Складання рівнянь рівноваги і розрахунок діючих сил

Завдання З 1
Бляшана рама закріплена в точці А шарнірно, а в точці В прикріплена до шарнірного опорі на ковзанках. На раму діють пара сил з моментом М = 100H * м і дві сили F ₁ = 10H під кутом 30 ° до горизонтальної осі, прикладена до точки K, і F ₄ = 40H під кутом 60 ° до горизонтальної осі, прикладена до точки H.
Визначити реакції зв'язків у точках A і В, викликані заданими навантаженнями. При остаточних підрахунках прийняти l = 0,5 м
2 l l
Дано: X _A                              F ₄ ^'                                                                       X
М = 100 Н * м AH
F ₁ = 10 Н F ^_4'' F ₄ F ^_1''              F ₁ l
£ ₁ = 30 ° K
F ₄ = 40 HF ₁ ^'
L = 0,5 м М 3l
£ ₄ = 60 ° 2l
R _B
X _А, Y _А, R _B                                                                           Д
Рис. З 1.0.
Рішення:
Розглянемо рівновагу рами. Проведемо координатні осі XY (початок координат в точці А). На раму діють наступні сили: 1 і 4, пара сил моментом М і реакція зв'язку A, A, B (реакція нерухомої шарнірної опори А зображуємо двома її складовими, реакція шарнірної опори на ковзанках спрямована перпендикулярно опорній площині).
Складаємо три рівняння рівноваги:
1) Σ FKX = 0; XA + F4 * coς 60 ° + F1 * coς 30 ° = 0
2) Σ FKY = 0; YA-F4 * ςin 60 ° + F1 * ςin 30 ° + RB = 0
3) Σ MA (FK) = 0;-F4 * ςin 60 ° * 2l + F1 * ςin 30 ° * 3l + F1 * coς 30 ° * l-M + RB * 5l = 0
З рівнянь (1) знаходимо XA:
XA =-F4 * coς 60 °-F1 * coς 30 ° = -40 * 0,5-10 * 0,866 = -28,66 H
З рівняння (3) знаходимо RB:
RB = =
= =
= 49,12 H
З рівняння (2) знаходимо YA:
YA =

Перевірка:


ð всі сили реакції знайдені правильно:
Відповідь:



Завдання З 2
Однорідна прямокутна плита вагою P = 5kH з боку АВ = 3l, ВС = 2l закріплена в точці А сферичним шарніром, а в точці В циліндричним шарніром (підшипником) і утримується в рівновазі невагомим стрижнем СС! На плиту діють пара сил з моментом М = 6лН * м, що лежить в площині плити, і дві сили. Значення цих сил, їх напрямки та точки докладання Н, £ 1 = 90 ° с, Д, £ 2 = 30 ° с; при цьому сили і лежать у площинах, паралельних площині xy, сила - У площині, паралельній xz, сила - У площині паралельної yz. Точки додатка Д і Н знаходяться в серединах сторін плити. Визначити реакції зв'язків в (.) А і В, С. При остаточних розрахунках прийняти l = 0,5 м.

С1
Z
Дано:
                                                                      
Y


Рис З 2.0.
Рішення:
1) Розглянемо рівновагу плити. На неї діють задані сили: пара сил з моментом М, а також реакції зв'язків. Реакцію сферичного шарніра розкладемо на 3 складові: циліндричного шарніра (підшипника) - на дві складові: (У площині перпендикулярній осі підшипника), реакцію стрижня направимо вздовж стрижня, припускаючи, що він розтягнутий (рис. З 2.0.)
2) Для визначення складаємо рівноваги, що діє на плиту просторової системи сил:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
З рівняння (4) знаходимо N:

З рівняння (5) знаходимо ZB:

З рівняння (1) знаходимо XA:

З рівняння (6) знаходимо YB ^


З рівняння (2) знаходимо YA:

З рівняння (3) знаходимо ZA:

Відповідь:
XA = -1,67 kH
YA = -29,11 kH
ZA = -0,10 kH
YB = 25,11 kH
ZB = 2,60 kH
N = -5,39 kH
Знаки вказують, що сили спрямовані протилежно показаним на рис. З 2.0.
Завдання К1
Дано:

Три руху точки на площині
Знайти:
- Рівняння траєкторії точки
для моменту часу
y
B



x
Рис. До 1.0.
Рішення:
1) Для визначення рівняння траєкторії виключимо з заданих рівнянь руху час t:
(1)
Перетворюючи систему (1), отримаємо:
(2)
Оскільки час е входить в аргументи трігометріческіх функцій, де один аргумент вдвічі більше від іншого, використовуємо формулу: тобто:

Отже, отримуємо:
(3)
Перетворюючи систему (3), отримаємо:
(4)
Перетворимо:
Спрощуючи вираз, отримаємо:
(5)
Вираз (5) - це рівняння траєкторії точки. Графік - парабола з вершиною в точці (0; 11) на рис. К.1.0 а
2) Швидкість точки знайдемо за її траєкторії на координатній осі:
см / с

y
(0; 11)
y =- 0,375 x ^два +11


(-5,4; 0) (5,4; 0)
x
Рис. До 1.0 а
При t = 1 сек, знаходимо


При t = t1 = 1 сек, знаходимо

Знаходимо швидкість точки:

3) Аналогічно знайдемо рівняння точки:

При t = t1 = 1 сек, знаходимо

При t = t1 = 1 сек, знаходимо:

Знаходимо прискорення точки:

Знайдемо дотичне прискорення, диференціюючи за часом рівності:


Враховуючи знайдені значення при t = 1 сек, отримаємо:

5) Нормальне прискорення визначається за формулою:


6) Радіус кривизни траєкторії визначається за формулою:

Відповідь:

a1 = 1,73 см/с2
aT = 1,07 см/с2
an = 1,36 cм/c2
= 7,53 см
Завдання К2
Дано:
l1 = 0,4 м
l2 = 1,2 м
l3 = 1,4 м
l4 = 0,8 м
= 60 °
= 60 °
= 60 °
= 90 °
= 120 °
4 = 3с-2
= 10с-2


Знайти:
-?




2




O ₁
4

O ₂
Рис. К2.0.
Рішення:
1) Будуємо положення даного механізму у відповідності з заданими вузлами (рис К2.0)
2) Визначаємо швидкість точки за формулою:

Точка одночасно належить стрижню . Знаючи і напрямок скористаємося теоремою про проекціях швидкостей двох точок тіла (стержня ) На пряму, що з'єднує ці точки (пряма )

Точка В одночасно належить до стрижня 3 ті до стрижня АВ. За допомогою теореми про проекціях швидкостей визначаємо швидкість точки А:

Для визначення швидкості точки D стрижня АВ побудуємо миттєвий центр швидкостей для ланки АВ (рис. До 2.0)
Визначаємо кутову швидкість ланки 3 за формулою:

З трикутника АС3В за допомогою теореми синусів визначаємо С3В:

Т.О., кутова швидкість стрижня 3 дорівнює:


Швидкість точки D стрижня АВ визначається за формулою:

С3D визначаємо за допомогою теореми синусів:

Отже: =
Визначаємо прискорення точки А.
Оскільки, кутова прискорення відомо, то

Знайдемо нормальне прискорення точки А визначаємо за формулою:

Прискорення точки А плоского механізму визначається за формулою:

Відповідь:


Завдання Д1
Дано:
m = 2 кг



Знайти:
x = f (t) - закон руху вантажу на ділянці ВС
А



C У
D
x 30 °

Рис. D 1.0.

Рішення:
1) Розглянемо рух вантажу D на ділянці АВ, вважаючи вантаж матеріальною точкою.
Зображуємо вантаж (у довільному положенні) і діє на нього сили:
. Проводимо вісь AZ у бік руху і складаємо диференціальне рівняння руху вантажу в проекції на цю вісь:
(1)
(2)
Далі, знаходимо:
(3)
Враховуючи вираз (3) в (2) отримаємо:
(4)
(5)
Приймаючи g = 10мі/с2 отримаємо:


Інтегруємо:


Початкові умови:
При t = 0;

або
ln (7-0,2 * ) = C1



При t = t1 = 2,5 сек, , Отримаємо:

2) Тепер розглянемо рух вантажу на ділянці ВС, знайдена швидкість буде для руху на цій ділянці початковою швидкістю

Зображуємо вантаж (у довільному положенні) і діючі на нього сили:
(Рис. D1.0)
Проведемо з точки В вісь BX і складемо диференціальне рівняння руху вантажу в проекції на цю вісь:
(6)
Оскільки, то рівняння (6) прийме вигляд:
(7)
Розділивши обидві частини рівності на m = 2 кг, одержимо
(8)
(9)
Помножимо обидві частини рівняння (9) на і проінтегруємо, отримаємо:

Враховуючи початкові умови:
При

Т.ч.,
Помножимо обидві частини рівності на dt і знову інтегруємо, отримаємо:


Початкові умови: при
Отже:

Відповідь:

Це закон руху вантажу D у зігнутої трубі АВС.