Введення
Найбільш природною формою подання сигналу є завдання закону його зміни у функції часу - X (t). Однак для аналізу та синтезу систем і сигналів можуть бути використані різні форми їх подання. Будь-який сигнал можна представити у вигляді суми деяких елементарних сигналів. Таке уявлення можливо при розкладанні тимчасової функції в ряд по ортогональних (базисним) функцій, що рівносильно поданням сигналу в різних системах координат.
У загальному вигляді будь-який сигнал може бути представлений у вигляді ряду:
, (1)
де j _k (t) - представляє собою одиничні орти, а а _до - проекції функцій на відповідні осі або спектральні коефіцієнти, які визначаються за формулою
. (2)
Система функцій {j _k (t)} називається базисної, а подання сигналу у формі (1) його розкладанням по системах базисних функцій (СБФ). Для вибраної СБФ сигнал повністю залежать (вектором) спектральних коефіцієнт {a _k}, тобто його спектром.
СБФ має відповідати умовам ортогональності та ортонормірованності.
Умови ортогональності двох базисних функцій полягають у рівності нулю їх взаємних потужностей

. (3)
Умови ортонормірованності полягають у рівності одиниці потужності всіх базисних функцій
(4)
Будь-яку СБФ можна нормувати, якщо розділити кожну базисну функцію на її потужність.
Існує нескінченна безліч СБФ, при цьому різних СБФ відповідає різна фізична інтерпретація сигналу, а значить і практична реалізація. Вибір СБФ залежить від специфіки розв'язуваної задачі (наприклад: аналіз фільтрів, оцінка точності, швидкодії і т.д.), використовуваних методів (тимчасові, частотні, операторні і т.д.) та інших факторів.
Найбільш часто використовуються наступні СБФ:
- Системи одиничних безперервних і дискретних функцій.
- Системи тригонометричних базисних функцій:
.
Ці функції широко використовуються при частотному представленні сигналів в рядах Фур'є.
- Системи комплексних експоненціальних функцій- . Ці функції використовуються в перетвореннях Фур'є і Лапласа.
- Системи комплексних дискретних експоненціальних, базисних функцій- . Ці функції використовуються в дискретних перетвореннях Фур'є і Лапласа, швидкому перетворенні Фур'є.
- Поліноміальні СБФ, що використовують поліноми Чебишева і Лежандра. Ці функції часто використовуються для аналізу і синтезу цифрових фільтрів.
- Двійково - ортогональні СБФ Уолша, Хаара, Радемахер. Ці функції широко використовуються в обчислювальній техніці для аналізу і синтезу цифрових автоматів.
Базисні функції складають ядро ​​різних інтегральних перетворень, що використовуються для дослідження сигналів і систем (Фур'є, Лапласа, Карсона, Хевісайда, Уолша, Хара і ін), які мають наступну структуру запису:
, . (5)
При цьому, різним СБФ відповідає різна інтерпретація сигналів.

1. Ряд Фур'є і інтегральне перетворення Фур'є
Будь-яка періодична функція, яка задовольняє умовам Діріхле (обмежена, кусково-неперервна і має протягом періоду кінцеве число екстремумів), може бути розкладена в ряд Фур'є:
,
де - Постійна складова функції f (t);
- Кругова частота основний (першої) гармоніки;
- Частота першої гармоніки;
- Амплітуда, частота і початкова фаза до - тієї гармоніки;
;
; ;
; .
Ряд Фур'є можна представити у комплексній формі:
; . (6)

Приклад 1. Дана періодична послідовність імпульсів, наведена на рис. 1. Знайти суму ряду.
f (t)
T
t
h

Рис. 1. Періодична послідовність імпульсів

Визначимо вираз для спектральних коефіцієнтів
.
Періодичну послідовність імпульсів можна представити у вигляді суми ряду:
.

Інтеграл Фур'є

Для апериодических процесів замість розкладання в ряд Фур'є використовується розкладання в інтеграл Фур'є при виконанні наступних умов: функція f (t) задовольняє умовам Діріхле і є абсолютно інтегрованою тобто
. (7)
Формули прямого і зворотного перетворення Фур'є мають вигляд:
, . (8)
Приклад 2. Визначимо спектральну щільність для одиночного прямокутного імпульсу, наведеного на рис. 2.
 

f (t)
 

h
 

0 t

Рис. 2. Одиночний прямокутний імпульс

Одиночний прямокутний імпульс може бути представлений таким виразом:
.
Спектральна щільність для одиночного прямокутного імпульсу має вигляд:

Приклад Визначимо спектральну щільність низькочастотного шуму кореляційна функція якого має вигляд:

Спектральна щільність при цьому дорівнює:


Перевірка: Виконаємо зворотне перетворення

Визначимо оригінал як суму відрахувань по полюсах підінтегральної функції
,
де s _k - значення полюсів; n - кількість полюсів; m - кратність полюсів.
При цьому, кореляційна функція дорівнює

2. Дискретне перетворення Фур'є
У цифровій техніці для обробки дискретної інформації широко використовуються ряди Фур'є і дискретне перетворення Фур'є. При цьому, використовуються комплексні експоненціальні СБФ, для яких характерні властивості ортогональності, ортонормірованності, повноти і мультипликативности
, При k = m + n. (9)

Ряд Фур'є може бути представлений у вигляді
(10)
де nT (або n) - дискретний час; (2 p / N) k - кругова частота w.

Якщо врахувати що x (n) = 0 при n <0 то, можна змінити межі підсумовування.

Пряме дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) має вигляд:
0 £ k £ N-1 (11)
Зворотне дискретне перетворення Фур'є (ОДПФ), тобто спектральні коефіцієнти обчислюються за формулою:
0 £ n £ N-1 (12)
де N - кількість відліків N = T / D t +1; T - інтервал часу; D t - крок дискретності; n - номер відліку.
Для скорочення запису перетворень введений поворачивающий множник:
. (13)

Дискретне перетворення Фур'є зручно представити в матричній формі:
, (14)
де X - вектор відліків сигналу; x - вектор спектральних коефіцієнтів; W - квадратична матриця (N 'N) відліків базисних функцій; W ^-1 - зворотна W;
(15)
При реалізації алгоритмів обчислення ДПФ необхідно враховувати кількість виконуваних арифметичних операцій і їх тип (множення, додавання і т.д.), процедури звернення до пам'яті та її обсяг для зберігання коефіцієнтів. У дискретному перетворенні Фур'є необхідно виконати N ² множень та N ² складань.
Якщо число точок N невелике або велика кількість точок з нульовими значеннями, то доцільно використовувати ДПФ, у противному випадку доцільно використовувати так зване швидке перетворення Фур'є (ШПФ). Сутність ШПФ полягає в проріджуванні вихідної вибірки сигналу за часом - n або за частотою - k.
При цьому, для обчислення спектральних коефіцієнтів потрібні одні і ті ж проміжні спектри, що істотно скорочує обсяг обчислень. У деяких випадках виявляється зручна ШПФ із проріджуванням за часом, в інших випадках за частотою.
Приклад 4. Визначити дискретну спектральну щільність, якщо спектральна щільність безперервного сигналу дорівнює

.
Рішення: Алгоритм розв'язання задачі можна представити у вигляді
.
1. Для заданої спектральної щільності визначимо кореляційну функцію


2. Визначимо дискретну кореляційну функцію

Визначимо дискретну спектральну щільність

4. Визначимо дискретну спектральну щільність у формі Z-перетворення, виконавши підстановку z = e ^pT.


Перевірка: Визначимо дискретну кореляційну функцію

Для вираження спектральної щільності визначимо значення полюсів - z _k, їх кількість і кратність - m

Використовуючи теорему Коші про відрахування, кореляційну функцію можна визначити як суму відрахувань по полюсах підінтегральної функції

Так як кореляційна функція є парною, то її можна представити у вигляді


Висновки
При реалізації алгоритмів ШПФ можливо розпаралелювання обчислень (спеціалізовані процесори), що дозволяє прискорити виконання перетворень.
Області застосування дискретного перетворення Фур'є:
дискретний спектральний аналіз;
моделювання цифрових фільтрів;
розпізнавання образів;
дискретний аналіз мовних сигналів;
дослідження дискретних систем управління.

Список використаної літератури
1. Шеннон К. Математична теорія зв'язку. - В зб. «Роботи по теорії інформації та кібернетики». М., «Іноземна література», 1963.
2. Фано К. Передача інформації. Статистична теорія зв'язку. М., «Світ», 1965.
3. Балюкевіч Е.Л. Елементи теорії кодування. М., МЕСИ, 1976.
4. Стратонович Р.Л. Теорія інформації. М., «Радянське радіо», 1975.
5. Лапа В.Г. Математичні основи кібернетики. Київ, «Вища школа», 1974.
6. Грінченка А.Г. Теорія інформації та кодування: Навч. посібник. - Харків: ХПУ, 2000.
7. Цимбал В.П. Теорія інформації та кодування. - М.: Вищ. шк., 1986.
8. Гойфман Е. Ш., Лосєв Ю.І. Передача інформації в АСУ. - М.: Зв'язок, 1976.