.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;; ;; ;; ;; ;; ;; ;; ;; ;; ;;; Федеральне агентство з освіти
Тульський Державний педагогічний університет
імені Л. М. Толстого
Кафедра інформаційних технологій
Курсова робота
Рішення лінійних інтегральних рівнянь
студента 4 курсу групи В
спеціальності 351500 - МОіАІС
Селіванова Сергія Валерійовича
Тула - 2008
Зміст
Введення
1. Теоретична частина за рішенням лінійних інтегральних рівнянь
2. Практична частина за рішенням лінійних інтегральних рівнянь
Висновок
Використані джерела
Введення
У цій роботі розглянута проблема вирішення лінійних інтегральних рівнянь. Метою курсової роботи було написання функції, яка по введених даних (ядру інтегрування, правій частині рівняння і відрізку інтегрування) могла б знаходити рішення лінійного інтегрального рівняння. Проблема розробки алгоритму рішення і написанні на його основі функції є практично актуальною, так як рішення лінійних інтегральних рівнянь без залучення ЕОМ є досить трудомістким.
Ця курсова робота складається із двох частин.
У першій частині наведено теоретична частина за рішенням лінійних інтегральних рівнянь, що включає основні леми і теореми по темі даної курсової, що дають наукову основу для розробки алгоритму розв'язання лінійних інтегральних рівнянь і написанні на його основі функції.
У другому розділі наводиться алгоритм розв'язання лінійного інтегрального рівняння і, написаної на його основі, функції.
1. Теоретична частина за рішенням лінійних інтегральних рівнянь
Існує безліч методів рішень лінійних інтегральних рівнянь. Розглянемо один з них - метод ітерацій.
Розглянемо короткий рівняння Фредгольма другого роду:
(1)
Будемо припускати, що вільний член і ядро цього рівняння належать відповідним класам і
. Рівняння (1) будемо також записувати коротко у вигляді
, (2)
де інтегрування поширено на одиничний r-мірний куб G r.
Лемма 1. Якщо
і
(3)
то при рішення рівняння (2) задовольняє співвідношенню
,
де функція визначена рівністю
(4)
Належить класу .
Доказ.
Відомо, що при достатньо малому λ рішення рівняння (2) можна представити у вигляді ряду
де G rv-одиничний rv-мірний куб. нехай величина R n визначена рівністю
.
Тоді користуючись визначенням функції F (P, Q 1, ..., Q n) отримаємо
(5)
Позначимо через С (m 1, ..., m r) коефіцієнти Фур'є функції f (P). Так як, за умовою, f (P) , То
Аналогічна оцінка справедлива, очевидно, і для ядра K (P, Q) рівняння (2) .
Але тоді
і, отже,
отримаємо
,
.
Звідси в силу (5) випливає перше з тверджень леми:
.
Перейдемо тепер до доказу другого твердження. Так як f (P) і K (P, Q)
, То, аналогічно міркувань леми 12 (1, с.61) легко показати, що
(6)
Де,
На відміну від інших співмножників, перший співмножник в співвідношенні (6) розглядається як функція r змінних, що відповідають величині Q 1, а не як функція всіх своїх змінних.
Далі, розглядаючи кожну з функцій (v = 1,2, ..., n)
Як функцію всіх rn змінних, відповідних n величинам Q 1, ..., Q n, згідно з першим твердженням леми 12 (1, с.61) отримаємо, що функція належить класу
, Де
.
Але в силу (6)
і, отже,
.
Чим лема 1 доведена повністю.
Нехай, як і вище f (P) і K (P, Q)
,
(7)
і величина γ 0 визначена рівністю (3)
Покажемо, що для наближеного рішення рівняння (7) можна використовувати квадратні формули з нерівномірними сітками.
Теорема 1. Нехай p - просте число, N = p, і величина n визначена рівністю
Тоді при довільно малому ε для вирішення рівняння (7) виконується асимптотична рівність
де
Доказ.
Нехай функція Φ належить класу і σ-сума модулів її коефіцієнтів Фур'є. Тоді відповідно до теореми 15 (1, с.94) справедлива квадратурна формула
, (8)
де
(9)
Виберемо в Лемма 1 . Тоді при
для вирішення рівняння одержимо
(10)
де згідно (4) функція F (P, Q 1, ..., Q n) визначена рівністю F (P, Q 1, ..., Q n) = і належить класу
.
Нехай при k = 1,2, ..., N і v = 1,2, ..., n точки M k, v визначені рівністю
.
Виберемо p настільки великим, щоб виконувалися нерівності n ≥ 1 і N ≥ rn
Тоді застосовуючи квадратичну формулу (8) отримаємо
(11)
де в силу (9)
(12)
Користуючись визначенням n і , Отримаємо
.
.
Отже,
,
,
.
У силу (12)
Але тоді з (10) і (11) випливає, що
Звідси, користуючись оцінкою
,
отримуємо твердження теореми.
Результат, отриманий в теоремі 1, можна підсилити, якщо скористатися методом оптимальних коефіцієнтів.
Лемма 2. Для будь-якого простого p існують оптимальні коефіцієнти a 1, ..., a s такі, що яке б не було a> 1 + ε 1, при будь-якому ε 1 (0; 1) виконується оцінка
Доказ.
Нехай z-довільне ціле з інтервалу Визначимо функцію Т s (z) рівністю
Нехай при z = a досягається мінімум цієї функції. Тоді, очевидно,
(13)
Так згідно лемі 1 (1, с.21)
,
то при довільному ε> 0 отримаємо з (13),
Звідси випливає, що
(14)
Введемо позначення
Так з (14) в силу визначення величини T s (a) слід оцінка
(15)
то користуючись нерівністю, отримаємо
(16)
Щоб оцінити суму Σ 2, зауважимо, що для нетривіальних рішень порівняння
(17)
Виконується нерівність
(18)
Дійсно, згідно з визначенням величини δ p (m) в лівій частині нерівності (14) відмінні від нуля лише такі складові, для яких m 1, ..., m s є нетривіальним рішенням порівняння (5.43). так як будь-яке з цих складових не перевершує всієї суми, то для кожного нетривіального рішення порівняння отримаємо
,
Чим нерівність (5.44) доведена.
Нехай функція φ (m 1, ..., m s) визначена равенствами
Тоді користуючись лемою 18 (1, c.101), отримаємо
. (19)
Позначимо через q мінімальне значення твору , Де m 1, ..., m s-довільне нетривіальне рішення порівняння (17).
Тоді, вибираючи в лемі 26 (1, с.151)
,
отримаємо, що при будь-яких натуральних m 1, ..., m s, що задовольняють умові m 1, ..., m s p, виконується оцінка
.
Користуючись цією оцінкою і помічаючи, що в силу (18)
при будь-якому ε ≤ a -1 позитивному отримаємо з (19)
(20)
Виберемо a v = a v-1 (v = 1,2, ..., s) (21)
тоді, користуючись оцінками (16) і (20), при отримаємо нерівність, вказане в лемі:
Для завершення докази леми залишається переконатися, що величини , Певні рівністю (21), є оптимальними коефіцієнтами.
Дійсно, з (5.39), користуючись лемою 1 (1, c .21) отримаємо
Переписуючи цю оцінку у вигляді
переконуємося, що цілі a v = a v -1 будуть оптимальними коефіцієнтами, ніж лема 2 доведена повністю.
Слідство. Е сли Ф , То, яке б не було
для похибки квадратурної формули
побудованої при N = p з допомогою оптимальних коефіцієнтів, зазначених у лемі 2, справедлива оцінка
,
Дійсно, користуючись лемами 19 (1, с.106) і 2, отримаємо твердження слідства
Нехай α> 0, , P - просте, N = p, a 1, ... a s - оптимальні коефіцієнти за модулем p, що задовольняють умові леми 2, і величини γ 0, n визначено рівністю
(22)
Теорема 2 Якщо , То при довільно малому для вирішення рівняння
(23)
виконується рівність
де
(24)
Доказ.
Виберемо в Лемма 1 , Де γ 0 визначено першим з рівностей (22). Тоді для розв'язку рівняння (23) отримаємо
(25)
де функція F (P, Q 1, ..., Q n) визначена рівністю
І належить класу
Нехай при k = 1,2, ..., N і v = 1,2, ..., n точки M k, v визначені рівністю (24). Тоді згідно квадратурної формули, наведеної у слідстві леми 2, при s = rn і справедливо рівність
(26)
(27)
Користуючись равенствами (22), отримаємо
Але тоді
і, отже
Користуючись цією оцінкою, з (25) і (26) отримаємо
Звідси, тому що в силу вибору n виконується оцінка
Слід твердження теореми.
2. Практична частина за рішенням лінійних інтегральних рівнянь
Для написання функції, що знаходить рішення лінійного інтегрального рівняння складемо алгоритм. Уявімо алгоритм у вигляді блок-схеми.
Використовуючи дану блок-схему, напишемо відповідну функцію.
Функція рішення лінійних інтегральних рівнянь буде реалізована на С + +.
bool solvefredholm2 (const double & a,
const double & b,
const int & n,
ap:: real_1d_array & y,
const double & epsilon)
{
bool result;
double h;
double t;
double m1;
double x;
ap:: real_2d_array smat;
int i;
int j;
int u;
int k1;
int m;
smat.setbounds (1, n, 1, n +1);
y.setbounds (1, n);
h = (ba) / (n-1);
i = 1;
do
{
x = a + (i-1) * h;
smat (i, n +1) = f (x);
j = 1;
do
{
smat (i, j) =-h * k (x, a + (j-1) * h);
if (j == 1 | | j == n)
{
smat (i, j) = smat (i, j) / 2;
}
if (j == i)
{
smat (i, j) = 1 + smat (i, j);
}
j = j +1;
}
while (j <= n);
i = i +1;
}
while (i <= n);
y.setbounds (1, n);
result = true;
for (i = 1; i <= n; i + +)
{
k1 = i;
m1 = fabs (smat (i, i));
for (j = i +1; j <= n; j + +)
{
if (m1 <fabs (smat (j, i)))
{
m1 = fabs (smat (j, i));
k1 = j;
}
}
if (fabs (m1)> = epsilon)
{
for (j = i; j <= n +1; j + +)
{
t = smat (i, j);
smat (i, j) = smat (k1, j);
smat (k1, j) = t;
}
for (k1 = i +1; k1 <= n; k1 + +)
{
t = smat (k1, i) / smat (i, i);
smat (k1, i) = 0;
for (j = i +1; j <= n +1; j + +)
{
smat (k1, j) = smat (k1, j)-t * smat (i, j);
}
}
}
else
{
result = false;
break;
}
}
if (result)
{
i = n;
do
{
y (i) = smat (i, n +1);
j = i +1;
while (j <= n)
{
y (i) = y (i)-smat (i, j) * y (j);
j = j +1;
}
y (i) = y (i) / smat (i, i);
i = i-1;
}
while (i> = 1);
}
return result;
}
Дана функція вирішує інтегральне рівняння Фредгольма другого роду, заданий ядром інтегрування K (X, S) і правою частиною F (X), на відрізку [A, B] методом ітерацій.
Результат поміщається в масив Y з номерами елементів від 1 до N, де 1 відповідає A, N відповідає B.
Epsilon - мала кількість, передане для порівняння з нулем в ході вирішення одержуваної системи рівнянь.
Для роботи цієї функції потрібна бібліотека ap. H
Висновок
На закінчення даної курсової хотілося б відзначити, що був складений алгоритм, і на його основі написана функція для вирішення лінійних інтегральних рівнянь методом ітерацій. Ця функція може стати основою для написання цілої системи, яка буде вирішувати задачі знаходження рішення лінійних інтегралів.
Список використаних джерел та літератури
Коробов, Н. М. Теоретико-числові методи в наближеному аналізі / Н. М. Коробов. -М.: 2003. - 316 с.
Коробов, Н. М. Про наближеному вирішенні інтегральних рівнянь /
Н. М. Коробов. -ДАН СРСР, 1959.
3. Http:// alglib.sources.ru