Середньозважені індекси їх застосування в статистиці

При побудові агрегатного індексу фізичного обсягу виробленої на підприємстві продукції як ваги може бути використана собівартість базисного періоду
(6)
Цей індекс характеризує зміну витрат виробництва продукції ( ) В результаті зміни фізичного обсягу її виробництва.
Аналогічно індексу фізичного обсягу продукції будуються індекси фізичного обсягу товарообігу і споживання.
Значення загального індексу залежить від зміни двох індексованих величин: кількість товарів ( ) І цін ( ). Вона характеризує зміну обсягу продукції і в цілому продукції в цілому, тобто відображає одночасне вплив обох факторів - зміна і кількостей товарів і зміна рівня цін. Цей індекс частіше обчислюється в торгівлі, коли необхідно знати зміна товарообігу у фактичних цінах. У промисловості ж переважно обчислюється індекс фізичного обсягу продукції в порівняних, фіксовані ціни, що дозволяють визначити динаміку, що випускається.
Агрегатний спосіб обчислення загальних індексів у статистиці є основним найпоширенішим, разом з тим застосовується й інший спосіб розрахунку загальних індексів як середніх з відповідних індивідуальних індексів. До підрахунку таких середньозважених індексів вдаються тоді, коли наявна в розпорядженні інформація не дозволяє розрахувати загальний агрегатний індекс. Так, якщо невідомі кількості вироблених окремих видів продукції в натуральному вимірі, але відомі індивідуальні індекси ( ) Та вартість продукції базисного періоду ( ), Можна визначити середній арифметичний індекс фізичного обсягу продукції.
Вихідною базою побудови середньозваженого індексу фізичного обсягу продукції служить його агрегатна форма, див. формулу (4):

З наявних даних безпосередньо можна тільки отримати знаменник цієї формули. Для знаходження чисельника використовуємо формулу індивідуального індексу обсягу продукції , З якої випливає, що . Підставляючи цей вираз в чисельник агрегатної форми, отримуємо загальний індекс фізичного обсягу у формі середнього арифметичного індексу фізичного обсягу продукції, де вагами служить вартість окремих видів продукції в базисному періоді ( ):
(7)
При виборі ваг слід мати на увазі, що середній індекс повинен бути тотожний агрегатному, який є основною формою індексу.
Якщо відомі дані, що дозволяють обчислити тільки чисельник агрегатного індексу фізичного обсягу за формулою (4), то, аналогічно висловлюючи продукцію базисного періоду як , Виробляємо заміну в знаменнику агрегатної форми. У результаті отримуємо загальний індекс фізичного обсягу у формі середнього гармонійного зваженого індексу фізичного обсягу продукції, де вагами служить вартість продукції звітного періоду в базисних (або порівнянних) цінах ( ):
(8)
У формі середньої гармонійної зваженої індекс фізичного обсягу використовується тільки в аналітичних цілях.
Отже, застосування тієї чи іншої формули індексу фізичного обсягу (агрегатного, середнього арифметичного або середнього гармонійного) залежить від наявних в нашому розпорядженні конкретних даних і мети дослідження.
3. Загальні індекси якісних показників
Кожен якісний показник пов'язаний з тим чи іншим об'ємним показником, в розрахунку на одиницю якого він обчислюється. Так, з обсягом виробленої (проданої) продукції пов'язані такі якісні показники, як ціна p, собівартість z і трудомісткість t.
В умовах ринкових відносин в економіці особливе місце серед індексів якісних показників відводиться індексу цін. За допомогою індексу споживчих цін (ІСЦ) [1] здійснюються оцінка динаміки цін на товари виробничого та невиробничого споживання, перерахунок найважливіших вартісних показників СНР з фактичних цін у порівняні. Індекс споживчих цін є загальним вимірником інфляції, використовується при коригуванні законодавчо встановленого мінімального розміру оплати праці, встановлення ставок податків і т.д.
Розглянемо принципи побудови агрегатних індексів якісних показників на прикладі індексу цін.
Оскільки цей індекс характеризує зміну цін, индексируемой величиною в ньому буде ціна товару. Вплив кількості проданих товарів має бути усунуто, а це можливо тільки в тому випадку, якщо кількість товарів, що продаються незмінно в обидва періоди, тобто кількість товарів одного з періодів прийнято в якості ваг індексу.
Питання про те, кількість проданих товарів якого періоду (поточного або базисного) слід взяти в якості ваг при побудові агрегатного індексу, вирішується виходячи зі сфери його застосування.
При побудові індексу цін в якості ваг індексу зазвичай беруть кількість товарів, проданих у поточному (звітному) періоді. Це пояснюється тим, що таке обчислення індексу цін дозволяє визначити не тільки відносне зміна цін (шляхом поділу чисельника індексу на його знаменник ), Але й абсолютну економію (-) або абсолютний перевитрата (+) грошових коштів покупців у результаті зміни цін на ці товари (як різниця між чисельником і знаменником індексу):

Агрегатний індекс цін з звітними вагами вперше запропонований в 1874 р. Німецьким економістом Г. Паші і носить його ім'я.
Формула агрегатного індексу цін Паші:
(9)
де - Фактична вартість продукції (товарообігу) звітного періоду;
- Умовна вартість товарів, реалізованих у звітному періоді по базисних цінами.
Індекс цін Паші показує, у скільки разів зріс (зменшився) у середньому рівень цін на масу товару, реалізовану у звітному періоді, або скільки відсотків становить його зростання (зниження) у звітному періоді в порівнянні з базисним періодом.
Якщо зі значення індексу цін відняти 100%, тобто ( ), То різниця покаже на скільки відсотків у середньому зріс (зменшився) за цей час рівень цін на масу товарів, реалізовану у звітному періоді.
При такому методі, розрахувавши індекс цін за формулою (9), можна підрахувати економічний ефект від зміни цін.
Однак треба зазначити, що зазначений вибір ваг при побудові агрегатного індексу цін не можна вважати обов'язковим у всіх випадках. У статистиці багато завдань можуть і повинні вирішуватися по-різному в залежності від конкретної мети та особливостей дослідження. Для цього існує індекс, побудований по продукції базисного періоду.
Формула агрегатного індексу цін Ласпейреса:
(10)
Значення індексів цін Паші і Ласпейреса для одних і тих же даних не збігаються, тому що мають різне економічне зміст.
ü Індекс Паші характеризує зміну цін звітного періоду порівняно з базисним по товарах, реалізованим у звітному періоді, та фактичну економію (перевитрата) від зміни цін, тобто індекс цін Пааше показує, на скільки товари в звітному періоді стали дорожчими (дешевше), ніж у базисному.
ü Економічний зміст індексу Ласпейреса інше: він показує, на скільки змінилися ціни в звітному періоді в порівнянні з базисним, то з тієї продукції, яка була реалізована в базисному періоді, і економію (перевитрата), яку можна було б отримати від зміни цін, т . е. умовну економію (перевитрата). Інакше кажучи, індекс цін Ласпейреса показує у скільки разів товари базисного періоду подорожчали 9подешевелі) через зміни цін на них у звітному періоді. Тому застосування формули Ласпейреса обмежено особливими умовами дослідження (наприклад, при прогнозуванні обсягу товарообігу, у зв'язку з наміченими змінами цін на товари в майбутньому періоді).
При виборі періоду, на основі якого проводиться зважування, потрібно мати на увазі два що суперечать один одному вимоги:
v завдання вивчення структури та динаміки цін вимагають, щоб розрахунки показників цін проводилися протягом досить тривалого періоду на одній і тій же базі порівняння;
v безперервно відбуваються зміни в структурі виробництва і споживання, у співвідношенні цін на окремі продукти, поява нових продуктів і зникнення старих, зміна якості продуктів вимагають можливо більш частого зміни базисного періоду.
До переходу до ринкових відносин вітчизняна статистика віддавала перевагу індексу цін Пааше. В умовах же високої інфляції зважування за вагами звітного періоду (індекс Пааше) вимагає щорічного (щоквартального, щомісячного) перерахунку інформації для формування системи ваг, що пов'язано з великими витратами часу, матеріальних і трудових ресурсів, тому, починаючи з 1991 р., органи державної статистики Росії визначають зміну загального рівня цін на товари і послуги за формулою Ласпейреса, якій віддається перевага, і в зарубіжній статистиці. Спостереження за зміною цін (тарифів) проводять на території всіх суб'єктів Російської Федерації.
Для характеристики динаміки цін на споживчому рівні розраховується зведений індекс споживчих цін (ІСЦ), який відображає динаміку цін кінцевого споживання.
«Ідеальний» індекс цін Фішера (за ім'ям американського економіста І. Фішера) являє собою середню геометричну з твору двох агрегатних індексів цін Ласпейреса і Паші:
(11)
Ідеальність формули полягає в тому, що індекс є оборотним у часі, тобто при перестановці базисного і звітного періодів отриманий «зворотний» індекс - це величина зворотна величиною початкового індексу (цій умові відповідає будь-який індивідуальний індекс).
Однак геометрична форма індексу має принциповий недолік: воно позбавлена ​​конкретного індексу Паші і Ласпейреса різниця між чисельником і знаменником не покаже ніякої реальної економії (чи втрат) через зміну цін. Індекс Фішера в силу складності розрахунку і труднощі економічної інтерпретації на практиці використовується досить рідко, найчастіше - при обчисленні індексів цін за тривалий період часу для згладжування тенденцій у структурі та складі обсягу продукції, у яких відбуваються значні зміни.
Виробництво будь-якої продукції пов'язано з матеріальними витратами (сировина, паливо, енергія, знос обладнання та інструментів тощо), а також з оплатою праці працівників підприємств.
Сума витрат у грошовому вираженні, пов'язаних з виробництвом та реалізацією продукції або виконанням певних робіт, становить витрати виробництва. Витрати виробництва виробничих підприємств виступають як собівартість продукції.
Собівартість продукції (робіт, послуг) - найважливіший показник ефективності діяльності підприємства, являє собою вартісну оцінку використовуваних у процесі виробництва продукції (робіт, послуг) природних ресурсів, сировини, матеріалів, палива, енергії, основних фондів, трудових ресурсів, а також інших витрат на її виробництво і реалізацію.
Очевидно, чим економніше витрачаються матеріали, енергія, чим менше інші види матеріальних витрат, чим правильніше організовані працю і її оплата, тим менша собівартість продукції.
Собівартість є частиною відпускної ціни продукції, п отже, вартості продукції. Зниження собівартості продукції (робіт, послуг) без шкоди для її якості або зниження її питомої ваги в повній вартості продукції - важлива умова забезпечення конкурентоспроможності товару на ринку, джерело отримання додаткового прибутку.
Індекс собівартості продукції характеризує середня зміна собівартості одиниці продукції звітного періоду за порівнянним з базисним періодом колу продукції. Формула агрегатного індексу собівартості продукції має вигляд:
(12)
Де - Витрати на виробництво продукції звітного періоду;
У - Витрати на виробництво тієї ж продукції, якщо б собівартість одиниці продукції залишилася на рівні базисного періоду.
Розрахований за формулою (12) індекс собівартості показує, у скільки разів зменшився (зріс) в середньому рівень собівартості на продукцію, вироблену в звітному періоді, або скільки відсотків становить його зниження (зростання) у звітному періоді в порівнянні з базисним.
Якщо зі значення індексу собівартості відняти 100%, тобто ( ), То різниця покаже, на скільки відсотків у середньому зменшився (зріс) рівень собівартості на продукцію, вироблену в звітному періоді.
Різниця між чисельником і знаменником характеризує економію (-), перевитрата (+) у витратах від зниження собівартості одиниці продукції:

4. Застосування середньозважених індексів в статистиці
На прикладах можна було побачити, що загальний агрегатний індекс одночасно є індексом середнім з індивідуальних. Всякий загальний агрегатний індекс можна обчислити як середню зважену величину з індивідуальних індексів. Але при такому способі розрахунку потрібно правильно взяти форму середньої і систему ваг для індивідуальних індексів. Питання про вибір форми середньої та системи ваг в цьому випадку вирішується на основі загального правила, що агрегатний індекс _ основна форма всякого економічного індексу. Наслідком цього правила є те, що середній із індивідуальних індексів повинен бути тотожний агрегатному вихідного. Це означає, що середні з індивідуальних індексів виступають як перетворена форма агрегатного індексу. А так як агрегатний індекс може бути перетворений тільки або в середній арифметичний, або в середній гармонійний, то, отже, при обчисленні середніх індексів можуть бути використані лише дві форми середніх: середня арифметична і середня гармонійна. Ніяка інша форма при розрахунку не застосовується.
Покажемо перетворення агрегатного індексу якісного показника в середній гармонійний і середній арифметичний на прикладі індексу цін.
У тих випадках, коли невідомі окремі значення і , Але дано їх твір , (Товарообіг поточного періоду) та індивідуальні індекси цін , А зведений індекс повинен бути обчислений з звітними вагами, - застосовується середній гармонійний індекс цін. Причому, індивідуальні індекси повинні бути зважені таким чином, щоб середній гармонійний індекс збігся з агрегатним. З формули визначаємо невідоме значення , Підставляємо його в знаменник агрегатної формули (9) і отримуємо середній гармонійний індекс цін, який тотожний формулою Паші:
(13)
Терезами індивідуальних індексів в цьому індексі служить вартість окремих видів продукції звітного періоду в цінах того ж періоду .
Якщо з індивідуального індексу цін висловимо ціну звітного періоду і підставимо в чисельник агрегатного індексу цін (10), то отримаємо середній арифметичний індекс цін, тотожний агрегатному індексу Ласпейреса:

Терезами осередненою індивідуальних індексів в цьому індексі служить обсяг товарообігу у базисному періоді ( ).
Аналогічно до індексу цін обчислюються і середні індекси собівартості продукції.
Наведемо загальну схему перетворення агрегатних індексів у індекси середні арифметичні і середні гармонічні.
Таблиця 1

Найменування індексу	Індивідуальний індекс	Перетворення індивідуального індексу	Агрегатний індекс	Середній арифметичний	Середній гармонічний
Фізичного обсягу
Цін
Собівартості
Продуктивності праці

* Ці формули теоретично можливі, практично вони не застосовуються (див. список літератури п.5)
Важливою особливістю загальних індексів, побудова та розрахунок яких складають суть індексного методу, є те, що вони володіють синтетичними та аналітичними властивостями:
Ø Синтетичні властивості загальних індексів полягають у тому, що вони виражають відносні зміни складних (разнотоварних) явищ, окремі частини і елементи яких безпосередньо несумірні.