Завдання 20. Показати, що функція задовольняє рівнянню (1).
20.1.
y '= e-x ^ 2 / 2-x 2 e-x ^ 2 / 2 = e-x ^ 2 / 2 (1-x 2)
xe-x ^ 2 / 2 (1-x 2) = xe-x ^ 2 / 2 (1-x 2)
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.2.
y '= (xcosx - sinx) / x 2
(Xcosx - sinx) / x + sinx / x = cosx
cosx = cosx
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.3.
y '= -10 e -2 x + e x / 3
-10 E-2x + e x / 3 + 10e-2x +2 e x / 3 = e x
e x = e x
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.4.
y '=-cx / √ (1-x 2)
-Cx (1-x 2) / √ (1-x 2) +2 x + cx √ (1-x 2) = 2x
2x = 2x
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.5.
y '= √ (1 - x 2) - x 2 / √ (1 - x 2) = (1-2 x 2) / √ (1 - x 2)
x √ (1 - x 2) (1-2 x 2) = x -2 x 3
√ (1-x 2)
x -2 x 3 = x -2 x 3
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.6.
y '= c * tgx / cosx
c * tgx / cosx-c * tgx / cosx = 0
0 = 0
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.7.
y '= 3 / (3x + c) 2
3 / (3x + c) 2 = 3 / (3x + c) 2
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.8.
y '= e x / (c + e x)
e x / (c + e x) = e x / e ln (c + e ^ x)
e x / (c + e x) = e x / (c + e x)
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.9.
dy = (2x-c) dx / (2 √ (x 2-cx))
(X 2 + x 2 - cx) dx - (2 x √ (x 2 - cx) (2 x - c) dx) / (2 √ (x 2 - cx)) = 0
0 = 0
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.10.
dy = (cx-xlnx +1) dx
(Xx (c-lnx)) dx + x (cx-xlnx +1) dx = 0
0 = 0
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.11.
y '= e tgx / 2 / (2cos 2 x / 2) = e tgx / 2 / (cosx +1)
sinx * e tgx / 2 / (cosx +1) = e tgx / 2 lne tgx / 2
tgx / 2 = tgx / 2
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.12.
y '= (1-x +1 + x) / (1-x) 2 = 2 / (1-x) 2
2 / (1 - x) 2 = 1-2 x + x 2 +1 +2 x + x 2
(1 - x) 2 (1 + x)
2 / (1 - x) 2 = 2 / (1 - x) 2
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.13.
y '= 1-b 2
(1-bx) 2
b + x - x (1-b 2) = b + x 2 (1-b 2)
1 + bx (1 - bx) 2 (1 - bx) 2
b + x 2 (1-b 2) = b + x 2 (1-b 2)
(1-bx) 2 (1-bx) 2
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.14.
y '= 1-2x _
3 √ (2 +3 x-3x 2) 2
(1-2x) 3 √ (2 +3 x-3x 2) = 1-2x _
3 √ (2 +3 x-3x 2) 2 3 √ (2 +3 x-3x 2)
1-2x _ = 1-2x _
3 √ (2 +3 x-3x 2) 3 √ (2 +3 x-3x 2)
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.15.
y '= 4e x = E x _
4 (1 + e x) √ (ln ((1 + e x) / 2) 2 +1) (1 + e x) √ (ln ((1 + e x) / 2) 2 +1)
e x (1 + e x) √ (ln ((1 + e x) / 2) 2 +1) = e x
(1 + e x) √ (ln ((1 + e x) / 2) 2 +1)
e x = e x
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.16.
dy = 3dx _
3xcos 2 ln3x
(1 + tg 2 ln3x) dx = 3xdx _
3xcos 2 ln3x
dx / cos 2 ln3x = dx / cos 2 ln3x
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.17.
y '= 2 / (x 3 √ (2 / x 2 -1))
1 +2 / x 2 -1 - 2x √ (2 / x 2 -1) / (x 3 √ (2 / x 2 -1)) = 0
0 = 0
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.18.
y '= x-1 _
3x √ (x-lnx-1) 2
lnx + x-lnx-1-3x (x-1) √ (x-lnx-1) 2 = 0
3x √ (x-lnx-1) 2
0 = 0
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.19.
y '= 7 / (ax +1) 2
a +7 x / (ax +1) - 7x / (ax +1) 2 = a (1 +7 x 2 / (ax +1) 2)
a (1 +7 x 2 / (ax +1) 2) = a (1 +7 x 2 / (ax +1) 2)
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.20.
y '=-a 2 _
2x 2 √ (a/x-1) cos 2 √ (a/x-1)
a 2 + a 2 tg 2 √ (a/x-1) - 2a 2 x √ (ax-x 2) = 0
2x 2 √ (a/x-1) cos 2 √ (a/x-1)
a 2 / cos 2 √ (a/x-1) - a 2 / cos 2 √ (a/x-1) = 0
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.21.
y '= 1 _
4 серпня √ (√ x + √ (x +1))
8x _ 4 √ (√ x + √ (x +1)) = -1 _
4 серпня √ (√ x + √ (x +1)) 4 √ (√ x + √ (x +1)) 3 √ (x +1)
-1 _ = -1 _
4 √ (√ x + √ (x +1)) 3 √ (x +1) 4 √ (√ x + √ (x +1)) 3 √ (x +1)
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.22.
y '= e x ^ 2 (1 +2 x 2 +2 x)
e x ^ 2 (1 +2 x 2 +2 x) - 2xe x ^ 2 (1 + x) = 2xe x ^ 2
2xe x ^ 2 = 2xe x ^ 2
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.23.
y '= 2x 2-4x 5-x 6-2x 3 -1
x 2 (x 3 +1) 2
x (x 3 +1) (2x 2-4x 5-x 6-2x 3 -1) + (2x 3 -1) (2x 2 +1) = x 3 -2
x 2 (x 3 +1) 2 x (x 3 +1) x
x 3 -2 = x 3 -2
xx
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.24.
y '= (1 +2 x) e x + x ^ 2 +2 e x
(1 +2 x) e x + x ^ 2 +2 e x - e x + x ^ 2 +2 e x = 2xe x + x ^ 2
2 xe x + x ^ 2 = 2 xe x + x ^ 2
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.25.
y '=-cosx-xsinx +3
-Xcosx + x 2 sinx +3 x =-xcosx +3 x + x 2 sinx
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.26.
y '=-cosx-1 _
2 √ (sinx + x) 3
-2sinx (cosx +1) + cosx = xcosx-sinx
2 √ (sinx + x) 3 √ (sinx + x) √ (sinx + x) 3
xcosx-sinx = xcosx-sinx
√ (sinx + x) 3 √ (sinx + x) 3
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.27.
y "= 2 x 3 -4 x 2 +2 x -1
(X -1) 2
x (x -1) (2 x 3 -4 x 2 +2 x -1) + x / (x -1) + x 2 = x 2 (2 x -1)
(X -1) 2
x 2 (2 x -1) = x 2 (2 x -1)
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.28.
y '= (cosx + xsinx) / cos 2 x
(Cosx + xsinx) / cos 2 x-xtgx/cosx = secx
1/cosx = secx
secx = secx
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.29.
y '= n (x +1) n-1 (e x -1) + (x +1) n e x
n (x +1) n-1 (e x -1) + (x +1) n e x - n (x +1) n (e x -1) / (x +1) = (x +1) n e x
(X +1) n e x = (x +1) n e x
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.30.
y '= 2xcosx-2sinx-x 2 sinx
x 2
xsinx (2xcosx-2sinx-x 2 sinx) + (sinx-xcosx) (2sinx + xcosx) = sinxcosx-x
x 2 x
sinxcosx-x = sinxcosx-x
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).
20.31.
y '= 2x-4x 3 = 1-2x 2
2 √ (x 4-x 2) √ (x 2 -1)
-X √ (x 4-x 2) (1-2x 2) - x 4 + x 2 = x 4
√ (x 2 -1)
x 4 = x 4
Рівність виконується. Функція задовольняє рівнянню (1).