Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій на елективної курсі з математики 2

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти

Державна освітня установа

вищої професійної освіти

«Вятський державний гуманітарний університет»

Фізико-математичний факультет

Кафедра дидактики фізики і математики

Випускна кваліфікаційна робота

Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій на елективної курсі з математики в старших класах загальноосвітньої школи

Виконала:

курса студентка V курсу
фізико-математичного факультету (спеціальність 050201.65 Математика)

Халіуллін Розалія Рафільевна

Науковий керівник:

кандидат педагогічних наук,
доцент кафедри дидактики фізики і математики
Крутіхін Марина Вікторівна

Рецензент:

старший викладач кафедри дидактики фізики і математики
Ошуева Олена Сергіївна

Робота допущена до захисту в ГАК

«___» _________2008 Р. Зам. зав. кафедрою ____________ М. В. Крутіхін

«___» _________2008 Р. Декан факультету ______________ Є. В. Кантор

Кіров 2008

Зміст



Введення

Глава I. Теоретичні основи розробки елективних курсів

§ 1.Електівние курси

§ 2. Використання властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей Глава II. Розробка елективного курсу «Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій»

§ 1. Методичні засади розробки елективного курсу

§ 2. Розробка занять елективного курсу

§ 3. Дослідне викладання

Висновок

Бібліографічний список

Введення

Принциповим положенням організації шкільної математичної освіти в даний час є диференціація навчання математики - рівнева диференціація і профільна диференціація в старших класах середньої школи. Концепція модернізації російської освіти на період до 2010 р. передбачає створення "системи спеціалізованої підготовки (профільного навчання) у старших класах загальноосвітньої школи, орієнтованої на індивідуалізацію навчання і соціалізацію учнів, в тому числі з урахуванням реальних потреб ринку праці ... відпрацювання гнучкої системи профілів". [17] Широкий перехід на профільне навчання у старших класах загальноосвітніх установ Російської Федерації почався з 2006/07 навчального року.

У Росії є досвід диференційованого навчання. У 1864 р. було введено розділення освіти на два типи - "класичне" (що відкриває шлях для вступу в університет) і реальне. Проект реформи освіти 1915-1916 рр.. передбачав поділ на три варіанти: новогуманітарное, гуманітарне та реальну освіту. З 1918 по 1934 р. в старших класах виділялося три напрямки: гуманітарний, природничо-математичне та технічне. У 1934 р. були введені єдині навчальні плани і єдині навчальні програми. Але подальший розвиток соціалістичного будівництва викликало необхідність диференціації навчання. Для цього, поряд з розвитком системи шкіл (класів) з поглибленим вивченням окремих предметів, в 1966 р. були організовані масові факультативні курси в загальноосвітніх школах.

У 1970-1980 рр.. навчання старшокласників було пов'язано з отриманням масових професій у системі навчально-виробничих комбінатів. Однак цей досвід виявився малоефективним: істотні витрати на вузькопрофільних навчання не восполнялись через незатребуваність цих професій на ринку праці. Федеральний закон "Про освіту", прийнятий у 1992р., відкрив можливості для створення широкого спектру загальноосвітніх установ (ліцеїв, гімназій, коледжів), широко реалізують варіативні програми навчання, у тому числі і профільної предпрофессиональное підготовки [15].

В даний час програма з математики для середньої загальноосвітньої школи, що працює за базисного навчального плану, передбачає формування в школярів уявлень про математику як частини загальнолюдської культури, як певному методі пізнання світу [32]. Але на даний момент зміст шкільного курсу математики не відповідає вимогам, які виникли в сучасних умовах. Обсяг знань, необхідний людині, різко зростає, в той час як кількість відводяться для занять годин скорочується. Одним із засобів реалізації вимог програми та вирішення наявних проблем є перехід школи на профільне навчання і введення елективних курсів. Згідно з «Концепцією профільного навчання на старшій ступені загальної освіти» [18] особлива роль при організації профільного навчання відводиться елективний курсів, які пов'язані із задоволенням індивідуальних освітніх інтересів, потреб і схильностей кожного школяра. Їх введення направлено на реалізацію особистісно-орієнтованого навчального процесу, при якому істотно розширюються можливості побудови учнями індивідуальних освітніх програм, оскільки елективні курси в найбільшою мірою пов'язані з вибором кожним школярем змісту освіти в залежності від його інтересів, здібностей, наступних життєвих планів. Мотивами для вибору елективного курсу в учнів можуть бути наступні:

- Підготовка до випускних і вступних іспитів;

- Підтримка вивчення базового курсу математики;

- Зацікавленість математикою;

- Професійна орієнтація.

В курси може бути включений матеріал, пов'язаний з рівняннями і нерівностями. Він складає значну частину шкільного курсу математики, але тимчасові рамки уроку не дозволяють розглянути всі питання. Крім того, обов'язковим мінімумом змісту навчання математики, заданим державним стандартом для основної школи, визначено навчальний матеріал для обов'язкового розгляду, але не для обов'язкового засвоєння (наприклад, нестандартні методи розв'язання рівнянь і нерівностей, методи рішення рівнянь і нерівностей з параметром і т.д. ).

З огляду на важливість і просторості матеріалу, пов'язаного з поняттями рівнянь і нерівностей, їх вивчення в сучасній методиці математики організовано в змістовно-методичну лінію - лінію рівнянь і нерівностей [25]. Існує три основних напрямки розгортання даної лінії у шкільному курсі математики.

  • Прикладна спрямованість лінії рівнянь і нерівностей розкривається головним чином при вивченні алгебраїчного методу розв'язання текстових задач. Рівняння і нерівності є основною частиною математичних засобів, використовуваних при вирішенні текстових завдань.

  • Теоретико-математична спрямованість розкривається у двох аспектах: у вивченні найбільш важливих класів рівнянь, нерівностей та їх систем, і у вивченні узагальнених понять і методів відносяться до лінії в цілому.

  • Для лінії рівнянь і нерівностей характерна спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики. Лінія рівнянь і нерівностей також тісно пов'язана з функціональною лінією. З одного боку - застосування методів, що розробляються в лінії рівнянь і нерівностей, до дослідження функції. З іншого боку, функціональна лінія робить істотний вплив як на утримання лінії рівнянь і нерівностей, так і на стиль її вивчення. Зокрема, функціональні подання служать основою залучення графічної наочності до рішення і дослідженню рівнянь, нерівностей.

З кожним рівнянням, нерівністю пов'язані конструюють їх аналітичні вирази. Останні в свою чергу можуть ставити функції однієї або кількох змінних. Тому присутність функцій, а точніше, їх властивостей, не може не впливати на рішення задач такого роду. Просто в одних випадках ми як би негласно використовуємо властивості функцій, в інших явно посилаємося на них. Часом «гласне» зсув акцентів у бік властивостей функцій може надати істотну користь в пошуку раціональних ідей рішення. Вивчені властивості функцій і методи їх дослідження повинні знайти застосування в школі при вирішенні рівнянь, нерівностей. У шкільному курсі математики розгляд цих питань залишається осторонь, але у ЄДІ досить часто зустрічаються завдання, які вирішуються за допомогою застосування властивостей функцій. Тому доцільно цей матеріал винести на курси за вибором.

Таким чином, тема даної роботи «Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій на елективної курсі з математики в старших класах загальноосвітньої школи» актуальна

Об'єкт дослідження: процес застосування властивостей функції як методу розв'язання рівнянь, нерівностей на елективних курсах у старших класах.

Предмет дослідження: методика вивчення теми «Використання властивостей функцій для розв'язування рівнянь і нерівностей» на елективних курсах.

Мета роботи: розробити методику застосування властивостей функції для вирішення рівнянь і нерівностей на елективних курсах.

Гіпотеза: вміння застосовувати необхідні властивості функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей дозволить учням вирішувати їх на свідомій основі, використовувати різні способи рішення, вибираючи з них найбільш раціональні, в тому числі ті, які не розглянуті в шкільних підручниках.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:

  1. Проаналізувати програму та основні підручники, передбачені Федеральним переліком підручників з математики для 10-11 класів, з точки зору застосування властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей.

  2. Проаналізувати завдання та результати ЄДІ.

  3. Підібрати систему завдань для роботи на елективних курсах з математики.

  4. Розробити методичні рекомендації з навчання рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій.

  5. Здійснити дослідне викладання.

Для вирішення поставлених завдань застосовувалися такі методи:

  1. Вивчення математичної, методичної та педагогічної літератури.

  2. Аналіз шкільних підручників, текстів і результатів ЄДІ.

  3. Дослідне викладання.

  4. Спостереження за роботою учнів на уроках і позакласних заняттях з математики.

. Глава I. Теоретичні основи розробки елективних курсів

§ 1.Електівние курси

Курси за вибором з математики (курси за вибором) відіграють важливу роль у системі профільного навчання на старшій ступені школи. Курси за вибором сприяють створенню умов для істотної диференціації та індивідуалізації змісту навчання математики старшокласників. На відміну від факультативних курсів, що склалися нині в школі, елективні курси обов'язкові для учнів.

    1. Типи навчальних предметів профільного навчання

Профільне навчання є засобом диференціації та індивідуалізації навчання, що дозволяє за рахунок змін у структурі, змісті та організації освітнього процесу більш повно враховувати інтереси, схильності і здібності учнів, створювати умови для навчання старшокласників відповідно до їх професійними інтересами та намірами щодо продовження освіти. Згідно концепції профільного навчання [18] на старшій ступені передбачається можливість різноманітних комбінацій навчальних предметів, що дозволить забезпечувати гнучку систему профільного навчання. Ця система повинна включати в себе наступні типи навчальних предметів: базові загальноосвітні, профільні та елективні [19].

Базові загальноосвітні предмети є обов'язковими для всіх учнів і інваріантними для всіх профілів навчання. Пропонується наступний набір обов'язкових загальноосвітніх предметів: математика, історія, російська й іноземні мови, фізична культура, а також інтегровані курси суспільствознавства (для природничо-математичного, технологічного та інших можливих профілів), природознавства (для гуманітарного, соціально-економічного та інших можливих профілів) .

Профільні загальноосвітні предмети - предмети, що визначають спрямованість кожного конкретного профілю навчання, є обов'язковими для учнів, що вибрали даний профіль навчання. Забезпечують поглиблене вивчення окремих предметів.

Курси за вибором - обов'язкові для відвідування курси за вибором учнів, що входять до складу профілю навчання на старшій ступені школи. Курси за вибором стають основним засобом задоволення індивідуальних освітніх інтересів, потреб і схильностей школяра.

    1. Цілі, завдання, функції елективних курсів

Мета вивчення елективних курсів - орієнтація на індивідуалізацію навчання і соціалізацію учнів, на підготовку до усвідомленого і відповідального вибору сфери майбутньої професійної діяльності.

Виходячи з цього, можна сформулювати вимоги до тематики та змісту елективних курсів:

  • мати соціальну й особистісну значущість, актуальність як з точки зору підготовки кваліфікованих кадрів, так і для особистісного розвитку учнів;

  • сприяти соціалізації та адаптації учнів, надавати можливість для вибору індивідуальної освітньої траєкторії, усвідомленого професійного самовизначення;

  • підтримувати вивчення базових і профільних загальноосвітніх предметів, а також забезпечувати умови для внутрішньопрофільна спеціалізації навчання;

  • володіти значним розвивають потенціалом, сприяти формуванню цілісної картини світу, розвитку загальнонавчальних, інтелектуальних і професійних навичок [15].

Завдання елективних курсів:

1) створення умов для того, щоб учень утвердився або відмовився від зробленого ним вибору напрямку подальшого навчання і пов'язаного з певним видом професійної діяльності;

2) допомогти старшокласнику, що обрав освітню галузь для більш ретельного вивчення, побачити різноманіття видів діяльності, пов'язаних із нею.

Традиційний поділ завдань на три групи - навчання, виховання, розвиток - не обов'язково, бо воно часто є штучним і не відображає цілісності освітнього процесу.

У відповідності з цілями і завданнями профільного навчання елективні курси виконують різні функції:

  • розвивають зміст базового курсу математики, вивчення якого в даній школі здійснюється на мінімальному загальноосвітньому рівні, що дозволяє підтримувати на профільному рівні або отримувати додаткову підготовку для здачі єдиного державного іспиту з математики;

  • доповнюють зміст профільного курсу математики, виступають його надбудовою, що дозволяє профільному курсом бути в повній мірі поглибленим;

  • задовольняють різноманітні пізнавальні інтереси школярів, що виходять за рамки обраного ними профілю, в різних сферах людської діяльності.

  • орієнтують в особливостях майбутньої професійної діяльності [22].

Кожна із зазначених функцій може бути ведучою, але в цілому вони повинні виконуватися комплексно.

Курси за вибором направлені:

  1. на формування умінь і способів діяльності, пов'язаних з вирішенням практичних завдань з математики;

  2. отримання додаткових знань з математики, інтегруючих отримані знання в єдину наукову картину світу;

  3. придбання освітніх результатів, затребуваних на ринку праці;

  4. підготовку випускників до прийняття рішення про професійну підготовку, а також до підсумкової атестації у формі ЄДІ, до конкурсних іспитів до вузів.

    1. Типи елективних курсів

У науково-методичній літературі умовно виділяють три типи елективних курсів [22]:

I. Предметні курси, завдання яких - поглиблення та розширення знань з предметів, що входять до базового навчальний школи.

У свою чергу, предметні елективні курси можна розділити на кілька груп.

  1. Курси за вибором підвищеного рівня, спрямовані на поглиблення того чи іншого навчального предмета, що мають як тематичне, так і тимчасове узгодження з цим навчальним предметом. Вибір такого елективного курсу дозволить вивчити обраний предмет не на профільному, а на поглибленому рівні.

  2. Курси за вибором, в яких поглиблено вивчаються окремі розділи основного курсу, що входять до обов'язкової програми предмета.

  3. Курси за вибором, в яких поглиблено вивчаються окремі розділи основного курсу, що не входять до обов'язкової програми предмета.

  4. Прикладні елективні курси, мета яких - знайомство учнів з найважливішими шляхами і методами застосування знань на практиці, розвиток інтересу учнів до сучасної техніки і виробництва.

  5. Курси за вибором, присвячені вивченню методів пізнання природи.

  6. Курси за вибором, присвячені історії предмета, як вхідного в навчальний план школи (історія фізики, біології, хімії, географічних відкриттів), так і не входить до нього (історія астрономії, техніки, релігії та ін.)

  7. Курси за вибором, присвячені вивченню методів розв'язання задач (математичних, фізичних, хімічних, біологічних і т.д.), складання і розв'язання задач на основі фізичного, хімічного, біологічного експерименту.

II. Міжпредметні елективні курси, мета яких - інтеграція знань учнів про природу і суспільство.

III. Курси за вибором з предметів, що не входять до базового навчального плану.

Набір елективних курсів на основі базового навчального плану визначається самою школою (шкільний компонент).

Так як елективні курси вибираються самими учнями, вони повинні відповідати їх потребам, цілям навчання і мотивів вибору курсу. Слід зазначити, що до основних мотивів вибору елективних курсів у 10-11 класі, які необхідно враховувати при розробці та реалізації елективних курсів відносяться:

  • підготовка до ЄДІ з профільних предметів;

  • придбання знань і навичок, освоєння способів діяльності для вирішення практичних, життєвих завдань, відхід від традиційного шкільного «академізму»;

  • можливості успішної кар'єри, просування на ринку праці;

  • цікавість;

  • підтримка вивчення базових курсів;

  • професійна орієнтація;

  • інтеграція наявних уявлень в цілісну картину світу.

    Те, що набір елективних курсів визначають самі школярі, ставить учнів у ситуацію самостійного вибору індивідуальної освітньої траєкторії, професійного самовизначення. У зв'язку з цим основними принципами навчання повинні бути:

    • індивідуальність,

    • доступність,

    • наступність,

    • результативність.

      1. Вимоги до змісту програм елективних курсів

    Основою для роботи вчителя, провідного елективний курс, можуть стати програми факультативних курсів, різноманітні навчальні посібники.

    Базовими вимогами до змісту програм елективних курсів є наступні:

    1. орієнтація на сучасні освітні технології;

    2. відповідність навчального навантаження учнів нормативам;

    3. відповідність прийнятим правилам оформлення програм;

    4. наявність посібники, що містить необхідну інформацію;

    5. короткостроковість проведення курсу;

    6. розвиток змісту одного з базових курсів, вивчення якого здійснюється на мінімальному загальноосвітньому рівні, що дозволяє підтримувати вивчення суміжних предметів на передпрофільне рівні;

    7. задоволення пізнавальних інтересів школяра в різних областях діяльності людини;

    8. ознайомлення учнів з комплексними проблемами, що виходять за рамки традиційних навчальних предметів.

    Методичною завданням вчителя є відбір завдань відповідно до функцій елективного курсу і структурування їх особливим чином. Змістом елективного курсу, спрямованого на поглиблення математики, може бути навчальний матеріал, який перевіряється на ЄДІ в частині С на високому рівні складності. Він виступає в якості додаткової підготовки учнів до ЗНО з математики та забезпечує взаємозв'язок з обов'язковим мінімумом змісту навчання на профільному рівні.

    Змістом елективних курсів, розвиваючих базовий курс математики для вивчення суміжних предметів на профільному рівні, можуть стати нові теми обов'язкового мінімуму змісту навчання математики з профільного курсу.

    Для відбору змісту елективних курсів з метою додаткового полготовкі до ЄДІ можна керуватися загальним переліком контрольованих питань утримання курсу математики в контрольно-вимірювальних матеріалах ЄДІ. Для цієї мети можуть служити навчально-методичні посібники для підготовки до ЗНО з математики.

      1. Місце курсу в освітньому процесі

    При розробці змісту та методичної системи елективного курсу важливо показати, яке місце курсу в співвідношенні як із загальноосвітніми, так і з базовими профільними предметами:

    • які міжпредметні зв'язки реалізуються при вивченні елективного курсу;

    • які загальнонавчальні та профільні вміння і навички при цьому розвиваються;

    • яким чином створюються умови для активізації пізнавального інтересу учнів, професійного самовизначення;

    • як введення курсу в навчальний план конкретної школи допоможе у виявленні та вирішенні проблем шкільного суспільства (наприклад, розвиток шкільного самоврядування; організація дозвілля учнів; посилення взаємодії сім'ї і школи; школи, місцевої адміністрації, громадськості; облік регіонального компоненту; поліпшення іміджу та підвищення конкурентоспроможності школи ).

    Курси за вибором характеризується тим, що із запропонованого їх набору учень може вибрати ті, які йому цікаві або потрібні. Як тільки курс обраний, він стає таким же, як нормативний: з обов'язком відвідувати і звітувати. Елективний курс у профільній школі короткостроковий, але його обсяг по годинах (максимум 72 години) вище, ніж рекомендований об'єм курсів за вибором для дев'ятикласників (максимум 35 годин).

    Курси за вибором у старшій школі повинні бути систематичним (раз або два рази на тиждень). У 10-11 класах метою елективного курсу є розширення, поглиблення знань, вироблення специфічних умінь і навичок, знайомство з новими галузями науки в рамках обраного профілю.

      1. Методи та форми навчання

    Методи і форми навчання повинні визначатися вимогами профілізації навчання, врахування індивідуальних і вікових особливостей учнів, розвитку і саморозвитку особистості. У зв'язку з цим виділяють основні пріоритети методики вивчення елективних курсів   [15]:

    • міждисциплінарна інтеграція, яка сприяє становленню цілісного світогляду;

    • навчання через досвід і співробітництво;

    • облік індивідуальних особливостей та потреб учнів;

    • інтерактивність (робота в малих групах, рольові ігри, імітаційне моделювання, тренінги, метод проектів);

    • особистісно-діяльнісний і суб'єкт-суб'єктивний підхід

    • (Більшу увагу до особистості учня, а не цілям вчителя, рівноправне їх взаємодія);

    • фасилітація.

    Провідне місце в навчанні слід відвести методам пошукового та дослідницького характеру, стимулюючим пізнавальну активність учнів. Значною повинна бути частка самостійної роботи з різними джерелами навчальної інформації. При цьому головна функція вчителя - фасилітація - лідерство, засноване на спільній діяльності, спрямоване на досягнення спільної освітньої мети. Такий підхід дозволяє створити позбавлений духу суперництва, конкуренції, агресивності, довірчий психологічний клімат, в основі якого-взаємонавчання, взаємодопомога, співробітництво. З єдиного джерела знань у традиційному навчанні вчитель - фасилітатор перетворюється на «провідника» у світ знань: експерта і консультанта-при вивченні теоретичного матеріалу та виконання самостійних завдань, ведучого - в імітаційній грі і тренінгу, координатора і консультанта-при виконанні навчального проекту.

    При визначенні форм організації навчальних занять слід виходити насамперед із специфічних цілей курсу. Переважаючі форми організації навчальної діяльності на елективних курсах: лекції, семінари, лабораторно-практичні заняття, колоквіуми, заліки.

    Оскільки не виключається вивчення елективного курсу навіть одним учням, необхідно передбачити варіанти вивчення як в колективних, так і в індивідуально-групових формах. У той же час, якщо зміст курсу може бути освоєно тільки в групових чи колективних формах, то слід обумовити мінімальну чисельність навчальної групи.

    Важливо передбачити використання таких методів і форм навчання, які давали б уявлення учням про умови і процесах майбутньої професійної діяльності у відповідності з обраним профілем навчання, тобто в якійсь мірі моделювали б їх.

      1. Форми контролю рівня досягнень учнів.

    Не менш важливо продумати систему форм контролю рівня досягнень учнів та критерії оцінки. Необхідно розробити як форми проміжного контролю, так і форми підсумкової залікової роботи з курсу. Оцінка може виставлятися як у формі «зараховано / не зараховано», так і за бальною шкалою. З метою підвищення привабливості курсу для учнів і підвищення шансів його просування на ринку освітніх послуг бажано, щоб форми і зміст контролю рівня досягнень учнів у рамках елективного курсу узгоджувалися з вимогами контрольно-вимірювальних матеріалів ЄДІ з базових предметів.

    Для контролю рівня досягнення учнів можуть бути використані такі способи, як спостереження активності на занятті, бесіда з учнями, батьками, експертні оцінки педагогів з інших предметів, аналіз творчих, дослідницьких робіт, результатів виконання діагностичних завдань навчального посібника чи робочого зошита, анкетування, тестування. Важливо використовувати оцінку проміжних досягнень, перш за все як інструмент позитивної мотивації, а також своєчасної корекції діяльності як учнів, так і вчителі.

    Для проведення підсумкової атестації за результатами вивчення курсу можна використовувати:

    • спеціальну залікову роботу (іспит, тест);

    • портфоліо учня (сукупність самостійно виконаних робіт і документально підтверджених досягнень;

    • накопичувальну систему оцінювання (коли результати виконання всіх запропонованих завдань оцінюються в балах, які підсумовуються по закінченні курсу).

    Важливим елементом методичної системи елективного курсу є визначення очікуваних результатів вивчення курсу [16]. Очікуваний результат вивчення курсу має на меті відповіді на наступні питання: які знання, вміння, досвід, необхідні для побудови індивідуальної освітньої траєкторії в школі та успішної професійної кар'єри після її закінчення, будуть отримані, які види діяльності будуть освоєні, які цінності будуть запропоновані для засвоєння [15].

      1. Правила оформлення програм

    Структурними елементами програми елективного курсу є [22]:

    1. титульний лист;

    2. пояснювальна записка;

    3. вимоги до підготовки учнів

    4. навчально-тематичний план;

    5. зміст курсу, що вивчається;

    6. методичні рекомендації;

    7. список літератури.

    Пояснювальна записка включає:

    • анотацію, обгрунтування необхідності введення даного курсу в школі. Анотація повинна включати в себе назву, основний зміст, для кого призначений курс. Важливо, щоб анотація була короткою і в той же час давала споживачеві досить повне уявлення про курс: в чому привабливість курсу для учнів, для вчителів, батьків, шкільного співтовариства в цілому;

    • вказівку на місце і роль курсу в профільному навчанні (Важливо показати, яке місце курсу в співвідношенні як із загальноосвітніми, так і з базовими профільними предметами; які міжпредметні зв'язки реалізуються при вивченні елективних курсів, які загальнонавчальні та профільні вміння і навички при цьому розвиваються, яким чином створюються умови для активізації пізнавального інтересу учнів, професійного самовизначення);

      • мета і завдання елективного курсу (Мета курсу - для чого він вивчається, які потреби суб'єктів освітнього процесу задовольняє: учнів, учителів, шкільної спільноти, суспільства; завдання курсу - що необхідно для досягнення цілей);

      • терміни реалізації програми (тривалість навчання, етапи);

      • основні принципи відбору і структурування матеріалу.

      Навчально-тематичний план містить:

      • перелік тем та розділів;

      • час на вивчення;

      • поділ на види навчальної діяльності;

      • форми контролю.

      Оформляється у вигляді таблиці:

      п / п

      Зміст навчального матеріалу

      Всього годин

      У тому числі




      Лекції.

      Практ.

      Сьомін.

      Зміст курсу, що вивчається включає перелік тем, питань теоретичної та практичної частини та їх опис.

      Список літератури складається зі списку книг, використаних при розробці елективного курсу та списку літератури, рекомендованої учням.

      1.9 Курси за вибором в освітній галузі «Математика»

      У старших класах школи вивчаються два предмети, що становлять освітню галузь "Математика", - алгебра та основи математичного аналізу і геометрія.

      Зараз намітилася тенденція наявності в навчальному плані школи одного предмета - математики. Можна припустити, що у створюваній профільній школі, швидше за все, у класах природничого математичного профілю, збережеться роздільне навчання алгебри та геометрії. А от у класах інших профілів у навчальному плані, найімовірніше, буде присутній інтегрований курс математики.

      Специфіка викладання математики в старших класах багато в чому визначається ще й тим, що екзамен з математики даний час з алгебри та початків аналізу) є обов'язковим для всіх школярів. В даний час цей іспит проводиться у вигляді ЄДІ. Єдиний державний іспит з математики - процедура серйозна, що вимагає спеціальної підготовки.

      Математику, на відміну від інших предметів, здають в вузах різного профілю (математичних, природничих, технічних, економічних, військових, пов'язаних з математичною лінгвістикою і т. д.). З введенням ЄДІ на вчителя математики явно чи неявно покладається ще більша відповідальність за здачу його випускниками вступних іспитів до вузу.

      З усього вищевикладеного можна зробити висновок, що у профільній школі математика займе дуже важливе місце, вчитель математики незалежно від профілю буде, так чи інакше, прагнути до збільшення числа навчальних годин по своєму предмету, тому, швидше за все, абсолютна більшість учителів математики будуть зацікавлені у введення елективних курсів.

      Висновок по параграфу: викладені вище цілі, завдання, типи, вимоги до елективний курсів необхідно враховувати при розробці будь-якого елективного курсу.

      § 2. Використання властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей

        1. Загальні методи рішення рівнянь

      У методичній літературі [25], [26] прийнято всі методи, на яких заснована шкільна лінія рівнянь і нерівностей з 7 по 11 класи, ділити на три групи:

      • метод розкладання на множники;

      • метод введення нових змінних;

      • функціонально-графічний метод.

      У даній роботі ми розглянемо третій метод, а саме, використання графіків функцій і різних властивостей функцій.

      До застосування функціонально-графічного методу школярів необхідно привчати з самого початку вивчення теми «Рівняння».

      Рішення деяких задач може бути заснована на властивостях монотонності, періодичності, парності або непарності і т.п. що входять до них функцій.

        1. Аналіз шкільних підручників

      Проаналізувавши підручники, можна зробити висновок, що дана тема розглядається тільки в підручниках математики нового покоління [2], [3], [5], [6] Побудова курсу в цих підручниках здійснюється на основі пріоритетності функціонально-графічної лінії. В інших підручниках функціонально-графічний метод розв'язання рівнянь і нерівностей в окрему тему не виділено. Використання властивостей функції для вирішення завдань згадується побіжно при вивченні інших тем. У нових підручниках міститься також достатня кількість завдань цього типу. У підручнику [2] містяться завдання підвищеного рівня. Наведено найбільш повна система завдань, систематизована по кожній властивості функції.

      Підручник

      А. Г. Мордкович «Алгебра і початки аналізу 10-11», підручник для загальнообов'язкове більш широкої установ [5], [6]

      А. Г. Мордкович, П. В. Семенов «Алгебра і початки аналізу 11», підручник для загальноосвітніх установ (профільний рівень) [3]

      С. М. Нікольський і ін «Алгебра і початки аналізу 11», підручник для загальноосвітніх установ [2]

      О.М. Колмогоров та ін «Алгебра і початки аналізу 11», підручник для загальноосвітніх установ [4]

      Ш.А. Алімов і ін «Алгебра і початки аналізу 10-11», підручник для загальноосвітніх установ [1]

      Місце в курсі

      Глава 8 «Рівняння і нерівності. Системи рівнянь і нерівностей »(остання тема курсу)

      Глава 6 «Рівняння і нерівності. Системи рівнянь і нерівностей »(остання тема курсу)

      «Уравнения, неравенства, системы» Глава II «Рівняння, нерівності, системи»

      Ні окремо виділеної теми. Але в темі «Рішення тригонометричних рівнянь і нерівностей» формулюється теорема про корінь, яка використовується в подальшому вивченні

      Ні окремо виділеної теми

      Зміст теми

      § 56 Загальні методи рішення рівнянь і нерівностей (

      • , Функціонально-графічний метод: теорема про корінь, обмеженість функції)

      § 27 Загальні методи рішення рівнянь і нерівностей (

      • , Функціонально-графічний метод: теорема про корінь, обмеженість функції)

      Рівняння (нерівності) виду

      ;

      • и cos , использование производной) § 12 * Нестадартние методи рішення рівнянь і нерівностей (використання областей існування функцій, неотрицательности функцій, обмеженості, використання властивостей sin і cos, використання похідної)

      Властивість монотонності функції, парності-непарності (при виведенні формул коренів тригонометричних рівнянь)

      Згадується властивість монотонності при розборі прикладу в темі «Показникова функція»



      Приклади розглянутих рівнянь і нерівностей

      (

      ;

      );


      Розв'язати рівняння

      .

      Скільки коренів, що належать даному проміжку, має рівняння

      ?

      Розв'язати рівняння





        1. Аналіз ЄДІ (текстів і результатів)

      Єдиний державний іспит як форма атестації, яка введена в практику російської освіти в 2002 році, з 2009 року переходить з експериментального в штатний режим.

      Аналіз текстів ЄДІ показав, що завдання, при вирішенні яких використовуються властивості функцій зустрічаються щороку.

      У 2003 році в завданнях А9 і С2 при рішенні можна застосувати властивості функцій:

      • А9. Вибрати період, якому належать корені рівняння . (Виконали вірно 64,1% учнів).

      • С2. , при которых уравнение Знайдіть всі значення p, при яких рівняння не має коренів. (104 учнів отримали 4 бали, 36 - 3балла, 56 - 2балла, 261 - 1балл, не впоралися із завданням 13696 учнів) [33].

      У 2004 році - завдання В2. Скільки коренів має рівняння . (Виконали вірно менше 40% учнів) [34].

      У 2005 році завдання С2 (вирішите рівняння ) Виконали 37% учнів [42].

      У 2007 при виконанні завдання "Розв'яжіть рівняння" в частині В випускники при вирішенні рівняння розглядали два випадки, звично розкриваючи знак модуля. Хоча уважний аналіз умови завдання показує, що на проміжку , На якому слід шукати корені рівняння, вираз приймає тільки позитивні значення [42].

      Аналіз відповідей учасників іспиту показує, що навіть добре підготовлені учні часто виконують завдання, використовуючи "шаблонні" методи рішення, що призводять до громіздким перетворенням і обчислень.

      Очевидно, що при виконанні наведених вище завдань добре підготовлений випускник повинен був показати не тільки знання відомих методів розв'язання рівнянь або перетворення виразів, але і вміння проаналізувати умова, співвіднести дані та вимоги завдання, вивести з умови різні слідства і т.п., тобто показати певний рівень розвитку математичного мислення.

      Таким чином, при навчанні добре успішних учнів потрібно не лише потурбуватися про засвоєння базової складової курсу алгебри і початків аналізу, (засвоєння вивчених правил, формул, методів), але і про реалізацію однієї з головних цілей навчання математики - розвитку мислення учнів, зокрема, математичного мислення. Для реалізації поставленої мети можуть служити елективні курси.

        1. Застосування властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей

      1. M , состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Використання області визначення функції. Якщо при розгляді рівняння (нерівності) з'ясовується, що обидві його частини визначені на множині M, що складається з одного або декількох чисел, то немає необхідності проводити будь-які перетворення рівняння або нерівності. Досить перевірити, є чи ні кожне з цих чисел рішенням даного рівняння (нерівності).

      M , на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет [2], [31]. Якщо множина M, на якому визначені обидві частини рівняння (нерівності), виявиться порожнім безліччю, то в цьому випадку рівняння (нерівність) рішень не має [2], [31].

      Приклад 1. Розв'язати рівняння

      x , одновременно удовлетворяющих условиям ОДЗ цього рівняння складається з усіх x, одночасно задовольняють умови . Це означає, що ОДЗ є порожня множина. Цим рішення рівняння і завершується, тому що встановлено, то жодне число не може бути рішенням, тобто рівняння не має коренів.

      Відповідь: рішень немає.

      При вирішенні нерівностей іноді можна не знаходити ОДЗ, а вирішувати нерівність переходом до рівносильній йому системі нерівностей, у якій або одне з нерівностей не має рішень, або знання його рішення допомагає вирішити систему нерівностей.

      Приклад 2. Вирішити нерівність

      Знаходження ОДЗ нерівності є важке завдання, тому перейдемо до рівносильній йому системі нерівностей .

      Третє нерівність має рішення . x из промежутка Перше і друге нерівність справедливо лише для x з проміжку . Тому цей проміжок є безліччю рішень системи.

      Відповідь: .

      1. Використання монотонності функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей. Це властивість при вирішенні рівнянь і нерівностей використовується найчастіше. Рішення рівнянь і нерівностей з застосуванням монотонності функцій грунтується на наступних твердженнях [21], [31]:

      ( x ) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. 2.1Пусть f (x) - неперервна і строго монотонна функція на деякому проміжку. ( x )= c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке. Тоді рівняння виду f (x) = c, де с - дана константа, може мати не більше одного рішення на цьому проміжку.

      ( x ) и φ( x ) непрерывные на некотором промежутке функции. 2.2.Пусть f (x) і φ (x) неперервні на деякому проміжку функції. ( x ) монотонно возрастает, а φ( x ) убывает, то уравнение f ( x )= φ( x ) имеет не более одного решения на этом промежутке. Тоді якщо f (x) монотонно зростає, а φ (x) убуває, то рівняння f (x) = φ (x) має не більше одного рішення на цьому проміжку.

      ( x ) возрастает на своей области определения. 2.3.Пусть функція f (x) зростає на своїй області визначення. ( x )> c достаточно решить уравнение f ( x )= c . Тоді для вирішення нерівності f (x)> c досить вирішити рівняння f (x) = c. 0 – корень, то решениями неравенства будут значения Якщо x 0 - корінь, то рішеннями нерівності будуть значення ( x ). , Які належать області визначення f (x).

      Розглянемо на прикладах, як використовуються ці твердження.

      Приклад 3. Вирішити нерівність . Існує стандартний прийом рішення: зведення в квадрат (за умови 0). Ми розглянемо рішення даного нерівності з використанням властивості монотонності. Функція, розташована в лівій частині нерівності, монотонно зростає, в правій частині - убуває. З цього випливає, що рівняння 0 – решение этого уравнения, то при має не більше одного рішення, причому якщо x 0 - рішення цього рівняння, то при буде , А рішенням даного нерівності буде . Значення легко підбирається: .

      Відповідь: .

      Приклад 4. Розв'язати рівняння

      Дане рівняння має очевидне рішення . Доведемо, що інших рішень немає. Поділимо обидві частини на , Отримаємо . Ліва частина являє собою монотонно спадну функцію. Права частина функція постійна. Отже, кожне своє значення вона приймає один раз, тобто дане рівняння має єдине рішення.

      Відповідь: .

      1. Рівняння виду . При вирішенні рівнянь даного виду використовуються наступні твердження [2], [5], [31]:

      1. нехай область існування функції и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. є проміжок M і нехай ця функція неперервна і строго монотонна на цьому проміжку. Тоді рівняння буде рівносильно системі ;

      2. совпадает с R , то уравнения якщо множина M співпадає з R, то рівняння і рівносильні;

      У школі найчастіше користуються не цієї теоремою, а її наслідками:

      1. рівняння рівносильно системі (За умови, що );

      2. уравнение для будь-якого натурального числа 2 m рівняння рівносильно системі .

      Зауважимо, що в цих двох системах будь-яке з нерівностей можна опустити.

      Приклад 5. Розв'язати рівняння

      Дане рівняння рівносильне системі . Рівняння має два корені . Нерівності задовольняє тільки перший корінь. Отже система, а, значить, і равносильное їй рівняння мають єдине рішення.

      Відповідь: .

      1. Використання поняття області зміни функції. При вивченні рівнянь у школі звертається увага учнів на знаходженні області допустимих значень невідомого. Проте в стороні залишаються такі питання: якщо область допустимих значень невідомого непорожнє безліч, то чи завжди існує рішення, які необхідні умови його існування? Якщо існує рішення, то чи не можна звузити межі коренів?

      Дати відповіді на ці питання можна, якщо використовувати поняття області зміни функції (або область значень).

      ( x )= Нехай дано рівняння f (x) = ( x ) и , Де f (x) і 1 и X 2 . - Елементарні функції, визначені на множинах X 1 і X 2. для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x , которые принадлежат обоим множествам, то есть A = X 1 ∩ X 2 . Если множество A Тоді областю допустимих значень x для рівняння буде безліч, що складається з тих значень x, які належать обом множинам, тобто A = X 1 ∩ X 2. Якщо множина A = пусте (A = ), То рівняння рішень не має. ≠ Тому розглянемо випадок, коли A ≠ .

      1 и Y 2 . Позначимо області зміни цих функцій відповідно через Y 1 і Y 2. 1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f ( x 1 )= Якщо x 1 є рішенням рівняння, то буде виконуватися числове рівність f (x 1) = ( x 1 ) – значение функции f ( x ) при x = x 1 , а , Де f (x 1) - значення функції f (x) при x = x 1, а значення функції = x 1. при x = x 1.

      ( x ) и Значить, якщо рівняння має рішення, то області значень функції f (x) і 1 ∩ Y 2 ≠ мають загальні елементи (Y 1 ∩ Y 2 ). 1 и Y 2 Якщо ж таких спільних елементів множини Y 1 і Y 2 не містять, то рівняння рішень не має. 1 ∩ Y 2 ≠ З того, що Y 1 ∩ Y 2 , Ще не випливає існування рішення, бо це є тільки необхідне, а не достатня умова. Ці міркування корисно підкріпити графіками [41].

      ( x )≤ Нехай дано нерівність f (x) ≤ ( x ) и , Де f (x) і 1 и X 2 , причем X 1 ∩ X 2 - Елементарні функції, визначені на множинах X 1 і X 2, причому X 1 ∩ X 2 1 и Y 2 . . Позначимо області зміни цих функцій відповідно через Y 1 і Y 2. Якщо проміжок из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f ( a )≤ є рішенням нерівності, то для будь-якого x з цього проміжку буде виконуватися числове нерівність f (a) ≤ ( a ) – значение функции f ( x ) при x = a , а , Де f (a) - значення функції f (x) при x = a, а значення функції = a . Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f ( x ) и при x = a. Значить, якщо нерівність має рішення, то області значень функції f (x) і 1 ∩ Y 2 ≠ мають загальні елементи (Y 1 ∩ Y 2 ). 1 и Y 2 Якщо ж таких спільних елементів множини Y 1 і Y 2 не містять, то рівняння рішень не має.

      Приклад 7. Розв'язати рівняння .

      ОДЗ - безліч дійсних чисел. ( x )= Область зміни функції f (x) = 1 = безліч Y 1 = , Область зміни функції = 2 = безліч Y 2 = . 1 ∩ Y 2 = Тоді Y 1 ∩ Y 2 = = {2}. , при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Отже, якщо рівняння має рішення, то ними можуть бути лише ті значення x, при яких обидві функції одночасно приймають значення, рівне 2. Функція = 0. приймає це значення тільки один раз, при x = 0. (0)=2. Неважко переконатися, що f (0) = 2.

      = 0. Відповідь: x = 0.

      1. Використання властивостей парності або непарності і періодичності функцій. Знання учнів про властивості парних і непарних функцій, про періодичні функції стають більш глибокими і усвідомленими, якщо систематично використовувати ці властивості при вирішенні рівнянь і нерівностей. Крім того, застосування властивостей парності або непарності, періодичності функцій сприяє раціоналізації самих рішень.

      ( x )=0, F ( x )>0 ( F ( x )<0), где F ( x ) – четная или нечетная функция. Нехай маємо рівняння або нерівність F (x) = 0, F (x)> 0 (F (x) <0), де F (x) - парна або непарна функція. Область визначення такої функції симетрична відносно нуля (необхідна умова).

      Для будь-яких двох симетричних значень аргументу з області визначення парна функція приймає рівні числові значення, а непарна - рівні за абсолютною величиною, але протилежного знаку значення.

      Висновки:

      1. ( x )=0, где F ( x ) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Щоб вирішити рівняння F (x) = 0, де F (x) - парна або непарна функція, достатньо знайти позитивні (або негативні) коріння, після чого записати негативні (або позитивні) коріння, симетричні отриманим. =0, если это значение входит в область определения F ( x ). Для непарної функції коренем буде x = 0, якщо це значення входить в область визначення F (x). =0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. Для парному функції значення x = 0 перевіряється безпосередній підстановкою в рівняння.

      1. ( x )>0 ( F ( x )<0), где F ( x ) – четная функция, достаточно найти решения для x ≥0 (или x ≤ 0). Щоб вирішити нерівність F (x)> 0 (F (x) <0), де F (x) - парна функція, достатньо знайти рішення для x ≥ 0 (або x ≤ 0). 1 , x 2 ), где x 1 , Дійсно, якщо рішенням даного нерівності є проміжок (x 1, x 2), де x 1, 2 – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( x 2 , x 1 ). x 2 - числа одного знака або одне з них дорівнює нулю, то його рішенням буде і проміжок (x 2, x 1).

      2. ( x )>0 ( F ( x )<0), F ( x ) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x >0 (или x <0). Щоб вирішити нерівність F (x)> 0 (F (x) <0), F (x) - непарна функція, достатньо знайти його рішення для x> 0 (або x <0). ( x ) для любого x ≥0 ( x ≤ 0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Дійсно, функція F (x) для будь-якого x ≥ 0 (x ≤ 0) з області її визначення може перебувати з нулем в одному з трьох відносин: «дорівнює», «більше», «менше». Отже, якщо нам відомо, при яких значеннях x ( x )≥0 ( F ( x )≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F (x) ≥ 0 (F (x) ≤ 0), то нам буде відомо, при яких значеннях x ( x )>0 ( F ( x )<0) (оставшиеся значения x F (x)> 0 (F (x) <0) (залишилися значення x з області визначення). ( x ) для x >0 (или x < 0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x <0 ( x > 0). Але якщо нам відомі проміжки знакопостоянства функції F (x) для x> 0 (або x <0), то легко записати проміжки знакопостоянства і для x <0 (x> 0).

      ( x ) – периодическая, то решение уравнения F ( x )=0 или неравенства F ( x )>0 ( F ( x )<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Якщо функція F (x) - періодична, то рішення рівняння F (x) = 0 або нерівності F (x)> 0 (F (x) <0) досить знайти на проміжку, рівному по довжині періоду функції, після чого записати спільне рішення . Якщо періодична функція ще й парна або непарна, то рішення досить знайти на проміжку, рівному по довжині половині періоду [41].

      Висновки по параграфу: аналіз методичної і математичної літератури показав, що метод розв'язання рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій використовується в шкільному курсі математики рідко, а в завданнях ЄДІ і на вступних іспитах майже кожен рік пропонуються рівняння і нерівності, вирішення яких спрощується, якщо застосувати властивості функцій.

      Висновки до розділу: введення елективних курсів надасть учням можливість, комбінуючи їх з базовими і профільними предметами, вибудувати індивідуальний маршрут отримання повної середньої освіти. Це дозволить школярам до закінчення навчального закладу вийти з різним рівнем підготовки як мінімальним, так і максимально можливим.

      Відповідно до викладеного цілями, завданнями, типами та вимогами до елективний курсів буде розроблений елективний курс «Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій»

      . Глава II. Розробка елективного курсу

      «Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій»

      § 1. Методичні засади розробки елективного курсу

      Пояснювальна записка. Основне завдання навчання математики в школі - забезпечити міцне і свідоме оволодіння учнями системою математичних знань і вмінь, необхідних у повсякденному житті та трудовій діяльності кожному членові сучасного суспільства, достатніх для вивчення суміжних дисциплін і продовження освіти. Даний елективний курс пов'язаний з основним курсом математики. Розвиває систему раніше придбаних програмних знань, поглиблює і розширює курс математики основної школи. Матеріал, пов'язаний з рівняннями і нерівностями, становить значну частину шкільного курсу математики. Це пояснюється тим, що рівняння і нерівності широко використовуються в різних розділах математики, у вирішенні важливих прикладних задач. Є багато рівнянь і нерівностей, які вважаються для школярів завданнями підвищеної складності. Для вирішення таких завдань краще застосовувати не традиційні методи, а прийоми, які не зовсім звичні для учнів. У даному елективної курсі розглядається метод рішення рівнянь і нерівностей, заснований на застосуванні властивостей функцій (монотонність, обмеженість, парність і ін.) Доцільність цього методу полягає в тому, що він дає більш раціональне рішення рівнянь або нерівностей. Навчальний матеріал, що стосується нестандартних методів розв'язання рівнянь і нерівностей, міститься в навчальних посібниках для підготовки до ЗНО з математики, до конкурсних іспитів до вузів. У тимчасових рамках уроків повністю цей матеріал розглянути неможливо, тому є сенс винести його на курси за вибором.

      Цілі курсу:

      • познайомити учнів з деякими прийомами рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей входять до них функцій, показати застосування похідної при розв'язуванні рівнянь або нерівностей;

      • забезпечити міцне і свідоме оволодіння учнями системою математичних знань і вмінь;

      • поглиблення і розширення знань учнів;

      • прищепити учневі навички вживання нестандартних методів міркування під час вирішення завдань;

      • формування в учнів стійкого інтересу до предмету;

      • виявлення та розвиток їх математичних здібностей, орієнтація на професії, істотним чином пов'язаних з математикою;

      • підготовка учнів до підсумкової атестації і до навчання у вузі.

      Вимоги до підготовки учнів. У результаті вивчення даного елективного курсу учень повинен

      знати:

      • основні властивості функцій, які застосовуються при вирішенні рівнянь і нерівностей;

      • про застосування похідної при розв'язуванні рівнянь і нерівностей;

      • вміти:

      • пояснювати, на основі якого властивості функції вирішуються рівняння або нерівність;

      • застосовувати похідну для доказу властивості функції, що входить в рівняння або нерівність;

      • використовувати набуті знання і вміння в практичній діяльності при підготовці до ЗНО.

      Тематика і зміст даного елективного курсу відповідає таким вимогам:

      • підтримка вивчення базового курсу алгебри;

      • соціальна і особистісна значимість: підвищується рівень освіченості учнів, розширюється їх кругозір, задовольняються пізнавальні інтереси в галузі математики;

      • володіння значним розвивають потенціалом (розвиток математичного мислення, вміння систематизувати, узагальнювати, робити висновки).

      Основна форма викладу теоретичного матеріалу - лекція. На всіх практичних заняттях має бути присутня самостійна робота учнів: як індивідуально, так і в групах. Така організація навчальної діяльності сприяє реалізації поставлених цілей курсу, так як розвиток здібностей учнів можливо лише при свідомому, активної участі в роботі самих школярів.

      Зміст курсу може бути освоєно як в колективних, так і в індивідуально-групових формах. Чисельність навчальної групи може бути будь-хто.

      Очікуваний результат вивчення курсу:

      • знання учнями методів розв'язання рівнянь і нерівностей з використанням властивостей, що входять до них функцій;

      • вміння самостійно добувати інформацію і свідомо її використовувати при виконанні завдань;

      • придбання досвіду в знаходженні правильного і раціонального шляху вирішення рівнянь і нерівностей;

      • практика роботи в групі: вміння розподіляти обов'язки, враховувати думку кожного члена групи, адекватно оцінювати роботу товаришів (за умови колективної форми організації навчання).

      Система форм контролю рівня досягнень учнів та критерії оцінки. Рівень досягнень учнів визначається в результаті:

      • спостереження активності на практикумах;

      • бесіди з учнями;

      • аналізу творчих, дослідницьких робіт;

      • перевірки домашнього завдання;

      • виконання письмових робіт;

      • самостійно створених слайдів, міні-задачників, виконаних проектів, які можуть бути індивідуальними і колективними.

      Підсумкова атестація проводиться у вигляді залікової роботи у формі тесту, що складається з трьох блоків: А - завдання з вибором варіантів відповіді; В - завдання з короткою записом відповіді; С - завдання, які передбачають розгорнуту відповідь.

      Підсумкова оцінка є накопичувальної, тобто результати виконання запропонованих завдань оцінюються в балах, які підсумовуються по закінченні курсу.

      Пропонований курс, як і будь-який інший, покращує імідж і підвищує конкурентоспроможність школи, так як реалізація елективного курсу дає більш глибокі знання з математики, збільшує рівень інтелектуального розвитку.

      Зміст програми. Програма розрахована на друге півріччя 11 класу (2 години на тиждень, всього 11 годин). Це обумовлено тим, що в другому півріччі вже вивчені основні функції та їх властивості.

      1. Функції та їх основні властивості. (1год)

      Поняття функції. Область визначення та область значення функції. Монотонність функції. Обмеженість функції. Парність, непарність, періодичність функцій.

      1. Використання області визначення функцій. (1год)

      Рішення рівнянь і нерівностей з використанням області визначення вхідних в них функцій

      1. Використання монотонності функцій. (2 години)

      Теореми про корінь. Знаходження проміжків монотонності за допомогою похідної. Рішення рівнянь і нерівностей. Рівняння виду .

      1. Використання поняття області зміни функції при розв'язуванні рівнянь. (3 години)

      Способи визначення області зміни функції: з допомогою побудови схеми графіка, введення нового невідомого, зведення до простої функції за допомогою перетворень. Рішення рівнянь і нерівностей. Використання неотрицательности функцій, що входять в рівняння або нерівність.

      1. Використання властивостей парності або непарності і періодичності функцій. (1 година).

      Навчально-тематичне планування елективного курсу

      Література для вчителя: [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [14], [15], [16 ], [21], [23], [24], [27], [29], [30], [31], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41], [42];

      для учнів: [2], [3], [5], [6], [13], [24], [29], [30], [31], [35], [38], [40] .

      § 2. Розробка занять елективного курсу

      Заняття № 1 Тема: «Функції та їх основні властивості».

      Цілі: узагальнення та систематизація наявних в учнів знань з теми «Функції. Основні властивості функцій ».

      Форма роботи: бесіда.

      Хід заняття:

          1. Організаційний момент. Введення в елективний курс «Застосування властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей», повідомлення цілей і завдань курсу, вимог до учнів, форм роботи, системи контролю рівня досягнень учнів і критеріїв оцінки, очікуваного результату після закінчення вивчення курсу. Питання учнів з організації даного курсу та відповіді на них вчителі.

          2. Оглядова лекція на тему «Функція. Основні властивості функцій ». Повторення наявних знань програми загальноосвітньої школи на тему« Функція. Основні властивості функцій »: поняття функції, область визначення і область зміни функції, обмеженість, визначення зростаючої, спадної функції, парність, непарність і періодичність функцій.

        1. Історична довідка. Поняття функції сягає своїм корінням в ту далеку епоху, коли люди вперше зрозуміли, що оточуючі їх явища взаємопов'язані. Вони ще не вміли рахувати, але вже знали, що, чим більше оленів вдасться вбити на полюванні, тим довше плем'я буде позбавлено від голоду, чим сильніше натягнута тятива лука, тим далі полетить стріла, чим довше горить багаття, тим тепліше буде в печері. З розвитком скотарства і землеробства, ремесла і обміну збільшилася кількість відомих людям залежностей між величинами. Багато хто з них виражалися за допомогою чисел. Якщо за одного бика давали 6 овець, то двох биків обмінювали на 12 овець, а трьох биків - на 18 овець; якщо з одного відра глини виготовляли 4 горщика, то з двох відер глини можна було зробити 8 горщиків, а з трьох відер - 12 горщиків. Такі розрахунки призвели до виникнення поняття про пропорційність величин. Вперше термін «функція» (від латинського «функтус» - виконувати) наприкінці XVII століття вжив Лейбніц (1646-1716) [12].

        2. Що називається функцією?

      Нехай кожному числу x в силу некоторого закона f поставлено в соответствие единственное число y . Тогда говорят, что задана функция з безлічі чисел X чинності деякого закону f поставлено у відповідність єдине число y. Тоді кажуть, що задана функція ; при этом x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной. , Визначена на множині X; при цьому x називають незалежною змінною або аргументом, а змінну y - залежною змінною.

        1. Які властивості функцій вам відомі?

          • Область визначення функції. . Чаще всего функцию задают с помощью какой-либо формулы. З визначення функції випливає, що функція задається разом з областю визначення X. Найчастіше функцію задають за допомогою будь-якої формули. При цьому, якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають безліч всіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.

          • Область значень (область зміни) - множина всіх значень функції .

          • Обмеженість функції. Функцію , что для любого x из области определения верно неравенство називають обмеженою знизу (зверху), якщо існує таке число M, що для будь-якого x з області визначення вірно нерівність , ( ). Функція називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху і знизу.

          • Зростання, спадання функції. Функція зростає (убуває), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції. Загальна назва цих двох понять - монотонність.

          • Парність, непарність функції. Функцію називають парному (непарному), якщо для будь-якого значення x выполняется равенство з безлічі X виконується рівність ( ).

          • Періодичність функції. Функцію називають періодичної, якщо існує число , Таке що для будь-якого x з області визначення X число , Число і справедливо рівність і . Число T ( x ). називають періодом функції f (x).

        2. Привести приклад для кожного властивості.

          1. Підведення підсумків заняття. На занятті ми згадали основні відомості про властивості функції. Протягом елективного курсу ми побачимо, як працюють властивості при вирішенні рівнянь і нерівностей.

          2. Постановка домашнього завдання. Повторити теоретичний матеріал.

      Заняття № 2 Тема: «Використання області визначення функцій».

      Мета: познайомити учнів з методом вирішення рівнянь і нерівностей, заснованому на застосуванні області визначення, що входять до них функцій.

      Хід заняття:

      1. Актуалізація знань

      1. Що називається областю визначення функції?

      2. Знайдіть область визначення функцій:

      А) ; Б) .

      1. Що називається областю визначення рівняння (нерівності)? (Безліч всіх значень змінної, при яких рівняння (нерівності) має сенс, або ОДЗ).

      Знайдіть ОДЗ рівняння .

      1. одновременно имеют смысл выражения, стоящие в левой и правой частях. Вчитель робить висновок, що для того, щоб знайти ОДЗ змінної даного рівняння, необхідно знайти область визначення функцій, в нього входять, і подивитися за яких x одночасно мають сенс висловлювання, які стоять в лівій і правій частинах.

      1. Вивчення нового матеріалу.

        1. Розглянемо приклад: . Знайдемо коріння цього рівняння. Зауважимо, що якщо рівняння має рішення, то вони містяться тільки в області визначення рівняння. А ОДЗ ми вже знайшли {-2; 2}. Залишилося підставити ці значення в рівняння. Відповідь: 2.

        2. Розглянемо на прикладі, як знання області визначення допомагає знайти розв'язок нерівності:

      , удовлетворяющие условию ОДЗ нерівності є всі x, що задовольняють умові . из этого промежутка имеем Для всіх x з цього проміжку маємо , А . Отже, рішенням цієї нерівності є проміжок .

      1. Рішення задач. Учні самостійно вирішують у зошиті. Відповіді перевіряються і фіксуються на дошці вчителем. Завдання, що викликали труднощі, розбираються вчителем або одним з учнів на дошці.

      Розв'яжіть рівняння або нерівність (список завдань написаний на дошці):

      1. ;

      2. ;

      3. ;

      4. ;

      5. ;

      6. ;

      7. ;

      8. .

      1. Підведення підсумків заняття.

      Учитель виставляє бали за роботу на занятті. Якщо вирішені перші чотири завдання - 1 бал, за завдання 5-8 по одному балу. Усього за урок можна отримати 5 балів.

      1. Постановка домашнього завдання.

        1. Розв'яжіть рівняння .

        Розв'яжіть рівняння .

        Вирішіть нерівність .

        Підготувати доповіді на тему «Способи докази зростання (зменшення) функцій» (за визначенням, за допомогою похідної) і «Як монотонність допомагає розв'язувати рівняння і нерівності» (сформулювати теореми про корінь, 1 довести). Це завдання виконують два учні за бажанням.

        Заняття № 3 Тема: «Використання монотонності функцій»

        Цілі:

        а) познайомити учнів з методом вирішення рівнянь і нерівностей, заснованому на застосуванні монотонності функцій;

        б) узагальнити і систематизувати знання учнів про монотонності функцій, способи дослідження функції на монотонність.

        Хід заняття:

        1. Перевірка домашнього завдання. Рішення першого завдання вчитель розбирає усно, учні перевіряють у зошиті. Рішення другого і 3-його один учень виписує на дошку до початку заняття. Школярі звіряють зі своїм рішенням, вчитель коментує рішення.

        2. Вивчення нового матеріалу.

        1. Доповідь «Способи докази зростання (зменшення) функцій».

        2. Доповідь «Як монотонність допомагає розв'язувати рівняння і нерівності».

        3. Вчитель робить висновки з доповідей.

        1. Рішення завдань. Список завдань написаний на дошці. Першого завдання розбирається вчителем. На решту дається час для самостійного рішення. Після учні за бажанням показують своє рішення на дошці.

        Розв'яжіть рівняння або нерівність:

        1. ;

        2. ;

        3. ;

        4. ;

        5. ;

        6. ;

        7. .

        1. Підведення підсумків заняття.

        Учитель виставляє бали за роботу на занятті. По одному балу за доповідь, по одному балу за кожну задачу, вирішену біля дошки.

        1. Постановка домашнього завдання.

        1. ;

        2. ;

        3. .

        Заняття № 4 Тема: «Рівняння виду . »

        Мета: систематизувати та узагальнити знання про метод рішення рівнянь виду .

        Хід заняття:

        1. Організаційний момент. Постановка цілей заняття, теми та плану його проведення.

        2. Перевірка домашнього завдання. Рішення кожної задачі з місця пояснюють учні. Якщо потрібно, вчитель коригує і коментує відповіді учнів.

        3. Рішення задач. Вирішення першого завдання вчитель докладно розбирає на дошці.

        1. .

        В обох частинах рівняння стоять функції, схожі зовні. Тому має сенс розглянути функцію .

        ). Назвіть область визначення цієї функції (R).

        ). Дослідіть функцію на монотонність (убуває на R).

        Якщо виконуються ці умови, то вихідне рівняння рівносильне рівнянню . Знайдемо коріння цього рівняння, вони будуть корінням вихідного рівняння.

        1. . У цьому завданні слід звернути увагу учнів на те, що функція визначена не на всій числовій прямій, тому рівняння рівносильно системі ;

        1. ;

        2. ;

        3. .

        1. Підведення підсумків заняття.

        Учням, які вирішили вірно всі завдання, за урок ставиться 3 бали.

        1. Постановка домашнього завдання.

        1. Повторити теоретичний матеріал, пов'язаний з поняттям області зміни функції.

        2. Вирішити рівняння:

        ;

        ;

        ;

        .

        1. Перевірочна робота.

        Варіант № 1

        1. ;

        2. ;

        3. .

        Варіант № 2

        1. ;

        2. ;

        .

        Критерії оцінювання:

        «5» - вірно виконані всі завдання;

        «4» - вірно виконані будь-які два завдання;

        «3» - вірно виконане будь одне завдання.

        Заняття № 5 Тема: «Використання поняття області зміни функції при вирішенні рівнянь».

        Цілі:

        а) вивчити теоретичний матеріал на тему «Використання поняття області зміни функції при вирішенні рівнянь»;

        б) знайомство з основними способами визначення множини значень функції.

        Хід заняття:

        1. Перевірка домашнього завдання. На дошці записується відповідь до кожного завдання. Якщо у більшості учнів є труднощі в рішенні, то завдання розбирається на дошці. Якщо завдання викликало утруднення в невеликої групи учнів, то до кожного з них «приставляється» учень, який виконав завдання, з метою пояснити рішення.

        2. Лекція за темою «Використання поняття області зміни функції при вирішенні рівнянь».

        Твердження 1. Нехай дано рівняння , Причому функції як правило різнорідні. Якщо безлічі значень цих функцій мають спільну точку (або невелике кінцеве число спільних точок) ; , То рівняння рівносильне системі .

        У системі можна вирішити тільки одне рівняння, а друге перевірити підстановкою одержані коренів.

        Твердження 2. Якщо області зміни функцій, що входять в рівняння (нерівність), не мають спільних точок, то рівняння (нерівність) рішень не має.

        Існує кілька способів визначення множини значень функцій. Розглянемо їх на прикладах.

        Приклад 1. Знайти область зміни функції .

        Для вирішення задачі побудуємо схему графіка за допомогою похідної:

        промежуток 1) область визначення функції y проміжок ;

        2) за допомогою похідної знайдемо екстремуми. У точці функція приймає своє максимальне значення;

        3) знайдемо значення функції в точці максимуму і на кінцях відрізка області визначення: ; ; .

        4) таким чином, отримуємо .

        Приклад 2. Знайти область зміни функції .

        Перетворимо функцію до виду .

        Область зміни цієї функції знаходиться безпосередньо: .

        Для знаходження безлічі значень деяких тригонометричних функцій зручно користуватися таким фактом.

        Затвердження 3. Функція виду змінюється на відрізку

        Приклад 3. Знайти область зміни функції .

        Введемо заміну і розглянемо функцію , . Її область зміни за допомогою похідної знайти набагато простіше. .

        Розглянемо на прикладі, як при вирішенні рівнянь знання області зміни функцій, в нього входять, спрощує пошуки коренів.

        Приклад 3. Розв'язати рівняння

        Розглянемо функції, що стоять в лівій і правій частинах рівняння, . Знайдемо їх безліч значень . Скористаємося твердженням 1: так як безлічі значень має спільну точку 2, від рівняння можна перейти до системи . Рішенням системи, а, значить, і вихідного рівняння є .

        Затвердження 4. Нехай дано нерівність . Якщо безлічі значень цих функцій мають спільну точку ; , То нерівність рівносильно системі .

        Приклад 4. Розв'язати нерівність .

        , кроме -1. ОДЗ нерівності є всі дійсні x, крім -1. Розіб'ємо ОДЗ на три проміжку і розглянемо нерівність на кожному з цих проміжків. : На першому і третьому проміжках нерівність виконується для будь-якого x: ( ); ( ); ( ). Отже, обидва проміжку є рішенням нерівності. На другому проміжку , Тобто нерівність рішень не має. Виходячи з цього отримуємо рішенням нерівності .

        1. Постановка домашнього завдання.

        1) Вивчити теоретичний матеріал.

        2) Знайти безліч значень функцій:

        а) ; Б) .

        3) Розв'язати рівняння .

        Заняття № 6 Тема: «Використання поняття області зміни функції при вирішенні рівнянь».

        Мета: закріпити знання з теми «Використання поняття області зміни функції при вирішенні рівнянь».

        Хід заняття:

        1. Перевірка домашнього завдання. До початку заняття один з учнів записує домашнє завдання на дошці вчитель та інші учні перевіряють рішення.

        2. Рішення задач. На дошці написаний список завдань. Учні по одному вирішують біля дошки. Учитель нагадує, що дані рівняння і нерівності вирішуються з використанням безлічі значень функцій, в них входять.

          1. ;

          2. ;

          3. ;

          4. ;

          5. ;

          6. ;

          7. ;

          8. ;

          9. ;

          10. .

        1. Підведення підсумків заняття.

        Учитель виставляє бали за заняття: 1 бал за рішення домашнього завдання, по одному балу за вирішення завдань у дошки

        1. Постановка домашнього завдання

        Вирішити рівняння і нерівність:

        1) ;

        2) ;

        3) ;

        4) .

        Заняття № 7 Тема: «Використання неотрицательности функцій, що входять в рівняння або нерівність».

        Цілі: познайомити учнів з прийомом рішення рівнянь і нерівностей, що складаються з невід'ємних функцій.

        Хід заняття:

        1. Перевірка домашнього завдання. На дошці записується відповідь до кожного завдання. Рівняння, що викликало труднощі, розбирається учнем, що виконали його.

        2. Вивчення нового матеріалу.

        Твердження 1. Нехай є рівняння . Якщо безліч значень кожної з функцій належить проміжку , То рівняння рівносильне системі .

        Назвіть функції, які беруть невід'ємні значення на всій області визначення ( ).

        Приклад 1. Розв'язати рівняння .

        Перетворимо рівняння . Наше рівняння буде рівносильно системі , Яка не має рішень. Значить і вихідне рівняння рішень не має.

        Аналогічне твердження можна сформулювати і для нерівностей.

        Твердження 2. Нехай є нерівність . Якщо безліч значень кожної з функцій належить проміжку , То нерівність рівносильно системі .

        Приклад 2. Розв'язати нерівність .

        справедливы неравенства Так як для будь-якого x справедливі нерівності , То нерівність рівносильно системі , Рішенням якої є . Значить, нерівність має єдине рішення .

        Затвердження 3. Нехай є нерівність . Якщо безліч значень кожної з функцій належить проміжку , То рішеннями нерівності є всі из ОДЗ, за исключением тех x , которые являются решениями системы x з ОДЗ, за винятком тих x, які є рішеннями системи .

        Приклад 3. Розв'язати нерівність

        ОДЗ нерівності . Для знаходження рішення нерівності потрібно виключить з його ОДЗ всі рішення системи . Рішеннями нерівності є всі x з безлічі .

        1. Рішення задач. На дошці написані два варіанти завдань. Учні протягом 13-15 хвилин вирішують кожен свій варіант, потім у парі обмінюються зошитами і перевіряють рішення сусіда по парті і ставлять бали (по одному за кожне правильне рішення рівняння або нерівності). Учитель виписує відповіді на дошці.

        Варіант 1.

        1. ;

        2. ;

        3. .

        Варіант 2.

        1. ;

        2. ;

        3. .

        1. Підведення підсумків заняття. Учитель виставляє бали отримані учнями. 1 бал ставиться учневі, який пояснював домашнє завдання.

        2. Постановка домашнього завдання

        Вирішіть рівняння і нерівність:

        1. ;

        2. ;

        3. ;

        4. .

        Заняття № 8 Тема: «Використання властивостей парності або непарності і періодичності функцій».

        Мета: знайомство з новим прийомом рішення рівнянь і нерівностей - використання властивостей парності, непарності і періодичності функцій.

        Хід заняття:

        1. Перевірка домашнього завдання. До початку заняття двоє учнів виписують рішення на дошці. Інші на занятті перевіряють правильність рішення.

        2. Актуалізація знань.

        Які функції називаються парними, які непарними?

        Наведіть приклади.

        Дослідити функції на парність: ; .

        Сформулюйте визначення періодичної функції.

        Які з перерахованих функцій є періодичними, вкажіть їх період: , , .

        Вивчення нового матеріалу.

        Твердження 1. Нехай дана функція . з областю існування X. Нехай дано число α ≠ 0. Тоді функція 1 , которая характеризуется свойством: для любого має область існування X 1, яка характеризується властивістю: для будь-якого число , А для будь-якого число . При цьому, якщо функція , то функция має період T, то функція має період .

        Твердження 2. ( x ) – периодическая, то решение уравнения F ( x )=0 или неравенства F ( x )>0 ( F ( x )<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Якщо функція F (x) - періодична, то рішення рівняння F (x) = 0 або нерівності F (x)> 0 (F (x) <0) досить знайти на проміжку, рівному по довжині періоду функції, після чого записати спільне рішення .

        Затвердження 3. ( x )=0, где F ( x ) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Щоб вирішити рівняння F (x) = 0, де F (x) - парна або непарна функція, достатньо знайти позитивні (або негативні) коріння, після чого записати негативні (або позитивні) коріння, симетричні отриманим. =0, если это значение входит в область определения F ( x ). Для непарної функції коренем буде x = 0, якщо це значення входить в область визначення F (x). =0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. Для парному функції значення x = 0 перевіряється безпосередній підстановкою в рівняння.

        Затвердження 4. ( x )>0 ( F ( x )<0), где F ( x ) – четная функция, достаточно найти решения для x ≥0 (или x ≤ 0). Щоб вирішити нерівність F (x)> 0 (F (x) <0), де F (x) - парна функція, достатньо знайти рішення для x ≥ 0 (або x ≤ 0). 1 , x 2 ), где x 1 , Якщо рішенням даного нерівності є проміжок (x 1, x 2), де x 1, 2 – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( x 2 , x 1 ). x 2 - числа одного знака або одне з них дорівнює нулю, то його рішенням буде і проміжок (x 2, x 1).

        Затвердження 5. ( x )>0 ( F ( x )<0), F ( x ) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x >0 (или x <0). Щоб вирішити нерівність F (x)> 0 (F (x) <0), F (x) - непарна функція, достатньо знайти його рішення для x> 0 (або x <0). ( x ) для любого x ≥0 ( x ≤ 0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Дійсно, функція F (x) для будь-якого x ≥ 0 (x ≤ 0) з області її визначення може перебувати з нулем в одному з трьох відносин: «дорівнює», «більше», «менше». Отже, якщо нам відомо, при яких значеннях x ( x )≥0 ( F ( x )≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F (x) ≥ 0 (F (x) ≤ 0), то нам буде відомо, при яких значеннях x ( x )>0 ( F ( x )<0) (оставшиеся значения x F (x)> 0 (F (x) <0) (залишилися значення x з області визначення). ( x ) для x >0 (или x < 0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x <0 ( x > 0). Але якщо нам відомі проміжки знакопостоянства функції F (x) для x> 0 (або x <0), то легко записати проміжки знакопостоянства і для x <0 (x> 0).

        Рішення завдань. Список завдань написаний на дошці. Перше і друге вчитель докладно розбирає. Інші учні самостійно вирішують у зошиті і за бажанням демонструють своє рішення на дошці.

        1) Розв'язати рівняння

        Період, що входять в рівняння функцій Т = 200 p. Зведемо обидві частини в квадрат і отримаємо ; . Перевіримо коріння в межах періоду:

        Рішенням рівняння є .

        2) Розв'язати рівняння ;

        Зауважимо, що в обох частинах рівняння стоять парні функції, тому вирішимо дане рівняння з використанням властивостей парному функції. ≥ 0. З урахуванням сказаного вище для парної функції, досить знайти рішення для x ≥ 0. = 0 не есть корень уравнения. Але x = 0 не є корінь рівняння. Розглянемо два проміжки (0, 2], (2, ∞). На проміжку (0, 2] маємо ; = ; X = . На проміжку (2, ∞) маємо ; =2 x ; x = 0. , 3 x = 2 x; x = 0. =0 не является корнем уравнения, то для x > 0 данное уравнение имеет корень x = Але так як x = 0 не є коренем рівняння, то для x> 0 дане рівняння має корінь x = = . Але тоді x = також є коренем рівняння.

        3) ;

        4) .

        1. Підведення підсумків заняття.

        Учитель виставляє бали учням по одному балу за рішення домашнього завдання і за рішення біля дошки.

        Постановка домашнього завдання. На цьому занятті завершується теоретична частина курсу. Наступний урок посвітив вирішення різних завдань. Тому вам потрібно повторити всю теорію, подивитися прийоми розв'язання рівнянь і нерівностей, розглянуті нами на попередніх заняттях. Заняття пройде у формі гри. Клас потрібно розділити на команди. Кожна команда готує назву, девіз.

        Заняття № 9 «Морський бій»

        Цілі: закріпити наявні знання учнів з вивченого матеріалу.

        Правила гри.

        Заняття проводиться у формі гри «Морський бій». Основою гри є дитяча гра «Морський бій». Поле з проставленими на ньому очками є ігровим полем для даної гри. Наприклад, для морського бою 5 * 5 клітин ігрове поле і поле провідного будуть виглядати наступним чином:

        На ігровому полі проставлені окуляри і букви «Б» бліц-турнір (за 60 секунд відповісти на максимальну кількість питань), «М» - музичний конкурс (проспівати пісні, в яких міститися числівники, хто більше), «К» - конкурс капітанів.

        На полі у ведучого розташовані кораблі, координат яких грають не знають.

        Команди розподіляють між собою порівну кораблі (по 2 кораблі кожній команді) і ведучий називає командам в таємниці від інших координати цих кораблів.

        Та команда, якій випадає за жеребом починати гру, називає координату першого «пострілу». Якщо на цій клітці стоїть корабель, то команда отримує в плюс окуляри, проставлені на клітці і продовжує стрільбу. Якщо на цій точці немає корабля, то ведучий пропонує команді питання тієї складності, скільки очок варто на цій клітці. Якщо команда відповіла правильно, то очки зараховуються в плюс, якщо неправильно або не відповіла, то в мінус. Хід переходить до супротивника.

        Команда вибуває з гри, якщо «потоплені» всі її кораблі. Виграє та команда, яка до моменту, коли збиті всі кораблі, набере більше очок (переможцем може вважатися і та команда, у якої залишився останній корабель «на плаву»).

        Учасники: команди по 10 чоловік.

        Тривалість гри: близько 90 хвилин.

        Система суддівства: вихователі та група дітей.

        Реквізит: ігрове поле, табло для окулярів, моделі кораблів для жеребкування, фломастери, для позначення ходів на ігровому полі.

        Хід заняття:

        1. Представлення команд.

        2. За допомогою жереба вибирають, хто ходить першим.

        Завдання. 5 балів:

        1. ;

        2. ;

        4 бали:

        1. ;

        2. ;

        3. ;

        3 бали:

        1. ;

        2. ;

        3. ;

        4. ;

        2 бали:

        1. ;

        2. ;

        3. ;

        4. ;

        5. ;

        1 бал:

        1. ;

        2. ;

        3. ;

        4. ;

        5. ;

        6. ;

        7. .

        «К» - конкурс капітанів.

        1. «ЛІТЕРИ»: для проведення цього конкурсу знадобиться підготувати літери алфавіту по 3 - 4 пари кожній. Капітани команд витягують з ящика (коробки) заздалегідь обумовлений провідним кількість літер (8 - 10). Завдання - з букв скласти можливу кількість слів. Переможцем стає той, хто швидше і правильніше виконає завдання.

        2. «Стиль»: капітани обмінюються складами, перекидаючи, один одному м'яч. Наприклад, перший говорить «так», другий «ча». І так до тих пір, поки хто-небудь не зачепиться, не зможе скласти слово. (Складається слова повинні бути з вивченої теми)

        «М» - музичний конкурс (проспівати пісні про математику або в тексті яких міститься числівник, хто більше).

        «Б» - бліц-турнір (за 60 секунд відповісти на максимальну кількість питань).

        Зразкові питання:

        Що називається функцією?

        Перерахуйте основні властивості функцій.

        Що називається областю визначення функції?

        Що називається безліччю значень функції?

        Яка функція називається парному?

        Яка функція називається парному?

        Наведіть приклад обмеженою функції.

        Яка функція називається монотонною?

        Наведіть приклад функції зростаючою на всій області визначення.

        Підведення підсумків: з'ясувати допущені помилки, недоліки у проведенні гри. Дізнатися думку учасників і глядачів про проведений захід. Команді-переможцю вручається диплом і кожному члену команди ставиться 5 балів. Команді, що зайняла друге місце ставиться 4 бали. Можна нагородити окремих учасників у номінаціях «Приз глядацьких симпатій», «Кращий капітан», і т.д.

        В кінці уроку нагадати учням, що наступне заняття залікове.

        Заняття № 10 Залік.

        Цілі: перевірити знання учнів з теми «Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій».

        Устаткування і засоби: картки із завданнями на 2 варіанти.

        Хід заняття:

        1. Організаційний момент. Постановка цілей заняття, настрій на роботу. На занятті учням належить виконати залікову роботу, складену за типом контрольно-вимірювальних матеріалів єдиного державного іспиту, тому її можна вважати безпосередньо підготовкою до здачі ЄДІ, який належить пройти після закінчення школи.

        2. Перевірка рівня знань і вмінь. У роботі пропонується три завдання рівня А, з вибором відповіді, три завдань рівня В, де потрібно написати свою відповідь. Далі учні виконують одне завдання поля С, де потрібно привести повне докладне рішення. Після перевірки вчителем виставляється підсумкова оцінка.

        Залікова робота.

        Варіант 1.

        Частина 1

        При виконанні завдань цієї частини вкажіть цифру, яка позначає вибраний вами відповідь.

        А1. Розв'яжіть рівняння .

        1) -2; 2) 2; 3) 1; 4) не має коренів.

        А2. Розв'яжіть рівняння і вкажіть вірне твердження про його коріння.

        1) корінь тільки один, і він позитивний;

        2) корінь тільки один, і він негативний;

        3) коренів два, і вони різних знаків;

        4) коренів два, і вони негативні.

        А3. Знайдіть область значень функції .

        1) [-2; 0]; 2) [-2; 1]; 3) [-3; 1]; 4) [-2, 2].

        Частина 2

        Відповіддю на кожне завдання цієї частини роботи буде деяке число. Це число треба вписати поруч з номером завдання.

        В1. Розв'яжіть рівняння . (Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповіді запишіть суму всіх його коренів).

        В2. Розв'яжіть рівняння

        В3. Вирішіть нерівність

        Частина 3

        На листку запишіть номер завдання, а потім наведіть повне, обгрунтоване рішення.

        С1. Знайдіть нулі функції

        Варіант 2.

        Частина 1

        При виконанні завдань цієї частини вкажіть цифру, яка позначає вибраний вами відповідь.

        А1. Розв'яжіть рівняння .

        1) -5; 2) 5; 3) 4; 4) не має коренів.

        А2. Розв'яжіть рівняння і вкажіть вірне твердження про його коріння.

        1) коренів два, і вони різних знаків;

        2) коренів два, і вони позитивні;

        3) корінь тільки один, і він позитивний;

        4) корінь тільки один, і він негативний.

        А3. Знайдіть область значень функції .

        1) [3; + ∞); 2) (- ∞; + ∞); 3) (- ∞; 3); 4) (3; + ∞).

        Частина 2

        Відповіддю на кожне завдання цієї частини роботи буде деяке число. Це число треба вписати поруч з номером завдання.

        В1. Розв'яжіть рівняння . (Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповіді запишіть суму всіх його коренів).

        В2. Розв'яжіть рівняння

        В3. Вирішіть нерівність

        Частина 3

        На листку запишіть номер завдання, а потім наведіть повне, обгрунтоване рішення.

        С1. Знайдіть нулі функції .

        Відповіді до залікової роботи.

        Номер завдання

        А1

        А2

        А3

        В1

        В2

        В3

        С1

        Варіант 1

        2

        2

        3

        0

        3

        0

        -2

        Варіант 2

        2

        3

        2

        1

        0

        3

        Немає рішень

        Критерії оцінок:

        Частина А: кожне завдання оцінюється по 1 балу. Всього можна отримати 3 бали.

        Частина В: за правильне виконання завдання виставляється 1 бал. Всього - 3 бали.

        Частина С: максимум - 3 бали, якщо наведена вірна послідовність всіх кроків вирішення, всі тотожні перетворення виконані вірно, отриманий вірну відповідь;

        2 бали - наведена вірна послідовність всіх кроків вирішення, при вирішенні одного з рівнянь допущена одна описка, або негрубі обчислювальна помилка, що не впливає на правильність подальшого ходу рішення;

        1 бал наведена вірна послідовність всіх кроків вирішення, допущена груба помилка в тотожних перетвореннях, в результаті якої отримано невірна відповідь;

        0 балів - всі випадки рішення, які не відповідають вищевказаним критеріям виставлення оцінок.

        Оцінка: «5» - 7-9 балів;

        «4» - 5-6 балів;

        «3» - 2-4 бали;

        Не зараховано - 0-1 бал.

        1. Підведення підсумків заняття. Учням виставляються оцінки за урок. На наступному занятті конференція. Учням пропонується підготувати виступ.

        Заняття № 11 Конференція.

        Мета: підведення підсумків вивчення елективного курсу;

        Хід заняття:

        1. Виступ учнів. Учні виділяють найбільш цікаві теми і завдання, найбільш важкі і легкі для засвоєння; відзначають «плюси» і «мінуси» даного курсу, вносять свої пропозиції щодо його вивчення, оцінюють свою діяльність і роботу вчителя.

        Вчитель фіксує для себе сказане учнями.

        1. Виступ учителя.

        Узагальнює все сказане учнями.

        Підводить підсумки по табелям балів: повідомляє рівень, на якому учні освоїли даний курс: 1 рівень - більше 45 балів; 2 рівень - 30-44 бали; 3 рівень - менше 30 балів.

        1. Підведення підсумків. Вручення учням сертифікатів, що підтверджують проходження курсу, з зазначеним у ньому рівнем освоєння курсу.

        § 3. Дослідне викладання

        Дослідне викладання проводиться з метою об'єктивної і достовірної перевірки гіпотези і передбачає ряду методів, наприклад, спостереження, що діагностують контрольні роботи, розмова та інші.

        Дослідне викладання проводилося в МОУ СЗШ № 8 міста Кірова з учнями 11 «А» класу (загальноосвітній клас). занятия. Було проведено 4 заняття.

        Основні завдання проведення дослідного викладання:

        1. перевірити правильність відбору змісту матеріалу та системи вправ;

        2. виявити той матеріал, який викликає в учнів найбільші труднощі;

        3. визначити ефективність засвоєння матеріалу за допомогою підсумкової перевірки;

        4. виявити зацікавленість учнів у вивченні даної теми.

        Заняття № 1 Тема: «Використання області визначення функцій».

        Мета: познайомити учнів з методом вирішення рівнянь і нерівностей, заснованому на застосуванні області визначення, що входять до них функцій.

        Заняття № 2 Тема: «Використання монотонності функцій».

        Мета: познайомити учнів з методом вирішення рівнянь і нерівностей, заснованому на застосуванні монотонності функцій; узагальнити і систематизувати знання учнів про монотонності функцій, способи дослідження функції на монотонність.

        Заняття № 3 Тема: «Використання неотрицательности функцій, що входять в рівняння або нерівність».

        Мета: познайомити учнів з прийомом рішення рівнянь і нерівностей, що складаються з невід'ємних функцій.

        Заняття № 4. Контрольна робота.

        Мета: перевірити знання з розглянутим темам.

        Результати контрольної роботи показали позитивну тенденцію застосування учнями властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей.

        Висновок

        Курси за вибором представляють собою новітній механізм диференціації та індивідуалізації процесу навчання. Їх введення дозволить учням визначити свою програму навчання і отримати освіту з поглибленням в будь-яку галузь знань (обрану самим учнем).

        У ході дослідження отримано такі результати:

        1) у шкільних підручниках не приділяють великої уваги методу вирішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій;

        2) результати ЄДІ показують, що більшість учнів вирішують рівняння з використанням стандартних, алгоритмічних методів, що дає іноді дуже громіздкі викладення. У зв'язку з цим відсоток виконання завдань другої і третьої частин невисокий.

        У результаті дослідження були вирішені такі завдання:

        1. Проаналізовано програма і основні підручники, передбачені Федеральним переліком підручників з математики для 10-11 класів, з точки зору застосування властивостей функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей.

        2. Проаналізовано завдання та результати ЄДІ.

        3. Підібрано система завдань для роботи на елективних курсах з математики.

        4. Розроблено методичні рекомендації з навчання рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій.

        5. Проведено дослідне викладання.

        Гіпотеза, висунута на початку дослідження про те, що вміння застосовувати необхідні властивості функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей дозволить учням вибирати найбільш раціональний спосіб рішення отримала позитивні підтвердження через дослідне викладання. Через нестачу можливості і часу для проведення експерименту не можна зробити точні статистичні висновки про те, якою мірою підвищилася ефективність вивчення теми. Але, спираючись на отримані позитивні результати, можна зробити висновок, що мета роботи була досягнута.

        Таким чином, дана робота може бути рекомендована для практичного використання студентами-практикантами математичного факультету і вчителями математики. Матеріал може бути використаний на математичних гуртках та факультативах, і на уроках математики.

        Бібліографічний список:

        1. Алгебра і початки аналізу 10-11класів [Текст]: підручник для загальноосвітніх установ / Ш. А. Алімов [и др.]. М.: Просвещеніе.-1993. - 254с.

        2. Алгебра і початки аналізу 11 клас [Текст]: підручник для загальноосвітніх установ / С. М. Нікольський [и др.]. М.: Просвещеніе.-2003. - 448с.

        3. Алгебра і початки аналізу 11 клас. У 2 частинах. Ч. 1 [Текст]: підручник для   загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А.   Г.   Мордкович, П. В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2007. - 287 с.

        4. Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи [Текст]: підручник / Под ред. А.. Н. Колмогорова. - М.: Просвещение, 1991. 320 с.

        5. Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи. У 2 частинах. Ч. 1: Підручник для загальноосвітніх установ. [Текст]: підручник / Під. ред. А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2003.

        6. Алгебра і початки аналізу. 10-11 класи. У 2 частинах. Ч. 2: Задачник для загальноосвітніх установ. [Текст]: підручник / Під. ред. А. Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2003.

        7. Варшавський, І. К., Гаіашвілі, М. Я., Глазков, Ю. А. Ступені, коріння і показова функція в завданнях ЄДІ [Текст] / І. К. Варшавський [и др.] / / Математика в школі. - 2005 № 9. З 2 - 12.

        8. Варшавський, І. К., Гаіашвілі, М. Я., Глазков, Ю. А. Функція, її похідна і первообразная на ЄДІ [Текст] / І. К. Варшавський [и др.] / / Математика в школі. - 2005 № 8. З 2 - 15

        9. Василевський, А. Б. завдання для позакласної роботи з математики: 9-11 класи [Текст]: книга для вчителя / А. Б. Василевський. Мінськ.: Народна асвета, 1988. - 175 с.

        10. Ваховський, О. Б., Ривкин, А. А. Коли допомагають графіки [Текст] / Є. Б. Ваховський, А. А. Ривкин / / Квант. - 1975. № 2. З 43-48.

        11. Питання навчання математики в школі [Текст]: збірник статей. - Кіров, 1962. - 143 с.

        12. Глейзер, Г.Д. Історія математики в школі [Текст] / Глейзер Г. Д. - М.: Просвещение, 1964. 375 з.

        13. Горнштейн, П. І. Іспит з математики та його підводні рифи [Текст] / П. І. Горнштейн, А. Г. Мерзляк [и др.]. - М.: Ілекса, 2004. - 236 с.

        14. Деніщева, Л. О., Глазков, Ю. О. Єдиний державний іспит 2007. математика. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки учнів [Текст] / Л. О. Деніщева, Ю. О. Глазков [и др.]. - М.: Інтелект-Центр, 2007. - 272 с.

        15. Єрмаков, Д. С. Курси за вибором для профільного навчання [Текст] / Д. С. Єрмаков / / Педагогіка. - 2005. № 2. С. 36-41.

        16. Єрмаков, Д. С., Петрова, Г. Д. Створення елективних навчальних курсів для профільного навчання [Текст] / Д. С. Єрмаков, Г. Д. Петрова / / Шкільні технології. - 2003. № 6.

        17. Концепція модернізації російської освіти на період до 2010р. [Текст] / / Стандарти і моніторинг в освіті. - 2002. - № 3.

        18. Концепція профільного навчання на старшій ступені загальної освіти [Текст] / / Стандарти і моніторинг в освіті. - 2002. - № 5.

        19. Крутіхін, М. В. Курси за вибором [Текст]: навчально-методичні рекомендації / М. В. Крутіхін, З. В. Шилова. - К.: Вид-во ВятГГУ, 2006. - 40с.

        20. Кузнєцов, А. А. Базові та профільні курси: цілі, функції, зміст [Текст] / А. А. Кузнєцов / / Стандарти і моніторинг в освіті. - 2003. - № 3.

        21. Лященко, Є. І. Вивчення функцій в курсі математики восьмирічної школи [Текст]: книга для вчителя / Є. І. Лященко. - Мінськ.: Народна асвета, 1970. - 175 с.

        22. Маркова, В. І. Діяльнісний підхід у навчанні математики в умовах передпрофільне підготовки та профільного навчання [Текст] \ В. І. Маркова. - К.: Кіпке і ПРО, 2006. - 200 с.

        23. Математика: 10 цих варіантів завдань для підготовки до єдиного державного іспиту-2007 [Текст] / А. Г. Клов. - М.: Федеральний центр тестування, 2007. - 94 с.

        24. Математика: тренувальні тематичні завдання підвищеної складності з відповідями для підготовки до ЗНО та до інших форм випускного та вступного іспитів [Текст] / Сост. Г. І. Ковальова [и др.]. - Волгоград: Учителю, 2008. 494 с.

        25. Методика викладання математики в середній школі [Текст]: навчальний посібник / А. Я. Блох, В. А. Гусєв [и др.]; сост. В. І. Мішин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

        26. Методика викладання математики в середній школі. Приватні методики. [Текст]: підручник для вузів / Ю. Колягін [и др.]. - М.: Просвещение, 1977. - 317с.

        27. Мігіна, Л. Рішення рівнянь із застосуванням оригінальних прийомів [Текст] / Л. Мігіна / / Математика. - 2001. № 37. - С. 26-29.

        28. Мордкович, А. Г. Бесіди з вчителями математики. [Текст] / А. Г. Мордкович. - М.: Мир і освіта, 2005.

        29. Мордкович, А. Г. Загальні методи рішення рівнянь [Текст] / А. Г. Мордкович / / Математика для школярів. - 2005. № 4. З 40 - 49.

        30. Нараленков, М. І. Вступний іспит з математики. Алгебра: як вирішувати задачі [Текст]: навчально-практичний посібник / М. І. Нараленков. - М.: Іспит, 2003. - 448 с.

        31. Олехнік, С. Н. Рівняння та нерівності. Нестандартні методи розв'язання. 10-11 класи [Текст]: навчально-методичний посібник / С. М. Олехнік [и др.]. - М.: Дрофа, 2004. - 192 с.

        32. Програми для загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв. Математика. 5-11 класи [Текст] / Сост. Г. М. Кузнецова, Н. Г. Міндюк. - М.: Дрофа.-2004. . - 320 c.

        33. Результати єдиного державного іспиту в Кіровській області в 2003 р. Статистичний збірник. - Департамент освіти, м. Кіров, 2003. - 680 с.

        34. Результати єдиного державного іспиту в Кіровській області в 2004 р. Статистичний збірник. - Департамент освіти, м. Кіров, 2004. - 160с.

        35. Саакян, С. М. Завдання з алгебри та початків аналізу [Текст]: посібник для учнів 10-11 класів загальноосвітніх установ / С. М.. Саакян [и др.]. - 4-е видання. - М.: Просвещение, 2003. - 286 с.

        36. Збірник задач з алгебри та початків аналізу для 9 та 10 класів [Текст]: посібник для вчителя / Б. М. Івлєв [и др.]. - М.: Просвещение, 1978. - 272 с.

        37. Супрун, В. П. Вибрані задачі підвищеної складності з математики [Текст] / В. П. Супрун. - Мн.: Полум'я, 1998. - 108 с.

        38. Ткачук, В. В. Математика - абітурієнту [Текст] / В. В. Ткачук. - М.: МЦНМО, 2005. - 944 с.

        39. Шандер, В. Н. Рівняння та нерівності. Методичні розробки для учнів ВЗМШ [Текст] / В. М. Шандер. - М.: вид. РАВ, 1992. - 67 с.

        40. Шаригін, І. Ф., Голубєв, В. І. Факультативний курс з математики: рішення задач [Текст]: навчальний посібник для 11 класу середньої школи / І. Ф. Шаригін, В. І. Голубєв. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

        41. Шунда, Н. М. Про використання властивостей функції при розв'язуванні рівнянь і нерівностей [Текст] / Н. М. Шунда / / Математика в школі. - 1970. № 3. - С. 61-64.

        42. :// www.ege.edu.ru . http: / / www.ege.edu.ru.

        Посилання (links):
      1. http://www.ege.edu.ru/
    • Додати в блог або на сайт

      Цей текст може містити помилки.

      Педагогіка | Диплом
      295.1кб. | скачати


      Схожі роботи:
      Рішення рівнянь і нерівностей з використанням властивостей функцій на елективної курсі з математики
      Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики
      Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики 2
      Вивчення функцій та їх графіків на елективної курсі з алгебри у 9 класі
      Рішення рівнянь нерівностей та їх систем
      Рішення рівнянь нерівностей систем з параметром
      Методика вивчення логарифмічних рівнянь і нерівностей у старшій школі з використанням мультимедійних
      Вивчення функцій в курсі математики
      Методика вивчення функцій у шкільному курсі математики
      © Усі права захищені
      написати до нас