Рішення матриць

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Множення

Множення матриць (Твір матриць):

Операція множення двох матриць вводиться тільки для випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другого матриці.

Ця умова не виконується, твір АВ не існує.

Твір матриці і вектора А b:



Скалярний добуток векторів (b, с):





Знайти визначник матриці А:

Зокрема, формула обчислення визначника матриці така:



= A 11 a 22 a 33 - a 11 a 23 a 32 - a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31

= 2 * (-4) * 5 - 2 * 4 * 2 - (-2) * 5 * 5 + (-2) * 4 * (-1) + (-1) * 5 * 2 ​​- (-1) * (-4) * (-1) = -40 - 16 +50 + 8 - 10 + 4 = -4



Знайти обернену матрицю А -1:

Рішення.

Визначник введеної Вами матриці дорівнює:





Визначник не дорівнює нулю, отже зворотна матриця існує.

Допишемо до вихідної матриці одиничну матрицю справа.





Почнемо приведення лівої квадратної матриці до одиничного вигляду. За допомогою елементарних перетворень приберемо всі коефіцієнти нижче головної діагоналі.

Віднімемо перший рядок з усіх рядків, які знаходяться нижче неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Віднімемо другий рядок з усіх рядків, які знаходяться нижче неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Наведемо всі коефіцієнти на головній діагоналі матриці до 1. Поділимо кожен рядок матриці на коефіцієнт цього рядка знаходиться на головній діагоналі, якщо він не дорівнює 1.





Наведемо всі коефіцієнти вище головної діагоналі до 0, за допомогою елементарних перетворень.

Віднімемо 3 - й рядок з усіх рядків, які знаходяться вище за неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Віднімемо другий рядок з усіх рядків, які знаходяться вище за неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Відповідь.

Як вже раніше згадувалося, ми за допомогою елементарних перетворень перемістили одиничну матрицю з правої частини в ліву, при цьому не порушивши жодного правила роботи з матриця.

Квадратна матриця, яку Ви бачите праворуч і є зворотна матриця до введеної Вами.



Рішення системи рівнянь Ах = b:

Умова





Рішення

Знайдемо визначник головною матриці, складеної з коефіцієнтів при X 1 - n:





Визначник головною матриці системи рівнянь не дорівнює нулю, отже дана система рівнянь має єдине рішення. Знайдемо його. Достоїть головний визначник системи рівнянь ще одним стовпцем, в який вставимо значення за знаком рівності.





Тепер послідовно, за допомогою елементарних перетворень перетворимо ліву частину матриці (3 × 3) до трикутного вигляду (обнулив всі коефіцієнти знаходяться не на головній діагоналі, а коефіцієнти на головній діагоналі перетворимо до одиниць).

Віднімемо перший рядок з усіх рядків, які знаходяться нижче неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Віднімемо другий рядок з усіх рядків, які знаходяться нижче неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Віднімемо 3 - й рядок з усіх рядків, які знаходяться вище за неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Віднімемо другий рядок з усіх рядків, які знаходяться вище за неї. Ця дія не суперечить елементарним перетворенням матриці.





Наведемо всі коефіцієнти на головній діагоналі матриці до 1. Поділимо кожен рядок матриці на коефіцієнт цього рядка знаходиться на головній діагоналі, якщо він не дорівнює 1.





Відповідь.

Числа отримані правіше одиничної матриці і будуть рішенням Вашої системи рівнянь.





Елементарні перетворення матриці

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі перетворення: 1) множення рядка матриці на число, відмінне від нуля, 2) додаток до одного рядка матриці іншого рядка, 3) перестановка рядків, 4) викреслення (видалення) однієї з однакових рядки (стовпчики), 5) транспонування матриці;

Ті ж операції, що застосовуються для стовпців матриці, також називаються елементарними перетвореннями. За допомогою елементарних перетворень можна до будь-якої рядку або стовпцю матриці додати лінійну комбінацію інших рядків (стовпців).

Починаємо вирішувати ось таку систему рівнянь методом Гаусса

Визначник основної матриці дорівнює -4

Хочемо зробити елемент [1,1] рівним 1. Розділили весь рядок 1 на елемент [1,1] = 2.

Зробили в 1 рядку елемент 1 одиничним.

Обнулив 1 стовпець: З 2 рядки відняли 1 рядок, помножену на елемент [1,2] = 5.

З 3 рядки відняли 1 рядок, помножену на елемент [1,3] =- 1.

Перетворення 1 стовпця зробили.

Хочемо зробити елемент [2,2] рівним 1. Розділили весь рядок 2 на елемент [2,2] = 1.

Зробили в 2 рядку елемент 2 одиничним.

Обнулив 2 стовпець: З 1 рядка відняли 2 рядки, помножену на елемент [2,1] =- 1.

З 3 рядки відняли 2 рядки, помножену на елемент [2,3] = 1.



Перетворення 2 стовпця зробили.

Хочемо зробити елемент [3,3] рівним 1. Розділили весь рядок 3 на елемент [3,3] =- 2.





Зробили в 3 рядку елемент 3 одиничним.

З 1 рядка відняли 3 рядок, помножену на елемент [3,1] = 6.





З 2 рядки відняли 3 рядок, помножену на елемент [3,2] = 6.5.





Перетворення 3 стовпці зробили.

Ну ось ніби і все. Рішення міститься в правій колонці: Швиденько зробимо перевірку: Вихідна матриця:





Підставимо у вихідну матрицю отримані рішення: у квадратних дужках елементи матриці, в круглих рішення системи рівнянь



Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
26.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Завдання лінійної алгебри Поняття матриці Види матриць Операції з матрицями Рішення задач на перетворення
Вивчення матриць
Генерація матриць
Використання алгебри матриць
Алгебраїчні групи матриць
Калькулятор для матриць
Алгебра матриць Системи лінійних рівнянь
Алгоритми пошуку найкоротших покриттів булевих матриць
Інвестиційне рішення
© Усі права захищені
написати до нас