Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами Поняття про стійкість розв яз

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КОЛОМИЙСЬКИЙ ЕКОНОМІКО-ПРАВОВИЙ КОЛЕДЖ

Реферат

З дисципліни Математика для економістів

на тему:

«Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами. Поняття про стійкість розв’язків»

Виконала: студентка групи

Б-13 Лавринович Ірина

Перевірив викладач: Лугова Л.Б.

Коломия-2002

План

  1. Поняття про стійкість розвязків.

Контрольні запитання:

  1. Які функції описують незбурений розвязок?

  2. Який розвязок системи називається стійким за Ляпуновим ?

  3. При яких умовах розвзок називають нестійким ?

  4. Який розвязок називають асимптотично стійким ?

  5. Дано рівняння y + y = t з початковою умовою y(0) = 1. Дослідити розвязок, що задовольняє цю умову, на стійкість.

При створенні приладів, конструкцій, машин, що відповідають певним умовам, треба знати, як поводитиметься об’єкт при невеликих перерозподілах сил зміні початкових умов. Той об’єкт, експлуатаційні параметри якого не реагують на ці зміни, називається стійким. Наприклад, при різних відхиленнях маятника від положення рівноваги ( різних початкових умовах ) рух маятника має бути стійким, періодичним. Крило літака має зберегти початкове положення навіть при найменшій зміні початкових умов.

Фізично задача про стійкість може бути поставлена так: розглядається деякий рух, що відповідає заданим початковим умовам. Змінимо початкові умови на малу величину. Якщо далі характер руху залишається попереднім чи зміниться мало, то такий рух називається стійким за Ляпуновим. У цьому тлумаченні стійкості залишалось невизначеним поняття “ мала величина”.

Підійдемо до питання більш строго. Рух кожного об’єкта описується системою диференціальних рівнянь першого порядку, записаних у нормальній формі:

Якщо об’єкт має один степінь вільності, то його рух описується системою:

нелінійною

;

лінійною

У системі (1.1) невідомими є функції часу в системах (1.2) і (1.3)­­­ – та Нехай функції визначені в n-вимірній кулі радіуса R: для і задовольняють там деякі умови, що гарантують існування неперервно диференційованих функцій

які є розв’язком системи (1.1). Доповнимо систему (1.1) початковими умовами. При існує набір чисел взятих з n-вимірної кулі що дає змогу тільки єдиним чином дістати Функції

при цьому переходять у єдину систему частинних розв’язків системи (1.1):


……………………………

Надалі треба буде змінювати початкові умови і відповідно частинні розвязки. При цьому вважаємо, що ці зміни не виводять функції та початкові умови з області визначення правої частини рівняння (1.1). Дамо означення стійкості розвязку системи (1.1). Нехай відомий частинний розвязок системи (1.1). що відповідає початковим умовам при Змінимо початкові умови при Частинний розвязок, що відповідає цим новим умовам, позначимо Функції описують так званий незбурений розвязок, а збурений розв’язок .

Розвязок системи (1.1) називається стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого заданого як завгодно малого додатного числа можна вказати таке мале додатне число що при

(1.4)

для всіх та справджується нерівність

(1.5)

Якщо при виконанні всіх умов (1.4) хоч для одного i=k не виконується умова (1.5), тобто то розвязок називається нестійким. Якщо при виконанні умов (1.4), (1,5) виконано ще й умови

(1.6)

для всіх то розвязок називається асимптотично стійким. Якщо серед рівностей (1.6) хоч би одна, наприклад для i=k, не виконана, але виконані всі умови (1.5), то розвязок називається неасимптотично стійким. Якщо то йдеться про стійкість нульового розвязку (точки спокою).Якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа >0 можна вказати таке мале додатне число яке залежить від що при

(1.7)

для всіх та виконуються нерівності

(1.8)

то нульовий розвязок називається стійким за Ляпуновим. Якщо при виконанні (1.7) для всіх хоч би одна з умов (1.8) не виконується, то нульовий розвязок називається нестійким.

Якщо при виконанні умов (1.7) та (1.8) виконуються ще й умови

(1.9)

для всіх то нульовий розвязок називається асимптотично стійким.

Якщо говорити про стійкість при зміні силової дії, то зміна сил відбивається на зміні коефіцієнтів диференціальних рівнянь, що описують рух. Ті системи, розвязок яких не змінюється при незначній зміні коефіцієнтів, називаються грубими. Грубі системи є стійкими.

Використана література:

1. Овчинников П.Ф., Лисицын Б. М., Михайленко В. М. Высшая математика. – К.: Вища шк., 1989. – 117-118 с.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Астрономія | Реферат
29.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Дослідження методів розв`язання системи диференціальних рівнянь з постійною матрицею
Ітераційні методи розв`язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розв язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера методом Гаусса та за до
Рішення неоднорідних диференціальних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами Комплексні
Рішення неоднорідних диференціальних рівнянь 2 го порядку з постійними коефіцієнтами Комплексні
Знаходження розв`язків диференціальних рівнянь
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку
Програма розв язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами
© Усі права захищені
написати до нас