мінімуму втрату інформації. У переліку статистичних методів, використовуваних при вирішенні подібних завдань, зазвичай знаходять своє місце і параметричні, і непараметричні методи; про можливості застосування тих і інших, як було сказано вище, судять по самому отриманому матеріалу. Про ці статистичних методах і їх використанні піде мова далі.
Другий тип завдань. Це, мабуть, найбільш часто зустрічаються завдання в дослідницькій і практичній діяльності психолога: порівнюються між собою кілька вибірок, щоб встановити, чи є вибірки незалежними або належать одній і тій же сукупності. Так, провівши експерименти в восьмих класах двох різних шкіл , психолог порівнює ці вибірки між собою.
До цього ж типу відносяться завдання з визначенням тісноти зв'язку двох рядів показників, отриманих на одній і тій же вибірці; в такій обробці найчастіше застосовують метод кореляцій.
Третій тип завдань. Це завдання, в яких обробці підлягають тимчасові ряди, ряди, в яких розташовані показники, мінливі у часі; їх називають також динамічними рядами. У попередніх типах завдань фактор часу не приймався до уваги, і матеріал аналізувався так, як ніби він весь вступив до рук дослідника в один і той же час. Таке припущення можна виправдати тим, що за той короткий період часу, який був витрачений на збирання матеріалу, він не зазнав істотних змін. Але психолога доводиться працювати і з таким матеріалом, в якому найбільший інтерес представляють саме його зміни в часі. Припустимо, психолог має намір вивчити зміну працездатності школярів протягом навчальної чверті. У цьому випадку інформативними будуть показники, за якими можна судити про динаміку працездатності. Беручись за такий матеріал, психолог повинен розуміти, що при аналізі динамічних рядів немає сенсу користуватися середнім арифметичним ряду, так як середнє арифметичне замаскує потрібну інформацію про динаміку.
В основному тексті книги згадувалося про лонгитюдинальном дослідженні, тобто такому, в якому одноманітний за змістом психологічний матеріал по одній вибірці збирається протягом тривалого часу. Показники лонгитюда - це також динамічні ряди, і при їх обробці слід користуватися методами, призначеними для таких рядів.
Четвертий тип завдань. Це завдання, які постають перед психологом, які займаються конструюванням діагностичних методик, перевіркою та обробкою результатів їх застосування. Частково про ці завдання вже говорилося в інших розділах, але не приділялося уваги спеціально статистиці. Психологічна діагностика, особливо тестология, має цілий ряд канонічних правил, застосування яких має забезпечувати високу якість інформації, що отримується за допомогою діагностичних методик. Так, методика повинна бути надійною, гомогенної, валидной. За зміцнити в тестології правилами всі ці властивості перевіряються статистичними методами.
Вище були перераховані типи завдань, з якими найчастіше зустрічаються психологи. Тепер ми перейдемо до викладу конкретних статистичних методів, що сприяють успішному вирішенню цих завдань. Але колись слід висловити деякі міркування про можливості статистики у проведенні психологічного дослідження.
Призначення статистики у тому, щоб витягти з цих матеріалів більше корисної інформації. Разом з тим статистика показує, що ця інформація не випадкова і що здобуті дані мають певну і значиму ймовірність.
Статистичні методи розкривають зв'язку між досліджуваними явищами. Однак необхідно твердо знати, що, як би не була висока ймовірність таких зв'язків, вони не дають права досліднику визнати їх причинно-наслідковими відносинами. Статистика, наприклад, стверджує, що існує значуща зв'язок між рухової швидкістю і грою в теніс. Але звідси ще не випливає, ніби рухова швидкість і є причина успішної гри. Не можна, принаймні в деяких випадках, виключити і того, що сама рухова швидкість стала наслідком успішної гри.
Щоб підтвердити або відкинути існування причинно-наслідкових відносин, досліднику часто доводиться продумувати цілі серії експериментів. Якщо вони будуть правильно побудовані і проведені, то статистика допоможе витягти з результатів цих експериментів інформацію, яка необхідна досліднику, щоб або обгрунтувати та підтвердити свою гіпотезу, або визнати її недоведеною.
Статистичні методи, приклади їх застосування для прийняття рішення
Перший тип завдань
Припустимо, що шкільного психолога потрібно представити коротку інформацію про розвиток психомоторних функцій учнів шостих класів. У цих класах навчається 50 учнів. У процесі виконання своєї програми психолог провів діагностичне вивчення рухової швидкості, застосувавши раніше описану методику (опис дано на першій сторінці цього розділу).
Для реалізації своєї програми психолога належало отримати кількісні характеристики, що свідчать про стан досліджуваної функції - її центральної тенденції, величини, що показує розмах коливання, в межах якого знаходяться дані окремих учнів, і те, як розподіляються ці дані. Якими методами вести обробку, залежить від того, в якої статистичної шкалою виміряні значення досліджуваної ознаки. Візуальне ознайомлення з отриманими даними показує, що можливо обчислення середнього арифметичного, що висловила центральну тенденцію, і середньоквадратичного відхилення, що показує розмах і особливості варіювання експериментальних результатів.
Не можна обмежитися обчисленням тільки середнього арифметичного, так як воно не дає повних відомостей про досліджуваної вибірці.
Ось приклад.
В одному купе вагона помістилася бабуся 60 років з чотирма онуками: один - 4 років, двоє - по 5 років і один - 6 років. Середнє арифметичне віку всіх пасажирів цього купе 80 / 5 = 16.
У іншому купе розташувалася компанія молоді: двоє - 15-літніх, один - 16-річний та двоє - 17-річних. Середній вік пасажирів цього купе також дорівнює 80 / 5 = 16. Таким чином, за середніми арифметичним пасажири цих купе як би і не відрізняються. Але якщо звернутися до особливостей варіювання, то відразу можна встановити, що в одному купе вік пасажирів варіюється в межах 56 одиниць, а в другому - в межах 2.
Для обчислення середнього арифметичного застосовується формула:
"Х = Σ х / n
а для середньоквадратичного відхилення формула:
σ = √ Σ (х - "х) 2 / n
У цих формулах "х означає середнє арифметичне, х - кожну величину досліджуваного ряду, Σ означає суму; σ означає середньоквадратичне відхилення; буквою n позначають число членів досліджуваного ряду.
Нижче представлений весь хід його обробки.
У дослідах брало участь 50 досліджуваних. Кожен з них виконав 25 проб, по 1 хв кожна. Обчислено середнє для кожного випробуваного. Отриманий ряд впорядкований, і всі індивідуальні результати представлені у послідовності від меншого до більшого.
85-93-93-99-101-105-109-110-111-115-115-116-116-117-117-117-118-119-121-121-122-124-124-124-124 - 125-125-125-127-127-127-127-127-128-130-131-132-132-133-134-134-135-138-138-140-143-144-146-150-158.
Для зручності подальшої обробки ці первинні дані з'єднані в групи. Завдяки угрупованню чіткіше виступає властиве даному ряду розподіл величин та їх численностей. Почасти спрощується і обчислення середнього арифметичного і середньоквадратичного відхилення. Цим компенсується кількісне спотворення інформації, неминуче при обчисленнях на згрупованих даних.
При виборі групового інтервалу слід взяти до уваги такі міркування. Якщо ряд не дуже великий, наприклад містить до 100 елементів, то і число груп повинно бути дуже велике, наприклад порядку 8-12. Бажано, щоб при групуванні початкова величина - при дотриманні послідовності від меншої величини до більшої - була менше самої меншої величини ряду, а найбільша - більше найбільшою величини досліджуваного ряду. Якщо ряд, як у даному випадку, починається з 85, групування потрібно почати з меншої величини, а оскільки ряд завершується числом 158, то і групування має завершуватися більшою величиною. У ряді, який нами вивчається, з урахуванням висловлених міркувань можна вибрати груповий інтервал у 9 одиниць і провести розбивку ряду на групи, почавши з 83. Тоді остання група буде завершуватися величиною, перевищує значення останньої величини ряду (тобто 159). Кількість груп буде дорівнює 9. У табл. 1 представлені групи в їх послідовності і всі інші величини для обчислення середнього арифметичного і середньоквадратичного відхилення. Таблиця складається з 8 шпальт.
1-й стовпець - групи, отримані після розбиття досліджуваного ряду.
2-й стовпець - середні значення інтервалів по кожній групі.
Третій стовпець показує результати «ручний» рознесення величин ряду або іксів (кожна величина занесена у відповідну її значенням групу у вигляді риски).
4-й стовпець - підсумок підрахунку результатів рознесення.
5-й стовпець - твори величин 2-го стовпця на величини 4-го стовпця по рядках. Підсумки 4-го і 5-го шпальт дають суми, необхідні для обчислення середнього арифметичного.
Таблиця 1
Обчислення середнього арифметичного і середньоквадратичного
відхилення
n = 50; Σf * х = 6150; Σf * (х - "х) 2 = 10 368
6-й стовпець показує построкові різниці між значеннями х 2-го стовпця і середнім арифметичним "х.
7-й стовпець - квадрат цих різниць.
8-й стовпець показує построкові добутку значень 4-го і 7-го шпальт. Підсумовування величин цього стовпця дає підсумок, необхідний для обчислення середньоквадратичного відхилення.
Включення літери f, що означає, наскільки часто зустрічалася та чи інша величина, нічого не змінює в формулах середнього арифметичного і середньоквадратичного відхилення. Тому формули
"Х = Σх / n = Σf * х / n
Як і формули цілком тотожні.
σ = √ Σ (х - "х) 2 / n = √ Σf * (х -" х) 2 / n
Залишається показати, як обчислюються за формулами середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення. Звернемося до величин, отриманими в табл. 1:
"Х = 6150/50 = 123
При складанні табл. 1 це число було заздалегідь обчислено, без нього не можна було б отримати числові значення 6, 7 і 8-го стовпців таблиці.
σ = √ 10368/50 = √ 207,3 = 14,4
При обробці досліджуваного низки виявилося можливим застосування параметричного методу; візуально можна помітити, що розподіл численностей наближається до нормального.
Нормальний розподіл має деякі дуже корисними для дослідника властивостями. Так, у межах "х ± σ знаходиться приблизно 68% всього ряду або всієї вибірки. У межах" х ± 2σ знаходиться приблизно 95%, а в межах "х ± 3σ - 99,7% вибірки. У практиці досліджень часто беруть кордону" х ± 2/3σ. У цих межах при нормальному розподілі будуть знаходитися 50% вибірки; розподіл це симетрично, тому 25% виявляться нижчими, а 25% вище меж "х ± 2/3σ. Всі ці розрахунки не вимагають ніякої додаткової перевірки за умови, що досліджуваний ряд має нормальне розподіл, а число елементів у ньому велике, порядку декількох сотень чи тисяч.
Для розглянутого прикладу необхідно також визначити коефіцієнт варіації за формулою:
V = σ / "х · 100%.
У прикладі, який був розглянутий вище,
V = 14,4 / 123 · 100% = 11,7%.
Виконавши всі ці обчислення, психолог може представити інформацію про вивчення рухової швидкості за допомогою застосованої методики в шостих класах. Згідно з результатами вивчення в шостих класах, отримані:
· Середнє арифметичне - 123;
· Середньоквадратичне відхилення - 14,4;
· Коефіцієнт варіації - 11,7%.
Якщо значення досліджуваного ознаки виміряні у порядкової шкалою, то в якості міри центральної тенденції виступає медіана, а характеристикою діапазону варіювання виступає середнє квартальне відхилення.
Ось приклад.
Після проведення діагностичних випробувань рівня розумового розвитку учнів шостого класу всі отримані дані були впорядковані, тобто розташовані в послідовності від меншої величини до більшої. Випробування проходили 18 учнів. Літерами позначені учні, числами - отримані ними бали з тесту, стовпці під літерами R - ранги (табл. 2).
Процедура ранжирування полягає в наступному. Всі числа ряду в їх послідовності отримують по своїм порядковим місцях привласнюються їм ранги. Якщо які-небудь числа повторюються, то всім повторюваним числах присвоюється один і той же ранг - середній із загальної суми зайнятих цими числами місць. Так, числа «28» в досліджуваному ряду присвоєний ранг «2». Потім слідують тричі повторюються числа «39». На них припадають зайняті ними рангові місця «3», «4», «5». Тому цим числах присвоюється один і той же середній ранг, в даному випадку - «4». Оскільки місця до 5 включно зайняті, то наступне число отримує ранг «6» і т. д.
Таблиця 2
Ранжування результатів
При обробці ряду, не має ознак нормального розподілу, інакше - непараметричного ряду, - для величини, яка б виражала його центральну тенденцію, найбільше придатна медіана, тобто величина, розташована в середині ряду. Її визначають за серединному рангу за формулою.
Медіана ряду визначається за рангової медіані:
MeR = (n +1) / 2
де n - число членів ряду.
Візьмемо, наприклад, ряд у сім членів: 3-5-6-7-9-10-11.
Проранжирувавши цей ряд, маємо:
1-2-3-4-5-6-7.
Ранговая медіана
MeR = (7 + 1) / 2 = 4,
дає медіану розглянутого ряду Me = 7.
Візьмемо ряд у вісім членів: 3-5-6-7-9-10-11-12.
Проранжирувавши цей ряд, маємо:
1-2-3-4-5-6-7-8.
Ранговая медіана у цьому ряду дорівнює:
MeR = (8 +1) / 2 = 4,5
Цьому рангом відповідає середина між двома величинами, що мають ранг 4 і ранг 5, тобто між 7 і 9. Медіана цього ряду дорівнює:
Me = (7 + 9) / 2 = 8
Слід звернути увагу на те, що величини 8 у складі ряду пет, але таке значення медіани цього ряду.
Повернемося до досліджуваного ряду. Він складається з 18 членів. Його рангова медіана дорівнює:
MeR = (18 +1) / 2 = 9,5.
Вона розташується між 9-ю і 10-й величиною ряду. 9-а величина ряду - 52, 10-а величина ряду - 68. Медіана займає серединне місце між цими величинами, отже:
Me = (52 + 68) / 2 = 60
По обидві сторони від цієї величини знаходиться за 50% величин ряду. Характеристику розподілу численностей в непараметрическом ряду можна отримати з відносини його квартилей. Квартиль називається величина, що відділяє 1 / 4 всіх величин ряду. Квартиль перша - її позначення Q1-обчислюється за формулою:
Q1 = R1 + Rn / 2 (лев) / 2
Це полусумма першого і останнього рангів першої, лівої від медіани половини ряду; квартиль третя, позначена Q3, обчислюється, за формулою:
Q3 = Rn / 2 + Rn / 2 (прав) / 2
тобто як полусумма першого і останнього рангів другий, правої від медіани половини ряду. Беруться порядкові значення рангів з їх послідовності в ряду. У оброблюваному ряду
Q1 = (1 +9) / 2 = 5, Q3 = (10 +18) / 2 = 14
Рангу 5 в цьому ряду відповідає величина 39, а рангом 14 - величина 70.
Для характеристики розподілу в непараметрическом ряду обчислюється середнє квартальне відхилення, що позначається Q.
Формула для Q така:
Q = (Q3 - Q1) / 2
У оброблюваному ряду Q3 = 70, a Q1 = 39, отже:
Q = (70 - 39) / 2 = 15,5.
Були розглянуті статистична обробка параметричного ряду ("х і σ) і статистична обробка непараметричного ряду (Me і Q). Параметричний ряд відноситься до шкали інтервалів, непараметричний - до шкали порядку. Але зустрічаються також ряди, пов'язані з шкалою найменувань. Найбільш коротка, але малоінформативна характеристика такого ряду може бути отримана за допомогою моди - величини в ряду, що має найбільшу чисельність з числа п - членів ряду. Слід зауважити, що моду можна лише умовно вважати вираженням центральної тенденції в ряді, що належить до шкали найменувань. Вона виражає найбільш типову величину ряду.
Розглянемо приклад, де мова йде про учасників якоїсь конференції; в їх числі 3 англійця, 2 данця, 5 німців, 1 російська і 2 француза. Мода в цьому ряду посідає учасників конференції - німців. Число членів ряду - 13, а мода Мо = 5.
До цього ж типу відносяться завдання з визначенням тісноти зв'язку двох рядів показників, отриманих на одній і тій же вибірці; в такій обробці найчастіше застосовують метод кореляцій.
Третій тип завдань. Це завдання, в яких обробці підлягають тимчасові ряди, ряди, в яких розташовані показники, мінливі у часі; їх називають також динамічними рядами. У попередніх типах завдань фактор часу не приймався до уваги, і матеріал аналізувався так, як ніби він весь вступив до рук дослідника в один і той же час. Таке припущення можна виправдати тим, що за той короткий період часу, який був витрачений на збирання матеріалу, він не зазнав істотних змін. Але психолога доводиться працювати і з таким матеріалом, в якому найбільший інтерес представляють саме його зміни в часі. Припустимо, психолог має намір вивчити зміну працездатності школярів протягом навчальної чверті. У цьому випадку інформативними будуть показники, за якими можна судити про динаміку працездатності. Беручись за такий матеріал, психолог повинен розуміти, що при аналізі динамічних рядів немає сенсу користуватися середнім арифметичним ряду, так як середнє арифметичне замаскує потрібну інформацію про динаміку.
В основному тексті книги згадувалося про лонгитюдинальном дослідженні, тобто такому, в якому одноманітний за змістом психологічний матеріал по одній вибірці збирається протягом тривалого часу. Показники лонгитюда - це також динамічні ряди, і при їх обробці слід користуватися методами, призначеними для таких рядів.
Четвертий тип завдань. Це завдання, які постають перед психологом, які займаються конструюванням діагностичних методик, перевіркою та обробкою результатів їх застосування. Частково про ці завдання вже говорилося в інших розділах, але не приділялося уваги спеціально статистиці. Психологічна діагностика, особливо тестология, має цілий ряд канонічних правил, застосування яких має забезпечувати високу якість інформації, що отримується за допомогою діагностичних методик. Так, методика повинна бути надійною, гомогенної, валидной. За зміцнити в тестології правилами всі ці властивості перевіряються статистичними методами.
Вище були перераховані типи завдань, з якими найчастіше зустрічаються психологи. Тепер ми перейдемо до викладу конкретних статистичних методів, що сприяють успішному вирішенню цих завдань. Але колись слід висловити деякі міркування про можливості статистики у проведенні психологічного дослідження.
Призначення статистики у тому, щоб витягти з цих матеріалів більше корисної інформації. Разом з тим статистика показує, що ця інформація не випадкова і що здобуті дані мають певну і значиму ймовірність.
Статистичні методи розкривають зв'язку між досліджуваними явищами. Однак необхідно твердо знати, що, як би не була висока ймовірність таких зв'язків, вони не дають права досліднику визнати їх причинно-наслідковими відносинами. Статистика, наприклад, стверджує, що існує значуща зв'язок між рухової швидкістю і грою в теніс. Але звідси ще не випливає, ніби рухова швидкість і є причина успішної гри. Не можна, принаймні в деяких випадках, виключити і того, що сама рухова швидкість стала наслідком успішної гри.
Щоб підтвердити або відкинути існування причинно-наслідкових відносин, досліднику часто доводиться продумувати цілі серії експериментів. Якщо вони будуть правильно побудовані і проведені, то статистика допоможе витягти з результатів цих експериментів інформацію, яка необхідна досліднику, щоб або обгрунтувати та підтвердити свою гіпотезу, або визнати її недоведеною.
Статистичні методи, приклади їх застосування для прийняття рішення
Перший тип завдань
Припустимо, що шкільного психолога потрібно представити коротку інформацію про розвиток психомоторних функцій учнів шостих класів. У цих класах навчається 50 учнів. У процесі виконання своєї програми психолог провів діагностичне вивчення рухової швидкості, застосувавши раніше описану методику (опис дано на першій сторінці цього розділу).
Для реалізації своєї програми психолога належало отримати кількісні характеристики, що свідчать про стан досліджуваної функції - її центральної тенденції, величини, що показує розмах коливання, в межах якого знаходяться дані окремих учнів, і те, як розподіляються ці дані. Якими методами вести обробку, залежить від того, в якої статистичної шкалою виміряні значення досліджуваної ознаки. Візуальне ознайомлення з отриманими даними показує, що можливо обчислення середнього арифметичного, що висловила центральну тенденцію, і середньоквадратичного відхилення, що показує розмах і особливості варіювання експериментальних результатів.
Не можна обмежитися обчисленням тільки середнього арифметичного, так як воно не дає повних відомостей про досліджуваної вибірці.
Ось приклад.
В одному купе вагона помістилася бабуся 60 років з чотирма онуками: один - 4 років, двоє - по 5 років і один - 6 років. Середнє арифметичне віку всіх пасажирів цього купе 80 / 5 = 16.
У іншому купе розташувалася компанія молоді: двоє - 15-літніх, один - 16-річний та двоє - 17-річних. Середній вік пасажирів цього купе також дорівнює 80 / 5 = 16. Таким чином, за середніми арифметичним пасажири цих купе як би і не відрізняються. Але якщо звернутися до особливостей варіювання, то відразу можна встановити, що в одному купе вік пасажирів варіюється в межах 56 одиниць, а в другому - в межах 2.
Для обчислення середнього арифметичного застосовується формула:
"Х = Σ х / n
а для середньоквадратичного відхилення формула:
σ = √ Σ (х - "х) 2 / n
У цих формулах "х означає середнє арифметичне, х - кожну величину досліджуваного ряду, Σ означає суму; σ означає середньоквадратичне відхилення; буквою n позначають число членів досліджуваного ряду.
Нижче представлений весь хід його обробки.
У дослідах брало участь 50 досліджуваних. Кожен з них виконав 25 проб, по 1 хв кожна. Обчислено середнє для кожного випробуваного. Отриманий ряд впорядкований, і всі індивідуальні результати представлені у послідовності від меншого до більшого.
85-93-93-99-101-105-109-110-111-115-115-116-116-117-117-117-118-119-121-121-122-124-124-124-124 - 125-125-125-127-127-127-127-127-128-130-131-132-132-133-134-134-135-138-138-140-143-144-146-150-158.
Для зручності подальшої обробки ці первинні дані з'єднані в групи. Завдяки угрупованню чіткіше виступає властиве даному ряду розподіл величин та їх численностей. Почасти спрощується і обчислення середнього арифметичного і середньоквадратичного відхилення. Цим компенсується кількісне спотворення інформації, неминуче при обчисленнях на згрупованих даних.
При виборі групового інтервалу слід взяти до уваги такі міркування. Якщо ряд не дуже великий, наприклад містить до 100 елементів, то і число груп повинно бути дуже велике, наприклад порядку 8-12. Бажано, щоб при групуванні початкова величина - при дотриманні послідовності від меншої величини до більшої - була менше самої меншої величини ряду, а найбільша - більше найбільшою величини досліджуваного ряду. Якщо ряд, як у даному випадку, починається з 85, групування потрібно почати з меншої величини, а оскільки ряд завершується числом 158, то і групування має завершуватися більшою величиною. У ряді, який нами вивчається, з урахуванням висловлених міркувань можна вибрати груповий інтервал у 9 одиниць і провести розбивку ряду на групи, почавши з 83. Тоді остання група буде завершуватися величиною, перевищує значення останньої величини ряду (тобто 159). Кількість груп буде дорівнює 9. У табл. 1 представлені групи в їх послідовності і всі інші величини для обчислення середнього арифметичного і середньоквадратичного відхилення. Таблиця складається з 8 шпальт.
1-й стовпець - групи, отримані після розбиття досліджуваного ряду.
2-й стовпець - середні значення інтервалів по кожній групі.
Третій стовпець показує результати «ручний» рознесення величин ряду або іксів (кожна величина занесена у відповідну її значенням групу у вигляді риски).
4-й стовпець - підсумок підрахунку результатів рознесення.
5-й стовпець - твори величин 2-го стовпця на величини 4-го стовпця по рядках. Підсумки 4-го і 5-го шпальт дають суми, необхідні для обчислення середнього арифметичного.
Таблиця 1
Обчислення середнього арифметичного і середньоквадратичного
відхилення
| Межі інтервалів | Середні інтервалів х | Результат рознесення | Підсумки рознесення | f * х | х - "х | (Х - "х) 2 | f * (х - "х) 2 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 83-91 | 87 | I | 1 | 87 | -36 | 1296 | 1296 |
| 92-100 | 96 | 3 | 288 | -27 | 729 | 2187 | |
| 101-109 | 105 | 3 | 315 | -18 | 324 | 972 | |
| 110-118 | 114 | 10 | 1140 | -9 | 81 | 810 | |
| 119-127 | 123 | 16 | 1968 | 0 | 0 | 0 | |
| 128-136 | 132 | 9 | 1188 | 9 | 81 | 729 | |
| 137-145 | 141 | 5 | 705 | 18 | 324 | 1620 | |
| 146-154 | 150 | 2 | 300 | 27 | 729 | 1458 | |
| 155-163 | 159 | I | 1 | 159 | 36 | 1296 | 1296 |
6-й стовпець показує построкові різниці між значеннями х 2-го стовпця і середнім арифметичним "х.
7-й стовпець - квадрат цих різниць.
8-й стовпець показує построкові добутку значень 4-го і 7-го шпальт. Підсумовування величин цього стовпця дає підсумок, необхідний для обчислення середньоквадратичного відхилення.
Включення літери f, що означає, наскільки часто зустрічалася та чи інша величина, нічого не змінює в формулах середнього арифметичного і середньоквадратичного відхилення. Тому формули
"Х = Σх / n = Σf * х / n
Як і формули цілком тотожні.
σ = √ Σ (х - "х) 2 / n = √ Σf * (х -" х) 2 / n
Залишається показати, як обчислюються за формулами середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення. Звернемося до величин, отриманими в табл. 1:
"Х = 6150/50 = 123
При складанні табл. 1 це число було заздалегідь обчислено, без нього не можна було б отримати числові значення 6, 7 і 8-го стовпців таблиці.
σ = √ 10368/50 = √ 207,3 = 14,4
При обробці досліджуваного низки виявилося можливим застосування параметричного методу; візуально можна помітити, що розподіл численностей наближається до нормального.
Нормальний розподіл має деякі дуже корисними для дослідника властивостями. Так, у межах "х ± σ знаходиться приблизно 68% всього ряду або всієї вибірки. У межах" х ± 2σ знаходиться приблизно 95%, а в межах "х ± 3σ - 99,7% вибірки. У практиці досліджень часто беруть кордону" х ± 2/3σ. У цих межах при нормальному розподілі будуть знаходитися 50% вибірки; розподіл це симетрично, тому 25% виявляться нижчими, а 25% вище меж "х ± 2/3σ. Всі ці розрахунки не вимагають ніякої додаткової перевірки за умови, що досліджуваний ряд має нормальне розподіл, а число елементів у ньому велике, порядку декількох сотень чи тисяч.
Для розглянутого прикладу необхідно також визначити коефіцієнт варіації за формулою:
V = σ / "х · 100%.
У прикладі, який був розглянутий вище,
V = 14,4 / 123 · 100% = 11,7%.
Виконавши всі ці обчислення, психолог може представити інформацію про вивчення рухової швидкості за допомогою застосованої методики в шостих класах. Згідно з результатами вивчення в шостих класах, отримані:
· Середнє арифметичне - 123;
· Середньоквадратичне відхилення - 14,4;
· Коефіцієнт варіації - 11,7%.
Якщо значення досліджуваного ознаки виміряні у порядкової шкалою, то в якості міри центральної тенденції виступає медіана, а характеристикою діапазону варіювання виступає середнє квартальне відхилення.
Ось приклад.
Після проведення діагностичних випробувань рівня розумового розвитку учнів шостого класу всі отримані дані були впорядковані, тобто розташовані в послідовності від меншої величини до більшої. Випробування проходили 18 учнів. Літерами позначені учні, числами - отримані ними бали з тесту, стовпці під літерами R - ранги (табл. 2).
Процедура ранжирування полягає в наступному. Всі числа ряду в їх послідовності отримують по своїм порядковим місцях привласнюються їм ранги. Якщо які-небудь числа повторюються, то всім повторюваним числах присвоюється один і той же ранг - середній із загальної суми зайнятих цими числами місць. Так, числа «28» в досліджуваному ряду присвоєний ранг «2». Потім слідують тричі повторюються числа «39». На них припадають зайняті ними рангові місця «3», «4», «5». Тому цим числах присвоюється один і той же середній ранг, в даному випадку - «4». Оскільки місця до 5 включно зайняті, то наступне число отримує ранг «6» і т. д.
Таблиця 2
Ранжування результатів
| Учні | Бали по тесту | Ранг (R) | Учні | Бали по тесту | Ранг (R) |
| А | 25 | 1 | До | 68 | 10 |
| Б | 28 | 2 | Л | 69 | 11,5 |
| У | 39 | 4 | м | 69 | 11,5 |
| Г | 39 | 4 | н | 70 | 14,5 |
| д | 39 | 4 | Про | 70 | 14,5 |
| Е | 45 | 6 | п | 70 | 14,5 |
| Ж | 50 | 7 | р | 70 | 14,5 |
| 3 | 52 | 8,5 | з | 74 | 17,5 |
| І | 52 | 8,5 | т | 74 | 17,5 |
Медіана ряду визначається за рангової медіані:
MeR = (n +1) / 2
де n - число членів ряду.
Візьмемо, наприклад, ряд у сім членів: 3-5-6-7-9-10-11.
Проранжирувавши цей ряд, маємо:
1-2-3-4-5-6-7.
Ранговая медіана
MeR = (7 + 1) / 2 = 4,
дає медіану розглянутого ряду Me = 7.
Візьмемо ряд у вісім членів: 3-5-6-7-9-10-11-12.
Проранжирувавши цей ряд, маємо:
1-2-3-4-5-6-7-8.
Ранговая медіана у цьому ряду дорівнює:
MeR = (8 +1) / 2 = 4,5
Цьому рангом відповідає середина між двома величинами, що мають ранг 4 і ранг 5, тобто між 7 і 9. Медіана цього ряду дорівнює:
Me = (7 + 9) / 2 = 8
Слід звернути увагу на те, що величини 8 у складі ряду пет, але таке значення медіани цього ряду.
Повернемося до досліджуваного ряду. Він складається з 18 членів. Його рангова медіана дорівнює:
MeR = (18 +1) / 2 = 9,5.
Вона розташується між 9-ю і 10-й величиною ряду. 9-а величина ряду - 52, 10-а величина ряду - 68. Медіана займає серединне місце між цими величинами, отже:
Me = (52 + 68) / 2 = 60
По обидві сторони від цієї величини знаходиться за 50% величин ряду. Характеристику розподілу численностей в непараметрическом ряду можна отримати з відносини його квартилей. Квартиль називається величина, що відділяє 1 / 4 всіх величин ряду. Квартиль перша - її позначення Q1-обчислюється за формулою:
Q1 = R1 + Rn / 2 (лев) / 2
Це полусумма першого і останнього рангів першої, лівої від медіани половини ряду; квартиль третя, позначена Q3, обчислюється, за формулою:
Q3 = Rn / 2 + Rn / 2 (прав) / 2
тобто як полусумма першого і останнього рангів другий, правої від медіани половини ряду. Беруться порядкові значення рангів з їх послідовності в ряду. У оброблюваному ряду
Q1 = (1 +9) / 2 = 5, Q3 = (10 +18) / 2 = 14
Рангу 5 в цьому ряду відповідає величина 39, а рангом 14 - величина 70.
Для характеристики розподілу в непараметрическом ряду обчислюється середнє квартальне відхилення, що позначається Q.
Формула для Q така:
Q = (Q3 - Q1) / 2
У оброблюваному ряду Q3 =
Q = (70 - 39) / 2 = 15,5.
Були розглянуті статистична обробка параметричного ряду ("х і σ) і статистична обробка непараметричного ряду (Me і Q). Параметричний ряд відноситься до шкали інтервалів, непараметричний - до шкали порядку. Але зустрічаються також ряди, пов'язані з шкалою найменувань. Найбільш коротка, але малоінформативна характеристика такого ряду може бути отримана за допомогою моди - величини в ряду, що має найбільшу чисельність з числа п - членів ряду. Слід зауважити, що моду можна лише умовно вважати вираженням центральної тенденції в ряді, що належить до шкали найменувань. Вона виражає найбільш типову величину ряду.
Розглянемо приклад, де мова йде про учасників якоїсь конференції; в їх числі 3 англійця, 2 данця, 5 німців, 1 російська і 2 француза. Мода в цьому ряду посідає учасників конференції - німців. Число членів ряду - 13, а мода Мо = 5.