Варіант 1
№ 1
Три стрілка роблять по одному пострілу по одній і тій же меті. Вірогідність ураження цілей рівні відповідно р 1 = 0,9, р 2 = 0,8, р 3 = 0,7.
Знайти ймовірності того, що:
а) всі три стрілка потрапляють у ціль;
б) тільки один з них потрапляє в ціль;
в) хоча б один стрілець влучає в ціль.
Позначимо події: А - всі 3 стрілка потрапляють у ціль; В - тільки один стрілець влучає в ціль; С - хоча б один стрілець влучає в ціль.
Вірогідність промахів рівні відповідно: q 1 = 0,1, q 2 = 0,2, q 3 = 0,3.
а) Р (А) = р 1 р 2 р 3 = 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,7 = 0,504.
б) Р (В) = p 1 q 2 q 3 + q 1 p 2 q 3 + q 1 q 2 p 3 = 0,9 ∙ 0,2 ∙ 0,3 + 0,1 ∙ 0,8 ∙ 0, 3 + 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,7 = 0,092.
в) Подія - Усі три стрілка хиблять. Тоді
Р (С) = 1 - Р ( ) = 1 - 0,1 ∙ 0,2 ∙ 0,3 = 1 - 0,006 = 0,994.
№ 11
Імовірність настання події в кожному з однакових незалежних випробувань дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що в 150 випробуваннях подія наступить рівно 5 разів
У нас n досить великий ó, р малий ó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 <9, k = 5. Справедливо рівність Пуассона: . Таким чином,
№ 21
За даним законом розподілу дискретної випадкової величини Х визначити математичне сподівання М (Х), дисперсію D (X) та середнє квадратичне відхилення σ (Х).
х і | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
р и | 0,05 | 0,18 | 0,23 | 0,41 | 0,13 |
Послідовно отримуємо:
5
М (Х) = Σ х і р і = 0,05 + 2 ∙ 0,18 + 3 ∙ 0,23 + 4 ∙ 0,41 + 5 ∙ 0,13 = 3,39.
i = 1
5
D (X) = Σ x i ² p i - M ² = 0,05 + 2 ² ∙ 0,18 + 3 ² ∙ 0,23 + 4 ² ∙ 0,41 + 5 ² ∙ 0,13 - 3,39 ² = i = 1
1,1579.
σ (Х) = √ D (X) = √ 1,1579 = 1,076.
№ 31
Випадкова величина Х задана інтегральною функцією
а) диференціальну функцію f (x) (щільність імовірності);
b) математичне сподівання і дисперсію величини х;
в) ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу
;
г) побудувати графіки функцій F (x) і f (x).
Послідовно отримуємо:
а) ;
в) Р (a <x <b) = F (b) - F (a) Þ P = F (1) - F
=
- 0 =
.
Графіки функцій подані далі.
№ 41
Визначити ймовірність того, що нормально розподілена величина Х прийме значення, що належить інтервалу (α; β) якщо відомі математичне сподівання а і середнє квадратичне відхилення σ. Дані: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.
Використовуємо формулу Р (α <x <β) =
Маємо: Р (2 <x <13) = = Ф
- Ф (-2).
Оскільки функція Лапласа є непарна, можемо записати:
Ф - Ф (-2) = Ф
+ Ф (2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51
За даному статистичному розподілу вибірки
х і | 4 | 5,8 | 7,6 | 9,4 | 11,2 | 13 | 14,8 | 16,6 |
m и | 5 | 8 | 12 | 25 | 30 | 20 | 18 | 6 |
Визначити: а) вибіркову середню; б) вибіркову дисперсію; в) вибіркове середнє квадратичне відхилення.
Для вирішення завдання введемо умовну змінну
, Де С - одне зі значень х і, як правило, відповідне найбільшим значенням m І, а h - це крок (у нас h = 1,8).
Нехай З = 11,2. Тоді .
Заповнимо таблицю:
x i | m i | x i ' | x i m i | (X i ') ² m i |
4 | 5 | - 4 | - 20 | 80 |
5,8 | 8 | - 3 | - 24 | 72 |
7,6 | 12 | - 2 | - 24 | 48 |
9,4 | 25 | - 1 | - 25 | 25 |
11,2 | 30 | 0 | 0 | 0 |
13 | 20 | 1 | 20 | 20 |
14,8 | 18 | 2 | 36 | 72 |
16,6 | 6 | 3 | 18 | 54 |
Σ = 124 | Σ = - 19 | Σ = 371 |
Використовуючи таблицю, знайдемо ;
D (x ') = Σ (x i') ² m i - (x i ') ² =
- (- 0,1532) ² = 2,9685.
Тепер перейдемо до фактичних значень х і D (x):
_
x = x 'h + C = - 0,1532 ∙ 1,8 + 11,2 = 10,9242; D (x) = D (x') ∙ h ² = 2,9685 ∙ 1,8 ² = 9,6178 ;
σ (x) = √ D (x) = √ 9,6178 = 3,1013.
№ 61
За даною кореляційної таблиці знайти в и борочное рівняння регресії.
у х | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | n y |
5 | 4 | 2 | 6 | ||||
15 | 5 | 23 | 28 | ||||
25 | 18 | 44 | 5 | 67 | |||
35 | 1 | 8 | 4 | 13 | |||
45 | 4 | 2 | 6 | ||||
n x | 4 | 7 | 42 | 52 |
13 | 2 | n = 120 |
Для спрощення розрахунків введемо умовні змінні
u = , V =
. Складемо таблицю:
v u | - 3 | - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | n v | n uv uv |
- 2 | 4 червня | 2 квітня | 6 | 32 | ||||
- 1 | 5 лютого | 23 січня | 28 | 3 березня | ||||
0 | 18 0 | 44 0 | 5 0 | 67 | 0 | |||
1 | 1 -1 | 8 0 | 1 квітня | 13 | 3 | |||
2 | 2 квітня | 2 квітня | 6 | 16 | ||||
n u | 4 | 7 | 42 | 52 | 13 | 2 | n = 120 | Σ = 84 |
Послідовно отримуємо:
;
;
;
;
σ u ² =
- (U) ² = 1,058 - (- 0,425) ² = 0,878; σ u = √ 0,878 = 0,937;
σ v ² =
- (V) ² = 0,742 - (- 0,125) ² = 0,726; σ v = √ 0,726 = 0,8521;
По таблиці, наведеної вище, отримуємо Σ n uv uv = 84.
Знаходимо вибірковий коефіцієнт кореляції:
Далі послідовно знаходимо:
x = u ∙ h 1 + C 1 = - 0,425 ∙ 3 + 15 = 13,725; y = v ∙ h 2 + C 2 = - 0,125 ∙ 10 + 25 = 23,75;
σ x = σ u ∙ h 1 = 0,937 ∙ 3 = 2,811; σ y = σ v ∙ h 2 = 0,8521 ∙ 10 = 8,521.
Рівняння регресії в загальному вигляді: Таким чином,
спрощуючи, остаточно отримаємо шукане рівняння регресії:
Необхідно провести перевірку отриманого рівняння регресії при, принаймні, двох значеннях х.
1) при х = 12 по таблиці маємо
за рівнянням:
у х = 12 = 2,457 ∙ 12 - 9,968 = 19,516; ε 1 = 19,762 - 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблиці маємо
за рівнянням:
у х = 18 = 2,457 ∙ 18 - 9,968 = 34,258; ε 2 = 34,258 - 34,231 = 0,027.
Відзначаємо хороший збіг емпіричних і теоретичних даних.
Варіант 2
№ 2
Для сигналізації про аварію встановлено и 3 незалежно працюючі пристрої. Вірогідність їх спрацювання рівні відповідно р 1 = 0,9, р 2 = 0,95, р 3 = 0,85. Знайти ймовірності спрацьовування при аварії:
а) тільки одного пристрою;
б тільки двох пристроїв;
в) усіх трьох пристроїв.
Позначимо події: А - спрацьовує тільки один пристрій; В - спрацьовують 2 пристрої; С - спрацьовують всі 3 пристрої. Імовірності протилежних подій (не спрацювання) відповідно рівні q 1 = 0,1, q 2 = 0,05, q 3 = 0,15. Тоді
а) Р (А) = p 1 q 2 q 3 + q 1 p 2 q 3 + q 1 q 2 p 3 = 0,9 ∙ 0,05 ∙ 0,15 + 0,1 ∙ 0,95 ∙ 0, 15 + 0,1 ∙ 0,05 ∙ 0,85 = 0,02525.
б) Р (В) = p 1 p 2 q 3 + p 1 q 2 p 3 + q 1 p 2 p 3 = 0,9 ∙ 0,95 ∙ 0,15 + 0,9 ∙ 0,05 ∙ 0, 85 + 0,1 ∙ 0,95 ∙ 0,85 = 0,24725.
в) Р (С) = р 1 р 2 р 3 = 0,9 ∙ 0,95 ∙ 0,85 = 0,72675.
№ 12
У партії з 1000 виробів є 10 дефектних. Знайти ймовірність того, що з узятих навмання з цієї партії 50 виробів рівно 3 виявляться дефектними.
За умовою n = 50, k = 3. Оскільки р малий ó, n досить велике, в той же час nр = 0,5 <9, справедлива формула Пуассона:
.
Таким чином,
№ 22
За даним законом розподілу дискретної випадкової величини Х визначити математичне сподівання М (Х), дисперсію D (X) та середнє квадратичне відхилення σ (Х).
х і | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
р и | 0,25 | 0,15 | 0,27 | 0,08 | 0,25 |
Послідовно отримуємо:
5
М (Х) = Σ х і р і = 2 ∙ 0,25 + 3 ∙ 0,15 + 4 ∙ 0,27 + 5 ∙ 0,08 + 8 ∙ 0,25 = 4,43.
i = 1
5
D (X) = Σ x i ² p i - M ² = 2 ² ∙ 0,25 + 3 ² ∙ 0,15 + 4 ² ∙ 0,27 +5 ² ∙ 0,08 + 8 ² ∙ 0,25 - 4,43 ² і = 1
= 5,0451.
σ (Х) = √ D (X) = √ 5,0451 = 2,246.
№ 32
Випадкова величина Х задана інтегральною функцією
а) диференціальну функцію f (x) (щільність імовірності);
б) математичне сподівання і дисперсію величини х;
в) ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу
;
г) побудувати графіки функцій F (x) і f (x).
Послідовно отримуємо:
а) ;
в) Р (a <x <b) = F (b) - F (a) Þ P = F (1) - F
=
Графіки функцій наводяться далі.
№ 42
Визначити ймовірність того, що нормально розподілена величина Х прийме значення, що належить інтервалу (α; β) якщо відомі математичне сподівання а і середнє квадратичне відхилення σ. Дані: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.
Використовуючи формулу маємо
Оскільки функція Лапласа є непарна, можемо записати:
№ 52
За даним статистичному розподілу вибірки
х і | 7,6 | 8 | 8,4 | 8,8 | 9,2 | 9,6 | 10 | 10,4 |
m и | 6 | 8 | 16 | 50 | 30 | 15 | 7 | 5 |
Визначити: а) вибіркову середню; б) вибіркову дисперсію; в) вибіркове середнє квадратичне відхилення.
Для вирішення завдання введемо умовну змінну
де С - одне зі значень х і, як правило, відповідне найбільшим значенням m І, а h - це крок (у нас h = 0,4).
Нехай С = 8,8. Тоді
Заповнимо таблицю:
x i | m i | x i ' | x i m i | (X i ') ² m i |
7,6 | 6 | - 3 | - 18 | 54 |
8 | 8 | - 2 | - 16 | 32 |
8,4 | 16 | - 1 | - 16 | 16 |
8,8 | 50 | 0 | 0 | 0 |
9,2 | 30 | 1 | 30 | 30 |
9,6 | 15 | 2 | 30 | 60 |
10 | 7 | 3 | 21 | 63 |
10,4 | 5 | 4 | 20 | 80 |
Σ = 137 | Σ = 51 | Σ = 335 |
Використовуючи таблицю, знайдемо
;
D (x ') = Σ (x i') ² m i - (x i ') ² =
- 0,3723 ² = 2,3067.
Тепер перейдемо до фактичних значень х і D (x):
x = x 'h + C = 0,3723 ∙ 0,4 + 8,8 = 8,9489; D (x) = D (x') ∙ h ² = 2,3067 ∙ 0,4 ² = 0,3961;
σ (x) = √ D (x) = √ 0,3961 = 0,6075.
№ 62
За даною кореляційної таблиці
у х | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | n y |
10 | 2 | 5 | 7 | ||||
20 | 6 | 8 | 4 | 18 | |||
30 | 8 | 46 | 10 | 64 | |||
40 | 5 | 20 | 4 | 29 | |||
50 | 3 | 14 | 2 | 5 | 22 | ||
n x | 2 | 19 | 62 | 48 | 6 | 3 | n = 140 |
знайти вибіркове рівняння регресії.
Для спрощення розрахунків введ е м умовні змінні
Складемо таблицю.
| - 2 | - 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | n v | n uv uv |
- 2 | 2 квітня | 5 лютого | 7 | 18 | ||||
- 1 | 1 червня | 8 0 | 4 -1 | 18 | 2 | |||
0 | 8 0 | 46 0 | 10 0 | 64 | 0 | |||
1 | 5 0 | 20 січня | 2 квітня | 29 | 28 | |||
2 | 3 0 | 14 лютого | 2 квітня | 5 червня | 22 | 66 | ||
n u | 2 |
19 | 62 | 48 | 6 | 3 | n = 140 | Σ = 114 |
Послідовно отримуємо:
;
;
;
;
σ u ² =
- (U) ² = 0,9 - 0,329 ² = 0,792; σ u = √ 0,792 = 0,89;
σ v ² =
- (V) ² = 1,164 - 0,293 ² = 1,079; σ v = √ 1,079 = 1,0385;
По таблиці, наведеної вище, отримуємо Σ n uv uv = 114.
Знаходимо вибірковий коефіцієнт кореляції:
Далі послідовно знаходимо:
x = u ∙ h 1 + C 1 = 0,329 ∙ 4 + 12 = 13,314; y = v ∙ h 2 + C 2 = 0,293 ∙ 10 + 30 = 32,929;
σ x = σ u ∙ h 1 = 0,89 ∙ 4 = 3,56; σ y = σ v ∙ h 2 = 1,0385 ∙ 10 = 10,385.
Рівняння регресії в загальному вигляді: Таким чином,
спрощуючи, остаточно отримаємо шукане рівняння регресії:
Необхідно провести перевірку отриманого рівняння регресії при, принаймні, двох значеннях х.
1) при х = 12 по таблиці маємо
за рівнянням: у х = 12 = 2,266 ∙ 12 + 2,752 = 29,944; ε 1 = 30,484 - 29,944 = 0,54;
2) при х = 16 по таблиці маємо
за рівнянням: у х = 16 = 2,266 ∙ 16 + 2,752 = 39,008; ε 2 = 39,167 - 39,008 = 0,159.
Відзначаємо хороший збіг емпіричних і теоретичних даних.