Курсова робота

На тему:
Рішення рівнянь, нерівностей, систем з параметром.
(Алгебра і початки аналізу)
Виконавець: Бугров З К.
Керівник: Рокова Н.Б.

Москва, 2003

Зміст
"1-3" Вступ 3
§ 1. Основні визначення 4
§ 2. Алгоритм рішення. 6
II. Нерівності з параметрами. 18
§ 1. Основні визначення 18
§ 2. Алгоритм рішення. 19
Література 26

Введення

Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто призводить до вирішення завдань з параметрами. Деякі ВНЗ також включають в екзаменаційні квитки рівняння, нерівності та їх системи, які часто бувають досить складними і вимагають нестандартного підходу до вирішення. У школі ж цей один з найбільш важких розділів шкільного курсу математики розглядається тільки на нечисленних факультативних заняттях.
Готуючи цю роботу, я ставив на меті більш глибокого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, швидко приводить до відповіді. На мій погляд графічний метод є зручним і швидким способом вирішення рівнянь і нерівностей з параметрами.
У моєму рефераті розглянуті часто зустрічаються типи рівнянь, нерівностей та їх систем, і, я сподіваюся, що знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть мені при здачі шкільних іспитів та при надходженні а ВНЗ.
 

§ 1. Основні визначення

Розглянемо рівняння
| (A, b, c, ..., k, x) = j (a, b, c, ..., k, x), (1)
де a, b, c, ..., k, x-змінні величини.

Будь-яка система значень змінних

а = а _0, b = b _0, c = c _0, ..., k = k _0, x = x _0,
при якій і ліва і права частини цього рівняння беруть дійсні значення, називається системою допустимих значень змінних a, b, c, ..., k, x. Нехай А - множина всіх допустимих значень а, B - множина всіх допустимих значень b, і т.д., Х - множина всіх допустимих значень х, тобто аÎА, bÎB, ..., xÎX. Якщо у кожного з множин A, B, C, ..., K вибрати і зафіксувати відповідно по одному значенню a, b, c, ..., k і підставити їх у рівняння (1), то отримаємо рівняння відносно x, тобто рівняння з одним невідомим.
Змінні a, b, c, ..., k, які при вирішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.
Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: a, b, c, d, ..., k, l, m, n а невідомі - літерами x, y, z.
Розв'язати рівняння з параметрами - значить зазначити, при яких значеннях параметрів існують рішення і які вони.
Два рівняння, що містять одні й ті ж параметри, називаються рівносильними, якщо:
а) вони мають сенс при одних і тих же значеннях параметрів;
б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого і навпаки.

§ 2. Алгоритм рішення.

Знаходимо область визначення рівняння.
Висловлюємо a як функцію від х.
У системі координат хоа будуємо графік функції а = | (х) для тих значень х, які входять в область визначення даного рівняння.
Знаходимо точки перетину прямої а = с, де сÎ (-¥;+¥) з графіком функції а = | (х). Якщо пряма а = с перетинає графік а = | (х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього досить вирішити рівняння а = | (х) відносно х.
Записуємо відповідь.

I. Розв'язати рівняння
(1)
Рішення.
Оскільки х = 0 не є коренем рівняння, то можна дозволити рівняння відносно а:
або
Графік функції - дві "склеєних" гіперболи. Кількість рішень вихідного рівняння визначається кількістю точок перетину побудованої лінії і прямої у = а.
Якщо а Î (-¥;- 1] È (1; + ¥) È , То пряма у = а перетинає графік рівняння (1) в одній точці. Абсцису цієї точки знайдемо при вирішенні рівняння відносно х.
Таким чином, на цьому проміжку рівняння (1) має рішення .
Якщо а Î , То пряма у = а перетинає графік рівняння (1) у двох точках. Абсциси цих точок можна знайти з рівнянь і , Отримуємо
і .
Якщо а Î , То пряма у = а не перетинає графік рівняння (1), отже рішень немає.
Відповідь:
Якщо а Î (-¥;- 1] È (1; + ¥) È , То ;
Якщо а Î , То , ;
Якщо а Î , То рішень немає.
II. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має три різних кореня.
Рішення.
Переписавши рівняння у вигляді і розглянувши пару функцій , Можна помітити, що шукані значення параметра а і тільки вони будуть відповідати тим положенням графіка функції , При яких він має точно три точки перетину з графіком функції .
У системі координат хОу побудуємо графік функції ). Для цього можна представити її у вигляді і, розглянувши чотири виникають випадку, запишемо цю функцію у вигляді

Оскільки графік функції - Це пряма, що має кут нахилу до осі Ох, рівний , І яка перетинає вісь Оу у точці з координатами (0, а), укладаємо, що три вказані точки перетинання можна отримати лише у випадку, коли ця пряма стосується графіка функції . Тому знаходимо похідну
Відповідь: .
III. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рішення.
Рішення.
З першого рівняння системи отримаємо при Отже, це рівняння задає сімейство "полупарабол" - праві гілки параболи "Ковзають" вершинами по осі абсцис.
Виділимо в лівій частині другого рівняння повні квадрати і розкладемо її на множники

Безліччю точок площини , Що задовольняють другому рівнянню, є дві прямі
і
З'ясуємо, за яких значеннях параметра а крива з сімейства "полупарабол" має хоча б одну спільну точку з одного з отриманих прямих.
Якщо вершини полупарабол знаходяться правіше точки А, але лівіше точки В (точка У відповідає вершині тієї "полупараболи", яка стосується
прямий ), То розглядаються графіки не мають спільних точок. Якщо вершина "полупараболи" збігається з точкою А, то .
Випадок дотику "полупараболи" з прямою визначимо з умови існування єдиного розв'язку системи

У цьому випадку рівняння

має один корінь, звідки знаходимо:

Отже, вихідна система не має рішень при , А при або має хоча б одне рішення.
Відповідь: а Î (-¥;- 3] È ( ;+¥).
IV. Розв'язати рівняння

Рішення.
Використавши рівність , Заданий рівняння перепишемо у вигляді

Це рівняння рівносильне системі

Рівняння перепишемо у вигляді
. (*)
Останнє рівняння найпростіше вирішити, використовуючи геометричні міркування. Побудуємо графіки функцій і З графіка випливає, що при графіки не перетинаються і, отже, рівняння не має рішень.
Якщо , То при графіки функцій збігаються і, отже, всі значення є рішеннями рівняння (*).
При графіки перетинаються в одній точці, абсциса якої . Таким чином, при рівняння (*) має єдине рішення - .
Досліджуємо тепер, при яких значеннях а знайдені рішення рівняння (*) будуть відповідати умовам

Нехай , Тоді . Система набуде вигляду

Її рішенням буде проміжок хÎ (1, 5). Враховуючи, що , Можна зробити висновок, що при вихідного рівняння задовольняють всі значення х з проміжку [3, 5).
Розглянемо випадок, коли . Система нерівностей набуде вигляду

Вирішивши цю систему, знайдемо аÎ (-1; 7). Але , Тому при аÎ (3; 7) вихідне рівняння має єдине рішення .
Відповідь:
якщо аÎ (- ¥; 3), то рішень немає;
якщо а = 3, то хÎ [3, 5);
якщо aÎ (3; 7), то ;
якщо aÎ [7 ;+¥), то рішень немає.
V. Розв'язати рівняння
, Де а - параметр. (5)
Рішення.
1. При будь-якому а:
2. Якщо , То ;
якщо , То .
3. Будуємо графік функції , Виділяємо ту його частину, яка відповідає . Потім відзначимо ту частину графіка функції , Яка відповідає .
4. За графіком визначаємо, при яких значеннях а рівняння (5) має рішення і за яких - не має рішення.
Відповідь:
якщо , То
якщо , То ;
якщо , То рішень немає;
якщо , То , .
VI. Яким умовам повинні задовольняти ті значення параметрів і , При яких системи
(1)
і
(2)
мають однакове число рішень?
Рішення.
З урахуванням того, що має сенс тільки при , Одержуємо після перетворень систему
(3)
рівносильну системі (1).
Система (2) рівносильна системі
(4)
Перше рівняння системи (4) задає в площині хОу сімейство прямих, друге рівняння задає сімейство концентричних кіл з центром у точці А (1; 1) і радіусом
Оскільки , А , То , І, отже, система (4) має не менше чотирьох рішень. При окружність стосується прямої і система (4) має п'ять рішень.
Таким чином, якщо , То система (4) має чотири рішення, якщо , То таких рішень буде більше, ніж чотири.
Якщо ж мати на увазі не радіуси кіл, а сам параметр а, то система (4) має чотири рішення в разі, коли , І більше чотирьох рішень, якщо .
Звернімося тепер до розгляду системи (3). Перше рівняння цієї системи задає в площині хОу сімейство гіпербол, розташованих в першому і другому квадрантах. Друге рівняння системи (3) задає в площині хОу сімейство прямих.
При фіксованих позитивних а і b система (3) може мати два, три, або чотири рішення. Число ж рішень залежить від того, чи буде пряма, задана рівнянням , Мати спільні точки з гіперболою при (Пряма завжди має одну точку перетину з графіком функції ).
Для вирішення цього розглянемо рівняння
,
яке зручніше переписати у вигляді

Тепер рішення задачі зводиться до розгляду дискриминанта D останнього рівняння:
* Якщо , Тобто якщо , То система (3) має два рішення;
* Якщо , То система (3) має три рішення;
* Якщо , То система (3) має чотири рішення.
Таким чином, однакове число рішень у систем (1) і (2) - це чотири. І це має місце, коли .
Відповідь:

II. Нерівності з параметрами.

§ 1. Основні визначення

Нерівність
| (A, b, c, ..., k, x)> j (a, b, c, ..., k, x), (1)
де a, b, c, ..., k - параметри, а x - дійсна змінна величина, називається нерівністю з одним невідомим, що містить параметри.
Будь-яка система значень параметрів а = а _0, b = b _0, c = c _0, ..., k = k _0, при деякої функції
| (A, b, c, ..., k, x) і
j (a, b, c, ..., k, x
мають сенс в області дійсних чисел, називається системою допустимих значень параметрів.
називається допустимим значенням х, якщо
| (A, b, c, ..., k, x) і
j (a, b, c, ..., k, x
приймають дійсні значення при будь-якій допустимої системі значень параметрів.
Безліч всіх допустимих значень х називається областю визначення нерівності (1).
Дійсне число х ₀ називається приватним рішенням нерівності (1), якщо нерівність
| (A, b, c, ..., k, x _0)> j (a, b, c, ..., k, x ₀₎
вірно при будь-якій системі допустимих значень параметрів.
Сукупність усіх приватних рішень нерівності (1) називається загальним рішенням цієї нерівності.
Вирішити нерівність (1) - означає вказати, при яких значеннях параметрів існує спільне рішення і як воно.
Два нерівності
| (A, b, c, ..., k, x)> j (a, b, c, ..., k, x) і (1)
z (a, b, c, ..., k, x)> y (a, b, c, ..., k, x) (2)
називаються рівносильними, якщо вони мають однакові загальні рішення при одному і тому ж безлічі систем допустимих значень параметрів.

§ 2. Алгоритм рішення.

1. Знаходимо область визначення даного нерівності.
2. Зводимо нерівність до рівняння.
3. Висловлюємо а як функцію від х.
4. У системі координат хоа будуємо графіки функцій а = | (х) для тих значень х, які входять в область визначення даного нерівності.
5. Знаходимо безлічі точок, що задовольняють даному нерівності.
6. Досліджуємо вплив параметра на результат.
· Знайдемо абсциси точок перетину графіків.
· Задамо пряму а = соnst і будемо зрушувати її від - ¥ до + ¥
7. Записуємо відповідь.
Це всього лише один з алгоритмів рішення нерівностей з параметрами, з використанням системи координат Хоа. Можливі й інші методи рішення, з використанням стандартної системи координат хОy.
§ 3. Приклади
I. Для всіх допустимих значень параметра а вирішити нерівність

Рішення.
В області визначення параметра а, визначеного системою нерівностей

таку нерівність рівносильно системі нерівностей

Якщо , То рішення вихідного нерівності заповнюють відрізок .
Відповідь: , .
II. При яких значеннях параметра а має рішення система

Рішення.
Знайдемо коріння тричлена лівої частини нерівності -
(*)
Прямі, задані равенствами (*), розбивають координатну площину аОх на чотири області, в кожній з яких квадратний тричлен

зберігає постійний знак. Рівняння (2) задає коло радіуса 2 з центром у початку координат. Тоді рішенням вихідної системи буде те що заштрихован
ської області з окружністю, де , А значення і знаходяться з системи

а значення і знаходяться з системи

Вирішуючи ці системи, отримуємо, що

Відповідь:
III. Вирішити нерівність на в залежності від значень параметра а.
Рішення.
Знаходимо область допустимих значень -
Побудуємо графік функції в системі координат хОу.
· При нерівність рішень не має.
· При для рішення x задовольняє співвідношенню , Де

Відповідь: Рішення нерівності існують при
, Де , Причому при рішення ; При рішення .
IV. Вирішити нерівність

Рішення.
Знаходимо ОДЗ або лінії розриву (асимптоти)


Знайдемо рівняння функцій, графіки яких потрібно побудувати в ПСК; для чого перейдемо до рівності:


Розкладемо чисельник на множники.

т. к. то

Розділимо обидві частини рівності на при . Але є рішенням: ліва частина рівняння дорівнює правій частині і дорівнює нулю при .



3. Будуємо в ПСК хоа графіки функцій

і нумеруємо утворилися області (осі ролі не грають). Вийшло дев'ять областей.
4. Шукаємо, яка з областей підходить для даного нерівності, для чого беремо точку з області і підставляємо в нерівність.
Для наочності складемо таблицю.
5. Знайдемо точки перетину графіків

6. Задамо пряму а = сonst і будемо зрушувати її від - ¥ до + ¥.
Відповідь.
при
при
при
при рішень немає
при

Література

1. Далингер В. А. "Геометрія допомагає алгебри". Видавництво "Школа - Прес". Москва 1996 р.
2. Далингер В. А. "Все для забезпечення успіху на випускних та вступних іспитах з математики". Видавництво Омського педуніверситету. Омськ 1995
3. Окунєв О. А. "Графічне рішення рівнянь з параметрами". Видавництво "Школа - Прес". Москва 1986 р.
4. Письменський Д. Т. "Математика для старшокласників". Видавництво "Айріс". Москва 1996 р.
5. Ястрібінецкій Г. А. "Рівняння і нерівності, що містять параметри". Видавництво "Освіта". Москва 1972
6. Г. Корн і Т. Корн "Довідник з математики". Видавництво "Наука" фізико-математична література. Москва 1977
7. Амелькін В. В. та Рабцевіч В. Л. "Завдання з параметрами". Видавництво "Асар". Москва 1996 р.