Символьні обчислення

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Символьні обчислення

Єкатеринбург 2006

Символьні обчислення

  1. Базові операції

Символьні змінні та функції є об'єктами класу sym object, на відміну від числових змінних, які містяться в масивах double array.

Функція sym - формує символьну змінну або об'єкт

Синтаксис

S = sym (A)

S = sym (A, flag)

x = sym ('x')

x = sym ('x', real)

x = sym ('x', unreal)

Опис

  • Функція S = sym (A) створює об'єкт класу sym для вхідного аргументу А.

Якщо А - рядок символів, то результатом буде послідовність символів, якщо А - рядок цифр, то результатом буде число, що описується символьної змінної S. Якщо А - числовий масив, то результатом буде символьний еквівалент цього об'єкта.

  • Функція x = sym ('x') створює символьну змінну x.

  • Функція x = sym ('x', real) створює символьну змінну x, яка в усіх операціях буде розглядатися як змінна, яка приймає тільки дійсні значення. Це буде справедливо до тих пір, поки їй не буде присвоєно, наприклад, значення комплексного числа.

  • Функція x = sym ('x', unreal) створює символьну змінну x, яка є формальною змінної без додаткових обмежень.

  • Функція S = sym (A, flag) перетворює числовий масив А в символьну форму, використовуючи другий аргумент flag для вказівки типу символьної змінної S

  • Функція sym дозволяє перетворювати значення числових змінних в символічні, наприклад:

>> A = [1.3 -2.1 4.9; 6.9 3.7 8.5];

Відповідний символьний масив:

>> B = sym (A)

B =

[13/10, -21/10, 49/10]

[69/10, 37/10, 17 / 2]

При переході від числових до символічних виразів використовується запис чисел у вигляді раціонального дробу. У вигляді раціонального дробу представляються і проміжні, і остаточні вирази. Це означає, що при використанні раціональних дробів при виконанні символічних обчислень завжди виходить точний результат, який не містить похибка округлення, наприклад:

>> Format long

>> 1.0e +10 +1.0 e 10

ans =

1.000000000000000e +010

>> Large = sym (1.0e +10);

>> Small = sym (1.0e 10);

>> S = large + small

s =

100000000000000000001/10000000000

Функція vpa - перетворить числові значення

Синтаксис

>> Cn = vpa (c)

>> Cn = vpa (c, n)

Обчислення з раціональними дробами дозволяють отримати значення символічного вираження з будь-яким ступенем точності, тобто знайти як завгодно багато значущих цифр результату. За замовчуванням утримується 32 значущі цифри. Другий параметр n вказує бажане число утримуваних цифр (Другий аргумент задає утримується число значущих цифр тільки для даного виклику vpa; для глобальної установки служить функція digits, у вхідному аргументі якій вказується необхідна кількість цифр digits (n)).

Приклади

>> C = sym ('sqrt (2)')

c =

sqrt (2)

>> Cn = vpa (c)

cn =

1.4142135623730950488016887242097

Функція syms - формує групу символьних об'єктів

Синтаксис

syms arg 1 arg 2 ...

При роботі з комплексними числами слід вказати, що визначаються змінні є, в загальному випадку, комплексними.

syms arg1 arg2 ... real

syms arg1 arg2 ... unreal

    • Функція syms arg 1 arg 2 ... це короткий запис послідовності функцій sym.

    • Конструювання символічних функцій від змінних класу sym object виробляється з використанням звичайних арифметичних операцій і позначень для вбудованих математичних функцій, наприклад:

      • >> F = (sin (x) + a) ^ 2 * (cos (x) + b) ^ 2/sqrt (abs (a + b))

    • Запис формули для вираження в один рядок не завжди зручна, більш природний вигляд вираження виводить у командне вікно функція pretty.

Функція pretty - виводить символьне вираз на екран у звичному для користувача вигляді.

Синтаксис

pretty (S)

pretty (S, n)

Функція pretty (S) виводить на екран символьне вираз S у форматі, близькому до друку математичних виразів, використовуючи при цьому довжину рядка 79 символів.

Приклади

>> Pretty (f)

(Sin (x) + a) 2 (cos (x) + b) 2

| A + b | 1 / 2

Певна функція f також є символічною змінної типу sym object, в чому неважко переконатися за допомогою команди whos

Символічні змінні можуть бути елементами матриць і векторів. Елементи рядків матриць при введенні відокремлюються пробілами або комами, а стовпців - крапкою з комою, так само як і для звичайних матриць. У результаті утворюються символічні матриці і вектори, до яких застосовні матричні і поелементні операції та вбудовані функції.

Приклади

>> Syms abcdefgh

>> A = [ab; cd]

A =

[A, b]

[C, d]

>> B = [ef; gh]

A =

[E, f]

[G, h]

>> C = A + B

C =

[A + e, b + f]

[C + g, d + h]

  1. Спрощення та перетворення виразів

Складні алгебраїчні та тригонометричні вирази можуть бути приведені до еквівалентних шляхом спрощення. Операції з поліномами реалізують чотири функції: collect, expand, horner, factor.

Функція collect - обчислює коефіцієнти при ступенях незалежної змінної

Синтаксис

R = collect (S)

R = collect (S, v)

S - масив символьних поліномів.

    • Функція збирає однорідні члени за ступенями змінної x.

    • Функція R = collect (S, v) виконує ту ж функцію, але тільки по відношенню до незалежної змінної, вказаної в якості другого аргументу (у даному випадку v).

Приклади

>> Syms x y

>> R 1 = collect ((exp (x) + x) * (x +2))% тут складові групуються за ступенями x

R1 =

x ^ 2 + (exp (x) +2) * x +2 * exp (x)

>> R 2 = collect ((x + y) * (x ^ 2 + y ^ 2 +1), y)% тут складові групуються за ступенями y

R 2 =

y ^ 3 + x * y ^ 2 + (x ^ 2 +1) * y + x * (x ^ 2 +1)

>> R 3 = collect ([(x +1) * (y +1), x + y])% тут вказані відразу два многочлена, які потрібно згрупувати за ступенями x

R3 =

[(Y +1) * x + y +1, x + y]

Функція expand - дозволяє розкрити символьне вираз

Синтаксис

R = expand (S)

Функція R = expand (S) дозволяє розкрити кожен елемент символьного виразу S. Ця операція застосовується до поліномами, тригонометричним, експоненціальним і логарифмічним функцій.

Приклади

>> Expand ((x 2) * (x 4))

ans =

x ^ 2-6 * x +8

>> Expand (exp ((x + y) ^ 2))

ans =

exp (x ^ 2) * exp (x * y) ^ 2 * exp (y ^ 2)

>> Expand ([sin (2 * x), cos (2 * x)])

ans =

[2 * sin (x) * cos (x), 2 * cos (x) ^ 2-1]

syms t;

s = expand ([sin (2 * t) cos (2 * t)])

s =

[2 * sin (t) * cos (t), 2 * cos (t) ^ 2-1]

Функція factor - дозволяє розкласти символьне вираз на прості множники

Синтаксис

R = factor (N)

R = factor (S)

    • Функція R = factor (N), де N - позитивне ціле число або цілочисельний масив, повертає канонічне розкладання числа або елементів масиву у вигляді твору простих множників.

    • Функція factor (S), де S - матриця поліномів, повертає розкладання кожного елемента масиву на прості множники.

Приклади

>> Syms ab;

>> Factor ([a * ab * b, a ^ 3 + b ^ 3])

ans =

[(Ab) * (a + b), (a + b) * (a ^ 2 a * b + b ^ 2)]

>> Factor (sym ('123 '))

ans =

(3) * (41)

Функція simple - дозволяє спростити символьне вираз

Синтаксис

Simple (S)

R = simple (S)

[R, How] = simple (S)

    • Функція simple (S) виконує різні алгебраїчні перетворення над символьним виразом S, виводить на екран варіанти укорочених виразів і повертає в кінці кінців саме коротке.

    • Функція R = simple (S) виконує ті ж самі операції, але не виводить на екран проміжних результатів.

Функція [R, How] = simple (S) на додаток до основного результату виводить в якості другого аргументу рядок How, яка вказує виконане перетворення.

Приклади

>> [R, How] = simple (cos (x) ^ 2 + sin (x) ^ 2)

R = 1

How = combine

>> [R, How] = simple (2 * cos (x) ^ 2 sin (x) ^ 2)

R = 3 * cos (x) ^ 2-1

How = simplify

>> [R, How] = simple (cos (x) ^ 2 + (-sin (x) ^ 2) ^ (1 / 2))

R = cos (x) ^ 2 + i * sin (x)

How = radsimp

>> [R, How] = simple (cos (x) + i * sin (x))

R = exp (i * x)

How = convert (exp)

>> [R, How] = simple ((x +1) * x * (x 1))

R = x ^ 3 x

How = collect (x)

>> [R, How] = simple (x ^ 3 +3 * x ^ 2 +3 * x +1)

R = (x +1) ^ 3

How = factor

>> [R, How] = simple (cos (3 * acos (x)))

R = 4 * x ^ 3-3 * x

How = expand

Функція numden - виконує приведення символьних поліномів до раціональної формі

Синтаксис

[N, D] = numden (A)

    • Функція [N, D] = numden (A) перетворює кожен елемент символьного масиву A до раціональної формі у вигляді відношення двох непріводімих поліномів з цілочисельними коефіцієнтами. N, D - відповідно символьні масиви числителей і знаменників елементів масиву.

Приклади.

>> Syms xyab

>> [N, D] = numden (x / y + y / x)

N = x ^ 2 + y ^ 2

D = x * y

>> A = [a, 1 / b]

>> [N, D] = numden (A)

N = [a, 1]]

D = [1, b]

Функція subs - виконує підстановку значень символьних змінних

Синтаксис

subs (S)

subs (S, NEW)

subs (S, OLD, NEW)

subs (S, OLD, NEW, 0)

    • Функція subs (S) замінює вільні символьні змінні їх числовими значеннями, які беруться або з викликається функції, або з робочої області системи MATLAB.

    • Функція subs (S, OLD, NEW) замінює вільні символьні змінні OLD новими символьними змінними або числовими значеннями зі списку NEW. Якщо OLD і NEW - масиви осередків однакового розміру, то кожен елемент масиву OLD замінюється відповідним елементом масиву NEW. Якщо символьне вираз S і список OLD - скаляри, а NEW - числовий масив або масив клітинок, то скаляри розширюються до розміру масиву. Якщо підстановка subs (S, OLD, NEW) не змінює символьного виразу S, то виконується підстановка subs (S, NEW, OLD). Щоб запобігти спробі зворотної підстановки, слід використовувати звернення subs (S, OLD, NEW, 0)

Приклади.

>> A = 980

>> C1 = 3

>> Syms t

>> Y = dsolve ('Dy =- a * y');

>> Subs (y)

ans = 3 * exp (-980 * t)

Однокомпонентна підстановка

>> Syms a b

>> Subs (a + b, a, 4)

ans = 4 + b

Багатокомпонентна підстановка:

>> Subs (cos (a) + sin (b), [a, b], [sym ('alpha'), pi / 2)

ans = cos (alpha) + sin (pi / 2)

Підстановка матриці замість скаляра:

>> Subs (exp (a * t), 'a', - magic (2))

ans =

[Exp (-t), exp (-3 * t)]

[Exp (-4 * t), exp (-2 * t)

  1. Математичний аналіз

    Функція limit - обчислює межа функції однієї змінної

    Синтаксис

    limit (F, x, a)

    limit (F, a)

    limit (F)

    limit (F, x, a, 'right')

    limit (F, x, a, 'left')

    Опис

      • Функція limit (F, x, a) визначає межа функції F (x) при x -> a.

      • Функція limit (F, a) автоматично визначає незалежну змінну, наприклад t, за допомогою функції findsym (F) і потім обчислюється межа функції F (t) при t -> a.

      • Функція limit (F) передбачає за умовчанням як граничної точки a = 0.

      • Функції limit (F, x, a, 'right') і limit (F, x, a, 'left') обчислюють відповідно правобічний і лівобічний межі.

    Приклади.

    >> Syms xath

    >> Limit (sin (x) / x)

    ans = 1

    >> Limit ((x 2) / (x ^ 2-4), 2)

    ans = 1 / 4

    >> Limit ((1 +2 * t / x) ^ (3 * x), x, inf)

    ans = exp (6 * t)

    >> Limit (1 / x, x, 0, 'right')

    ans = inf

    >> Limit (1 / x, x, 0, 'left')

    ans =- inf

    >> Limit ((sin (x + h) - sin (x)) / h, h, 0)

    ans = cos (x)

    v = [(1 + a / x) ^ x, exp (-x)]

    >> Limit (v, x, inf, 'left')

    ans = [exp (a), 0]

    Функція diff - виконує диференціювання функції однієї змінної

    Синтаксис

    diff (S)

    diff (S, 'v')

    diff (S, sym ('v'))

    diff (S, n)

    diff (S, 'v', n)

    diff (S, n, 'v')

      • Функція diff (S) автоматично визначає незалежну змінну за допомогою функції findsym (S) і потім виконує відповідне диференціювання.

      • Функція diff (S, 'v') і diff (S, sym ('v')) диференціює символьне вираз S по змінної, вказаної в 'v'.

      • Функції diff (S, n), diff (S, 'v', n), diff (S, n, 'v') диференціюють n раз символьне вираз S по змінної, вказаної в 'v'.

      • Якщо S матриця, то операція диференціювання застосовується до кожного елементу матриці.

    Приклади

    >> Syms xt

    >> Diff (sin (x ^ 2))

    ans = 2 * cos (x ^ 2) * x

    >> Diff (t ^ 6,6)

    ans = 720

    Функція int - виконує інтегрування функції однієї змінної

    Синтаксис

    R = int (S)

    R = int (S, v)

    R = int (S, a, b)

    R = int (S, v, a, b)

    • Функція int (S) повертає символьне значення невизначеного інтеграла від символьного виразу або масиву символьних виразів S по змінній, яка автоматично визначається функцією findsym. Якщо S - скаляр або матриця, то обчислюється інтеграл по змінній 'x'.

    • Функція int (S, v) повертає невизначений інтеграл від S по змінної v.

    • Функція int (S, a, b) повертає певний інтеграл від S з межами інтегрування від a до b, причому межі інтегрування можуть бути як символьними, так і числовими.

    • Функція int (S, v, a, b) повертає певний інтеграл від S по змінної v з межами інтегрування від a до b.

    Приклади

    >> X = sym ('x');

    >> Int (x ^ 2, x)

    ans =

    1 / 3 * x ^ 3

    >> Int (sin (x) ^ 3, x)

    ans =

    -1 / 3 * sin (x) ^ 2 * cos (x) - 2 / 3 * cos (x)

    >> Int (log (2 * x), x)

    ans =

    log (2 * x) * xx

    >> Int ((x ^ 2-2) / (x ^ 3-1), x, 1,2)

    ans =

    - Inf

    >> Int ((x ^ 2-2) / (x ^ 3-1), x, 2,5)

    ans =

    -2 / 3 * log (2) +2 / 3 * log (31) +2 / 3 * 3 ^ (1 / 2) * atan (11 / 3 * 3 ^ (1 / 2)) - 2 / 3 * log (7) - 2 / 3 * 3 ^ (1 / 2) * atan (5 / 3 * 3 ^ (1 / 2))

    >> Int ([x ^ 3 sin (x) exp (x)], x)

    ans =

    [1 / 4 * x ^ 4, - cos (x), exp (x)]

    Функція taylor - служить для отримання розкладів аналітичних функцій в ряд Тейлора (і Маклорена)

    Синтаксис

    taylor (f)

    taylor (f, n)

    taylor (f, a)

    taylor (f, x)

    • Функція taylor (f) повертає шість перших членів ряду Маклорена (ряд Тейлора в точці x = 0). У будь-якому розкладі можна задавати число членів ряду n, точку a, щодо якої шукається розкладання, і змінну x, за якою шукається розкладання, наприклад taylor (f, n, x, a).

    • Функція taylor (f, a) повертає ряд Тейлора в околі точки a.

    • Функція taylor (f, x) повертає ряд Тейлора для змінної x, обумовленою функцією findsym.

    Приклади

    >> X = sym ('x');

    >> F = sin (x);

    >> Taylor (F)

    ans =

    x 1 / 6 * x ^ 3 +1 / 120 * x ^ 5

    >> Taylor (F, 10)

    ans =

    x 1 / 6 * x ^ 3 +1 / 120 * x ^ 5-1/5040 * x ^ 7 +1 / 362880 * x ^ 9

    >> Taylor (exp (x), 1)

    ans =

    >> Taylor (cos (x), - pi / 2,6)

    ans =

    x +1 / 2 * pi 1 / 6 * (x +1 / 2 * pi) ^ 3 +1 / 120 * (x +1 / 2 * pi) ^ 5

    Функція yacobian - обчислює матрицю Якобі

    Синтаксис

    yacobian (f, v)

    • Функція yacobian (f, v) повертає матрицю Якобі для скаляра або вектора f по вектору змінних v. Кожен (i, j) - й елемент матриці представляє собою приватну похідну ∂ f i / ∂ v j.

    Приклади

    >> V = [x, y, z];

    >> J = jacobian (F, v)

    J =

    [2 * x, 0, 0]

    [1, 1 / z, - y / z ^ 2]

    [Z, 0, x]

    >> V = [x; y];

    >> J = jacobian (F, v)

    J =

    [2 * x, 0]

    [1, 1 / z]

    [Z, 0]

    >> J = jacobian (x * y, v)

    J =

    [Y, x]

    Функція symsum - Обчислює аналітичне значення суми ряду

    Синтаксис

    symsum (S)

    symsum (S, v)

    symsum (S, a, b)

    • Функція symsum (S) повертає символьне значення суми нескінченної низки по змінній, знайденої автоматично за допомогою функції findsym.

    • Функція symsum (S, v) повертає суму нескінченного ряду по змінній v.

    • Функція symsum (S, a, b) повертає кінцеву суму ряду в межах номерів доданків від a до b.

    Приклади

    >> X = sym ('x');

    >> Symsum (x ^ 2)

    ans =

    1 / 3 * x ^ 3-1/2 * x ^ 2 +1 / 6 * x

    >> Symsum (1 / x ^ 4)

    ans =

    -1 / 6 * Psi (3, x)

    >> Symsum (1 / x ^ 4,1,5)

    ans =

    14001361/12960000

    >> Symsum ([x, x ^ 2, x ^ 3], 1,5)

    ans =

    [15, 55, 225]

    Функція solve - вирішує системи алгебраїчних рівнянь і одиночних рівнянь

    Синтаксис

    solve (expr1, expr2, ..., exprN, var1, var2, ..., varN)

    solve (expr1, expr2, ..., exprN)

    • Функція solve (expr 1, expr 2, ..., exprN, var 1, var 2, ..., varN) повертає значення змінних varI, при яких дотримуються рівності, задані виразами exprI. Якщо у виразах не використовуються знаки рівності, то покладається exprI = 0.

    • Функція solve (expr 1, expr 2, ..., exprN) аналогічна попередньої функції, але змінні, за якими шукається рішення, визначаються функцією fimdsym.

    Приклади

    >> Syms xy;

    >> Solve (x ^ 3-1, x)

    ans =

    [1]

    [-1 / 2 +1 / 2 * i * 3 ^ (1 / 2)]

    [-1/2-1/2 * I * 3 ^ (1 / 2)]

    >> Solve (x ^ 2 x 9, x)

    ans =

    [1 / 2 +1 / 2 * 37 ^ (1 / 2)]

    [1/2-1/2 * 37 ^ (1 / 2)]

    >> Syms abc;

    >> Solve (a * x ^ 2 + b * x + c)

    ans =

    [1/2/a * (-b + (b ^ 2-4 * a * c) ^ (1 / 2))]

    [1/2/a * (-b - (b ^ 2-4 * a * c) ^ (1 / 2))]

    >> S = solve ('x + y = 3', 'x * y ^ 2 = 4', x, y)

    S =

    x: [3x1 sym]

    y: [3x1 sym]

    >> Sx

    ans =

    [4]

    [1]

    [1]

    >> Sy

    ans =

    [-1]

    [2]

    [2]

    >> Solve ('sin (x) = 0.5', x)

    ans =

    52359877559829887307710723054658

    Функція dsolve - вирішує диференціальні рівняння в формі Коші

    Синтаксис

    dsolve ('eqn 1', 'eqn 2', ...)

    • Функція dsolve ('eqn 1', 'eqn 2', ...) повертає аналітичне рішення системи диференціальних рівнянь з початковими умовами. Вони задаються рівностями eqnI.

    Приклади

    >> Dsolve ('D2x =- 2 * x')

    ans =

    C1 * sin (2 ^ (1 / 2) * t) + C2 * cos (2 ^ (1 / 2) * t)

    >> Dsolve ('D2y =- 2 * x + y', 'y (0) = 1', 'x')

    ans =

    2 * x + C1 * sinh (x) + cosh (x)

    1. Графічні можливості

    Функція ezplot - будує графіки символьно заданої функцій

    Синтаксис

    ezplot (f)

    ezplot (f, xmin, xmax)

    ezplot (f, [xmin xmax])

    ezplot (f, [xmin xmax], fig)

    • Функція ezplot (f) будує графік символьно заданої функції f (x) незалежної змінної 'x' в інтервалі [-2 * pi 2 * pi].

    • Функції ezplot (f, xmin, xmax) і ezplot (f, [xmin xmax]) дозволяють визначити діапазон зміни незалежної змінної x від xmin до xmax.

    • Функція ezplot (f, [xmin xmax], fig) забезпечує специфікацію за допомогою параметра fig.

    Приклади

    >> Ezplot ('tan (x)', 0,20)

    >> Grid on

    Рис. 1 Графічні можливості функції ezplot

    Функція ezcontour - Будує контурні графіки функцій виду f (x, y)

    Синтаксис

    ezcontour (f)

    ezcontour (f, domain)

    ezcontour (..., n)

    • Функція ezcontour (f) будує контурний графік з налаштуванням за замовчуванням.

    • Функція ezcontour (f, domain) будує контурний графік з заданими параметром domain межами зміни x і y.

    • Функція ezcontour (..., n) забезпечує раніше зазначені побудови при явному завданні числа ліній n.

    Приклади

    >> Syms xy

    >> Ezcontour (sin (x * y), [-3,3], 30)

    Рис. 2 Графічні можливості ф УНКЦІЇ ezcontour

    >> Syms x y

    >> Ezcontour (sin (x) * sin (y), [-3,3], 50)

    Рис. 3 Графічні можливості ф УНКЦІЇ ezcontour

    Функція ezplot 3 - будує тривимірні графіки параметрично заданих функцій

    ezplot3 (x, y, z)

    ezplot3 (x, y, z, [tmin tmax])

    ezplot3 (..., 'animate')

    • Функція ezplot 3 (x, y, z) будує тривимірний графік функції, заданої параметрично рівняннями x (t), y (t), z (t) при налаштувань за замовчуванням.

    • Функція ezplot 3 (x, y, z, [tmin tmax]) будує тривимірний графік функції, заданої параметрично рівняннями x (t), y (t), z (t) при змінах аргументу t від tmin до tmax ю

    • Функція ezplot 3 (..., 'animate') аналогічна попереднім функцій, але забезпечує анімацію графіка.

    Приклади

    >> Syms t;

    >> Ezplot3 (cos (t), sin (t), t, [0 20], 'animate')

    Рис. 4 Графічні можливості функції ezplot 3

    Функція ezsurf - будує графіки поверхонь, що задаються функціями двох змінних f (x, y)

    Синтаксис

    ezsurf (f)

    ezsurf (f, domain)

    ezsurf (x, y, z)

    ezsurf (x, y, z, [smin, smax, tmin, tmax])

    ezsurf (x, y, z, [min max])

    ezsurf (..., n)

    ezsurf (..., 'circ')

    • Функція ezsurf (f) будує поверхню f (x, y) з параметрами x і y, мінливими за замовчуванням від -2 π до 2 π.

    • Функція ezsurf (f, domain) будує поверхню f (x, y) з межами зміни x і y, заданими параметром domain.

    • Функція ezsurf (x, y, z) будує поверхню, заданої параметрично залежностями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s і t, мінливих в інтервалі -2 π до 2 π.

    • Функція ezsurf (x, y, z, [smin, smax, tmin, tmax]) будує поверхню, заданої параметрично залежностями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s і t, мінливих в заданому інтервалі.

    • Функція ezsurf (x, y, z, [min max]) будує поверхню, заданої параметрично залежностями x (s, t), y (s, t), z (s, t) при s і t, мінливих в однаковому інтервалі від min до max.

    • Функція ezsurf (..., n) аналогічна описаним вище командам, але з заданим числом ліній сітки n.

    Функція ezsurf (..., 'circ') аналогічна описаним вище командам, але вписує поверхню в коло

    Додати в блог або на сайт

    Цей текст може містити помилки.

    Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Лабораторна робота
    100.3кб. | скачати


    Схожі роботи:
    Обчислення 4
    Податки та їх обчислення
    Обчислення риби
    Обчислення меж
    Обчислення висловлень
    Біомолекулярні обчислення
    Квантові обчислення
    Обчислення матричних задач
    Методи обчислення дисперсії
    © Усі права захищені
    написати до нас