Розглянемо наскільки прикладів резольвент операторів.
Приклад 1: Візьмемо оператор, що переводить конечномерное простір у конечномерное, як було сказано вище, його можна задати матрицею коефіцієнтів:
, Тоді

За допомогою нехитрих перетворень знаходимо зворотну матрицю, тим самим резольвенту цього оператора:
,
тут добре видно, що оператор, заданий цією матрицею не існує при = 1, тобто це власне значення оператора А.
Приклад 2: Розглянемо лінійний оператор, що відображає простір неперервних функцій на відрізку [a, b] на себе. Нехай це буде оператор множення на функцію g (x). Тоді резольвента цього оператора запишеться в наступному вигляді: , Такий оператор безперервний, якщо функція g (x) не приймає значення на відрізку [a, b], в іншому випадку буде власним значенням. Тобто спектр цього оператора складається із значень функції g (x) на відрізку [a, b]. Причому цей оператор має лише безперервний спектр, так як резольвента при існує, але не безупинна. Точкового спектру оператор не має.
Приклад 3: Розглянемо оператор диференціювання на безлічі диференційовних функцій. А: (Для стислості будемо писати замість f (x) просто f). Розглянемо резольвенту цього оператора: , Тобто ми повинні знайти зворотний оператор до оператора: , Для чого треба вирішити диференціальне рівняння відносно . Вирішимо рівняння методом Бернуллі:
;
;
; ; ; ; , Звідки ,
тоді . Видно, що резольвента існує і неперервна, коли існує і безперервний інтеграл.

Резольвентное безліч. Спектр

Нехай А - оператор, який діє у В-просторі. Якщо регулярна, тобто оператор існує і обмежений, то при достатньо малому оператор теж існує і обмежений, тобто точка + теж регулярна. Таким чином, регулярні точки утворюють відкрите безліч. Доведемо це.
Теорема: Резольвентное безліч відкрито, функція резолвента аналітична в цій області.
Доказ:
Нехай - Фіксована точка в і - Будь-яке комплексне число, таке, що . Покажемо, що . Оператор повинен мати зворотний, якщо . Цей зворотний оператор, якщо він існує, буде виглядати так:
.
Розглянемо цей дріб як суму нескінченно спадної геометричної прогресії, тоді вона подана в вигляді ряду
.
Ми припускали, що , То , Отже, цей ряд сходиться. Покажемо, то це резольвента :
,
звідси й випливає, що і що = аналітична в точці
Доведено.
Отже, спектр, тобто додаток цієї множини - замкнутий безліч, і резольвента аналітична на нескінченності.
Наслідок: Якщо дорівнює відстані від до спектру , То
, .
Таким чином, при і резольвентное безліч є природна область аналітичності .
Доказ:
У доказі попередньої теореми ми бачили, що якщо , То . Отже, , Від куди і слід доказуване твердження.
Доведено.

Резольвента як функція від

А зараз розглянемо резольвенту як функцію від і доведемо кілька тверджень про її властивості і особливості. Для доказу наступного твердження нам знадобиться наступна теорема.
Теорема 5: Нехай Е - Банахів простір, I - тотожний оператор в Е, а А - такий обмежений лінійний оператор, що відображає Е в себе, що . Тоді оператор існує, обмежений і представляється у вигляді
.
Доказ:
Так як <1, то . Простір Е повно, так що з збіжності ряду випливає, що сума ряду являє собою обмежений лінійний оператор. Для будь-якого n маємо
;
переходячи до межі при і враховуючи, що , Отримуємо
,
що і означає, що .
Доведено.
Теорема 7. Якщо А - обмежений лінійний оператор у банаховому просторі і > , То - Регулярна крапка.
Доказ:
Тому що, очевидно, що ,
то

При < цей ряд сходиться (див. теорему 5), тобто оператор має обмежений зворотний. Інакше кажучи, спектр оператора А міститься в колі радіуса з центром в нулі.
Доведено.
З вище доведеної теореми випливає розкладання резольвенти в ряд Лорана на нескінченності

При < цей ряд сходиться. Але - Це найменше з чисел С, що задовольняють нерівності:

А f = Cf, якщо С - власне значення, то й , То для найбільшого за модулем з власних значень нерівність буде мати місце, з іншого боку, це число буде найменшим. Отже, низка буде збігатися при < (А), де (А) - найбільший модуль власних значень оператора А. Величина (А) називається спектральним радіусом оператора А.
Теорема 8: (А) = .
Для доказу скористаємося теоремою Коші-Адамара, сформулюємо її. Теорема Коші-Адамара: Покладемо , . Розглянемо степеневий ряд . Тоді він сходиться всюди в колі і розходиться всюди поза цього кола.
Доказ:
Розглянемо розкладання резольвенти в ряд Лорана як степеневий ряд:
.
По теоремі Коші-Адамара його радіус збіжності дорівнює числу
, Але з іншого боку радіус збіжності ряду Лорана резольвенти є спектральний радіус.
Доведено.
Рівняння Гільберта: .
Доказ:
Візьмемо . Враховуючи, що , Отримуємо наступне:
, Що й потрібно було довести.
Доведено.
Слідство з рівняння Гільберта: .
Доказ:
Воно випливає з рівняння Гільберта: дійсно, візьмемо , Тоді отримаємо за рівнянням Гільберта, що твір дорівнює відношенню приросту функції до приросту аргументу, тобто , Перейшовши до межі при отримуємо потрібне рівність.
Доведено.
Теорема 9: .
Доказ:
Доведемо це рівність методом математичної індукції, спираючись на попереднє твердження:
I. якщо k = 1, то отримуємо наслідок з рівняння Гільберта
.
II. Нехай для k = n рівність виконано, тобто .
III. Доведемо, що для k = n +1, воно теж має місце:

Отримали, що якщо рівність виконується для n, то воно виконується і для n +1, то за аксіомі індукції воно виконується і для всіх натуральних чисел, що й потрібно було довести.
Доведено.
Таким чином, ми отримали, що резольвента - функція нескінченно диференційована.
Теорема 10: Знаючи всі похідні резольвенти, ми можемо розкласти її в ряд Тейлора в околі точки :
.
Нагадаємо формулу розкладання функції в ряд Тейлора:
, Підставляючи в цю формулу відповідні елементи резольвенти, отримуємо потрібне рівність.

Введення в нестандартний аналіз

Що таке нескінченно малі?

Один з найбільш принципових моментів нестандартного аналізу полягає в тому, що нескінченно малі розглядаються не як змінні величини, а як величини постійні. Досить розкрити будь-який підручник фізики, щоб натрапити на нескінченно малі збільшення, нескінченно малі обсяги і т. п. Всі ці величини мисляться, зрозуміло, не як змінні, а просто як дуже маленькі, майже рівні нулю.
Отже, мова буде йти про нескінченно малих числах. Яке число слід називати нескінченно малим? Припустимо, що це позитивне число , Якщо воно менше всіх позитивних чисел. Легко зрозуміти, що такого не буває: якщо більше нуля, то воно є одним з позитивних чисел, тому наше визначення вимагає, щоб число було менше самого себе. Тому вимагатимемо, щоб було найменшим у множині позитивних чисел. На числової осі таке повинні зобразити самої лівої точкою множини . На жаль числа з зазначеними властивостями теж немає і бути не може: число буде позитивним числом, меншим .
Більш точне визначення нескінченної малості числа > 0 , Яке ми будемо використовувати в Надалі таке. Будемо складати число з самим собою, отримуючи числа + і т. д. Якщо всі отримані числа виявляться менше 1, то число і буде називатися нескінченно малим. Іншими словами, якщо нескінченно мало, то скільки разів не відкладай відрізок довжини вздовж відрізка довжини 1, до кінця не дійдеш. Наша вимога до нескінченно малому можна переписати в такій формі
1 <
Таким чином, якщо число нескінченно мало, то число нескінченно велике в тому сенсі, що воно більше будь-якого з чисел: 1, 1 +1, 1 +1 +1, 1 +1 +1 +1 і т.д. Зі сказаного можна бачити, що існування нескінченно малих суперечить так званої аксіомі Архімеда, яка стверджує, що для будь-яких двох відрізків А і В можна відкласти менший з них (А) стільки разів, щоб в сумі отримати відрізок, що перевершує по довжині більший відрізок (В ).
Висновок такий: якщо ми хочемо розглядати нескінченно малі, ми повинні розширити безліч R дійсних чисел до деякого більшого безлічі ^* R. Елементи цієї нової множини ми будемо називати гіпердействітельнимі числами. У ньому аксіома Архімеда не виконується, і існують нескінченно малі числа, такі, що, скільки їх не складай з собою, сума буде весь час залишатися менше 1. Нестандартний, або неархімедов, аналіз вивчає безліч гіпердействітельних чисел ^* R.
Які вимоги природно пред'являти до гіпердействітельним числах?
1). Щоб безліч гіпердействітельних чисел містило всі звичайні дійсні числа: R ^* R.
2). Щоб над гіпердействітельнимі числами можна було виконувати звичайні операції: будь-які два гіпердействітельние числа потрібно вміти складати, примножувати, віднімати і ділити, причому так, щоб виконувалися звичайні властивості додавання і множення. Крім того, потрібно вміти порівнювати гіпердействітельние числа за величиною, тобто вирішити яке з них більше.
Нехай є деяка множина Р, у ньому виділено деякі елементи 0 і 1 і визначені операції додавання, віднімання, множення і ділення, що ставлять у відповідність двом будь-якими елементами і безлічі Р їх суму , Твір , Різниця і приватне (Якщо ). Нехай при цьому перераховані операції володіють усіма звичайними властивостями.
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) (Якщо ).
У такому випадку безліч Р називається полем. Нехай на полі Р запроваджено порядок, тобто для будь-якої пари не рівних один одному елементів і визначено, який з них більше. При цьому виконуються такі властивості:
(10) якщо і , То ;
(11) якщо , То для будь-якого ;
(12) якщо , , То ;
якщо , , То .
У такому випадку говорять, що введений порядок перетворює Р в упорядковане поле. Упорядковане поле Р є неархімедовим тоді і тільки тоді, коли в ньому є позитивні нескінченно малі елементи. Упорядковане поле Р називається розширенням поля дійсних чисел R, якщо Р містить всі дійсні числа і, крім того, операції і порядок з Р, що розглядаються на елементах їх R, збігаються зі звичайними арифметичними операціями і звичайним порядком на дійсних числах.

Приклад неархімедовой числової системи

Побудуємо приклад неархімедова упорядкованого поля, що є розширенням поля дійсних чисел.
Припустимо, що шукане розширення ^* R вже побудовано, і досліджуємо його будова. Елементи множини ^* R ми будемо називати гіпердействітельнимі числами. Серед них містяться і всі дійсні числа. Щоб відрізнити їх, будемо називати дійсні числа (елементи R) стандартними, а решта гіпердействітельние числа (елементи ^* R / R)-нестандартними.
За нашим припущенням, поле ^* R містить нескінченно малі числа, що не нулю. Гіпердействітельное число називається нескінченно малою, якщо всі суми
і т. д.
менше 1. Тут через позначений модуль гіпердействітельного числа , Визначається так: .
Відзначимо, що стандартне число 0 також виявляється, згідно з цим визначенням, нескінченно малим. Але всі інші нескінченно малі числа не можуть бути стандартними. Це випливає з того, що для стандартних чисел справедлива аксіома Архімеда.
Поряд з нескінченно малими в полі ^* R існують і нескінченно великі. Ми називаємо гіпердействітельное число А нескінченно великим, якщо
і т.д.
Якщо, нескінченно мало, але відмінно від нуля, то число нескінченно велике. Вірно і зворотне, якщо число А нескінченно велика, то число нескінченно мало. Звідси випливає, що всі нескінченно великі числа нестандартні.
Гіпердействітельние числа, які не є нескінченно великими, називаються кінцевими. Кожне кінцеве гіпердействітельное число можна представити у вигляді де - Стандартне число, а - Нескінченно мале. Нехай - Кінцеве гіпердействітельное число. Розіб'ємо дійсні числа на два класи: менші і великі . Оскільки звичайно, то обидва класу не порожні. За "аксіомі повноти" існує дійсне число , Що розділяє ці класи. Легко бачити, що буде нескінченно малим. Число називається стандартною частиною кінцевого гіпердействітельного числа . Позначається це так: . Таким чином, безліч кінцевих гіпердействітельних чисел розбивається на класи. Ці класи називаються монадами. Монадою стандартного числа називається безліч всіх нескінченно близьких до нього гіпердействітельних чисел.
Обговоривши структуру нестандартного "мікросвіту", скажемо кілька слів про будову нестандартного "макросвіту". Їх можна розбити на класи ("галактики"), кожен з яких влаштована, подібно безлічі всіх кінцевих гіпердействітельних чисел. Серед галактик немає ні найбільшим, ні найменшої; між будь-якими двома галактиками є нескінченно багато інших галактик.

Що ще потрібно знати про нескінченно малих?

Розглянемо, що виходить в результаті побудови поля гіпердействітельних чисел.
Перш за все, ми отримуємо неархімедово розширення поля дійсних чисел. Крім того, "кожному об'єкту стандартного світу" поставлено у відповідність його аналог в "нестандартному світі". Саме нестандартним аналогом будь-якого дійсного числа є воно саме; будь підмножині А безлічі R відповідає підмножина ^* А безлічі ^* R, кожної функції f з R в R відповідає функція ^* f з ^* R в ^* R, кожної двомісній функції g з R в R відповідає функція ^* g з ^* R в ^* R і т. д. Зрозуміло, ці аналоги ^* A, ^* f, ^* g не довільні, а повинні володіти деякими спеціальними властивостями: так, ^* А , На дійсних числах f і ^* f збігаються, так що ^* f є продовженням для f, а ^* g - Продовженням для g. При цьому виявляється виконаним так званий принцип перенесення, який стверджує, грубо кажучи, що в стандартному універсумі правдиві ті ж твердження формальної мови, що і в нестандартному універсумі. Типове використання полягає в тому, що ми доводимо бажаний результат у нестандартному універсумі, а потім, помітивши, що результат виразимо у мові, укладаємо, що він виконаний також у стандартному універсумі.