Розрахунково-графічна робота
З ДИСЦИПЛІНИ
Метрологія, стандартизація та технічні вимірювання
Специфіка проведення вимірювань і обробки результатів
Завдання 1. Одноразове вимірювання
Умова завдання
При одноразовому вимірюванні фізичної величини отримано показник засобу вимірювання X = 10. Визначити, чому одно значення вимірюваної величини, якщо експериментатор має апріорної інформацією про засіб вимірювань та умови виконання вимірювань згідно з даними таблиці 1.
Експериментальні дані:
Інформація про засіб виміру:
Вид закону розподілу нормальний
Значення оцінки середнього квадратичного відхилення
Довірча ймовірність
Мультиплікативна поправка
Розрахунок
Межа, в якому знаходиться значення вимірюваної величини без урахування поправки визначається як:
; ,
де Е - довірчий інтервал. Значення Е визначається в залежності від закону розподілу ймовірності результату вимірювання. Для нормального закону
,
де t - квантиль розподілу для заданої довірчої ймовірності. Його вибирають з таблиці інтегральної функції нормованого нормального розподілу , При цьому слід враховувати, що . T = 1,64 при P = 0,9
.
Використовуючи правила округлення, отримаємо:
.
З урахуванням поправки значення вимірюваної величини визначається як:
; .
Вносимо мультипликативную поправку:
, , .
Записуємо результат:
<Q < ; P = 0,9
Завдання 2. Багаторазове вимірювання
Умова завдання
При багаторазовому вимірі однієї і тієї ж фізичної величини отримана серія з 24 результатів вимірювань . Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці. Визначити результат вимірювання.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
48 5 | 48 4 | 48 6 | 48 2 | 48 3 | 484 | 48 4 | 48 1 | |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
48 5 | 48 5 | Квітень 1985 | Квітень 1992 | 484 | 481 | 480 | 481 | |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | |
484 | 485 | 485 | 484 | 483 | 483 | 485 | 492 |
Для обробки результатів вимірювань необхідно виключити помилки. Число вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50. Тому виключення помилок проводиться на основі критерію.
Визначаємо середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення результатів вимірювань.
Далі визначаємо значення критерію для кожного значення результату вимірювань за формулою:
Відповідно до довірчою ймовірністю з урахуванням знаходимо з відповідної таблиці значення , Яке залежить від кількості вимірювань і .
При , Отже значення 492 виключаємо як помилку.
Виключення помилок продовжується до тих пір, поки не буде виконуватися умова .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
48 5 | 48 4 | 48 6 | 48 2 | 48 3 | 484 | 48 4 | 48 1 | |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
48 5 | 48 5 | Квітень 1985 | 484 | 481 | 480 | 481 | 484 | |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
485 | 485 | 484 | 483 | 483 | 485 |
Заново визначаємо значення критерію для кожного значення результату вимірювань за формулою:
Відповідно до довірчою ймовірністю з урахуванням знаходимо з відповідної таблиці значення , Яке залежить від кількості вимірювань і .
Умова виконується для всіх результатів вимірювань.
Наступним кроком аналізу є перевірка гіпотези про нормальність розподілу залишилися результатів вимірювань. Перевірка виконується за складеним критерієм, так як кількість результатів вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50.
Застосовуючи перший критерій, слід обчислити відношення:
і порівняти з і .
Задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості визначаємо з відповідної таблиці квантами розподілу і .
Значення відповідає умові . Перший критерій виконується.
Застосовуючи другий критерій, задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості з урахуванням за відповідними таблицями визначаємо значення і .
Для з таблиці для інтегральної функції нормованого нормального розподілу визначаємо значення і розраховуємо E:
,
Використовуючи правила округлення, отримаємо:
Далі порівнюємо значення і .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
1,41 | 0,41 | 2,41 | 1,59 | 1,59 | 0,41 | 0,41 | 1,59 | |
9 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | ||
1,41 | 1,41 | 1,41 | 0,41 | 2,59 | 3,59 | 2,59 | 0,41 | |
17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
1,41 | 1,41 | 0,41 | 0,59 | 0,59 | 1,41 |
Ми бачимо, що не більше m різниць перевершують , Отже другий критерій, а разом з тим і складовою критерій виконується повністю. Закон розподілу можна визнати нормальним з імовірністю .
Визначаємо стандартне відхилення середнього арифметичного.
Так як закон розподілу нормальний, то стандартне відхилення середнього арифметичного визначається наступним чином:
Визначаємо довірчий інтервал
Закон розподілу нормальний, отже довірчий інтервал для заданої довірчої ймовірності визначається з розподілу Стьюдента , Де визначається з відповідної таблиці.
,
Використовуючи правила округлення, отримаємо:
Результат вимірювань запишеться у вигляді:
Завдання 3. Обробка результатів декількох серій вимірювань
Умова завдання
При багаторазових вимірюваннях однієї і тієї ж величини отримані дві серії по 12 ( ) Результатів вимірювань у кожній. Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці. Обчислити результат багаторазових вимірювань.
Серія вимірювань 1.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
485 | 484 | 486 | 482 | 483 | 484 | |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
484 | 481 | 485 | 485 | 485 | 492 |
Серія вимірювань 2.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
484 | 481 | 480 | 481 | 484 | 485 | |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
485 | 484 | 483 | 483 | 485 | 492 |
Обробка результатів проводиться для кожної серії окремо.
Для обробки результатів серій вимірювань необхідно виключити помилки. Число вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50. Тому виключення помилок проводиться на основі критерію.
Серія вимірювань 1.
Визначаємо середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення результатів серії вимірювань 1.
Далі визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:
Відповідно до довірчою ймовірністю з урахуванням знаходимо з відповідної таблиці значення , Яке залежить від кількості вимірювань і .
При , Отже, значення 492 виключаємо як помилку.
Виключення помилок продовжується до тих пір, поки не буде виконуватися умова .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
485 | 484 | 486 | 482 | 483 | 484 | |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ||
484 | 481 | 485 | 485 | 485 |
Заново визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:
Відповідно до довірчою ймовірністю з урахуванням знаходимо з відповідної таблиці значення , Яке залежить від кількості вимірювань і .
Умова виконується для всіх результатів серії вимірювань.
Наступним кроком аналізу є перевірка гіпотези про нормальність розподілу залишилися результатів серії вимірювань. Перевірка виконується за складеним критерієм, так як кількість результатів серії вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50.
Застосовуючи перший критерій, слід обчислити відношення:
і порівняти з і .
Задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості визначаємо з відповідної таблиці квантами розподілу і .
Значення відповідає умові . Перший критерій виконується.
Застосовуючи другий критерій, задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості з урахуванням за відповідними таблицями визначаємо значення і .
Для з таблиці для інтегральної функції нормованого нормального розподілу визначаємо значення і розраховуємо E:
, .
Використовуючи правила округлення, отримаємо:
Далі порівнюємо значення і .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 0 | 2 | 2 | 1 | 0 | |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ||
0 | 3 | 1 | 1 | 1 |
Ми бачимо, що не більше різниць перевершують значення . Отже, другий критерій, а разом з тим і складовою критерій виконуються повністю. Закон розподілу можна визнати нормальним з імовірністю
.
Серія вимірювань 2.
Визначаємо середнє арифметичне і середньоквадратичне відхилення результатів серії вимірювань 2.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
484 | 481 | 480 | 481 | 484 | 485 | |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
485 | 484 | 483 | 483 | 485 | 492 |
Далі визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:
Відповідно до довірчою ймовірністю з урахуванням знаходимо з відповідної таблиці значення , Яке залежить від кількості вимірювань і .
При , Отже значення 492 виключаємо як помилку.
Виключення помилок продовжується до тих пір, коли не буде виконуватися умова .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
484 | 481 | 480 | 481 | 484 | 485 | |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ||
485 | 484 | 483 | 483 | 485 |
Заново визначаємо значення критерію для кожного значення результату серії вимірювань за формулою:
Відповідно до довірчою ймовірністю з урахуванням знаходимо з відповідної таблиці значення , Яке залежить від кількості вимірювань і .
Умова виконується для всіх результатів серії вимірювань.
Наступним кроком аналізу є перевірка гіпотези про нормальність розподілу залишилися результатів серії вимірювань. Перевірка виконується за складеним критерієм, так як кількість результатів серії вимірювань лежить в діапазоні 10 ... 15 <n <40 ... 50.
Застосовуючи перший критерій, слід обчислити відношення:
і порівняти з і .
Задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості визначаємо з відповідної таблиці квантами розподілу і .
Значення відповідає умові . Перший критерій виконується.
Застосовуючи другий критерій, задаємося рекомендованої довірчою ймовірністю і для рівня значущості з урахуванням за відповідними таблицями визначаємо значення і .
Для з таблиці для інтегральної функції нормованого нормального розподілу визначаємо значення і розраховуємо E:
, .
Використовуючи правила округлення, отримаємо:
Далі порівнюємо значення і .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
0,82 | 2,18 | 3,18 | 2,18 | 0,82 | 1,82 | |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | ||
1,82 | 0,82 | 0,18 | 0,18 | 1,82 |
Ми бачимо, що не більше різниць перевершують значення . Отже другий критерій, а разом з тим і складовою критерій виконується повністю. Закон розподілу можна визнати нормальним з імовірністю .
Далі необхідно перевірити значущість відмінності середніх арифметичних серій.
Для цього необхідно обчислити моменти закону розподілу різниці:
Поставивши собі за довірчою ймовірністю , Визначаємо з відповідних таблиць інтегральної функції нормованого нормального розподілу значення і порівнюємо з .
Умова виконується. Різниця між середніми арифметичними в серіях з довірчою ймовірністю можна визнати незначним.
Далі необхідно перевірити равнорассеянность результатів вимірювань у серіях.
Для цього визначаємо значення:
І, поставивши довірчою ймовірністю , Визначаємо з відповідних таблиць значення аргументу інтегральної функції розподілу ймовірності Фішера .
Умова виконується. Серії з довірчою ймовірністю вважаємо розсіяними.
Вище було показано, що серії равнорассеяни і з незначним розходженням середніх арифметичних. Виходячи з цього всі результати вимірювань об'єднуються в єдиний масив і потім для нього виконується обробка за алгоритмом, відповідно до якого необхідно визначити оцінку результату вимірювання і середньоквадратичного відхилення .
Поставивши собі за довірчою ймовірністю , Визначаємо з таблиць розподілу Стьюдента значення для числа ступенів свободи
Потім визначаємо довірчий інтервал :
Використовуючи правила округлення, отримаємо:
Результат вимірювань запишеться у вигляді:
.
Завдання 4. Функціональні перетворення результатів вимірювань (непрямі виміри)
Умова завдання
При багаторазових вимірюваннях незалежних величин і отримано по 12 (n) результатів вимірювань. Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці 2. Визначити результат обчислення , (Вид функції і характер величин представлені в таблиці 3).
Вид функціональної залежності .
Характер та одиниці величин:
- ЕРС, мВ;
- Опір, Ом;
- Сила струму, А.
Обробка результатів вимірювань величин і проведена в завданні 3 першої розрахунково-графічної роботи.
Середні значення та середньоквадратичне відхилення для величин і мають вигляд
Гіпотеза про нормальність розподілу величин і підтверджується.
Визначимо оцінку середнього значення функції:
Визначимо поправку
Визначимо оцінку стандартного відхилення функції
Визначаємо довірчий інтервал для функції
Закони розподілу ймовірності результатів вимірювання і визнані нормальними, можна визначити для прийнятої довірчої ймовірності з таблиць для розподілу Стьюдента. При цьому число ступенів свободи визначається з виразу
Використовуючи правила округлення, отримаємо:
Результат запишеться у вигляді:
Завдання 5. Обробка експериментальних даних при вивченні залежностей
Умова завдання
При багаторазових спільних вимірах величин і отримано по 20 (n) пар результатів вимірювань. Ці результати після внесення поправок представлені в таблиці 4. Визначити рівняння регресії по : .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
61; червня 2002 | 2 червня; 613 | 3 червень; 620 | 6 квітня; 631 | 5 червня; 639 | 6 червня; 648 | 67; 656 | |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
68; 662 | 69; 667 | 70; 682 | 9; 87 | 19; 188 | 29; 286 | 39; 386 | |
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||
9 квітень; 485 | 59; 575 | 69; 667 | 79; 770 | 89; 868 | 99; 966 |
У якості прямої регресії будемо використовувати пряму виду
.
Параметри прямої визначимо за методом найменших квадратів.
Далі перевіряємо правильність вибору виду рівняння регресії. Для цього слід застосувати критерії серій і інверсій.
Розраховуємо відхилення експериментальних значень від відповідних розрахункових значень, розрахованих для того ж аргументу:
1 | 2 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |||
-4,67 | -0,67 | 0,33 | 3,33 | 5,33 | -1,67 | 5,93 | |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
7,23 | 4,53 | 5,83 | 4,13 | 3,43 | 1,73 | -1,97 | |
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||
-6,67 | -6,67 | -1,37 | -0,67 | 0,33 | 1,33 |
послідовність Δ Yi записана в міру зростання Х
Критерій серій:
Розраховуємо кількість серій в отриманій послідовності: N = 6
Поставивши собі за довірчою ймовірністю , Для n = 20 визначаємо за таблицею допустимі межі і :
Критерій інверсій:
Розраховуємо кількість інверсій А в отриманій послідовності : А = 106.
Поставивши собі за довірчою ймовірністю для n = 20 визначаємо за таблицею допустимі межі і :
Обидва нерівності виконуються і . Тому можна вважати, що розраховане рівняння регресії достовірно описує експериментально досліджувану залежність.