Співвідношення невизначеностей в операторної формі
Зміст: Парні динамічних змінних ([імпульс-координата]; [енергія-час]; [момент імпульсу-кут повороту]). Квант дії. Принцип виключення в операторної формі, що визначає можливість спільного вимірювання динамічних змінних.
Принцип невизначеності і його операторні вирази.
7.2. Поставимо фундаментальне питання: «Чи залежить результат вимірювання від організації самої процедури вимірювання? Чи можна сконструювати універсальні прилади для спільного вимірювання будь-яких величин? »Якщо відповідь позитивна, то послідовність вимірів будь-якої пари фізичних величин не грає ролі, і процедури їх вимірювання можна виконувати в будь-якому порядку. Якщо ж відповідь негативна, слід очікувати, що змінюючи порядок вимірювань, можна отримати і інший результат. Досліджуємо цю ситуацію.
Належить вирішити дуже важливу проблему, пов'язану з можливістю спільного вимірювання різних динамічних змінних. Для цього розглянемо дві динамічні характеристики. Їм відповідають ермітових оператори і
, Незалежно перетворюють хвильову функцію. У найпростішому випадку сумісне вимірювання величин є комбінацією з двох послідовно виконуваних елементарних процедур. Як це виглядає математично?
Первинному виміру величини відповідає перетворення виду A = . Після дмуть слідом за величиною вимір величини породжує вторинне перетворення виду B =
A =
. В цілому послідовності двох вимірювань відповідає ланцюжок з двох перетворень хвильової функції у вигляді операторного рівняння виду:
B = .
7.2.3. Змінюючи порядок вимірювання величин, слід в загальному випадку очікувати і іншого результату. Якщо першою виміряна величина , а другий величина то перший вимір відображається перетворенням C = , А другий вимір вже D =
C =
, Так що
D = .
Дві ці різні послідовності вимірів двох величин породжують два кінцевих результату B і D. У загальному випадку вони можуть не збігатися, але не виключений і нульовий результат. Складемо їх різниця, і зберемо всі оператори зліва від символу перетворюється хвильової функції, використовуючи властивість асоціативності ермітових операторів:
=
.
Оператор називається комутатором (по-російськи «перестановщік»).
7.2.4. Ми підготувалися до дуже важливих висновків, а саме:
а) якщо підсумок двох послідовних вимірювань незалежний від порядку їх здійснення, то комутатор повинен бути нульовим:
, Тобто
.
Компактно це виглядає як: .
б) якщо підсумок двох послідовних вимірювань все ж залежить від порядку їх виконання, то , Тобто
.
Комутатор тут не дорівнює нулю: .
7.2.5.1. При нульовому комутаторі порядок вимірювань не впливає на отримувану кількісну інформацію, і обидві величини і можуть бути виміряні спільно (в одному єдиному спільному експерименті за допомогою єдиного приладу).
7.2.5.2. Якщо комутатор ненульовий, то отримана інформація залежить від послідовності вимірів, і величини і в одному приладі в принципі спільно не можуть бути виміряні.
Що ж має місце в природі насправді? Спробуємо отримати відповідь.
7.3.Соотношенія невизначеностей Гейзенберга.
7.3.1. Накопичена достатня інформація, щоб вирішити одну з найважливіших проблем квантової механіки, пов'язану з спільними вимірами динамічних змінних.
Досліджуємо, чи можна виміряти:
- Імпульс частинки, що знаходиться в певній точці простору;
- Момент імпульсу обертається частки в певній точці орбіти;
- Енергію системи в конкретний момент часу.
7.3.2. Вибір цих пар динамічних змінних не випадковий. Ці пари величин взаємно доповнюють один одного таким чином, що їх добуток має розмірністю циклічної константи Планка , Так що
.
Розмірність величини є твором розмірностей енергії і часу або імпульсу і відстані. Фізичну величину з такою розмірністю прийнято називати дією. У силу цього-то константу Планка часто називають квантом дії.
7.3.3. Утворюючи три комутатора ,
,
, Необхідних для дослідження цих трьох ситуацій згідно з висновками попередніх параграфів. Відразу ж запишемо вираження і для комплексно спряжених операторів.
7.3.4. Перший комутатор побудуємо з оператора компоненти імпульсу і відповідної йому координати:
7.3.5. Другий комутатор побудуємо аналогічно з оператора моменту імпульсу і йому відповідної координати - кута повороту плоского ротатора:
.
7.3.6. Також і третій комутатор побудуємо з оператора енергії і часу. Залежний від часу гамільтоніан запозичуємо з тимчасового рівняння Шредінгера:
Перед Вами найбільш послідовний операторний висновок співвідношень невизначеностей Гейзенберга. Вони відносяться до числа фундаментальних законів природи.
7.3.7. Всі три комутатора не дорівнюють нулю, і їх чисельні значення уявні і рівні або , Або -
. Замість уявних значень зручно побудувати на їх основі дійсні квадрати модулів. Для цього кожен з отриманих уявних значень множиться на комплексно зв'язану величину. Вважаючи хвильову функцію нормованої, для компоненти імпульсу і відповідної координати отримуємо рівності:
Квадрат модуля кожного з трьох комутаторів один і той же. У всіх випадках виходить . У всіх випадках виходить квадрат циклічної константи Планка
:
(7.4)
7.3.8. Це значення отримано найбільш строго і являє собою середньоквадратичні розкид, теоретично зумовлений для будь-якого експерименту, націленого на сумісне вимірювання пар динамічних змінних.
Розкид порядку величини константи Планка для явищ мікросвіту дуже великий - настільки великий, що спільні кількісні вимірювання динамічних змінних з таким комутатором позбавлені фізичного змісту.
Так в певній точці лінійної траєкторії неможливо точно вказати величину імпульсу системи, і, навпаки, при точно фіксованому імпульсі системи неможливо вказати її точне положення.
У певній точці траєкторії криволінійного руху неможливо вказати вектор моменту імпульсу, але якщо момент імпульсу фіксований, то не можна вказати положення тіла на криволінійній траєкторії.
У точно визначений момент часу неможливо вказати енергію рухомого тіла, і навпаки, точне визначення енергії тіла не може бути прив'язане до певного моменту часу в еволюції системи.
7.3.9. У деяких задачах квантової механіки гамільтоніан вдається виразити через вищенаведені комутатори, а їх можна замінити просто уявним числом. У подібних задачах вдається відшукати правила квантування енергії найбільш просто, і з такими випадками нам доведеться познайомитися пізніше.
В елементарній квантової теорії їх представлют також у вигляді творів граничних помилок, неминучих при спільних вимірах, а саме:
або як твір неминучих середньоквадратичних відхилень:
Читач, мабуть, зрозумів, що форма представлення співвідношень Гейзенберга визначається лише способом обчислення похибок, але суть їх всюди одна й та ж.
Корпускулярно-хвильова природа мікросвіту не допускає надмірно спрощених уявлень про локалізованих системах, «увіткнених, втиснутих» в матеріальні точки.
Світ насправді складається з елементів в достатній мірі делокалізованних, хоча вони і мізерно малі за нашими мірками. Первинне відчуття «твердокамінний» тієї чи іншої системи і що випливає звідси її сприйняття можуть бути оманливі, і лише строгий аналіз фактів виключає помилки і помилки.
Але тим, хто все ж вирішив, що принцип Гейзенберга дозволяє помилятися, зауважимо, що це уявне право люди (особливо в тій чи іншій мірі причетні до влади) привласнюють і експлуатують куди частіше, ніж допускають закони природи (та й закони суспільства теж!) , і нагадаємо крилату фразу знаменитого пройдисвіта і циніка Талейрана: «... Це не злочин! Це набагато гірше! Це ж помилка! ».
При описі механічних рухів у системі частинок з номерами: {1,2, 3, ... n} можуть бути використані різні просторові змінні (прямокутні-декартові, косокутні, полярні (кульові, циліндричні або еліптичні). Їх повна сукупність, достатня для складання вичерпних рівнянь механіки в конкретній задачі, називається конфігураційним простором K. Координати можуть бути декартові {x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, x 3, y 3, z 3, ... x n, y n, z n}, або полярні, наприклад, кульові {r 1, J 1, j 1, r 2, J 2, j 2, r 3, J 3, j 3, ... r n, J n, j n}, або будь-які інші - в загальному вигляді: Максимальна розмірність конфігураційного простору K дорівнює 3 n - потроєному числа частинок в системі. Належність змінних до конфігураційному простору можна вказати за допомогою символів - кванторів включення, наприклад, у вигляді:
.
Постулат 1. Хвильова функція і її властивості (кінцівку, однозначність, безперервність і нормування)
Формулювання:
Будь-яке стан квантово-механічної системи описується функцією стану - хвильової функцією, заданою на різноманітті всіх змінних конфігураційного простору системи, і навіть часу:
Хвильові функції повинні задовольняти декільком математичним вимогам. Вони повинні бути: 1) кінцеві, 2) однозначні, 3) неперервні, 4) нормування, тобто: ; (5.1)
Область інтегрування охоплює весь можливий діапазон значень кожної змінної в усьому просторі K. Імовірнісний сенс хвильової функції:
(5.2)
Нормування виявляється умовою підсумовування щільності ймовірності в усьому конфігураційному просторі. Квадрат модуля хвильової функції є щільністю ймовірності, з якою фізична система, перебуваючи в тому фізичному стані, що описується хвильовою функцією Y, розподілена по конфігураційному простору. Функції, що відповідають умовам 1, 2, 3 називаються регулярними.
Хвильова функція це математичний образ квантово-механічного стану фізичної системи. Звичайно ж, це функція механічного стану системи.
Постулат 2. Вимірювання фізичних величин та операторні рівняння на власні значення ермітових операторів
Формулювання:
Дозволеними значеннями динамічної змінної є ті, що є власними значеннями ермітових оператора даної динамічної змінної:
(5.3)
Операторні рівняння є математичними образами вимірювань. Оператори зручно розглядати як образів макроскопічних приладів. Вирази для операторів основних динамічних змінних. Оператор імпульсу і його r омпоненти (з формули біжучої хвилі де Бройля). Оператори координат і оператор потенційної енергії збігаються з самими цими змінними. Взаємозв'язок операторів різних динамічних змінних визначається тим, що вони відображають макроскопічне будову приладів. Оператори моменту імпульсу однієї частки і його компонент мають вигляд , Оператор кінетичної енергії єдиною частинки дорівнює
, А для системи декількох часток представляє собою суму виду
. Радіус-вектор частинки
, І його оператор представляє собою просто множник перед хвильової функцією, тобто має вигляд:
. Оператор потенційної енергії це також просто множник перед хвильової функцією U (r) ×, оператор повної енергії - гамільтоніан складається з операторів кінетичної і потенційної енергії:
. (5.4) Приймається, що
і оператори всіх інших динамічних змінних побудовані з цих двох за формулами класичної механіки.
Причина класичної схеми взаємозв'язку криється в тому, що оператори є образами макроскопічно влаштованих приладів, а конструкційні компоненти яких підкоряються законам класичної (макроскопічної) фізики.
Стани і хвильові функції, що відповідають певним квантованим значенням фізично величини, що спостерігається - тим, які безпосередньо проявляються у вимірах, називаються чистими.
Постулат 3. Рівняння Шредінгера (тимчасове і стаціонарне)
Формулювання:
Хвильові функції, що описують можливі стану змінюється в часі фізичної системи, є рішеннями тимчасового рівняння Шредінгера:
(5.5)
Для стаціонарної системи рівняння Шредінгера приймає вид операторного рівняння на власні значення гамільтоніана:
(5.6)
Звернемося до стаціонарних системам. Введемо гамільтоніан, що не залежить від часу, і вийде стаціонарне рівняння Шредінгера. Виявимо сенс комплексного поєднання хвильових функцій як ознака механічної оборотності в часі рішень рівняння Шредінгера:
Результат (5.9) - це стаціонарне рівняння Шредінгера. Воно являє собою операторний вираження закону збереження енергії стаціонарної системи. Це чисто просторова частина загального рішення. Тимчасова частина описує періодичний процес.
Увага! Операція комплексного сполучення тимчасової компоненти хвильової функції полягає в заміні знака перед аргументом - часом в показнику комплексної експоненти. Ця проста алгебраїчна операція абсолютно ідентична просту заміну знака перед змінної часу. Виходить, що при зміні відліку часу на зворотне, не змінюються закони, яким лагодив фізична система. Це найважливіший результат, який полягає в тому, що рівняння Шредінгера описує процеси, оборотні в часі.
Постулат 4. Суперпозиція станів. Стани чисті і змішані. Математичні та фізичні основи принципу суперпозиції
Формулювання 1 (скоріше математична):
Якщо дві хвильові функції f p і f q є рішеннями операторного рівняння на власні значення, то їх лінійна комбінація F = c p f p + c q f q також є його рішенням.
Витоки цього формулювання лежать в теорії диференціальних рівнянь.
Формулювання 2 (скоріше фізична):
Якщо система може перебувати в станах з хвильовими функціями f p і f q, то вона може знаходитися і в стані з хвильовою функцією F = c p f p + c q f q.
Витоки цього формулювання відбуваються з переконання, що до досвіду не можна передбачити, в якому стані перебуває система, а тому доводиться допустити для неї відразу всі можливості.
Мова про тих функціях, що сукупність яких утворює спектр власних функцій ермітових оператора (оператора динамічної змінної). Ця ситуація може бути поширена на будь-яке число власних функцій лінійного самосопряженним оператора:
Цей постулат називається принципом суперпозиції станів і допускає узагальнення на будь-яке число власних функцій, що утворюють спектр ермітових оператора. Функції f k відповідають так званим чистим станам, а їх суперпозиція F - змішаного стану.
Постулат 5. Середні значення динамічних змінних. Математичні сподівання для динамічних характеристик станів чистих і змішаних
Формулювання:
Середнє значення динамічної змінної, отримане в результаті серії випробувань (вимірювань) збігається з математичним очікуванням динамічного оператора цієї змінної, яке обчислюється за формулою:
; (5.11)
Для чистих станів це рівняння є формальним наслідком 2-го постулату, але для випадку змішаних станів ця формула постулюється і тим самим зводиться в ранг фізичного закону.
Постулат 6. Принцип Паулі
Формулювання:
Повна хвильова функція, колективу ідентичних ферміонів антисиметрична щодо перестановки будь-якої пари частинок між їх індивідуальними одночасткові станами.
Це властивість можна записати у вигляді
. (5.12)
Про перестановною симетрії колективу частинок.
Зручно ввести оператор перестановки , Дія якого полягає в тому, що він міняє місцями ідентичні частинки з номерами k і l між їх одночасткові станами або що зовсім одне й те саме - змінює стану цих двох часток між собою.
Якщо заздалегідь обмовити, що завжди номера ідентичних частинок в колективі визначаються просто порядковим номером у ланцюжку-перерахування, то номер можна і не записувати в явній формі. У такому випадку записуючи в позиції частки символ якоїсь хвильової функції, зручно вважати її символом стану, в який частинка потрапляє.
Діючи на хвильову функцію, оператор перестановки рятує з неї власне значення, але при цьому примудряється її саму не змінювати. Перед нею просто виникає деяке число - власне значення цього оператора. Якщо ж оператор перестановки застосувати до хвильової функції колективу повторно, то обидві переставляються частинки повертаються на вихідні позиції - у вихідні стани, і хвильова функція зобов'язана звернутися знову сама в себе. Система повертається у вихідну ситуацію, і тому власне значення квадрата оператора перестановки дорівнює одиниці. Отримуємо рівності: