Статечні ряди

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ВИЩА МАТЕМАТИКА

Статечні ряди

Зміст

1. Визначення статечного ряду. Теорема Абеля

2. Властивості степеневих рядів

3. Ряди Тейлора, Маклорена для функцій

4. Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Маклорена

5. Програми статечних рядів

1. Визначення статечного ряду. Теорема Абеля

Статечні ряди є окремим випадком функціональних рядів.

Визначення 1.1. Статечним рядом називається функціональний ряд вигляду . (1.1)

Тут - Постійні дійсні числа, звані коефіцієнтами степеневого ряду, а - деяке постійне число, х - змінна, приймаюча значення з безлічі дійсних чисел.

При степеневий ряд (1.1) приймає вигляд

. (1.2)

Степеневий ряд (1.1) називають поруч за ступенями різниці , Ряд (1.2) - поруч за ступенями х.

Якщо змінній х надати яке-небудь значення, то степеневий ряд (1.1) (або (1.2)) перетворюється на числовий ряд, який може сходитися чи розходитися.

Визначення 1.2. Областю збіжності степеневого ряду називається безліч тих значень х, при яких степеневий ряд сходиться.

Ряд (1.1) за допомогою підстановки приводиться до більш простому виду (1.2), тому спочатку будемо розглядати статечні ряди виду (1.2).

Для знаходження області збіжності степеневого ряду важливу роль відіграє наступна теорема.

Теорема 1.1 (Теорема Абеля):

якщо степеневий ряд (1.2) сходиться при , То він абсолютно сходиться при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності , Якщо ж ряд (1.2) розходиться при , То він розходиться при всіх значеннях х, що задовольняють нерівності .

Теорема Абеля дає чітке уявлення про структуру області збіжності степеневого ряду.

Теорема 1.2:

область збіжності степеневого ряду (1.2) збігається з одним з наступних інтервалів:

1) , 2) , 3) ; 4) ,

де R - деяке невід'ємне дійсне число або .

Число R називається радіусом збіжності, інтервал - Інтервалом збіжності степеневого ряду (1.2).

Якщо , То інтервал збіжності являє собою всю числову вісь .

Якщо , То інтервал збіжності вироджується в точку .

Зауваження: якщо - Інтервал збіжності для степеневого ряду (1.2), то - Інтервал збіжності для степеневого ряду (1.1).

З теореми 1.2 випливає, що для практичного знаходження області збіжності степеневого ряду (1.2) достатньо знайти його радіус збіжності R і з'ясувати питання про збіжність цього ряду на кінцях інтервалу збіжності , Тобто при і .

Радіус збіжності R степеневого ряду можна знайти по одній з наступних формул:

формула Даламбера:

; (1.3)

формула Коші:

. (1.4)

Якщо у формулі Коші , То вважають , Якщо , То вважають .

Приклад 1.1. Знайти радіус збіжності, інтервал збіжності та область збіжності степеневого ряду .

Рішення

Знайдемо радіус збіжності даного ряду за формулою

У нашому випадку

, .

Тоді .

Отже, інтервал збіжності даного ряду має вигляд .

Досліджуємо збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності.

При степеневий ряд перетворюється на числовий ряд

.

який розходиться як гармонійний ряд.

При степеневий ряд перетворюється на числовий ряд

.

Це - Знакозмінні ряд, члени якого зменшуються за абсолютною величиною і . Отже, за ознакою Лейбніца цей числовий ряд сходиться.

Таким чином, проміжок - Область збіжності даного степеневого ряду.

2. Властивості степеневих рядів

Степеневий ряд (1.2) являє собою функцію , Визначену в інтервалі збіжності , Т. е.

.

Наведемо кілька властивостей функції .

Властивість 1. Функція є безперервною на якому відрізку , Що належить інтервалу збіжності .

Властивість 2. Функція дифференцируема на інтервалі , І її похідна може бути знайдена почленно диференціюванням ряду (1.2), т. е.

,

для всіх .

Властивість 3. Невизначений інтеграл від функції для всіх може бути отриманий почленного інтеграції ряду (1.2), т. е.

для всіх .

Слід зазначити, що при почленно диференціюванні та інтегрування степеневого ряду його радіус збіжності R не змінюється, однак його збіжність на кінцях інтервалу може змінитися.

Наведені властивості справедливі також і для статечних рядів (1.1).

Приклад 2.1. Розглянемо степеневий ряд

.

Область збіжності цього ряду, як показано в прикладі 1.1, є проміжок .

Почленно продифференцируем цей ряд:

. (2.1)

За властивості 2 інтервали збіжності отриманого статечного ряду (2.1) є інтервал .

Досліджуємо поведінку цього ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто при і при .

При степеневий ряд (2.1) перетворюється в числовий ряд

.

Цей числовий ряд розходиться, тому що не виконується необхідна ознака збіжності : , Який не існує.

При степеневий ряд (2.1) перетворюється в числовий ряд

,

який також розходиться, тому що не виконується необхідна ознака збіжності.

Отже, район збіжності степеневого ряду, отриманого при почленно диференціюванні вихідного статечного ряду, змінилася і збігається з інтервалом .

3. Ряди Тейлора, Маклорена для функцій

Нехай - Дифференцируемая нескінченне число разів функція в околиці точки , Тобто має похідні будь-яких порядків.

Визначення 3.1. Поруч Тейлора функції в точці називається степеневий ряд

. (3.1)

В окремому випадку при ряд (3.1) називається рядом Маклорена:

. (3.2)

Виникає питання: у яких випадках ряд Тейлора для диференційованої нескінченне число разів функції в околиці точки збігається з функцією ?

Можливі випадки, коли ряд Тейлора функції сходиться, однак його сума не дорівнює .

Наведемо достатня умова збіжності ряду Тейлора функції до цієї функції.

Теорема 3.1:

якщо в інтервалі функція має похідні будь-якого порядку і всі вони за абсолютною величиною обмежені одним і тим же числом, тобто , То ряд Тейлора цієї функції сходиться до для будь-якого х з цього інтервалу , Тобто має місце рівність

.

Для з'ясування виконання цієї рівності на кінцях інтервалу збіжності потрібні окремі дослідження.

Слід зазначити, що якщо функція розкладається в степеневий ряд, то цей ряд є поруч Тейлора (Маклорена) цієї функції, причому це розкладання єдино.

4. Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Маклорена

1. . Для цієї функції , .

За формулою (3.2) складемо ряд Маклорена даної функції:

. (3.3)

Знайдемо радіус збіжності ряду (3.3) за формулою (1.3):

.

Отже, ряд (3.3) сходиться при будь-якому значенні .

Всі похідні функції на будь-якому відрізку обмежені, тобто

.

Тому, відповідно до теореми 3.1, має місце розкладання

. (3.4)

2. . Для цієї функції , , .

Звідси випливає, що при похідні парного порядку дорівнюють нулю, а похідні непарного порядку чергують знак з плюса на мінус.

За формулою (3.2) складемо ряд Маклорена:

.

При будь-якому фіксованому значенні цей ряд сходиться як Знакозмінні за ознакою Лейбніца. При цьому

.

Тому, відповідно до теореми 3.1, має місце розкладання

. (3.5)

3. . Скористаємося розкладанням (3.5) в ряд Маклорена функції і властивістю 2 про диференціюванні статечного ряду. Маємо

.

(3.6)

Оскільки при почленно диференціюванні інтервал збіжності степеневого ряду не змінюється, то розкладання (3.6) має місце при будь-якому .

Наведемо без доведення розкладання інших елементарних функцій в ряди Маклорена.

4.

- Біноміальний ряд ( - Будь-яке дійсне число).

Якщо - Позитивне ціле число, то отримуємо біном Ньютона:

.

- Логарифмічний ряд.

.

5. Програми статечних рядів

Статечні ряди знаходять застосування в таких завданнях, як наближене обчислення функцій із заданою ступенем точності, визначених інтегралів, рішення диференціальних рівнянь та ін

Наближене значення функції обчислюють, замінюючи ряд Маклорена цієї функції кінцевим числом його членів.

Наведемо наближені формули для обчислення деяких найбільш часто зустрічаються функцій при досить малих значеннях х:

; ; ; ;

; .

Література

1. Вища математика: Загальний курс: Підручник - 2-е вид., Перераб. / О.І. Яблонський, А.В. Кузнєцов, Є.І. Шилкина та ін; За заг. ред. С.А. Самаля. - Мн.: Виш. шк., 2000 .- 351 с.

2. Марков Л.М., Размисловіч Г.П. Вища математика. Ч. 2. Основи математичного аналізу та елементи диференціальних рівнянь. - Мн.: Амалфея, 2003. - 352 с.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
41.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Показово статечні рівняння і нерівності
Ряди динаміки 2
Ряди динаміки 4
Варіаційні ряди
Ряди динаміки 2
Ряди динаміки
Ряди динамки
Статистичні ряди і таблиці
Ряди динаміки виробництво електроенергії
© Усі права захищені
написати до нас