Задача 1. Знайти суму ряду.
Сума ряду де
- Сума n перших членів ряду.
Сума ряду
Завдання 2. Дослідити на збіжність ряд.
За будь-яких значеннях n виконується нерівність
Ряд є розбіжним (гармонійний ряд), значить розходиться і досліджуваний ряд.
Завдання 3. Дослідити на збіжність ряд.
Порівняємо цей ряд із рядом .
Ми можемо зробити це, тому що
Інтегральний ознака Коші
Ряд сходиться, значить сходиться і досліджуваний ряд.
Задача 4. Дослідити на збіжність ряд.
Скористаємося ознакою Даламбера
Ряд сходиться.
Задача 5. Дослідити ряд на збіжність.
Радикальний ознака Коші
Ряд сходиться.
Задача 6. Дослідити на збіжність ряд.
Порівняємо цей ряд із низкою
Ми можемо зробити це, керуючись граничним ознакою порівняння.
Інтегральний ознака Коші
.
Ряд розходиться, значить розходиться і досліджуваний ряд.
Завдання 7. Дослідити на збіжність ряд.
Розглянемо ряд з модулів
За будь-яких значеннях n виконується нерівність .
Розглянемо ряд
Інтегральний ознака Коші
Ряд сходиться, значить наш знакозмінний ряд володіє абсолютною збіжністю.
Завдання 8. Обчислити суму ряду з точністю .
Сума ряду: , Де
залишок ряду. За умовою задачі
Для знакозмінних рядів залишок ряду за модулем менше першого відкинутого члена.
Останнє нерівність виконується при n = 5, значить досить залишити перші п'ять членів ряду
Задача 9. Знайти область збіжності ряду.
Ряд буде сходиться при Причому при
- Умовно маємо
.
Отже
сходиться умовно.
Область збіжності .
Завдання 10. Знайти область збіжності ряду.
Радикальний ознака Коші
Досліджуємо збіжність на кінцях інтервалу
розходиться, т.к.
розходиться, т.к.
Область збіжності .
Задача 11. Знайти область збіжності ряду.
Радикальний ознака Коші
Область збіжності
Завдання 12. Знайти суму ряду.
Завдання 13. Знайти суму ряду.
Завдання 14. Розкласти функцію в ряд Тейлора за ступенями .
Скористаємося відомим розкладом.
Задача 15. Обчислити інтеграл з точністю до 0,001.