Системи числення
Система числення - це спосіб представлення чисел і відповідні йому правила дії над числами. Різноманітні системи числення, які існували раніше і існують тепер, можна розділити на позиційні і непозиційної. Знаки, які використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.
У непозиційних системах числення від положення цифри в записі числа не залежить величина, яку вона позначає.
Прикладом непозиційній системи числення є римська система (римські цифри). У римській системі в якості цифр використовуються латинські літери:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Приклад 1. Число CCXXXII складається з двох сотень, трьох десятків і двох одиниць і одно двомстам тридцяти двох.
У римських числах цифри записуються зліва направо у порядку убування. У такому разі їх значення складаються. Якщо ж зліва записана менша цифра, а праворуч - велика, то їх значення віднімаються.
Приклад 2.
VI = 5 +1 = 6, а IV = 5-1 = 4
Приклад 3.
MCMXCVIII = 1000 + (1000-100) + (-10 +100) +5 +1 +1 +1 = 1998
У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою у записі числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається підставою позиційної системи числення.
Система числення, застосовувана в сучасній математиці, є позиційної десяткової системою. Її заснування дорівнює десяти, тому що запис будь-яких чисел проводиться за допомогою десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиційний характер цієї системи легко зрозуміти при наявності будь-якого багатозначного числа. Наприклад, в числі 333первая трійка означає три сотні, друга - три десятки, а третя - три одиниці.
Для запису чисел в позиційній системі числення з основою n потрібно мати алфавіт з n цифр. Зазвичай для цього при n <10 використовують n перших арабських цифр, а при n> 10 до десяти арабським цифрам додають літери. Ось приклади алфавітів кількох систем:
Якщо потрібно вказати підставу системи, до якої належить число, то воно приписується нижнім індексом до цього числа. Наприклад:
У системі числення з основою q (q-ічная система числення) одиницями розрядів служать послідовні степені числа q. q одиниць якого-небудь розряду утворюють одиницю наступного розряду. Для запису числа в q-ічной системі числення потрібно q різних знаків (цифр), що зображують числа 0,1, ..., q-1. запис числа q в q-ічной системі числення має вигляд 10.
Розгорнутої формулою запису числа називається запис у вигляді
Тут
Приклад 4. отримати розгорнуту форму десяткових чисел 32478; 26,387.
Приклад 5. отримає розгорнуту форму чисел
Зверніть увагу, що в будь-якій системі числення її підставу записується як 10.
Якщо всі складові в розгорнутій формі недесяткових числа представити в десятковій системі і обчислити отриманий вираз за правилами десяткової арифметики, то вийде число в десятковій системі, рівне даному. За цим принципом проводиться переклад з недесяткових системи в десяткову.
Приклад 6. Всі числа з попереднього прикладу перевести в десяткову систему.
Завдання
№ 1
Які числа записані за допомогою римських цифр:
MMMD, IV, XIX, MCXCIVII?
№ 2
Запишіть рік, місяць і число вашого народження з допомогою римських цифр.
№ 3
За старих часів на Русі широко застосовувалася система числення, що віддалено нагадує римську. З її допомогою збирачі податків заповнювали квитанції про сплату податків. Для запису чисел вживалися такі знаки:
Зірка - тисяча рублів, колесо - сто рублів, квадрат - десять рублів,
Х - один карбованець, IIIIIIIIII - десять копійок, I - копійка.
Запишіть за допомогою давньої російської системи числення суму 3452 рубля 43 копійки.
№ 4
Яка сума записана за допомогою давньої російської системи числення
SHAPE \ * MERGEFORMAT
№ 5
Придумайте свою непозиційній систему числення і запишіть у ній числа 45, 769, 1001.
№ 6
У деякій системі числення цифри мають форму різних геометричних фігур. На малюнку наведено деякі числа, записані цій системі числення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Якому числу відповідає такий запис:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
№ 7
Виконайте дії і запишіть результат римськими цифрами:
XXII-V; CV-LII; IC + XIX; MCM + VIII;
XX / V; X * IV; LXVI / XI; XXIV * VII.
№ 8
Яка кількість позначає цифра 8 у десяткових числах
6538, 8356, 87 і 831?
№ 9
Що ви можете сказати про числа 111 і III?
№ 10
Випишіть алфавіт у 5-річної, 7-річної та 12-річної системах числення.
№ 11
Запишіть перші 20 чисел натурального числового ряду в двійковій, 5-річної, 8-річної, 16-річної системах числення.
№ 12
Запишіть у розгорнутому вигляді числа:
1)
№ 13
Запишіть у розгорнутому вигляді числа:
1)
№ 14
Запишіть в розгорнутій формі числа:
1)
№ 15
Запишіть десятковій системі числення числа:
1)
№ 16
Запишіть в десятковій системі числення числа:
1)
№ 17
Запишіть десятковий еквівалент числа 110101, якщо вважати його написаним у всіх системах числення - від двійкової до девятерічня включно.
№ 18
Яку мінімальну підставу повинна мати система числення, якщо в ній можуть бути записані числа: 10, 21, 201, 1201?
№ 19
Яку мінімальну підставу повинна мати система числення, якщо в ній можуть бути записані числа: 403, 561, 666, 125?
№ 20
Яку мінімальну підставу повинна мати система числення, якщо в ній можуть бути записані числа: 22, 964, 1010, А219?
№ 21
У яких системах числення 10 - число непарне?
№ 21
У яких системах числення справедливі нерівності:
2 * 2 = 10, 2 * 3 = 11, 3 * 3 = 13?
Переклад десяткових чисел в інші системи числення.
Переклад цілих чисел
1. заснування нової системи числення висловити в десятковій системі числення і всі наступні дії виробляти в десятковій системі числення;
2. послідовно виконувати поділ даного числа і одержуваних неповних частих на основу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо неповне приватне, менше дільника;
3. отримані залишки, є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність з алфавітом нової системи числення;
4. скласти число в новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього приватного.
Приклад 1. Перекласти число
Переклад дробових чисел.
1. заснування нової системи числення висловити в десятковій системі і всі наступні дії виробляти в десятковій системі числення;
2. послідовно множити дане число і отримані дробові частини творів на основу нової системи до тих пір, поки дробова частина не стане рівною нулю або не буде досягнута необхідна точність подання числа в новій системі числення;
3. отримані цілі частини творів, є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність з алфавітом нової системи числення;
4. скласти дробову частину числа в новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.
Переклад змішаних чисел, що містять цілу і дробову частини, здійснюється у два етапи. Ціла та дробова частини вихідного числа переводяться окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковій запису числа в новій системі числення ціла частина відділяється від дробової комою (точкою).
Приклад 4. Перекласти десяткове число 315,1875 у вісімкову і шістнадцяткову системи числення.
З розглянутих вище прикладів слід:
Завдання
№ 23
Перекласти цілі числа з десяткової системи числення в трійкову:
1. 523; 65; 7000; 2307; 325
2. 12; 524; 76; 121; 56.
№ 24
Перекласти цілі числа з десяткової системи числення у вісімкову:
1. 856; 664; 5012; 6435; 78;
2. 214; 89; 998; 653; 111.
№ 25
Перекласти десяткові дробу в двійкову систему числення. У двійковій запису числа зберегти шість знаків.
1. 0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876;
2. 0,55; 0,333; 0,1213; 0,453.
№ 26
Перекласти десяткові дроби в шістнадцяткову систему числення. У новому записі дробу зберегти шість знаків
1. 0,745; 0,101; 0,8453; 0,3451;
2. 0,8455; 0,225; 01234; 0,455
№ 27
Перекласти змішані десяткові числа в трійкову і п'ятирічну системи числення, залишити п'ять знаків у дробовій частині нового числа:
1. 40,5; 34,25; 124,44;
2. 78,333; 225,52; 90,99.
№ 28
Перекласти змішані десяткові числа в двійкову і вісімкову системи числення, залишивши п'ять знаків у дробовій частині нового числа:
1. 21,5; 432,54; 678,333;
2. 12,25; 97,444; 7896,2.
№ 29
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 345 -
2. 675 -
№ 30
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 1,25 -
2. 890 -
№ 31
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 425 -
2. 0,55 -
№ 32
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 98 -
2. 0,775 -
Системи числення, використовувані в ЕОМ (з основою
Для того щоб ціле двійкове число записати в системі числення з основою
1. дане двійкове число розбити справа наліво на групи по n цифр у кожній;
2. якщо в останній лівій групі виявиться менше n розрядів, то її треба доповнити зліва нулями до потрібного числа розрядів;
3. розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою системі числення з основою
Для того щоб дробове двійкове число записати в системі числення з основою
Система числення - це спосіб представлення чисел і відповідні йому правила дії над числами. Різноманітні системи числення, які існували раніше і існують тепер, можна розділити на позиційні і непозиційної. Знаки, які використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.
У непозиційних системах числення від положення цифри в записі числа не залежить величина, яку вона позначає.
Прикладом непозиційній системи числення є римська система (римські цифри). У римській системі в якості цифр використовуються латинські літери:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Приклад 1. Число CCXXXII складається з двох сотень, трьох десятків і двох одиниць і одно двомстам тридцяти двох.
У римських числах цифри записуються зліва направо у порядку убування. У такому разі їх значення складаються. Якщо ж зліва записана менша цифра, а праворуч - велика, то їх значення віднімаються.
Приклад 2.
VI = 5 +1 = 6, а IV = 5-1 = 4
Приклад 3.
MCMXCVIII = 1000 + (1000-100) + (-10 +100) +5 +1 +1 +1 = 1998
У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою у записі числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається підставою позиційної системи числення.
Система числення, застосовувана в сучасній математиці, є позиційної десяткової системою. Її заснування дорівнює десяти, тому що запис будь-яких чисел проводиться за допомогою десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиційний характер цієї системи легко зрозуміти при наявності будь-якого багатозначного числа. Наприклад, в числі 333первая трійка означає три сотні, друга - три десятки, а третя - три одиниці.
Для запису чисел в позиційній системі числення з основою n потрібно мати алфавіт з n цифр. Зазвичай для цього при n <10 використовують n перших арабських цифр, а при n> 10 до десяти арабським цифрам додають літери. Ось приклади алфавітів кількох систем:
| Підстава | Назва | Алфавіт |
| n = 2 | двійкова | 0 1 |
| n = 3 | троїчна | 0 1 2 |
| n = 8 | вісімкова | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
| n = 16 | шістнадцяткова | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
У системі числення з основою q (q-ічная система числення) одиницями розрядів служать послідовні степені числа q. q одиниць якого-небудь розряду утворюють одиницю наступного розряду. Для запису числа в q-ічной системі числення потрібно q різних знаків (цифр), що зображують числа 0,1, ..., q-1. запис числа q в q-ічной системі числення має вигляд 10.
Розгорнутої формулою запису числа називається запис у вигляді
Тут
Приклад 4. отримати розгорнуту форму десяткових чисел 32478; 26,387.
Приклад 5. отримає розгорнуту форму чисел
Зверніть увагу, що в будь-якій системі числення її підставу записується як 10.
Якщо всі складові в розгорнутій формі недесяткових числа представити в десятковій системі і обчислити отриманий вираз за правилами десяткової арифметики, то вийде число в десятковій системі, рівне даному. За цим принципом проводиться переклад з недесяткових системи в десяткову.
Приклад 6. Всі числа з попереднього прикладу перевести в десяткову систему.
Завдання
№ 1
Які числа записані за допомогою римських цифр:
MMMD, IV, XIX, MCXCIVII?
№ 2
Запишіть рік, місяць і число вашого народження з допомогою римських цифр.
№ 3
За старих часів на Русі широко застосовувалася система числення, що віддалено нагадує римську. З її допомогою збирачі податків заповнювали квитанції про сплату податків. Для запису чисел вживалися такі знаки:
Зірка - тисяча рублів, колесо - сто рублів, квадрат - десять рублів,
Х - один карбованець, IIIIIIIIII - десять копійок, I - копійка.
Запишіть за допомогою давньої російської системи числення суму 3452 рубля 43 копійки.
№ 4
Яка сума записана за допомогою давньої російської системи числення
SHAPE \ * MERGEFORMAT
№ 5
Придумайте свою непозиційній систему числення і запишіть у ній числа 45, 769, 1001.
№ 6
У деякій системі числення цифри мають форму різних геометричних фігур. На малюнку наведено деякі числа, записані цій системі числення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Якому числу відповідає такий запис:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
№ 7
Виконайте дії і запишіть результат римськими цифрами:
XXII-V; CV-LII; IC + XIX; MCM + VIII;
XX / V; X * IV; LXVI / XI; XXIV * VII.
№ 8
Яка кількість позначає цифра 8 у десяткових числах
6538, 8356, 87 і 831?
№ 9
Що ви можете сказати про числа 111 і III?
№ 10
Випишіть алфавіт у 5-річної, 7-річної та 12-річної системах числення.
№ 11
Запишіть перші 20 чисел натурального числового ряду в двійковій, 5-річної, 8-річної, 16-річної системах числення.
№ 12
Запишіть у розгорнутому вигляді числа:
1)
№ 13
Запишіть у розгорнутому вигляді числа:
1)
№ 14
Запишіть в розгорнутій формі числа:
1)
№ 15
Запишіть десятковій системі числення числа:
1)
№ 16
Запишіть в десятковій системі числення числа:
1)
№ 17
Запишіть десятковий еквівалент числа 110101, якщо вважати його написаним у всіх системах числення - від двійкової до девятерічня включно.
№ 18
Яку мінімальну підставу повинна мати система числення, якщо в ній можуть бути записані числа: 10, 21, 201, 1201?
№ 19
Яку мінімальну підставу повинна мати система числення, якщо в ній можуть бути записані числа: 403, 561, 666, 125?
№ 20
Яку мінімальну підставу повинна мати система числення, якщо в ній можуть бути записані числа: 22, 964, 1010, А219?
№ 21
У яких системах числення 10 - число непарне?
№ 21
У яких системах числення справедливі нерівності:
2 * 2 = 10, 2 * 3 = 11, 3 * 3 = 13?
Переклад десяткових чисел в інші системи числення.
Переклад цілих чисел
1. заснування нової системи числення висловити в десятковій системі числення і всі наступні дії виробляти в десятковій системі числення;
2. послідовно виконувати поділ даного числа і одержуваних неповних частих на основу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо неповне приватне, менше дільника;
3. отримані залишки, є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність з алфавітом нової системи числення;
4. скласти число в новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього приватного.
Приклад 1. Перекласти число
Переклад дробових чисел.
1. заснування нової системи числення висловити в десятковій системі і всі наступні дії виробляти в десятковій системі числення;
2. послідовно множити дане число і отримані дробові частини творів на основу нової системи до тих пір, поки дробова частина не стане рівною нулю або не буде досягнута необхідна точність подання числа в новій системі числення;
3. отримані цілі частини творів, є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність з алфавітом нової системи числення;
4. скласти дробову частину числа в новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.
Переклад змішаних чисел, що містять цілу і дробову частини, здійснюється у два етапи. Ціла та дробова частини вихідного числа переводяться окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковій запису числа в новій системі числення ціла частина відділяється від дробової комою (точкою).
Приклад 4. Перекласти десяткове число 315,1875 у вісімкову і шістнадцяткову системи числення.
З розглянутих вище прикладів слід:
Завдання
№ 23
Перекласти цілі числа з десяткової системи числення в трійкову:
1. 523; 65; 7000; 2307; 325
2. 12; 524; 76; 121; 56.
№ 24
Перекласти цілі числа з десяткової системи числення у вісімкову:
1. 856; 664; 5012; 6435; 78;
2. 214; 89; 998; 653; 111.
№ 25
Перекласти десяткові дробу в двійкову систему числення. У двійковій запису числа зберегти шість знаків.
1. 0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876;
2. 0,55; 0,333; 0,1213; 0,453.
№ 26
Перекласти десяткові дроби в шістнадцяткову систему числення. У новому записі дробу зберегти шість знаків
1. 0,745; 0,101; 0,8453; 0,3451;
2. 0,8455; 0,225; 01234; 0,455
№ 27
Перекласти змішані десяткові числа в трійкову і п'ятирічну системи числення, залишити п'ять знаків у дробовій частині нового числа:
1. 40,5; 34,25; 124,44;
2. 78,333; 225,52; 90,99.
№ 28
Перекласти змішані десяткові числа в двійкову і вісімкову системи числення, залишивши п'ять знаків у дробовій частині нового числа:
1. 21,5; 432,54; 678,333;
2. 12,25; 97,444; 7896,2.
№ 29
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 345 -
2. 675 -
№ 30
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 1,25 -
2. 890 -
№ 31
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 425 -
2. 0,55 -
№ 32
Перекласти з десяткової системи числення наступні числа:
1. 98 -
2. 0,775 -
Системи числення, використовувані в ЕОМ (з основою
Для того щоб ціле двійкове число записати в системі числення з основою
1. дане двійкове число розбити справа наліво на групи по n цифр у кожній;
2. якщо в останній лівій групі виявиться менше n розрядів, то її треба доповнити зліва нулями до потрібного числа розрядів;
3. розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою системі числення з основою
Для того щоб дробове двійкове число записати в системі числення з основою
1. дане двійкове число розбити зліва направо на групи по n цифр у кожній;
2. якщо в останній правою групі виявиться менше n розрядів, то її треба доповнити праворуч нулями до потрібного числа розрядів;
3. розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою системі числення з основою
Для того щоб довільне двійкове число записати в системі числення з основою
1. дане двійкове число розбити ліворуч і праворуч (цілу і дробову частини) на групи по n цифр у кожній;
2. якщо в останніх правої і лівої групах виявиться менше n розрядів, то їх потрібно доповнити нулями до потрібного числа розрядів;
3. розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою системі числення з основою
Для того щоб довільне число, записане в системі числення з основою
Стосовно до комп'ютерної інформації часто використовуються системи числення з основою 8 (вісімкова) і 16 (шістнадцяткова).
Приклад 5. Перекласти число
Для вирішення завдання скористаємося наведеної нижче двійково-шістнадцятковій таблицею.
Двійково-шістнадцяткова таблиця
В одному стовпці таблиці поміщені шістнадцяткові цифри, навпаки, в сусідньому стовпці - рівні їм двійкові числа. Причому всі двійкові числа записані в чотиризначному вигляді (там, де знаків менше чотирьох, ліворуч додані нулі).
А тепер проробимо наступне: кожну цифру в шістнадцятковому числі 15FC замінимо на відповідну їй в таблиці четвірку двійкових знаків. Інакше кажучи, перекодіруем число 15FC за таблицею в двійкову форму. Виходить:
0001 0101 1111 1100
Якщо відкинути нулі зліва (у будь-якій системі числення вони не впливають на значення числа), то отримаємо шукане двійкове число. Таким чином:
У справедливості цієї рівності можна переконатися, виробляючи той же переклад через десяткову систему.
Приклад 6. Перекласти двійкове число 110111101011101111 в шістнадцяткову систему.
Розділимо дане число на групи по чотири цифри, починаючи справа. Якщо в крайній лівій групі виявиться менше чотирьох цифр, то доповнимо її нулями.
0011 0111 1010 1110 1111
А тепер, дивлячись на двійково-шістнадцяткову таблицю, замінимо кожну двійкову групу на відповідну шістнадцяткову цифру.
7 березня А E F
Отже:
Приклад 7. Перекласти змішане число
Рішення
Переклад дробових чисел виконується аналогічно. Групи по чотири двійкових знака виділяються від коми як ліворуч, так і праворуч. Тому:
Зв'язок між двійкової й вісімковій системами встановлюється аналогічно. У цьому випадку використовується двійково-вісімкова таблиця, наведена нижче. Кожній вісімковій цифрі відповідає трійка двійкових цифр.
Двійково-вісімкова таблиця
Приклад 8. Перекласти змішане число
Рішення
Групи по три двійкових знака виділяються від коми як ліворуч, так і праворуч. Потім проводиться перекодування за таблицею:
Завдання
№ 33
Перекласти двійкові числа в вісімкову систему числення:
1. 110000110101; 1010101; 0,1010011100100; 0,1111110001;
2. 0,1001111100000; 0,1100010; 11100001011001; 1000010101.
№ 34
Перекласти двійкові числа в шістнадцяткову систему числення:
1. 11011010001; 111111111000001; 0,0110101; 0,11100110101;
2. 10001111010; 100011111011; 0,101010101; 01100110011.
№ 35
Перекласти змішані двійкові числа в вісімкову і шістнадцяткову системи:
1. 100010,011101; 1111000000,101; 101010,111001; 100011,111;
2. 101111,01100; 100000111,001110; 101010,0010; 1100011,11.
№ 36
Перекласти вісімкові числа в двійкову систему числення:
1. 256; 0,345; 24,025; 0,25;
2. 657; 76,025; 0,344; 345,77.
№ 37
Перекласти шістнадцяткові числа в двійкову систему числення:
1. 1АС7; 0,2 D1; 2F, D8C; F0C, FF;
2. FACC; 0, FFD; FDA, 12F; DDFF, A /
№ 38
Перекласти числа з шістнадцятковій системи в вісімкову:
1. A45; 24A, 9F; 0, FDD5; F12, 0457 $
2. A24, F9; 54A; 0, DFD3; 12D, 567 /
№ 39
Перекласти числа з вісімковій системи числення в шістнадцяткову:
1. 774; 765,25; 0,5432; 654,763;
2. 665; 546,76; 0,7654; 432,347.
№ 40
Перекласти наступні числа:
1.
2.
№ 41
Перекласти наступні числа:
1.
2.
№ 42
Перекласти наступні числа:
1.
2.
3.
4.
№ 43
Опишіть четверичная систему. Побудуйте двійково-четверичная таблицю.
№ 44
Перекласти наступні числа:
1.
2.
№ 45
Перекласти наступні числа:
1.
2.
Арифметика в позиційних системах числення.
Будь-яка позиційна система числення визначається основою системи, алфавітом і правилами виконання арифметичних операцій. В основі правил арифметики лежать таблиці додавання і множення однозначних чисел. Наприклад, таблиці додавання і множення у п'ятирічну системі числення виглядають так:
П'ятіркова таблиця складання п'ятіркова таблиця множення
2. якщо в останній правою групі виявиться менше n розрядів, то її треба доповнити праворуч нулями до потрібного числа розрядів;
3. розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою системі числення з основою
Для того щоб довільне двійкове число записати в системі числення з основою
1. дане двійкове число розбити ліворуч і праворуч (цілу і дробову частини) на групи по n цифр у кожній;
2. якщо в останніх правої і лівої групах виявиться менше n розрядів, то їх потрібно доповнити нулями до потрібного числа розрядів;
3. розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою системі числення з основою
Для того щоб довільне число, записане в системі числення з основою
Стосовно до комп'ютерної інформації часто використовуються системи числення з основою 8 (вісімкова) і 16 (шістнадцяткова).
Приклад 5. Перекласти число
Для вирішення завдання скористаємося наведеної нижче двійково-шістнадцятковій таблицею.
Двійково-шістнадцяткова таблиця
| 16 | 2 | 16 | 2 |
| 0 | 0000 | 8 | 1000 |
| 1 | 0001 | 9 | 1001 |
| 2 | 0010 | A | 1010 |
| 3 | 0011 | B | 1011 |
| 4 | 0100 | C | 1100 |
| 5 | 0101 | D | 1101 |
| 6 | 0110 | E | 1110 |
| 7 | 0111 | F | 1111 |
А тепер проробимо наступне: кожну цифру в шістнадцятковому числі 15FC замінимо на відповідну їй в таблиці четвірку двійкових знаків. Інакше кажучи, перекодіруем число 15FC за таблицею в двійкову форму. Виходить:
0001 0101 1111 1100
Якщо відкинути нулі зліва (у будь-якій системі числення вони не впливають на значення числа), то отримаємо шукане двійкове число. Таким чином:
У справедливості цієї рівності можна переконатися, виробляючи той же переклад через десяткову систему.
Приклад 6. Перекласти двійкове число 110111101011101111 в шістнадцяткову систему.
Розділимо дане число на групи по чотири цифри, починаючи справа. Якщо в крайній лівій групі виявиться менше чотирьох цифр, то доповнимо її нулями.
0011 0111 1010 1110 1111
А тепер, дивлячись на двійково-шістнадцяткову таблицю, замінимо кожну двійкову групу на відповідну шістнадцяткову цифру.
7 березня А E F
Отже:
Приклад 7. Перекласти змішане число
Рішення
Переклад дробових чисел виконується аналогічно. Групи по чотири двійкових знака виділяються від коми як ліворуч, так і праворуч. Тому:
Зв'язок між двійкової й вісімковій системами встановлюється аналогічно. У цьому випадку використовується двійково-вісімкова таблиця, наведена нижче. Кожній вісімковій цифрі відповідає трійка двійкових цифр.
Двійково-вісімкова таблиця
| 8 | 2 |
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
Рішення
Групи по три двійкових знака виділяються від коми як ліворуч, так і праворуч. Потім проводиться перекодування за таблицею:
Завдання
№ 33
Перекласти двійкові числа в вісімкову систему числення:
1. 110000110101; 1010101; 0,1010011100100; 0,1111110001;
2. 0,1001111100000; 0,1100010; 11100001011001; 1000010101.
№ 34
Перекласти двійкові числа в шістнадцяткову систему числення:
1. 11011010001; 111111111000001; 0,0110101; 0,11100110101;
2. 10001111010; 100011111011; 0,101010101; 01100110011.
№ 35
Перекласти змішані двійкові числа в вісімкову і шістнадцяткову системи:
1. 100010,011101; 1111000000,101; 101010,111001; 100011,111;
2. 101111,01100; 100000111,001110; 101010,0010; 1100011,11.
№ 36
Перекласти вісімкові числа в двійкову систему числення:
1. 256; 0,345; 24,025; 0,25;
2. 657; 76,025; 0,344; 345,77.
№ 37
Перекласти шістнадцяткові числа в двійкову систему числення:
1. 1АС7; 0,2 D1; 2F, D8C; F0C, FF;
2. FACC; 0, FFD; FDA, 12F; DDFF, A /
№ 38
Перекласти числа з шістнадцятковій системи в вісімкову:
1. A45; 24A, 9F; 0, FDD5; F12, 0457 $
2. A24, F9; 54A; 0, DFD3; 12D, 567 /
№ 39
Перекласти числа з вісімковій системи числення в шістнадцяткову:
1. 774; 765,25; 0,5432; 654,763;
2. 665; 546,76; 0,7654; 432,347.
№ 40
Перекласти наступні числа:
1.
2.
№ 41
Перекласти наступні числа:
1.
2.
№ 42
Перекласти наступні числа:
1.
2.
3.
4.
№ 43
Опишіть четверичная систему. Побудуйте двійково-четверичная таблицю.
№ 44
Перекласти наступні числа:
1.
2.
№ 45
Перекласти наступні числа:
1.
2.
Арифметика в позиційних системах числення.
Будь-яка позиційна система числення визначається основою системи, алфавітом і правилами виконання арифметичних операцій. В основі правил арифметики лежать таблиці додавання і множення однозначних чисел. Наприклад, таблиці додавання і множення у п'ятирічну системі числення виглядають так:
П'ятіркова таблиця складання п'ятіркова таблиця множення
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 |
| 3 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 4 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 11 | 13 |
| 3 | 3 | 11 | 14 | 22 |
| 4 | 4 | 16 | 22 | 31 |