Зміст
Введення
Глава 1. Електронний спектр двустеночной вуглецевої нанотрубки
Глава 2. Провідність двустеночной вуглецевої нанотрубки
Висновки
Список використаних джерел
Додаток
Введення
Сучасна метало-оксидно-напівпровідникова мікроелектроніка фактично досягла меж швидкодії і ступеня інтеграції. Подальший розвиток електроніки пов'язують зі зменшенням розмірів пристроїв до наномасштабі з використанням нової елементної бази. Тому на сьогоднішній день великий інтерес викликають так звані квазіодномірних системи, прикладами яких є полімери, нанотрубки на основі вуглецю, кремнію та інших матеріалів. В даний час нанотрубки вже випускаються серійно багатьма фірмами, наприклад, SES Research, Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США.
Нанотрубки бувають одностеночнимі і многостеночнимі. Одностеночная нанотрубка являє собою графітову площину, різним чином згорнуту в циліндр. Вона характеризується так званими індексами хіральності, і залежно від цих індексів може бути як металом, так і напівпровідником. Діаметр такої трубки порядку нанометрів, а довжина досягає мікрометрів, тому вона займає проміжне положення між молекулою і кристалом, що проявляється в наявності специфічних властивостей, зокрема, зонної структури в спектрі електронів. Одностеночние нанотрубки вже досить добре вивчені.
Многостеночная нанотрубка являє собою або кілька одностеночних трубок, вкладених один в одного, або графітову площину, згорнуту в кілька шарів у вигляді сувою, або циліндричну структуру, складену з невеликих графітових фрагментів і нагадує пап'є-маше. На відміну від одностеночних, властивості многостеночних нанотрубок вивчені набагато гірше.
Метою даної роботи є дослідження спектрів елементарних збуджень двуперіодіческіх одновимірних систем, прикладом яких є двуслойниє вуглецеві нанотрубки. Для цього за допомогою методу сильного зв'язку розглядається спектр спрощеної моделі нанотрубки у вигляді двох паралельних ланцюжків атомів, визначається рівень Фермі такої системи і досліджується її провідність. Всі обчислення проводилися в програмі, написаній на мові C + + в середовищі Microsoft Visual Studio 2008 з використанням бібліотек Win32.
Глава 1. Електронний спектр двустеночной вуглецевої нанотрубки
Для дослідження електронного спектру двустеночной вуглецевої нанотрубки скористаємося моделлю, в якій нанотрубка являє собою дві паралельні регулярні ланцюжка атомів з різними періодами. При цьому, однак, з періодичності системи будемо користуватися результатами теореми Блоха, тому необхідно вимагати, щоб ставлення періодів ланцюжків виражалося раціональної дробом.
Спочатку розглянемо систему, що представляє собою лінійну ланцюжок атомів, відстань між якими а, і визначимо енергетичний спектр електрона в такій системі.
Будемо користуватися наближенням сильної зв'язку і шукати хвильову функцію електрона у вигляді:
, В (1.1)
де - Хвильова функція електрона на ізольованому n-му атомі ланцюжка. Для зручності позначимо . Далі, мінімізуючи функціонал енергії за умови нормування хвильових функцій :
(1.2)
отримаємо:
(1.3)
Виділимо в потенційній енергії доданки з і скористаємося тим, що рішення для електронів на ізольованому атомі відомі:
, (1.4)
де - Обмінний інтеграл. Далі врахуємо, що в методі сильного зв'язку він вважається ненульовим тільки для найближчих сусідів, і отримаємо:
(1.5)
(1.6)
У силу трансляційної симетрії хвильову функцію можна вибрати так, щоб вона задовольняла теоремі Блоха, тоді коефіцієнти будуть мати вигляд . Підставимо їх у (1.6) і отримаємо вираз для енергетичного спектру електрона:
(1.7)
де - Енергія основного стану електрона в ізольованому атомі, до - хвильовий вектор.
Тепер розглянемо два такі ланцюжки атомів, розташовані на деякій відстані d один від одного. Відстань між атомами в першій ланцюжку, як і раніше a, у другій - b. Якщо знехтувати можливістю перескока електрона з одного ланцюжка на іншу, то власні хвильові функції електронів будуть мати наступний вигляд:
- Описує рух електрона з енергією по першій ланцюжку;
- Описує рух електрона з енергією по другій ланцюжку;
Тепер врахуємо, що при такому розташуванні ланцюжків з'являється ймовірність перескоку електрона з одного з них на іншу. Тоді в гамільтоніані системи з'являться недіагональні вклади:
, (1.8)
де - Матричні елементи оператора взаємодії, відповідального за перескок електронів. Вважаючи його досить малим, обчислимо поправки до енергії, скориставшись теорією обурення для виродженого рівня. Хвильову функцію системи представимо у вигляді лінійної комбінації . Тоді відповідне секулярне рівняння прийме вигляд:
(1.9)
Звідси отримаємо енергію нашої системи:
(1.10)
Рівень Фермі в такій системі розщеплюється. Це випливає з того, що значення інтегралів перекриття γ 1 і γ 2 приймають різні значення, внаслідок цього відбувається перекриття зон. Формула для енергії рівня Фермі спроститься, якщо ми будемо вважати, що на ньому виконується умова:
(1.11)
і прийме вигляд:
(1.12)
Залишилося обчислити . Очевидно, що ймовірність перескоку електрона з одного ланцюжка на іншу визначається відстанню між атомами цих ланцюжків і швидко зменшується з його зростанням. Тому змоделюємо в такому вигляді:
(1.13)
Значення цього виразу визначається чисельно в програмі. Імпульси k і p на рівні Фермі визначаються з умови рівності енергій (1.11). Значення інтегралів перекриття бралися з [1], [2].
Глава 2. Провідність двустеночной вуглецевої нанотрубки
Як було показано в [3], у спрощеній моделі одностеночной трубки, що представляє собою лінійну ланцюжок атомів, сила протікає через неї струму визначається виразом:
, (2.1)
де U - напруга, прикладена до кінців трубки, L - її довжина, τ - час релаксації електронів, n - їх концентрація. Після простих перетворень одержимо:
(2.2)
Так як ми розглядаємо ідеальну систему, то розсіювання електронів при русі може відбуватися тільки на контактах. Тоді час релаксації електронів можна визначити так:
(2.3)
Тоді формула придбає простий вигляд:
(2.4)
Видно, що електричний опір одностеночной нанотрубки має унікальну властивість - воно не залежить від геометричних розмірів і визначається величиною - Квантом опору (формула Ландауера [4], [5]). Таке опір називається балістичним.
Розглянемо тепер провідність двустеночной нанотрубки.
У попередньому розділі було показано, що гамільтоніан системи з двох лінійних регулярних ланцюжків атомів з урахуванням їх взаємодії має вигляд:
(2.5)
Власними хвильовими функціями такого гамільтоніану будуть функції:
, (2.6)
Хвильову функцію електрона, влітає в перший ланцюжок, представимо у вигляді лінійної комбінації цих хвильових функцій:
(2.7)
Розглянемо тепер еволюцію цієї хвильової функції в часі. За правилами квантової механіки, отримаємо:
, (2.8)
де під Δ для зручності позначено | Γ kp |.
Враховуючи ортогональность функцій Ψ 1 і Ψ 2, які для електронів мають вигляд блоховскіх функцій, слідуючи [6], отримаємо для середньої швидкості першого електрона на рівні Фермі:
(2.9)
або, з урахуванням того, що
(2.10)
Тобто, швидкість електрона на рівні Фермі є суперпозицією двох доданків, в яких присутні швидкості на рівні Фермі для першої ізольованою ланцюжка і для другої. Аналогічно, для другої ланцюжка:
(2.11)
Розглянемо два граничних випадку, коли і .
У першому випадку усередненням замінюємо і на 1 / 2:
(2.12)
У другому випадку , :
(2.13)
(2.14)
Відразу видно, що в другому випадку у виразі для часу релаксації електронів не буде ніяких змін, не зміниться вид формули (2.2), а значить, і формула Ландауера не зміниться.
Розглянемо докладніше перший випадок. Провідність системи з двох паралельних одностеночних трубок визначається виразом:
(2.15)
Провідність двустеночной трубки:
(2.16)
Видно, що і в цьому випадку формула Ландауера залишається справедливою.
Висновки
Метою даної роботи було дослідження електронного спектру та провідності в двустеночних нанотрубках. З допомогою спрощеної моделі, що становить собою дві паралельні регулярні ланцюжка атомів, було показано, що в таких нанотрубках відбувається перекриття зон, що призводить до зміни положення рівня Фермі, а також його розщеплення. Величина цього розщеплення була визначена чисельно в програмі, лістинг якої наведено в додатку. При реалістичних значеннях параметрів розщеплення виявилося досить малим, порядку 10 -5 еВ. При цьому змінюється і швидкість електронів на рівні Фермі. Очевидно, що в такій ідеальній системі розсіювання електронів має відбуватися на контактах, тому час релаксації буде залежати тільки від середньої швидкості руху електронів. Було проаналізовано вираз для середньої швидкості руху електронів і показано, що в граничних випадках високих і низьких частот у двустеночних системах формула Ландауера залишається справедливою.
Список використаних джерел
1. Wildoer JWG, Venema LC, Rinzler AG, Smalley RE, Dekker C. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes / / Nature - 1998. - V.391. - P.59 -62.
2. Odom TW, Huang JL, Kim P., Lieber CM Structure and electronic properties of carbon nanotubes / / J. Phys. Chem. B - 2000. - V.104 (13). - P.2794-2809.
3. Тищенко С.В. Зонна структура та міжзонних переходи у вуглецевих нанотрубках: Дис., 01.04.02 - Одеса, 2007. - 100 с.
4. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices / / Phyl. Mag. - 1970. - V.21 - No 172. - P.863-867.
5. Buttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings / / Phys. Rev. B - 1985. - V.31. - P.6207-6215.
6. Ансельм А.І. Введення в теорію напівпровідників - М.: Наука, 1978. - 616 с.
Додаток А. Алгоритм програми для обчислення величини розщеплення в спектрі спрощеної моделі двуслойной нанотрубки у вигляді двох паралельних ланцюжків атомів
Вміст файлу stdafx.h:
# Include <stdio.h>
# Include <tchar.h>
# Include <math.h>
class Complex
{
public:
double real;
double image;
Complex () {}; / / Конструктор за умовчанням
Complex (double r) {real = r; image = 0;} / / Конструктор
Complex (double r, double i) {real = r, image = i;} / / Конструктор
~ Complex () {} / / Деструктор
double absolute () / / Модуль комплексного числа
{
return sqrt (real * real - image * image);
}
Complex operator + (Complex &); / / Перевантаження оператора складання
Complex operator-(Complex &); / / Перевантаження оператора віднімання
Complex operator * (Complex &); / / Перевантаження оператора множення
Complex operator / (Complex &); / / Перевантаження оператора ділення
};
Вміст файлу Gammakp.cpp:
# Include "stdafx.h"
# Include <iostream>
# Include <math.h>
using namespace std;
# Define N 30
# Define a 1.0
# Define b 1.1
# Define d 0.5
/ / Перевантаження +
Complex Complex:: operator + (Complex & fp1)
{
fp1.real = real + fp1.real;
fp1.image = image + fp1.image;
return fp1;
}
/ / Перевантаження -
Complex Complex:: operator-(Complex & fp1)
{
fp1.real = real - fp1.real;
fp1.image = image - fp1.image;
return fp1;
}
/ / Перевантаження *
Complex Complex:: operator * (Complex & fp1)
{
double i, j;
i = real * fp1.real - image * fp1.image;
j = real * fp1.image + fp1.real * image;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
/ / Перевантаження /
Complex Complex:: operator / (Complex & fp1)
{
double k, i, j;
k = fp1.real * fp1.real + fp1.image * fp1.image;
i = (real * fp1.real + image * fp1.image) / k;
j = (fp1.real * image - real * fp1.image) / k;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
int main ()
{
Complex Gkp;
double m;
int i, j;
for (i = 0; i <N; i + +)
for (j = 0; j <N; j + +)
{
Gkp.real = 0;
Gkp.image = 0;
Gkp.real = Gkp.real +1 / (double) N * exp (-1 / a * sqrt (pow (i * aj * b, 2) + d * d)) * cos (6.28 * i-6.28 * j );
Gkp.image = Gkp.image-1 / (double) N * exp (-1 / a * sqrt (pow (i * aj * b, 2) + d * d)) * sin (6.28 * i-6.28 * j );
}
Gkp.real = pow (Gkp.absolute (), 2);
cout <<"Gkp" <<"" <<Gkp.real <<"\ n";
getchar ();
}
Введення
Глава 1. Електронний спектр двустеночной вуглецевої нанотрубки
Глава 2. Провідність двустеночной вуглецевої нанотрубки
Висновки
Список використаних джерел
Додаток
Введення
Сучасна метало-оксидно-напівпровідникова мікроелектроніка фактично досягла меж швидкодії і ступеня інтеграції. Подальший розвиток електроніки пов'язують зі зменшенням розмірів пристроїв до наномасштабі з використанням нової елементної бази. Тому на сьогоднішній день великий інтерес викликають так звані квазіодномірних системи, прикладами яких є полімери, нанотрубки на основі вуглецю, кремнію та інших матеріалів. В даний час нанотрубки вже випускаються серійно багатьма фірмами, наприклад, SES Research, Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США.
Нанотрубки бувають одностеночнимі і многостеночнимі. Одностеночная нанотрубка являє собою графітову площину, різним чином згорнуту в циліндр. Вона характеризується так званими індексами хіральності, і залежно від цих індексів може бути як металом, так і напівпровідником. Діаметр такої трубки порядку нанометрів, а довжина досягає мікрометрів, тому вона займає проміжне положення між молекулою і кристалом, що проявляється в наявності специфічних властивостей, зокрема, зонної структури в спектрі електронів. Одностеночние нанотрубки вже досить добре вивчені.
Многостеночная нанотрубка являє собою або кілька одностеночних трубок, вкладених один в одного, або графітову площину, згорнуту в кілька шарів у вигляді сувою, або циліндричну структуру, складену з невеликих графітових фрагментів і нагадує пап'є-маше. На відміну від одностеночних, властивості многостеночних нанотрубок вивчені набагато гірше.
Метою даної роботи є дослідження спектрів елементарних збуджень двуперіодіческіх одновимірних систем, прикладом яких є двуслойниє вуглецеві нанотрубки. Для цього за допомогою методу сильного зв'язку розглядається спектр спрощеної моделі нанотрубки у вигляді двох паралельних ланцюжків атомів, визначається рівень Фермі такої системи і досліджується її провідність. Всі обчислення проводилися в програмі, написаній на мові C + + в середовищі Microsoft Visual Studio 2008 з використанням бібліотек Win32.
Глава 1. Електронний спектр двустеночной вуглецевої нанотрубки
Для дослідження електронного спектру двустеночной вуглецевої нанотрубки скористаємося моделлю, в якій нанотрубка являє собою дві паралельні регулярні ланцюжка атомів з різними періодами. При цьому, однак, з періодичності системи будемо користуватися результатами теореми Блоха, тому необхідно вимагати, щоб ставлення періодів ланцюжків виражалося раціональної дробом.
Спочатку розглянемо систему, що представляє собою лінійну ланцюжок атомів, відстань між якими а, і визначимо енергетичний спектр електрона в такій системі.
Будемо користуватися наближенням сильної зв'язку і шукати хвильову функцію електрона у вигляді:
де
отримаємо:
Виділимо в потенційній енергії доданки з
де
У силу трансляційної симетрії хвильову функцію можна вибрати так, щоб вона задовольняла теоремі Блоха, тоді коефіцієнти
де
Тепер розглянемо два такі ланцюжки атомів, розташовані на деякій відстані d один від одного. Відстань між атомами в першій ланцюжку, як і раніше a, у другій - b. Якщо знехтувати можливістю перескока електрона з одного ланцюжка на іншу, то власні хвильові функції електронів будуть мати наступний вигляд:
Тепер врахуємо, що при такому розташуванні ланцюжків з'являється ймовірність перескоку електрона з одного з них на іншу. Тоді в гамільтоніані системи з'являться недіагональні вклади:
де
Звідси отримаємо енергію нашої системи:
Рівень Фермі в такій системі розщеплюється. Це випливає з того, що значення інтегралів перекриття γ 1 і γ 2 приймають різні значення, внаслідок цього відбувається перекриття зон. Формула для енергії рівня Фермі спроститься, якщо ми будемо вважати, що на ньому виконується умова:
і прийме вигляд:
Залишилося обчислити
Значення цього виразу визначається чисельно в програмі. Імпульси k і p на рівні Фермі визначаються з умови рівності енергій (1.11). Значення інтегралів перекриття бралися з [1], [2].
Глава 2. Провідність двустеночной вуглецевої нанотрубки
Як було показано в [3], у спрощеній моделі одностеночной трубки, що представляє собою лінійну ланцюжок атомів, сила протікає через неї струму визначається виразом:
де U - напруга, прикладена до кінців трубки, L - її довжина, τ - час релаксації електронів, n - їх концентрація. Після простих перетворень одержимо:
Так як ми розглядаємо ідеальну систему, то розсіювання електронів при русі може відбуватися тільки на контактах. Тоді час релаксації електронів можна визначити так:
Тоді формула придбає простий вигляд:
Видно, що електричний опір одностеночной нанотрубки має унікальну властивість - воно не залежить від геометричних розмірів і визначається величиною
Розглянемо тепер провідність двустеночной нанотрубки.
У попередньому розділі було показано, що гамільтоніан системи з двох лінійних регулярних ланцюжків атомів з урахуванням їх взаємодії має вигляд:
Власними хвильовими функціями такого гамільтоніану будуть функції:
Хвильову функцію електрона, влітає в перший ланцюжок, представимо у вигляді лінійної комбінації цих хвильових функцій:
Розглянемо тепер еволюцію цієї хвильової функції в часі. За правилами квантової механіки, отримаємо:
де під Δ для зручності позначено | Γ kp |.
Враховуючи ортогональность функцій Ψ 1 і Ψ 2, які для електронів мають вигляд блоховскіх функцій, слідуючи [6], отримаємо для середньої швидкості першого електрона на рівні Фермі:
або, з урахуванням того, що
Тобто, швидкість електрона на рівні Фермі є суперпозицією двох доданків, в яких присутні швидкості на рівні Фермі для першої ізольованою ланцюжка і для другої. Аналогічно, для другої ланцюжка:
Розглянемо два граничних випадку, коли
У першому випадку усередненням замінюємо
У другому випадку
Відразу видно, що в другому випадку у виразі для часу релаксації електронів не буде ніяких змін, не зміниться вид формули (2.2), а значить, і формула Ландауера не зміниться.
Розглянемо докладніше перший випадок. Провідність системи з двох паралельних одностеночних трубок визначається виразом:
Провідність двустеночной трубки:
Видно, що і в цьому випадку формула Ландауера залишається справедливою.
Висновки
Метою даної роботи було дослідження електронного спектру та провідності в двустеночних нанотрубках. З допомогою спрощеної моделі, що становить собою дві паралельні регулярні ланцюжка атомів, було показано, що в таких нанотрубках відбувається перекриття зон, що призводить до зміни положення рівня Фермі, а також його розщеплення. Величина цього розщеплення була визначена чисельно в програмі, лістинг якої наведено в додатку. При реалістичних значеннях параметрів розщеплення виявилося досить малим, порядку 10 -5 еВ. При цьому змінюється і швидкість електронів на рівні Фермі. Очевидно, що в такій ідеальній системі розсіювання електронів має відбуватися на контактах, тому час релаксації буде залежати тільки від середньої швидкості руху електронів. Було проаналізовано вираз для середньої швидкості руху електронів і показано, що в граничних випадках високих і низьких частот у двустеночних системах формула Ландауера залишається справедливою.
Список використаних джерел
1. Wildoer JWG, Venema LC, Rinzler AG, Smalley RE, Dekker C. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes / / Nature - 1998. - V.391. - P.59 -62.
2. Odom TW, Huang JL, Kim P., Lieber CM Structure and electronic properties of carbon nanotubes / / J. Phys. Chem. B - 2000. - V.104 (13). - P.2794-2809.
3. Тищенко С.В. Зонна структура та міжзонних переходи у вуглецевих нанотрубках: Дис., 01.04.02 - Одеса, 2007. - 100 с.
4. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices / / Phyl. Mag. - 1970. - V.21 - No 172. - P.863-867.
5. Buttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings / / Phys. Rev. B - 1985. - V.31. - P.6207-6215.
6. Ансельм А.І. Введення в теорію напівпровідників - М.: Наука, 1978. - 616 с.
Додаток А. Алгоритм програми для обчислення величини розщеплення в спектрі спрощеної моделі двуслойной нанотрубки у вигляді двох паралельних ланцюжків атомів
Вміст файлу stdafx.h:
# Include <stdio.h>
# Include <tchar.h>
# Include <math.h>
class Complex
{
public:
double real;
double image;
Complex () {}; / / Конструктор за умовчанням
Complex (double r) {real = r; image = 0;} / / Конструктор
Complex (double r, double i) {real = r, image = i;} / / Конструктор
~ Complex () {} / / Деструктор
double absolute () / / Модуль комплексного числа
{
return sqrt (real * real - image * image);
}
Complex operator + (Complex &); / / Перевантаження оператора складання
Complex operator-(Complex &); / / Перевантаження оператора віднімання
Complex operator * (Complex &); / / Перевантаження оператора множення
Complex operator / (Complex &); / / Перевантаження оператора ділення
};
Вміст файлу Gammakp.cpp:
# Include "stdafx.h"
# Include <iostream>
# Include <math.h>
using namespace std;
# Define N 30
# Define a 1.0
# Define b 1.1
# Define d 0.5
/ / Перевантаження +
Complex Complex:: operator + (Complex & fp1)
{
fp1.real = real + fp1.real;
fp1.image = image + fp1.image;
return fp1;
}
/ / Перевантаження -
Complex Complex:: operator-(Complex & fp1)
{
fp1.real = real - fp1.real;
fp1.image = image - fp1.image;
return fp1;
}
/ / Перевантаження *
Complex Complex:: operator * (Complex & fp1)
{
double i, j;
i = real * fp1.real - image * fp1.image;
j = real * fp1.image + fp1.real * image;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
/ / Перевантаження /
Complex Complex:: operator / (Complex & fp1)
{
double k, i, j;
k = fp1.real * fp1.real + fp1.image * fp1.image;
i = (real * fp1.real + image * fp1.image) / k;
j = (fp1.real * image - real * fp1.image) / k;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
int main ()
{
Complex Gkp;
double m;
int i, j;
for (i = 0; i <N; i + +)
for (j = 0; j <N; j + +)
{
Gkp.real = 0;
Gkp.image = 0;
Gkp.real = Gkp.real +1 / (double) N * exp (-1 / a * sqrt (pow (i * aj * b, 2) + d * d)) * cos (6.28 * i-6.28 * j );
Gkp.image = Gkp.image-1 / (double) N * exp (-1 / a * sqrt (pow (i * aj * b, 2) + d * d)) * sin (6.28 * i-6.28 * j );
}
Gkp.real = pow (Gkp.absolute (), 2);
cout <<"Gkp" <<"" <<Gkp.real <<"\ n";
getchar ();
}