Випускна кваліфікаційна робота
«Символ О»
Зміст

Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... Глава 1. Символ Про ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. § 1. Основні визначення, приклади ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... § 2. Основні співвідношення. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... § 3. Рішення задач ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... Глава 2. Програми символу Про ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... § 1. Асимптотичне розв'язання трансцендентних рівнянь дійсного змінного .. ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... ... § 2. Асимптотичне рішення інтегралів ... ... ... ... ... ... .... § 3. Асимптотичне обчислення суми ряду ... .. ... ... ... ... Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

стор 3 стор 5 стор 5 стор 9 стор 14 стор 18 стор 18 стор. 22 стор 24 стор. 26

Введення

Слово асимптотика має грецьке походження і буквально означає «ніколи не з'єднуються». Вивчаючи конічні перетини, давньогрецькі математики розглядали, зокрема, гіперболи, такі, як графік функції ,
має прямі y = x і y = - x своїми «асимптотами». При крива наближається до асимптота, але ніколи не стикається з ними. У наші дні слово «асимптотика» використовується у більш широкому сенсі для позначення будь-якої наближеною величини, яка стає все більш точної у міру наближення деякого параметра до граничного значення.
Точні рішення, якщо їх вдається отримати, - це чудово: остаточну відповідь викликає почуття глибокого задоволення. Але і наближене значення іноді виявляється в ціні.
У 1894 році Пауль Бахман придумав позначення для асимптотичного аналізу. У наступні роки його популярності сприяли Едмунд Ландау та ін Ми зустрічаємо це позначення у формулах на зразок:
, (1.1)
яка говорить нам, що n-е гармонійне число дорівнює натуральному логарифму n плюс константа Ейлера плюс деяка величина, яка становить «Про велике від 1 на n». Ця остання величина точно не визначена, однак, якою б вона не була, позначення «О» дозволяє стверджувати, що вона не перевершує константу, помножену на 1 / n.
Величину Про (1 / n) можна вважати пренебрежимо малої, якщо тільки нас не цікавлять величини, що відрізняються від 1 / n лише постійним множником.
Програми символу Про можна зустріти в різних галузях математики, а й у фізиці. Наприклад, у книзі Панченкова О.М. «Асимптотичні методи в екстремальних задачах механіки» розглядається застосування асимптотичних методів у вирішенні завдань аеродинаміки.
Мета дипломної роботи:
вивчити поняття «Символ О» і показати його застосування.
Завдання:
1. Вивчити поняття «Символ О», дати визначення.
2. Вивчити і довести основні співвідношення.
3. Показати застосування символу О при вирішенні завдань.
4. Знайти застосування символу О в різних галузях математики.
На підставі поставлених цілей і завдань кваліфікаційна робота розбита на два розділи.
Глава 1 «Символ О» складається з трьох параграфів. У першому параграфі розглядаються основні визначення, наводяться приклади, у другому - формулюються затвердження, наводяться їх докази, третій параграф присвячений вирішенню завдань.
Глава 2 «Програми символу О» висвітлює застосування символу О, а саме, при вирішенні трансцендентних рівнянь, при обчисленні інтегралів, при знаходженні суми рядів.

Глава 1. Символ О.
§ 1. Основні визначення, приклади
Визначення 1:
f (n) = O (g (n)) для всіх n Î N (1.1.1)
означає, що існує така константа, що
для всіх n Î N; (1.1.2)
а якщо позначення O (g (n)) використано всередині формули, то воно означає функцію f (n), що задовольняє (1.1.2). Значення функції f (n) невідомі, але ми знаємо, що вони не надто великі.
Символ «О» включає невизначену константу С, кожне входження Про може мати на увазі різні С, але кожна з цих констант не залежить від n.
Приклад 1: ми знаємо, що сума квадратів перших n натуральних чисел дорівнює
_n = .
Можна записати _n = О (n ^3),
так як для всіх цілих n. Можна отримати більш точну формулу
_n = О (n ^2), так як
для всіх цілих n. Можна також недбало відкинути частину інформації і записати _n = О (n ^10).
Визначення Про не змушує нас давати найкращу оцінку.
Розглянемо приклад, коли змінна n - не цілочисельна.
Приклад 2: , Де х - дійсне число.
Тут вже не можна сказати, що S (x) = O (x ^3), так як відношення необмежено зростає при х ® 0. Не можна також сказати, що S (x) = O (x), тому що ставлення необмежено зростає, коли х прямує до нескінченності. Значить, ми не можемо використовувати символ «О» для оцінки S (x).
Ця дилема дозволяється завдяки тому, що на змінні, використовувані з О, звичайно накладаються які-небудь обмеження. Якщо, наприклад, ми поставимо умова, що , Або що , Де e - довільна позитивна константа, або що х - ціле число, то ми зможемо записати S (x) = O (x ^3). Якщо ж накладено умову або , Де с - довільна позитивна константа, то в цьому випадку S (x) = O (x). «Про велике» залежить від контексту, від обмежень на використовувані змінні.
Ці обмеження часто задаються у вигляді граничних співвідношень.
Визначення 2: співвідношення f (n) = O (g (n)) при n ® ¥ означає, що існують дві константи С і n _0, такі, що
при всіх n ³ n _0. (1.1.3)
Зауваження 1: Значення С і n ₀ можуть бути різними для різних О, але вони не залежать від n.
Визначення 3: запис f (х) = O (g (х)) при х ® 0 означає, що існують дві константи С і e, такі, що
, Якщо тільки . (1.1.4)
Тепер Про представляє невизначену функцію і одну або дві невизначені константи, що залежать від контексту.
Зауваження 2: запис коректна, але в цій рівності не можна міняти місцями праву і ліву частини. В іншому випадку ми можемо прийти до безглуздих висновків, на зразок n = n ^2, виходячи з вірних тотожностей n = О (n ²⁾ і n ² = О (n ^2).
Працюючи із символом «О» ми маємо справу з односторонніми равенствами. Права частина рівняння містить не більше інформації, ніж ліва, і фактично може містити менше інформації; права частина є «огрубіння» лівою.
Якщо говорити строго формально, то запис O (g (n)) позначає не якусь одну функцію f (n), а відразу безліч функцій f (n), таких, що для деякої константи. Звичайна формула g (n), що не включає символ О, позначає безліч, що містить одну функцію f (n) = g (n). Якщо S і T суть безлічі функцій від n, то запис S   + T позначає безліч всіх функцій виду f (n) + g (n), де f (n) Î S і g (n) Î T; інші позначення на зразок S - T, ST, S / T, , Е ^S, ln S визначаються аналогічно. Тоді «рівність» між двома такими множинами функцій є теоретико-множинне включення; знак «=» насправді означає «Í».
Приклад 3: «Рівняння» означає, що S ₁ Í S _2, де S ₁ є множина всіх функцій виду , Для яких знайдеться константа З _1, така, що , А S ₂ є безліч всіх функцій , Для яких знайдеться константа _2, така, що .
Можна строго довести це «рівність», якщо взяти довільний елемент з лівої частини і показати, що він належить правій частині: нехай таке, що , Слід довести, що існує така константа З _2, що . Константа вирішує проблему, так як для всіх цілих n.
Зауваження 3: Якщо у формулі використовується декілька змінних, то символ Про представляє безліч функцій від двох або більше змінних, а не тільки від однієї. В область визначення кожної функції входять всі змінні, які в даному контексті «вільні» для зміни.
Тут є деяка тонкість з огляду на те, що змінні можуть мати сенс лише в частині виразу, якщо вони пов'язані знаком S або подібним.
Приклад 4: , Ціле n ³ 0. (1.1.5)
Вираз k ² + O (k) в лівій частині відповідає множині функцій від двох змінних виду k ² + f (k, n), для яких знайдеться константа, така, що для 0 £ k £ n. Сума таких множин функцій для 0 £ k £ n є безліч всіх функцій g (n) виду
,
де f задовольняє сформульованому умові. Оскільки
то всі такі функції g (n) належать правій частині (1.1.5), отже, (1.1.5) справедливо.

§ 2. Основні співвідношення
Співвідношення 1: якщо . (1.2.1)
Доказ:
Нехай , Тоді по властивості ступеня і модуля. , Де С = 1. А за визначенням (1.1.2) символу Про це і означає, що при . Співвідношення 1 доведено.
Співвідношення 2: . (1.2.2)
Доказ:
Покажемо строго у відповідності з теоретико-множинним визначенням символу О, що ліва частина є підмножиною правій частині.
Будь-яка функція з лівої частини має вигляд a (n)   + B (n), і існують константи m _0, B, n _0, C, такі, що
і .
Отже, функція у лівій частині

А, значить, за визначенням символу Про ліва частина належить правій частині. Співвідношення 2 доведено.
Співвідношення 3: f (n)   = O (f (n)); (1.2.3)
Доказ:

Для будь-якої функції f (n) вірно нерівність . , Де С = 1. За визначенням символу Про (1.1.2) це і означає, що f (n) = O (f (n)). Співвідношення 3 доведено.

Співвідношення 4: O (f (n)) O (g (n))   = O (f (n) g (n)); (1.2.4)
Доказ:
Покажемо відповідно до теоретико-множинним визначенням символу О, що ліва частина є підмножиною правій частині.
У лівій частині функції мають вигляд a (n) × b (n), такі, що існують константи В, С, n _0, m _0, що
і
.
Тоді для будь-якого n ³ max (n _0, m _0,). Значить ліва частина належить правій частині, а, отже, є підмножиною правій частині по визначенню символу О. Співвідношення 6 доведено.
Співвідношення 5: O (O (f (n)))   = O (f (n)); (1.2.5)
Доказ:
Покажемо, що ліва частина є підмножиною правій частині.
Функція з лівої частини має вигляд a (n) такий, що існують позитивні константи, В, n _0, m ₀ такі, що

Отже, за визначенням ліва частина є підмножиною правій частині. Співвідношення 5 доведено.
Співвідношення 6: З   × O (f (n))   = O (f (n)), якщо С - константа; (1.2.6)
Доказ:
Існує така константа В, що , За визначенням (1.1.1) С = О (1). Тоді З   × O (f (n))   =   Про (1)   × O (f (n)) = (за 1.2.4) = O (f (n)).
Співвідношення доведено.
Співвідношення 7: O (f (n) g (n))   = F (n) O (g (n)). (1.2.7)
Доказ:
Покажемо, що ліва частина є підмножиною правій частині.
У лівій частині функції мають вигляд a (n), такі, що існують константи, n _0, що
.
За визначенням символу Про ми отримуємо вірне рівність (1.2.7). Співвідношення 7 доведено.
Співвідношення 8: O (f (n) ²⁾   =   O (f (n)) ^2. (1.2.8)
Доказ:
O (f (n) ²⁾   = O (f (n) · f (n))   = (За 1.2.7) = f (n) · O (f (n)) = (за 1.2.3) = О (f (n)) · O (f (n)) = O (f (n) ) ²
Співвідношення доведено.
Співвідношення 9: е ^{O (f (n))}   =   1 + O (f (n)), якщо f (n) = О (1) (1.2.9)
Доказ:
е ^{O (f (n))}   = Е ^{g (n),} де . Оскільки f (n) = О (1), тобто , То .

. Значить е ^{O (f (n))}   =   1 + O (f (n)).
Співвідношення доведено.
Співвідношення 10: Якщо сума сходиться абсолютно для деякого комплексного числа z = z _0, то
.
Доказ:
Дане співвідношення очевидно, оскільки
.
Співвідношення доведено.
Зауваження 4: Зокрема, S (z) = O (1) при z ® 0 і S (1 / n) = O (1) при n ® ¥ при тому тільки умови, що S (z) сходиться хоча б для одного ненульового значення z. Ми можемо використовувати цей принцип для того, щоб, відкинувши хвіст степеневого ряду, починаючи з будь-якого зручного місця, оцінити цей хвіст через О. Так, наприклад, не тільки S (z) = O (1), а й
S (z) = a ₀ + O (z), S (z) = a ₀ + a ₁ z + O (z ^2),
і т.д., оскільки
,
а остання сума, як і сама S (z), абсолютно сходиться при z = z ₀ і є О (1).
У таблиці № 1 приведені найкорисніші асимптотичні формули [2], половина з яких одержана просто шляхом відкидання членів степеневого ряду відповідно до цього правила.

Таблиця № 1

Асимптотичні апроксимації, справедливі при n ®   ¥ і z ® 0

(1.2.10)

(1.2.11)

(1.2.12)

(1.2.13)

(1.2.14)

(1.2.15)

Асимптотичні формули для H _n, n! не є початковими відрізками збіжних рядів; якщо необмежено продовжити ці формули, то отримані ряди будуть розходитися при всіх n.
Кажуть, що асимптотична апроксимація має абсолютну похибка O (g (n)), якщо вона має вигляд f (n) + O (g (n)), де f (n) не включає Про. Апроксимація виду f (n) (1 + O (g (n))) має відносну похибку O (g (n)), якщо f (n) не включає Про. Наприклад, апроксимація H _n в таблиці № 1 має абсолютну похибка O (n ^-6); апроксимація n! - Відносну похибку O (n ^-4). (Права частина (1.2.11) не така, як потрібно, - f (n) (1 + O (n ^-4)), але її можна переписати як
.
Абсолютна похибка цієї апроксимації є O ⁽ⁿ n ^-3.5 e ^{- n).} Абсолютна похибка співвідноситься з числом вірних десяткових цифр праворуч від десяткової точки, які зберігаються після відкидання члена О; відносна похибка пов'язана з кількістю вірних «значущих цифр».

§ 3. Рішення задач
Завдання 1. Що неправильно в наступних міркуваннях? Оскільки n = O (n) і 2 n = O (n) і так далі, то укладаємо, що ?
Рішення:
Заміна kn на O (n) має на увазі різні С для різних k; а потрібно, щоб усі Про мали загальну константу. У дійсності, в даному випадку потрібно, щоб Про позначало безліч функцій двох змінних, k і n. Правильно буде записати .
Завдання 2. Доведіть або спростуйте: О (f (n) + g (n)) = f (n) + O (g (n)), якщо f (n) і g (n) позитивні для всіх n Î N.
Рішення:

Затвердження брехливо.

Нехай f (n) = n ^2, а g (n) = 1. Знайдемо таку функцію j (n), яка б належала лівому безлічі, але не належала б правому безлічі, тобто ($ З ₁₎ ("n) [j (n) £ C ₁ (n ² + 1)] і (" З ₂₎ ($ n ³ n ₀₎ [j (n)> n ² + C _2].

Візьмемо j (n) = 2 n ^2.

1). Нехай З ₁ = 3, тоді ("n ³ n ₀₎ 2 n ² £ 3 (n ² + 1). Значить функція j (n) належить лівому безлічі.

2). ("З ₂₎ ($ n> ) 2 n ^2> n ² + C _2. Значить функція j (n) не належить правому безлічі.

Завдання 3. Доведіть або спростуйте: cos O (x) = 1 + O (x ²⁾ для всіх речових х.
Рішення:
Якщо функція g (x) належить лівої частини так, що g (x) = cos y для деякого y, причому для деякої константи, то
g (x) = cos y = 1 - 2 sin ² (y / 2) £ 1 = 1 + 0 × х ^2. Значить існує така константа В, що g (x) £ 1 + В × х ^2. Отже, безліч з лівої частини міститься в правій частині, і формула вірна.
Завдання 4. Доведіть, що .
Рішення:
Перетворимо ліву частину наступним чином:
.
Зауважимо, що , Тоді , Де С - константа, тоді можна записати за визначенням символу О, що . Використовуючи це для перетвореного рівності, отримуємо, що
= (За 1.2.4)

Що і потрібно було довести.
Завдання 5. Обчисліть при n Î N.
Рішення:

(За 1.2.6)
(За 1.2.3)
(За 1.2.4)
(За 1.2.2)

Завдання 6. Обчисліть (n + 2 + O (n ^{-1)) n} з відносною похибкою
O (n ^-1), при n ® ¥.
Рішення:

(За 1.2.3 і 1.2.4)

При n ® ¥ k = (2 n ^-1 + O (n ^-2)) ® 0, тоді ln (1 + k) ® 0. Тоді при n ® ¥
ln (1 + k) = k.
(За 1.2.9)
.
Завдання 7. Доведіть, що , При n Î N, n ® ¥.
Рішення:
Покажемо, що . (*)
За визначенням - Функція а _n така, що . Отримуємо, що , Значить .
Тепер доведемо, що :
= (За 1.2.4 і 1.2.6) = = (По (*))
= (За 1.2.6) = (За 1.2.9)
= (За 1.2.6) = .

Глава 2. Програми символу О.
§ 1. Асимптотичне розв'язання трансцендентних рівнянь: дійсного змінного
Приклад 1.
Розглянемо рівняння
x + th x = u,
де u - дійсний параметр, - Гіперболічний тангенс [6], , Х і th x - безперервні, строго зростаючі функції на всій числовій прямій.
Знайдемо асимптотичні наближення для кореня:
1). Функція u (x) = x + th x неперервна і строго монотонна на R. По теоремі про безперервність зворотної функції, існує зворотна до неї функція х (і), безперервна і строго монотонна на Е _і = R.
Тому що при х ® ¥ і (х) ® ¥, то при і ® ¥ х (і) ® ¥.
Нехай і ® ¥, тоді х ® ¥ і .
Значить, х (і) ~ і, при і ® ¥. Це перше асимптотичну наближення для кореня.
2). Наведемо рівняння до вигляду:
x = і - th x.
+ С, де С - деяка константа. За визначенням символу Про thx = 1 + O (1).
x = і - 1 + О (1) - це друге асимптотичну наближення кореня.
3). Доведемо, що е ^{-2 х} = О (е ^{-2 і):} (2.1.1)
підставимо другу асимптотичну наближення кореня
е ^{-2 х} = е ^{-2 (і - 1 + Про (1))} = е ^{-2 і} × е ² × е ^{О (1)} = (за 1.2.3 і 1.2.9) = е ² О (е ^{-2 і)} (1 + Про (1)) × =
(За 1.2.3) = е ² О (е ^{-2 і)} (2 О (1)) = (за 1.2.6 і 1.2.4) = О (е ^{-2 і).}
Розкладемо th x в ряд [6], зручний при великих х:
th x = 1 - ^2е-2х + ^2е-4х - ^2е-6х + ... (х> 0)
Тоді за теоремою [3]: (2.1.2)
якщо ряд сходиться при , Тоді для фіксованого n в будь-якому колі , Де .
Ряд - ^2е-2х + ^2е-4х - ^2е-6х + ... сходиться при х> 0, тобто і його сума дорівнює th x - 1. Значить, по теоремі: th x - 1 = О ^(е-2х), тобто
th x = О ^(е-2х) + 1.
Тоді x = і - th x = і - 1 + О ^(е-2х) = (по 2.1.1) = і - 1 + О (О ^(е-2І)) =
(За 1.2.5) = і - 1 + О ^(е-2І).
Таким чином, x = і - 1 + О ^(е-2І) - цей третій асимптотичну наближення кореня.
4). Доведемо, що е ^{-2 х} = е ^{-2 і + 2 +} О (е ^{-4 і):} (2.1.3)
підставимо третій асимптотичну наближення кореня
(За 1.2.9)
(За 1.2.6)
(За 1.2.3 і 1.2.4) .
Ряд ^2е-4х - ^2е-6х + ^2е-8х - ^2е-10х + ... сходиться при х> 0, тобто і його сума дорівнює th x - 1 + ^2е-2х. Значить, по теоремі: th x - 1 + ^2е-2х = О ^(е-4х),
тобто th x = О ^(е-4х) + 1 - ^2е-2х.
Тоді x = і - th x = і - 1 + ^2е-2х + О ^(е-4х) = (по 2.1.3) =
= І - 1 + 2 ^{(е-2І +2} + О ^{(е-4 і))} + О ^(е-4х) = (по 1.2.6) =
= І - 1 + ^{2е-2І +2} + О ^{(е-4 і)} + О ^(е-2х × ^е-2х) = (по 2.1.1) =
= І - 1 + ^{2е-2І +2} + О ^{(е-4 і)} + О (О ^(е-2І) × О ^(е-2І)) = (за 1.2.4) =
= І - 1 + ^{2е-2І +2} + О ^{(е-4 і)} + О (О ^{(е-4 і))} = (за 1.2.5) =
= І - 1 + ^{2е-2І +2} + О ^{(е-4 і)} + О ^{(е-4 і)} = і - 1 + ^{2е-2І +2} + 2 О ^{(е-4 і)} = (по 1.2.6) =
= І - 1 + ^{2е-2І +2} + О ^{(е-4 і).}
Таким чином, x = і - 1 + ^{2е-2І +2} + О ^{(е-4 і)} - цей четверте асимптотичну наближення кореня.
Продовжуючи цей процес, отримаємо послідовність наближень з помилками, асимптотичний порядок яких постійно зменшується. Збіжність цієї послідовності при необмеженому зростанні числа кроків на основі проведених міркувань побачити важко, але чисельні можливості цього процесу можна оцінити, взявши, наприклад, і = 5:
1) х = 5;
2) х = і - 1 + О (1) = 5 - 1 = 4; (не враховуємо помилку Про (1))
3) x = і - 1 + О ^(е-2І) = 5 - 1 = 4; (не враховуємо помилку О ^(е-2І))
4) x = і - 1 + ^{2е-2І +2} + О ^{(е-4 і)} = 5 - 1 + 0,000670925 ... = 4,000670925 ... (Не враховуємо помилку О ^{(е-4 і))}
Точне значення, отримане стандартними чисельними методами, так само 4,0006698 ...
Приклад 2.
Знайдемо великі позитивні корені рівняння
x tg x = 1
Це рівняння можна звернути наступним чином:
,
де n - ціле число, а арктангенс приймає значення в інтервалі , Знаходимо, що x ~ n p при (n → ¥).
Якщо x> 1, то [6]

1). По теоремі (2.1.2) .
.
2).
По теоремі (2.1.2) . Тоді .
.
3).
По теоремі (2.1.2) . Тоді .
.
І так далі.

§ 2. Асимптотичне рішення інтегралів
Приклад 1. Обчислити при х> 1.
Розкладемо в ряд [6]:

По теоремі (2.1.2) , Тобто .

Приклад 2. Обчислити при e ® +0, , А (х) - ступінчаста функція: А (х) = 0 при х <0, А (х) = А _k, k £ x <k + 1,
А _k = а ₁ + а ₂ + ... + а _k, а _k = k ^-1. Причому .
Скористаємося асимптотичної формулою [4]
,
де g - стала Ейлера . Введемо функцію Ã (х) = lnx + g.

.
Останній інтеграл має порядок О (e ln e) при e ® +0, а передостанній - дорівнює - g / 2, так що
.
S (e) = I + J, де
.
Оцінимо інтеграл J. Нехай , Тоді "k ³ 1
.
Прологаріфміруем , Отримаємо . Значить
Отже,
.
Отримуємо, що
.

§ 3. Асимптотичне обчислення суми ряду
При знаходженні суми ряду нерідко використовується формула підсумовування Ейлера [2]:

де
У _k - числа Бернуллі, У _m ({x}) - многочлен Бернуллі.
У _k = (-1) ^k b _2k. [6]
. Коефіцієнти b _k обчислюються, використовуючи теорему про єдиність розкладання функції в степеневий ряд:

шляхом прирівнюючи коефіцієнтів:
коефіцієнт при х: b ₀ = 1,
коефіцієнт при х ^k:

Приклад 1. Знайти .
За 1.2.10 Н _k = ln k + O (1). Тоді .
Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:




.
Приклад 2. Знайти
Застосуємо формулу підсумовування Ейлера:


Приклад 3. Знайти асимптотики при n ® ¥ суми
Члени цієї суми швидко ростуть із збільшенням номера, так що головний член асимптотики дорівнює останньому члену суми: S (n) ~ n!, N ® ¥. Дійсно,

Отже,


Література
1. Брейн, Н.Г. Асимптотичні методи в аналізі / Н.Г. Брейн. - М.: Іноземна література, 1961.
2. Грехем, Р. Конкретна математика. Підстава інформатики: Пер. з англ. / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташнік. - М.: Світ, 1998.
3. Олвер, Ф. Введення в асимптотичні методи та спеціальні функції / Ф. Олвер. - М.: Наука, 1978.
4. Панченков, О.М. Асимптотичні методи в екстремальних задачах механіки / О.М. Панченков. - К.: Наука, 1982.
5. Федорюк, М.В. Асимптотика: інтеграли і ряди / М.В. Федорюк. - М.: Наука, 1987.
6. Фіхтенгольц, Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення. Том 2. / Г.М. Фіхтенгольц. - М.: Наука, 1969.