Спектри елементарних збуджень у двуперіодіческіх одновимірних системах

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст
Введення
Глава 1. Електронний спектр двустеночной вуглецевої нанотрубки
Глава 2. Провідність двустеночной вуглецевої нанотрубки
Висновки
Список використаних джерел
Додаток

Введення
Сучасна метало-оксидно-напівпровідникова мікроелектроніка фактично досягла меж швидкодії і ступеня інтеграції. Подальший розвиток електроніки пов'язують зі зменшенням розмірів пристроїв до наномасштабі з використанням нової елементної бази. Тому на сьогоднішній день великий інтерес викликають так звані квазіодномірних системи, прикладами яких є полімери, нанотрубки на основі вуглецю, кремнію та інших матеріалів. В даний час нанотрубки вже випускаються серійно багатьма фірмами, наприклад, SES Research, Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США.
Нанотрубки бувають одностеночнимі і многостеночнимі. Одностеночная нанотрубка являє собою графітову площину, різним чином згорнуту в циліндр. Вона характеризується так званими індексами хіральності, і залежно від цих індексів може бути як металом, так і напівпровідником. Діаметр такої трубки порядку нанометрів, а довжина досягає мікрометрів, тому вона займає проміжне положення між молекулою і кристалом, що проявляється в наявності специфічних властивостей, зокрема, зонної структури в спектрі електронів. Одностеночние нанотрубки вже досить добре вивчені.
Многостеночная нанотрубка являє собою або кілька одностеночних трубок, вкладених один в одного, або графітову площину, згорнуту в кілька шарів у вигляді сувою, або циліндричну структуру, складену з невеликих графітових фрагментів і нагадує пап'є-маше. На відміну від одностеночних, властивості многостеночних нанотрубок вивчені набагато гірше.
Метою даної роботи є дослідження спектрів елементарних збуджень двуперіодіческіх одновимірних систем, прикладом яких є двуслойниє вуглецеві нанотрубки. Для цього за допомогою методу сильного зв'язку розглядається спектр спрощеної моделі нанотрубки у вигляді двох паралельних ланцюжків атомів, визначається рівень Фермі такої системи і досліджується її провідність. Всі обчислення проводилися в програмі, написаній на мові C + + в середовищі Microsoft Visual Studio 2008 з використанням бібліотек Win32.

Глава 1. Електронний спектр двустеночной вуглецевої нанотрубки
Для дослідження електронного спектру двустеночной вуглецевої нанотрубки скористаємося моделлю, в якій нанотрубка являє собою дві паралельні регулярні ланцюжка атомів з різними періодами. При цьому, однак, з періодичності системи будемо користуватися результатами теореми Блоха, тому необхідно вимагати, щоб ставлення періодів ланцюжків виражалося раціональної дробом.
Спочатку розглянемо систему, що представляє собою лінійну ланцюжок атомів, відстань між якими а, і визначимо енергетичний спектр електрона в такій системі.
Будемо користуватися наближенням сильної зв'язку і шукати хвильову функцію електрона у вигляді:
, В (1.1)
де - Хвильова функція електрона на ізольованому n-му атомі ланцюжка. Для зручності позначимо . Далі, мінімізуючи функціонал енергії за умови нормування хвильових функцій :
(1.2)

отримаємо:
(1.3)
Виділимо в потенційній енергії доданки з і скористаємося тим, що рішення для електронів на ізольованому атомі відомі:
, (1.4)
де - Обмінний інтеграл. Далі врахуємо, що в методі сильного зв'язку він вважається ненульовим тільки для найближчих сусідів, і отримаємо:
(1.5)
(1.6)
У силу трансляційної симетрії хвильову функцію можна вибрати так, щоб вона задовольняла теоремі Блоха, тоді коефіцієнти будуть мати вигляд . Підставимо їх у (1.6) і отримаємо вираз для енергетичного спектру електрона:

(1.7)
де - Енергія основного стану електрона в ізольованому атомі, до - хвильовий вектор.
Тепер розглянемо два такі ланцюжки атомів, розташовані на деякій відстані d один від одного. Відстань між атомами в першій ланцюжку, як і раніше a, у другій - b. Якщо знехтувати можливістю перескока електрона з одного ланцюжка на іншу, то власні хвильові функції електронів будуть мати наступний вигляд:
- Описує рух електрона з енергією по першій ланцюжку;
- Описує рух електрона з енергією по другій ланцюжку;
Тепер врахуємо, що при такому розташуванні ланцюжків з'являється ймовірність перескоку електрона з одного з них на іншу. Тоді в гамільтоніані системи з'являться недіагональні вклади:
, (1.8)
де - Матричні елементи оператора взаємодії, відповідального за перескок електронів. Вважаючи його досить малим, обчислимо поправки до енергії, скориставшись теорією обурення для виродженого рівня. Хвильову функцію системи представимо у вигляді лінійної комбінації . Тоді відповідне секулярне рівняння прийме вигляд:
(1.9)
Звідси отримаємо енергію нашої системи:
(1.10)
Рівень Фермі в такій системі розщеплюється. Це випливає з того, що значення інтегралів перекриття γ 1 і γ 2 приймають різні значення, внаслідок цього відбувається перекриття зон. Формула для енергії рівня Фермі спроститься, якщо ми будемо вважати, що на ньому виконується умова:
(1.11)
і прийме вигляд:
(1.12)
Залишилося обчислити . Очевидно, що ймовірність перескоку електрона з одного ланцюжка на іншу визначається відстанню між атомами цих ланцюжків і швидко зменшується з його зростанням. Тому змоделюємо в такому вигляді:
(1.13)
Значення цього виразу визначається чисельно в програмі. Імпульси k і p на рівні Фермі визначаються з умови рівності енергій (1.11). Значення інтегралів перекриття бралися з [1], [2].
Глава 2. Провідність двустеночной вуглецевої нанотрубки
Як було показано в [3], у спрощеній моделі одностеночной трубки, що представляє собою лінійну ланцюжок атомів, сила протікає через неї струму визначається виразом:
, (2.1)
де U - напруга, прикладена до кінців трубки, L - її довжина, τ - час релаксації електронів, n - їх концентрація. Після простих перетворень одержимо:
(2.2)

Так як ми розглядаємо ідеальну систему, то розсіювання електронів при русі може відбуватися тільки на контактах. Тоді час релаксації електронів можна визначити так:
(2.3)
Тоді формула придбає простий вигляд:
(2.4)
Видно, що електричний опір одностеночной нанотрубки має унікальну властивість - воно не залежить від геометричних розмірів і визначається величиною - Квантом опору (формула Ландауера [4], [5]). Таке опір називається балістичним.
Розглянемо тепер провідність двустеночной нанотрубки.
У попередньому розділі було показано, що гамільтоніан системи з двох лінійних регулярних ланцюжків атомів з урахуванням їх взаємодії має вигляд:
(2.5)
Власними хвильовими функціями такого гамільтоніану будуть функції:

, (2.6)
Хвильову функцію електрона, влітає в перший ланцюжок, представимо у вигляді лінійної комбінації цих хвильових функцій:
(2.7)
Розглянемо тепер еволюцію цієї хвильової функції в часі. За правилами квантової механіки, отримаємо:
, (2.8)
де під Δ для зручності позначено | Γ kp |.
Враховуючи ортогональность функцій Ψ 1 і Ψ 2, які для електронів мають вигляд блоховскіх функцій, слідуючи [6], отримаємо для середньої швидкості першого електрона на рівні Фермі:
(2.9)
або, з урахуванням того, що

(2.10)
Тобто, швидкість електрона на рівні Фермі є суперпозицією двох доданків, в яких присутні швидкості на рівні Фермі для першої ізольованою ланцюжка і для другої. Аналогічно, для другої ланцюжка:
(2.11)
Розглянемо два граничних випадку, коли і .
У першому випадку усередненням замінюємо і на 1 / 2:
(2.12)
У другому випадку , :
(2.13)
(2.14)
Відразу видно, що в другому випадку у виразі для часу релаксації електронів не буде ніяких змін, не зміниться вид формули (2.2), а значить, і формула Ландауера не зміниться.
Розглянемо докладніше перший випадок. Провідність системи з двох паралельних одностеночних трубок визначається виразом:

(2.15)
Провідність двустеночной трубки:

(2.16)
Видно, що і в цьому випадку формула Ландауера залишається справедливою.

Висновки
Метою даної роботи було дослідження електронного спектру та провідності в двустеночних нанотрубках. З допомогою спрощеної моделі, що становить собою дві паралельні регулярні ланцюжка атомів, було показано, що в таких нанотрубках відбувається перекриття зон, що призводить до зміни положення рівня Фермі, а також його розщеплення. Величина цього розщеплення була визначена чисельно в програмі, лістинг якої наведено в додатку. При реалістичних значеннях параметрів розщеплення виявилося досить малим, порядку 10 -5 еВ. При цьому змінюється і швидкість електронів на рівні Фермі. Очевидно, що в такій ідеальній системі розсіювання електронів має відбуватися на контактах, тому час релаксації буде залежати тільки від середньої швидкості руху електронів. Було проаналізовано вираз для середньої швидкості руху електронів і показано, що в граничних випадках високих і низьких частот у двустеночних системах формула Ландауера залишається справедливою.

Список використаних джерел
1. Wildoer JWG, Venema LC, Rinzler AG, Smalley RE, Dekker C. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes / / Nature - 1998. - V.391. - P.59 -62.
2. Odom TW, Huang JL, Kim P., Lieber CM Structure and electronic properties of carbon nanotubes / / J. Phys. Chem. B - 2000. - V.104 (13). - P.2794-2809.
3. Тищенко С.В. Зонна структура та міжзонних переходи у вуглецевих нанотрубках: Дис., 01.04.02 - Одеса, 2007. - 100 с.
4. Landauer R. Electrical resistance of disordered one-dimensional lattices / / Phyl. Mag. - 1970. - V.21 - No 172. - P.863-867.
5. Buttiker M., Imry Y., Landauer R., Pinhas S. Generalized many-channel conductance formula with application to small rings / / Phys. Rev. B - 1985. - V.31. - P.6207-6215.
6. Ансельм А.І. Введення в теорію напівпровідників - М.: Наука, 1978. - 616 с.

Додаток А. Алгоритм програми для обчислення величини розщеплення в спектрі спрощеної моделі двуслойной нанотрубки у вигляді двох паралельних ланцюжків атомів
Вміст файлу stdafx.h:
# Include <stdio.h>
# Include <tchar.h>
# Include <math.h>
class Complex
{
public:
double real;
double image;
Complex () {}; / / Конструктор за умовчанням
Complex (double r) {real = r; image = 0;} / / Конструктор
Complex (double r, double i) {real = r, image = i;} / / Конструктор
~ Complex () {} / / Деструктор
double absolute () / / Модуль комплексного числа
{
return sqrt (real * real - image * image);
}
Complex operator + (Complex &); / / Перевантаження оператора складання
Complex operator-(Complex &); / / Перевантаження оператора віднімання
Complex operator * (Complex &); / / Перевантаження оператора множення
Complex operator / (Complex &); / / Перевантаження оператора ділення
};
Вміст файлу Gammakp.cpp:
# Include "stdafx.h"
# Include <iostream>
# Include <math.h>
using namespace std;
# Define N 30
# Define a 1.0
# Define b 1.1
# Define d 0.5
/ / Перевантаження +
Complex Complex:: operator + (Complex & fp1)
{
fp1.real = real + fp1.real;
fp1.image = image + fp1.image;
return fp1;
}
/ / Перевантаження -
Complex Complex:: operator-(Complex & fp1)
{
fp1.real = real - fp1.real;
fp1.image = image - fp1.image;
return fp1;
}
/ / Перевантаження *
Complex Complex:: operator * (Complex & fp1)
{
double i, j;
i = real * fp1.real - image * fp1.image;
j = real * fp1.image + fp1.real * image;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
/ / Перевантаження /
Complex Complex:: operator / (Complex & fp1)
{
double k, i, j;
k = fp1.real * fp1.real + fp1.image * fp1.image;
i = (real * fp1.real + image * fp1.image) / k;
j = (fp1.real * image - real * fp1.image) / k;
fp1.real = i;
fp1.image = j;
return fp1;
}
int main ()
{
Complex Gkp;
double m;
int i, j;
for (i = 0; i <N; i + +)
for (j = 0; j <N; j + +)
{
Gkp.real = 0;
Gkp.image = 0;
Gkp.real = Gkp.real +1 / (double) N * exp (-1 / a * sqrt (pow (i * aj * b, 2) + d * d)) * cos (6.28 * i-6.28 * j );
Gkp.image = Gkp.image-1 / (double) N * exp (-1 / a * sqrt (pow (i * aj * b, 2) + d * d)) * sin (6.28 * i-6.28 * j );
}
Gkp.real = pow (Gkp.absolute (), 2);
cout <<"Gkp" <<"" <<Gkp.real <<"\ n";
getchar ();
}
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Комунікації, зв'язок, цифрові прилади і радіоелектроніка | Реферат
34.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Алгоритмічні мови обробка одновимірних масивів
Випромінювання і спектри
Молекулярні спектри
Спектри і спектральний аналіз
Метод розрахунку скейлінгових констант Фейгенбаума для одновимірних дискретних відображень по крапках надстійке
Спектри та спектральний аналіз у фізиці
Перетворення Фурє Спектри неперіодичних функцій
Автокореляційні функції та енергетичні спектри похибок спостережень
Світ елементарних часток
© Усі права захищені
написати до нас