Контрольна робота
з вищої математики
по темі:
Рішення неоднорідних диференціальних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. Комплексні числа
Виконала:
Студентка II курсу
Економічного факультету
Очного відділення
2007р
I. У "- 4 y '+ 4 y = із s 4х
у = U + у - заг. реш. н. д. у.
у "- 4у '+ 4у = 0
k 2 - 4 k + 4 = 0
k 1; 2 = 2
1) U =?
U = C 1 e 2 x + С 2 е 2х ∙ х
2) у =? У = Acos4x + Bsin4xy '= - 4Asin4x + 4Bcos4x
y "= - 16Acos4x - 16Bsin4x
16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4 Bsin4x =
= Cos4x + 0 ∙ sin4x
12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x
12A + 16A = 016B - 12B = 0
4A = 04B = 0
A = 4 B = 4
y = 4cos4x + 4sin4x
y = C 1 e 2x + C 2 e 2x · x + 4cos4x + 4sin4x - спільне рішення н. д. у.
Знайдемо приватне рішення за умови:
у (0) = 1 у '(0) = 0
у '= 2С 1 e 2 x + 2 C 2 e 2 x · x - 16 sin 4 x + 16cos4 x
1 = C 1 + C 2 + 4С 1 + С 2 = 3 З 1 + 13 = 3
0 = 2 C 1 + 2 C 2 + 162С 1 + 2С 2 = 16
З 1 + С 2 = 13
З 1 = - 10С 2 = 13
у = - 10е 2х + тринадцятим 2х · X + 4cos4x + 4sin4x - приватне рішення при заданих умовах
II. У "- 4 y '+ 4 y = 5х 2 + 3х + 1
у = U + у - спільне рішення н. д. у.
у "- 4у '+ 4у = 0
k 2 - 4 k + 4 = 0
k 1; 2 = 2
1) U =?
U = C 1 e 2 x + С 2 е 2х ∙ х
2) у =? У = Ах 2 + Вх + С y '= 2Ах + В
у "= 2А
2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х 2 + 3х + 1
4А = 5А = 5 / 4 В = 3 С = 1 / 4
8А + 4В = 3
2А - 4В + 4С = 1
у = 5/4х 2 + 3 + 1 / 4
у = C 1 e 2 x + С 2 е 2х ∙ х + 5/4х 2 + 3 + 1 / 4 - спільне рішення н. д. у.
Знайдемо приватне рішення за умови:
у (0) = 1 у '(0) = 0
у '= 2С 1 e 2 x + 2 C 2 e 2 x + 5/2х - 1 / 8
1 = C 1 + C 2 + 5 / 4 C 1 + C 2 = 1 / 4
0 = 2 C 1 + 2 C 2 + 5 / 22 C 1 + 2 C 2 = 5 / 2
C 1 + С 2 = 9 / 4
C 1 = - 2С 2 = 9 / 4
у = - 2 e 2 x + 9/4е 2х ∙ х + 5/4х 2 + 3 + 1 / 4 - приватне рішення при заданих умовах.
III. У "- 4у '+ 4у = 2е 5х
у = U + у - спільне рішення н. д. у.
у "- 4у '+ 4у = 0
k 2 - 4 k + 4 = 0
k 1; 2 = 2
1) U =?
U = C 1 e 2 x + С 2 е 2х ∙ х
2) у =? У = Ае 5х y '= 5А 5х
у "= 25Ае 5х
25Ае 5х - 20Ае 5х + 4А 5х = 2е 5х
9А 5х = 2е 5х
А = 2 / 9 у = 2/9е 5х
у = C 1 e 2 x + С 2 е 2х ∙ х + 2/9е 5х - спільне рішення н. д. у.
Знайдемо приватне рішення за умови:
у (0) = 1 у '(0) = 0
у '= 2 C 1 e 2 x + 2С 2 е 2х ∙ х + 10/9е 5х
1 = C 1 + С 2 + 2 / 9 C 1 + С 2 = 7 / 9
0 = 2 C 1 + 2С 2 + 10/92 C 1 + 2С 2 = 10 / 9
C 1 + С 2 = 1 / 3
C 1 + 1 / 3 = 7 / 9
З 1 = 4 / 9 З 2 = 1 / 3
у = 4 / 9 e 2 x + 1/3е 2х ∙ х + 2/9е 5х - приватне рішення при заданих умовах.
Комплексні числа
Ö - 1 = i - уявне число
(Ö - 1) 2 = i 2 i 2 = - 1
i 3 = i 2 ∙ i = - 1 ∙ i = - i
i 4 = i 2 ∙ i 2 = (- 1) ∙ (- 1) = 1
а + в i - комплексні числа, де: а, в - дійсні числа або Так, в є R
Геометричний сенс комплексного числа:
в
. (А, в)
ρ в ρ = Ö а 2 + в 2 = ç а + вi ú
) D а
а d = arctg в / а -
аргумент комплексного числа
(Знаходиться з урахуванням чверті)
tg
немає
d | 0 0 | П / 6 | П / 4 | П / 3 | П / 2 |
tg | 0 | Ö 3 / 3 | 1 | Ö 3 | --- |
0 0
+ -
немає
cosd = a / ρ a = ρcosd
sind = в / ρ в = ρsind
а + в i = ρcosd + i ρsind
а + в i = ρ (cosd + i sind) -
комплексне число в тригонометричній формі
Дії з комплексними числами:
Додавання:
а 1 + в 1 i + а 2 + в 2 i = а 1 + а 2 + (у 1 + в 2) i
Множення:
(А 1 + в 1 i) (а 2 + в 2 i) = а 1 а 2 + в 1 в 2 i 2 + а 1 в 2 i
а 1 а 2 - в 1 в 2 + (в 1 а 2 + а 2 в 2) i
Формула Ейлера: Комплексне число в показовій формі:
е i у = cos у + isin у z = ρ е i φ
Приклади зі зведення комплексного числа до степеня в тригонометричної і показовою формах:
1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2 + 9i + 49i = 58i
(7 + 3i) = Ö 58 (cosarctg 3 / 7 + isinarctg 3 / 7) = е ln Ö 58 × е arctg 3 / 7 = е ln Ö 58 + i arctg 3 / 7
ρ 1 = Ö 58
φ 1 = arctg 3 / 7
(3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 7 / 3 + isinarctg 7 / 3) = е ln Ö 58 × е arctg 7 / 3 = е ln Ö 58 + i arctg 7 / 3
ρ 2 = Ö 58
φ 2 = arctg 7 / 3
Ö 58 (cosarctg 3 / 7 + isinarctg 3 / 7) Ö 58 (cosarctg 7 / 3 + isinarctg 7 / 3) =
= 58 (cos (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3) + i (sin (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3))) =
= Е ln 58 × е i (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3) = е ln 58 + i (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3)
При вирішенні прикладу використовували формулу:
ρ 1 (cos φ 1 + isin φ 1) ρ 2 (cos φ 2 + isin φ 2) = ρ 1 ρ 2 (cos (φ 1 + φ 2) + i (sin (φ 1 + φ 2))
Перевірка:
е ln 58 + i (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3) = е ln 58 × е i (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3) = 58 (cos (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3) + i (sin (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3)
cos (arctg 3 / 7 + arctg 7 / 3) = cos (arctg 3 / 7) cos (arctg 7 / 3) -
sin (arctg 3 / 7) sin (arctg 7 / 3)
cos (arctg 3 / 7) = 1 / (Ö 1 + tg 2 (arctg 3 / 7)) = 1 / Ö 1 + (9 / 49) = 7 / Ö 58
cos (arctg 7 / 3) = 3 / Ö 58
sin (arctg 3 / 7) = Ö 1 - cos 2 arctg 3 / 7 = Ö 1 - (7 / Ö 58) 2 = Ö 9 / 58 = 3 / Ö 58 sin (arctg 7 / 3) = Ö 1 - cos 2 arctg 7 / 3 = 7 / Ö 58
cos (arctg 3 / 7 - arctg 7 / 3) = 7 / Ö 58 × 3 / Ö 58 - 3 / Ö 58 × 7 / Ö 58 = 0
sin (arctg 3 / 7 - arctg 7 / 3) = 3 / Ö 58 × 3 / Ö 58 × 3 / Ö 58 × 3 / Ö 58 = 0
Зведення в ступінь:
(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 3 / 7 + isinarctg 3 / 7) = е ln Ö 58 + i arctg 3 / 7
(7 + 3i) 2 = 49 + 42i + 9i 2 = 40 + 42i
(Ö 58 (cosarctg 3 / 7 + isinarctg 3 / 7)) 2 = 58 (cos2arctg 3 / 7 + isin2arctg 3 / 7) =
= Е ln Ö 58 + i arctg 3 / 7
Перевірка:
е ln Ö 58 + i arctg 3 / 7 = 58 (cos2arctg 3 / 7 + isin2arctg 3 / 7)
cos2arctg 3 / 7 = 2cos 2 arctg 3 / 7 - 1 = 2 × (7 / Ö 58) 2 - 1 = 40/58
sin2arctg 3 / 7 = 2sin 2 arctg 3 / 7 cosarctg 3 / 7 = 2 ∙ (3 / Ö 58) ∙ (7 / Ö 58) = 42/58
58 (40/58 + 42/58 × i) = 40 + 42 i
При вирішенні прикладу застосовували такі формули:
(Ρ (cosd + i sind)) п = ρ п (cos п d + i sin п d) п є N
е х + i у = е х (cos у + isin у)
2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2 + 16i + 9i = 25i
(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4 / 3 + isinarctg 4 / 3) = е ln 5 × е arctg 4 / 3 = е ln 5 + i arctg 4 / 3
ρ 1 = Ö 25 = 5
φ 1 = arctg 4 / 3
(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3 / 4 + isinarctg 3 / 4) = е ln 5 × е arctg 3 / 4 = е ln 5 + i arctg 3 / 4
ρ 2 = 5
φ 2 = arctg 3 / 4
5 (cosarctg 4 / 3 + isinarctg 4 / 3) 5 (cosarctg 3 / 4 + isinarctg 3 / 4) =
= 25 (cos (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4) + i (sin (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4))) =
= Е ln 25 × е i (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4) = е ln 25 + i (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4)
При вирішенні прикладу використовували формулу:
ρ 1 (cos φ 1 + isin φ 1) ρ 2 (cos φ 2 + isin φ 2) = ρ 1 ρ 2 (cos (φ 1 + φ 2) + i (sin (φ 1 + φ 2))
Перевірка:
е ln 25 + i (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4) = е ln 25 × е i (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4) = 25 (cos (arctg 4 / 3 +
+ Arctg 3 / 4) + i (sin (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4)))
cos (arctg 4 / 3 + arctg 3 / 4) = cos (arctg 4 / 3) cos (arctg 3 / 4) -
sin (arctg 4 / 3) sin (arctg 3 / 4)
cos (arctg 4 / 3) = 1 / (Ö 1 + tg 2 (arctg 4 / 3)) = 1 / Ö 1 + (16 / 9) = 3 / 5
cos (arctg 3 / 4) = 4 / 5
sin (arctg 4 / 3) = Ö 1 - cos 2 arctg 4 / 3 = Ö 1 - 9 / 5 = 4 / 5
sin (arctg 3 / 4) = Ö 1 - cos 2 arctg 3 / 4 = 3 / 5
cos (arctg 4 / 3 - arctg 3 / 4) = 3 / 5 × 4 / 5 - 3 / 5 × 4 / 5 = 0
sin (arctg 4 / 3 - arctg 3 / 4) = 4 / 5 × 3 / 5 - 4 / 5 × 3 / 5 = 0
Витяг кореня третього ступеня з комплексного числа:
Застосовуємо формулу:
п Ö ρ (cosd + i sind) = п Ö ρ (cos d + 2ПК / п + i sin d + 2ПК / п) до є (0, 1 ;...; п - 1)
3 Ö 3 +4 i = 3 Ö 25 (cosarctg 4 / 3 + 2 Пк / 3 + isinarctg 4 / 3 + 2 Пк / 3)
z 1 = 6 Ö 25 (cosarctg (4 / 3) / 3 + isinarctg (4 / 3) / 3) до = 0
z 2 = 6 Ö 25 (cosarctg (4 / 3 + 2 П) / 3 + isinarctg (4 / 3 + 2 П) / 3) к = 1
z 3 = 6 Ö 25 (cosarctg (4 / 3 + 4 П) / 3 + isinarctg (4 / 3 + 4 П) / 3) до = 2